Xem mẫu
- ISSN 2354-0575
NỘI SUY HERMITE BẰNG CÔNG CỤ GIẢI TÍCH PHỨC
Nguyễn Thị Loan
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên
Ngày tòa soạn nhận được bài báo: 03/07/2018
Ngày phản biện đánh giá và sửa chữa: 23/08/2018
Ngày bài báo được duyệt đăng: 03/09/2018
Tóm tắt:
Bài báo trình bày phương pháp xây dựng công thức nội suy Hertmite, trong đó có sử dụng công cụ
của giải tích phức thay vì dung công cụ của đại số tuyến tính. Cuối bài có đưa ra ví dụ minh họa ưu điểm
của phương pháp này.
Từ khóa: Hermite, nội suy, đa thức nội suy.
1. Đặt vấn đề từng đôi một gọi là các mốc nội suy.
Trong thực hành tính toán (nhất là trong các Giả thiết rằng tại các mốc xj, j = 1,…, m cho
ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật) ta thường phải trước giá trị hàm f(x) và các giá trị của mọi đạo hàm
sử dụng những hàm y = f(x) mà không thể biết biểu đến cấp (aj −1) của nó, tức là cho các giá trị
thức giải tích của chúng; chỉ biết các giá trị của hàm f(xj ), f’(xj ), . . . , f_a j - 1i _ x j i 6j = 1, m . (2.3)
tại một số điểm nào đó của đoạn [a, b], chúng được
gọi là các điểm mốc, (các giá trị này có thể có được Như vậy về hàm f(x) ta biết trước α1 + α2 + •
nhờ phép đo đạc thực nghiệm). Khi sử dụng các • • + αm = n + 1 điều kiện.
hàm này, nhiều khi ta cần biết giá trị của chúng tại Các điều kiện (2.2) là một hệ phương trình
một điểm ngoài những điểm mốc. Muốn vậy ta xây đại số tuyến tính đối với các hệ số cần xác định a0,
dựng hàm F(x) có biểu thức đơn giản trùng với f(x) a1, a2, . . . , an của đa thức (2.1).
tại các điểm mốc còn tại các điểm khác của đoạn [a, Việc xây dựng đa thức (2.1) theo các điều
b] thì “khá gần” với f(x) và sau đó hàm F(x) được sử kiện (2.2) được gọi là quá trình nội suy Hermite,
dụng thay cho hàm f(x). Bài toán xây dựng hàm F(x) hay là phép nội suy với mốc bội. Các số αj , j = 1, m
như vậy gọi là bài toán nội suy; hàm F(x) gọi là hàm được gọi là bội của mốc xj. Và ta kí hiệu đa thức nội
nội suy của f(x) trên đoạn [a, b]. suy Hermite này là Hn(x).
Bài toán nội suy còn được nêu ra dưới dạng
tổng quát hơn: Không những đòi hỏi hàm F(x) 3. Công thức nội suy Hermite
trùng với f(x) tại các điểm nội suy mà còn đòi hỏi Quá trình xây dựng đa thức nội suy Hermite
các đạo hàm cấp một hoặc cấp cao hơn của chúng được tiến hành như sau:
cũng trùng nhau tại các mốc ấy. Đó là bài toán nội Ta cần xác định các hệ số a0, a1, a2, . . . , an ,
suy Hermite. trong đa thức
Bài toán nội suy Hermite là bài toán nội suy Hn(x) = a0 xn + a1 xn-1 + • • • + an-1 x + an (3.1)
cổ điển tổng quát, tuy nhiên bài báo này khác với
những tài liệu đã viết về vấn đề đó là sử dụng Lý Các hệ số này sẽ được xác định bởi hệ
thuyết thặng dư để xây dựng công thức nội suy thay phương trình
cho việc dùng hệ phương trình truyến tính quen H n_ s i _ x j i = f_ s i _ x j i ; j = 1, m , s = 0, a j - 1 (3.2)
thuộc. Điều này có ý nghĩa trong giảng dạy cả môn Do vậy, chúng là tổ hợp tuyến tính của các
Phương pháp tính và môn Hàm biến phức trong
giá trị f (s) (xj) với các hệ số akjs phụ thuộc xj, j = 1, m :
trường đại học kỹ thuật.
m aj-1
2. Đặt bài toán ak = / / akjs f _ s i _ x j i ; k = 0, n .
j=1 s=0
Ta xét bài toán tìm đa thức bậc nhỏ hơn hoặc
Thế các biểu thức ak vào (3.1) ta thu được
bằng n
m aj-1
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + • • • + an-1x + an , (2.1) n
Hn (x) = / / / akjs f (s) _ x j i x n - k
thoả mãn điều kiện k=0 j=1 s=0
Pn(s) (xj) = f (s)(xj); j = 1,…, m, s = 0,…, αj − 1, (2.2) Từ đó ta có thể viết Hn(x) về dạng
(ở đây ta hiểu f (0)
(xj)= f (xj)). Với xj ! [a, b], m aj-1
Hn (x) = / / l js (x) f (s) _ x j i
6j = 1, m ; x1, x2, . . . , xm là m số thực khác nhau j=1 s=0 (3.3)
52 Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology
- ISSN 2354-0575
n
2, trong khi đó
trong đó l js = / akjs x n - k - là những đa thức bậc n.
k=0 degΩ(z) ≤ α1 + α2 + • • • + αm = n + 1.
Từ sự lý giải đó ta sẽ tìm đa thức (3.1) dưới
Tiếp theo ta sẽ chứng tỏ rằng Q(z) không phụ
dạng (3.3).
thuộc z. Để làm điều đó ta cần chứng minh rằng bậc
Trước tiên thay vì tìm Hn(x) ta tìm phần dư
của Q(z) đối với z là bằng không, tức là degQ(z) = 0.
Rn(f; x) = f(x) – Hn(x), và sau đó sẽ tìm chính đa
Với |z| > |x|, |z| > |xj|, 6j = 1, m , ta có
thức Hn(x).
1 1 1 1 /3
xk / x
3 k
z-x = z $ x = z k = 0 zk = k = 0 zk + 1 ,
3.1. Tìm phần dư Rn(f; x). 1- z
Từ (3.3) thu được và
_si _si
_si
x kj x kj
s+1 = d z - x n = f / k+1 p = / e k+1 o
m aj-1
s!
3 3
Rn _ f; x i = f _ x i - l js _ x i f (s) _ x j i
1
/ / (3.4)
j=1 s=0 _ z - xji j k=0 z k=0 z
Đầu tiên giả thiết rằng f(x) là hàm biến phức Điều này tương đương với
chỉnh hình trong miền đơn liên D chứa điểm nội suy
k+1 `x j j
s! k _si
3
s+1 = /
1
=
x và các mốc x1, . . . , xm ở bên trong. Ta xem x, x1, . _ z - xji k=0 z
. . , xm là thực và x ! xj , . Giả sử chu tuyến đóng Γ 3 k_k - 1ig_k - s + 1i
1 D và bao mọi điểm x, x1, . . . , xm. Theo công thức = / x kj - s
k=0 zk + 1
tích phân Cauchy ta có
f_ z i với 6j = 1, m . Thay các biểu thức này vào (3.8) ta
f _ x i = 2ri # z - x dz
1
(3.5) được
Rn b z - x , x l =
C
1
và theo công thức tích phân Cauchy đối với
đạo hàm cấp cao ta có
k + 1 >x - l js (x) k _ k - 1 i g _ k - s + 1 i x kj - sH
3 m aj-1
f_ z i / / /
=
1 k
s!
f_ s i _ x j i = 2ri # s + 1 dz (3.6) k=0 z j=1 s=0
C _ z - xji Biểu thức trong dấu ngoặc vuông là phần dư
Từ (3.4), (3.5) và (3.6) thu được của quá trình nội suy Hermite đối với hàm xk ( theo
m aj-1 công thức (3.4)). Do đó ta có
f (z) > H dz
/ / s!
1
# 1
Rn a z - x , x k = / k + 1 Rn _ x k , x i
Rn (f; x) l js (x)
_ z - x ji
= - 3
2ri z-x j=1 s=0
s+1 1 1
k=0 z
C
(3.7)
_si Ta nhận thấy, nếu k ≤ n thì Rn(xk; x) = 0 (vì có
s + 1 = d z - x n , nên biểu thức
s! 1
Vì thể lấy đa thức nội suy là xk ); nên trong công thức
_ z - xji j
trên phép lấy tổng cần bắt đầu từ k = n + 1, tức là
Rn a z - x , x k = / k + 1 Rn _ x k , x i
a -1
1 m
/ /
j
s! là phần dư của quá 1 3
1
z - x - j = 1 s = 0 l js (x) _ z - x is + 1 k = n+1 z
j
1
trình nội suy Hermite đối với hàm z - x , của biến x Từ đó, khi z → ∞ thì Rn a z - x , x k " 0 với
1
(theo công thức (3.4)). Do đó
1
Rn a z - x , x k = z - x - / / l js (x)
1 1 m aj-1
s! tốc độ bé nhất là như của k + 1 .
z
_ z - xji
s+1
j=1 s=0
Từ đó và từ (3.10) suy ra degQ(z) = 0, tức là
(3.8) Q(z) không phụ thuộc z.
Số hạng thứ hai bên vế phải của (3.8) là hàm Ta có thể giả sử Q(z) = A. Từ (3.8) ta lại có:
hữu tỷ của z, đó là tổng của các phân thức đơn giản.
_ z - x i Rn a z - x , x k =
1
Đặt
X _ z i = _ z - x1 i 1 _ z - x2 i 2 g _ z - xm i m m aj-1
= 1 - _ z - xi /
a a a
(3.9) / s!
l js (x)
_ z - xji
s+1
Từ (3.8) và (3.9) suy ra mẫu số chung của j=1 s=0
(3.8) là (z − x)Ω(z). Do vậy, Do đó,
Q_ z i lim _ z - x i Rn a z - x , x k = 1
1
(3.11)
Rn a z - x , x k =
1
(3.10)
_ z - xiX_ z i
z"x
(vì ta luôn xem x ! xj, 6j = 1, m ). Mặt khác, từ
Ta nhận thấy trong vế phải của (3.10) bậc (3.10) ta lại có
_ z - x i Rn a z - x , x k =
của tử số bé hơn bậc của mẫu số vì degΩ(z) = n + 1 A
1, deg(z − x) = 1, nên suy ra deg(z − x)Ω(z) = n + X (z )
Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology 53
- ISSN 2354-0575
Suy ra z - xj
(vì x - x # 1), (3.19)
lim _ z - x i Rn a z - x , x k =
1 A
(3.12) j
X (x)
_ z - xji j
z"x a
So sánh (3.11) với (3.12) ta có: A = Ω(x), = / C k_ j i _ z - x j i .
3
(3.20)
k
và do đó X (z) k=0
Rn a z - x , x k =
1 X (x) Để tìm thặng dư của hàm f(z) tại cực điểm
(3.13)
_ z - x i X (z) z = xj ta cần tìm hệ số của _ z - x j i j trong tích
a -1
Từ (3.7), (3.8) và (3.13) suy ra các chuỗi (3.18), (3.19), (3.20). Hệ số đó bằng
a j - 1 f _ k i (x )
X (x) f (z )
Rn _ f, x i = 2ri #
j
dz . (3.14) / Aa j - 1 - k ,
C _ z - x i X (z) k=0 k !
Công thức (3.14) là biểu diễn tích phân đối trong đó, Aa j - 1 - k là hệ số của _ z - x j ia j - 1 trong tích
với phần dư của quá trình nội suy Hermite. (3.18) với (3.19) và
aj-1-k
Aa j - 1 - k = - / C r_ j i
1
_ x - xji j
a -1-k .
3.2. Tìm đa thức Hn(x). r=0
Sau khi tìm được phần dư Rn(f; x) ta tìm đa
Như vậy, thặng dư của F(z) tại điểm xj bằng
thức Hn(x). Từ công thức (3.14) ta rút ra được công
aj-1
f _ k i (x j ) a j - 1 - k _ j i
thức biểu diễn đa thức nội suy Hermite [Res F(z); xj]=− / k!
/ C r _ x - x j i- a j + k + r
Hn(x) = f (x) – Rn(f; x) k=0 r=0
X (x) f (x) (3.21)
= f(x) – 2ri # dz . (3.15)
C _ z - x i X (z) Từ (3.15) và từ định lý cơ bản của Cauchy
Để tìm đa thức Hn(x) tường minh ta cần tính về thặng dư ta có,
Hn(x)=f(x)– 2ri 2ri d7Re sF (z); xA + / 7Re sF (z); x jAn
tích phân ở vế phải của (3.15). Tích phân đó được X (x ) m
tính bằng cách áp dụng định lý thặng dư. Ta lưu ý j=1
rằng thặng dư của hàm F(z) tại điểm bất thường a Theo định nghĩa thặng dư và từ công thức
(cực điểm hoặc điểm bất thường cốt yếu) là bằng (3.21) ta có:
hệ số a-1 trong khai triển Laurent của hàm đó tại lân Hn(x) = f(x) –
cận điểm a. Ta thấy hàm dưới dấu tích phân
f_ x i
_ki
X (x ) f .p
m aj-1 f (x j ) a j - 1 - k
f ( z) Cr j _ x - x ji
_ i
/ / / -a j +k+r
F(z) = (3.16) X_ x i
-
_ z - x i X (z) j=1 k=0
k! r=0
có các cực điểm tại z = x, z = xj, 6j = 1, m . Tại cực Vậy,
X _ x i a j - 1 f k (x j ) a j - 1 - k _ j i
f (z) _ i
_ z - xi . / C r _ x - x j ik + r
-1 m
điểm z = x, ta có F(z) = Hn(x) = / /
j = 1 _ x - xji k = 0
X (z) aj
k! r=0
Do đó, (3.22)
f (x)
Res[F(z); x] = (3.17) Từ (3.22) cũng rút ra kết luận rằng nó vẫn
X (x)
luôn đúng khi f(x) chỉ thoả mãn điều kiện (2.1).
Tiếp theo ta tính Res[F(z); xj], 6j = 1, m . Để
làm điều này ta viết F(z) dưới dạng 3.3. Ví dụ áp dụng
1 _ z - xji
a
Để minh họa phương pháp trên, sau đây ta sẽ
j
1
F(z) = a $ f (z ) $ z - x ,
_ z - xji j X (z ) xét một ví dụ cụ thể.
và khai triển nó thành chuỗi Laurent tại lân cận Xây dựng đa thức P(x) với các mốc nội suy
điểm z = xj, sau đó tìm hệ số của _ z - x j i j trong là: 0, 1, 3; các giá trị P(x) tương ứng với các mốc
a -1
nội suy đó là: 1, 2, 3; các giá trị P’(x) tương ứng là:
_ z - xji j
a
1
tích f (z) $ z - x $ . 1, 1, -1 và P’’(0) = −2.
X ( z)
Từ phương pháp đã được trình bày ở trên,
Ta có ta xét đa thức Ω(x) = x3(x − 1)2(x − 3)2. Ta tìm 3 số
f _ k i (x j ) hạng đầu của khai triển (3.20) đối với mốc bội ba
k ! _ z - xji ,
3
f ( z) = /
k
k=0
(3.18) là x1 = 0:
Và x3 1 1 1 1
= = $
X (x) _ x - 1 i2 _ x - 3 i2 9 _1 - x i2 a
$
1- 3k
1 1 1 1 x 2
k + 1 _ z - xji
3
/ k
x - xj $ _ x - xji
=- =-
z-x z - xj
1-
k=0
x - xj (3.23)
54 Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology
- ISSN 2354-0575
1 ' = 2 72 - 3 $ 2 (x - 1) + gA = 1 - 3 (x - 1) + g
2 = b 1 - x l , nên
1 3
1 1
Vì 1 - x = / x k và
k=0 (1 - x)
Tương tự
2 =b
/ x k l = / kx k - 1 = 1 + 2x + 3x2 + g
3 ' 3
1
2 =- b - 2 + x - 1 l
'
( 1 - x) k=0 k=0 1 1 1
2 =
(3.24) ( x - 3) _- 2 + x - 1 i
Tương tự
= 4 d / k - 1 ( x - 1) k - 1 n = 4 + 4 ( x - 1) + g
k
3
1 1 1
k a 3 k = 1 + 3 x + 3 x2 + g
1 1 / 3
x k-1 2 1 k=1 2
2 = 3$ 3
a1 - kx k=1
Từ những điều trên suy ra
3
(3.25) _ x - 1i
2
1 1
Thay (3.24), (3.25) vào (3.23) và lấy đến số = 4 - 2 ( x - 1) + g
X (x)
hạng thứ ba ta được:
Hoàn toàn tương tự ta có hai số hạng đầu
= b1 + 3 x + 3 x2 + g l
x3 1 8 14
X (x) 9 trong khai triển (3.20) đối với x3 = 3:
_ x - 3i
2
Tương tự tìm hai số hạng đầu trong các khai 1 1
triển (3.20) đối với mốc nội suy x2 = 1: = 108 - 54 (x - 3) + g
X (x)
_ x - 1i
2
1 Áp dụng (3.22) và thay các giá trị của P(x),
= 3
X (x) x _ x - 3i P’(x), P’’(x) từ đề bài ta thu được
2
1 1 _ x - 1i _ x - 3i
2 2
Xét 3 =
x _1 + x - 1 i
3 , ta có P (x) = 9
b1 + 11 19 2 l
3 x+ 3 x +
x3 _ x - 3 i x3 _ x - 1 i
2 2
nên suy ra
+ _5 - 3x i + (24 - 7x)
3 = 2 b x + 1 l = 2 / `_ - 1 i x j
k k ''
3 4 108
1 1 1 '' 1
(x + 1) k=0
Từ đó suy ra
= 2 d / _- 1 i k (k - 1) x k - 2 n
3
1 k
19 47 111 238
k=2 P(x) = 27 x6 - 9 x5 + 9 x 4 - 27 x3 - x2 + x + 1
Do đó
Đây là đa thức cần tìm.
3 = 2 d / _ - 1 i k ( k - 1) (x - 1) n
3
1 1 k k-2
x k=2
Tài liệu tham khảo
[1]. Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,1996.
[2]. Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, 1995.
[3]. Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục, 2007.
[4]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2005.
[5]. Nguyễn Thủy Thanh, Hướng dẫn giải bài tập hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,
2003.
[6]. Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006.
[7]. A.O. Gel~fond, Isqislenie koneqnyh raznoste$i , Moskva, Nauka, 1967.
HERMITE INTERPOLATION BY TOOLS OF COMPLEX ANALYSIS
Abstract:
The article presents the method for constructing the Hertmite interpolation formula, which uses the
tool of complex calculus instead of the tool of linear algebra. At the end of this article is an example of the
advantages of this method.
Keywords: Hermite, interpolation, polynomial interpolation.
Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology 55
nguon tai.lieu . vn
