- Trang Chủ
- Toán học
- Nghiên cứu tính chất đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon
Xem mẫu
- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI
LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
CẶP THÊM MỘT PHOTON
PHÙNG THỊ MẬN - LÊ ANH HOÀNG
NGÔ LÊ PHƯỚC - HOÀNG THỊ THANH VÂN
Khoa Vật lý
Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát tính chất đan rối của
trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon. Chúng tôi nhận thấy
rằng, trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng
thái rối hai mode theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy. Vì vậy, chúng
tôi sẽ sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để thực hiện viễn tải
lượng tử một trạng thái kết hợp. Kết quả cho thấy quá trình viễn tải
thành công.
Từ khóa: Đan rối, viễn tải, trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một
photon, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, độ trung thực.
1 GIỚI THIỆU
Rối lượng tử và ứng dụng của nó là viễn tải lượng tử có vai trò quan trọng trong thông
tin lượng tử và máy tính lượng tử, đó là chìa khóa cho sự phát triển nhanh chóng của tiến
trình xử lý thông tin lượng tử. Đây là lĩnh vực thu hút nhiều sự chú ý của các nhà khoa
học trên toàn thế giới. Một ứng dụng quan trọng của hướng nghiên cứu này là hiện tượng
"viễn tải lượng tử", hiện tượng dịch chuyển thông tin cũng như vật chất theo phương thức
mà không phải di chuyển qua không gian. Vào năm 1993, lần đầu tiên một mô hình chung
về viễn tải được đưa ra bởi Benett và các cộng sự [1]. Năm 1997, Braustein và Kimble đưa
ra mô hình viễn tải biến liên tục với nguồn rối hoàn toàn [2]. Sau đó, nhiều mô hình viễn
tải sử dụng các hình thức khác nhau như sử dụng trạng thái Fock [3], các trạng thái biên
độ trực giao [4]. Trong đó, mô hình viễn tải được sử dụng hình thức biểu diễn dưới dạng
trạng thái kết hợp được sử dụng nhiều [5]. Trước đây, các trạng thái Gauss thường được
sử dụng trong mô hình viễn tải nguồn rối, cụ thể là trạng thái nén chân không hai mode
được sử dụng phổ biến [6]. Hiện nay, các nhà khoa học đang tiếp tục tập trung nghiên cứu
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2016-2017
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, tháng 12/2016: tr. 413-419
- 414 PHÙNG THỊ MẬN và cs
mô hình viễn tải biến liên tục [7], sử dụng trạng thái phi Gauss làm nguồn rối và mở rộng
với các trạng thái rối đa mode, với mục đích xây dựng một mô hình viễn tải phù hợp để
viễn tải hoàn hảo một trạng thái lượng tử. Một quá trình viễn tải được cho là thành công
nếu độ trung thực trung bình nằm trong khoảng 0.5 ≤ Fav ≤ 1. Gần đây, Agarwal đã viễn
tải thành công trạng thái kết hợp với nguồn rối là trạng thái kết hợp cặp [8].
Trạng thái kết hợp cặp là trạng thái riêng trực chuẩn cặp toán tử hủy boson a ˆˆb và toán
ˆ† a − ˆb† b với hàm tương ứng ξ và q như sau
tử điện tích Q = a
Q|ξ, ˆˆb|ξ, qi = ξ|ξ, qi,
ˆ qi = q|ξ, qi, a (1)
trong đó, ξ là một số phức ξ = rexp(iϕ) và q là một số nguyên không âm, ξ|ξ, qi là một
trạng thái kết hợp cặp. Giả sử các photon trong mode a lớn hơn trong mode b, điều đó
tương ứng q ≥ 0. Khi khai triển theo trạng thái Fock thì trạng thái kết hợp cặp được biểu
diễn dưới dạng
∞
X ξn
|ξ, qi = Nq p |n + q, ni, (2)
n=0 n!(n + q)!
trong đó, |n + q, ni là các trạng thái Fock hai mode và thừa số chuẩn hóa Nq là
− 21
|ξ|2n
Nq = . (3)
n!(n + q)!
Trạng thái kết hợp thêm photon là một trạng thái phi cổ điển, được tạo ra bởi sự tương
tác của nguyên tử hai mức với một trường đơn mode và được định nghĩa như sau [9]
ˆ†m |αi
a
|α, m >= p . (4)
am a
hα|ˆ ˆ†m |αi
Mở rộng cho trường hợp hai mode ta thu được trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một
photon có dạng
a† + ˆb† )|ξ, qiab ,
|ψiab = N (ˆ (5)
ˆ† , ˆb† lần lượt là toán tử sinh đối với mode a và mode b, N là hệ số chuẩn hóa
với a
" ∞
#− 1
2n (2n + q + 2) 2
X |ξ|
N = Nq2 . (6)
n!(n + q)!
n=0
Chúng tôi nhận thấy trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái
rối hai mode. Vì vậy, chúng tôi sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để viễn tải lượng
tử. Trước khi thực hiện viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp, chúng tôi sẽ chứng minh
trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối theo tiêu chuẩn
đan rối Hillery-Zubairy [10].
- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ ... 415
2 TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP CẶP THÊM
MỘT PHOTON
Hillery-Zubairy đã đưa ra các điều kiện dò tìm đan rối bởi một loạt các bất đẳng thức từ
việc khảo sát các hệ thức bất định. Các đại lượng được khảo sát là các toán tử sinh và hủy
bình phương, các đại lượng được dùng để định nghĩa nén tổng, nén hiệu và các trạng thái
nén bậc cao. Nhờ các điều kiện mà Hillery-Zubairy đưa ra, lần đầu tiên có thể sử dụng để
dò tìm đan rối trong phòng thí nghiệm. Bất đẳng thức điều kiện đan rối tổng quát của
Hillery-Zubairy
|hˆ a† )m a
amˆbn i|2 > h(ˆ a† )nˆbn i.
ˆm ih(ˆ (7)
Xét m=n=1 điều kiện đan rối trở thành
|hˆ a† a
aˆbi|2 > hˆ a†ˆbi.
ˆihˆ (8)
Sử dụng điều kiện đan rối (8) thì một trạng thái hai mode kết hợp cặp bị đan rối nếu thỏa
mãn điều kiện
a† a
R = hˆ ˆihˆb†ˆbi − |hˆ
aˆbi|2 < 0. (9)
Kết quả tính thu được của các biểu thức trung bình là
∞
† 2
X |ξ|2n [(n + q + 1)2 + (n + q)(n + 1)]
hˆ
aaˆi = N Nq2 , (10)
n!(n + q)!
n=0
∞
X |ξ|2n [n(n + q + 1) + (n + 1)2 ]
hˆb†ˆbi = N 2 Nq2 , (11)
n!(n + q)!
n=0
∞
X |ξ|2n+1 (2n + q + 4)
aˆbi = N 2 Nq2
hˆ . (12)
n!(n + q)!
n=0
Thay (10),(11),(12) vào biểu thức điều kiện đan rối R, ta được
a† a
R = hˆ ˆihˆb†ˆbi − |hˆ
aˆbi|2
∞ ∞
|ξ|2n [(n + q + 1)2 + (n + q)(n + 1)] X |ξ|2n [n(n + q + 1) + (n + 1)2 ]
X
4 4
= N Nq ×
n!(n + q)! n!(n + q)!
n=0 n=0
∞
! 2
X |ξ|2n+1 (2n + q + 4)
− . (13)
n!(n + q)!
n=0
- 416 PHÙNG THỊ MẬN và cs
Tiếp theo, ta đi khảo sát đồ thị R theo |ξ|. Ta có đồ thị khảo sát tính chất đan rối được
thể hiện trên hình vẽ 1.
0
-1
RHÈΞÈL
-2
-3
-4
-5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ÈΞÈ, q=0
Hình 1: Đồ thị khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm
một photon
Trên hình 1, chúng tôi khảo sát điều kiện đan rối của trạng thái hai mode kết hợp cặp
thêm một photon khi q = 0 và theo biên độ |ξ| trong khoảng 0 ≤ |ξ| ≤ 0.5. Đồ thị cho
thấy rằng R(|ξ|) < 0 nếu biên độ |ξ| nằm trong khoảng 0.28 ≤ |ξ| ≤ 0.5 và biên độ |ξ|
càng tăng thì R(|ξ|) càng âm, nghĩa là tính đan rối càng mạnh. Như vậy, trạng thái hai
mode kết hợp hai mode cặp thêm một photon là một trạng thái rối theo tiêu chuẩn đan
rối Hillery-Zubairy. Do đó, trạng thái này có thể được chọn làm nguồn rối trong quá trình
viễn tải lượng tử.
3 QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
CẶP THÊM MỘT PHOTON
Chúng tôi sử dụng mô hình viễn tải lượng tử biến thiên liên tục để thực hiện viễn tải một
trạng thái kết hợp với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon.
Theo mô hình viễn tải, bên Alice gửi thông tin và bên nhận thông tin Bob cùng chia sẻ
trạng thái rối lượng tử hai mode a và b là |ψiab , mode a được gửi đến Alice và mode b
được gửi đến Bob. Trạng thái được viễn tải là trạng thái hai mode kết hợp cặp |αi tương
ứng với mode 1 được đưa vào Alice. Để thực hiện viễn tải, Alice thực hiện việc tổ hợp hai
trạng thái |αi1 và |ψiab trở thành trạng thái ba mode có dạng
a† + ˆb† )|ξ, qiab |αi1 .
|ψiab1 = N (ˆ (14)
- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ ... 417
Tiếp theo Alice thực hiện phép đo thông tin về mức độ đan rối giữa mode 1 và a trong
phép đo lường Bell. Sau phép đo, bên Alice có trạng thái như sau
|ψiA =1a hB(X, P )|ψiab1
N Nq β ∗ α − βα∗ −|α − β|2
= √ exp( )exp( )
π 2 2
∞ ∞ √ !
X ξ n (α − β)n+q+1 X ξ n (α − β)n+q n + 1
× √ |nib + √ |n + 1ib . (15)
n=0 (n + q)! n! n=0 (n + q)! n!
Do Bob và Alice rối với nhau nên Bob cũng có trạng thái tương tự |ψiB ≡ ψiA . Kết quả
đo chứa thông tin về mức độ đan rối giữa hai mode 1 và a được tích hợp vào biến phức
A(X,P), trong đó X là tổng tọa độ và P là hiệu xung lượng của các photon tương ứng với
hai mode 1 và a. Kết quả này sẽ được Alice gửi cho Bob bằng kênh thông tin cổ điển hai
ˆ b (β) tác dụng
bit. Sau khi nhận được kết quả đo từ Alice, Bob dùng toán tử dịch chuyển D
lên trạng thái |ψiB để xây dựng lại trạng thái |αi.
Lúc này trạng thái ra tại Bob có dạng
ˆ b (2A)|ψiB
|ψiout =D
∞
N X (α − β)k β ∗ α − βα∗ |α − β|2 ˆ
= √ exp( )exp(− )Db (β)a hk|(a† + b† )|ξ, qiab , (16)
π k! 2 2
k=0
ˆ b (β) = exp(βˆ
trong đó, D a† − β ∗ a
ˆ) là toán tử dịch chuyển, β là một số phức.
Đây là một trạng thái chưa được chuẩn hóa vì còn phụ thuộc vào kết quả đo β, trạng thái
sau khi được chuẩn hóa sẽ là
1
|ψiout−f = |ψiout . (17)
out hψ|ψiout
Đến lúc này, quá trình viễn tải lượng tử đã được hoàn thành, trạng thái kết hợp |αi đã
được viễn tải. Nếu quá trình viễn tải hoàn hảo, ta thu được trạng thái ra ψiout−f ≡ |αi.
Để xác định mức độ thành công của quá trình viễn tải, chúng ta sẽ đi khảo sát độ trung
thực trung bình của quá trình này.
Độ trung thực trung bình trong quá trình viễn tải được xác định bởi công thức
Z
Fav = |hα|ψout i|2 d2 β (18)
- 418 PHÙNG THỊ MẬN và cs
với
∞
N 2 Nq2 2ξ n ξ ∗m (α − β)n+m+q+1 (α∗ − β ∗ )n+m+q+1
X
2
hα|ψout i = exp(−2|α − β| )
π n!m!(n + q)!(m + q)!
n,m=0
∞
X ξ n ξ ∗m (α − β)n+m+q (α∗ − β ∗ )n+m+q+2
+
n!m!(n + q)!(m + q)
n,m=0
∞
ξ n ξ ∗m (α − β)n+m+q+2 (α∗ − β ∗ )n+m+q
X
+ . (19)
n!m!(n + q)!(m + q)
n,m=0
Sau khi tính toán ta được giá trị của độ trung thực trung bình Fav
∞
ξ n ξ ∗m (n + m + q + 1)!
Z X
Fav = |hα|ψout i|2 d2 β = N 2 Nq2 n+m+q
. (20)
m,n
n!m!(n + q)!(m + q)!2
Kết quả khảo sát của Fav được thể hiện qua hình 2.
0.8
0.6
FavHÈΞÈL
0.4
0.2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
ÈΞÈ
Hình 2: Độ trung thực trung bình Fav
Qua đồ thị trên hình 2 cho thấy rằng: Trong quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là
trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon, độ trung thực trung bình Fav > 0.5.
Điều đó có nghĩa quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái hai mode kết hợp cặp luôn
được thực hiện. Độ trung thực trung bình không phụ thuộc vào trạng thái được viễn tải
|αi.
4 KẾT LUẬN
Trong bài báo này, dựa trên tiêu chuẩn đan rối của Hillery-Zubairy chúng tôi đã chứng
minh được trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon là một trạng thái rối hai
- NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ ... 419
mode. Sau đó, chúng tôi sử dụng trạng thái này như một nguồn rối để thực hiện viễn tải
một trạng thái kết hợp. Quá trình viễn tải thành công với độ trung thực trung bình đạt
0.7357 nằm trong khoảng điều kiện viễn tải một trạng thái lượng tử là 0.5 ≤ Fav ≤ 1.0.
Tuy viễn tải thành công trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm một photon nhưng độ trung
thực trung bình còn thấp. Ngày nay, lý thuyết viễn tải lượng tử trong thông tin lượng tử
tiếp tục được hoàn thiện, quá trình viễn tải có điều khiển được sử dụng. Do đó, quá trình
viễn tải sẽ được điều khiển sao cho độ trung thực đạt được giá trị cao nhất.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C.H. Bennet, G. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres and W.K. Wootters (1993), Phys. Rev.
Lett. 70, 1895.
[2] S.L. Braunstein and H.J Kimble (1998), Phys. Rev. Lett. 80, 869.
[3] Enk van S.J. (1999), Phys. Rev. A 60, 5095.
[4] G.J Milburn and S.L. Braunstein (1999), Phys. Rev. A 60, 937.
[5] J. Janszky, M. Koniorczyk, A. Gabris( 2001), Phys. Rev. A 64, 034302.
[6] P.T. Cochran, T. C . Raph and G. J. Milburn (2001), Conditional two mode squeezed
vacuum teleportation.
[7] Holger F. Hofmann, Toshiki Ide, Takayoshi Kobayashi (2000), Phys. Rev. A 62.
062304.
[8] A Gabris, G. S. Agarwal (2006), Quantum teleportation with pair-coherent states,
quant-ph/0607162 vl.
[9] S. Sivakumar (1999), Photon-added coherent states, J. Phys. A. Math. Gen. 32 3441-
7.
[10] M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Phys. Rev. A 74, 032333.
PHÙNG THỊ MẬN
LÊ ANH HOÀNG
NGÔ LÊ PHƯỚC
HOÀNG THỊ THANH VÂN
SV lớp VLTT 4,khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
ĐT: 0166 935 9577, Email: phungthiman.291995@gmail.com
nguon tai.lieu . vn
