- Trang Chủ
- Toán học
- Nghiên cứu phương pháp phép chiếu trực giao với phép toán tích trong với trọng trên không gian hữu hạn chiều
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHÉP CHIẾU TRỰC GIAO
VỚI PHÉP TOÁN TÍCH TRONG VỚI TRỌNG TRÊN
KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
Nguyễn Đức Hậu
Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG D 0
U T YV ,
Phương pháp POD (Proper orthogonal 0 0
decomposition) là một phương pháp xấp xỉ với D diag 1 ,..., d ¡ d d
.
tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩn. Phương
pháp POD được áp dụng trong nhiều lĩnh vực Khi đó với mọi l 1,..., d nghiệm của:
2
như: xử lý ảnh, nghiên cứu cấu trúc của dòng l n
chảy rối [1],… Phương pháp POD là một Pl : max m
u1 ,...,ul ¡
y j , ui
¡ m
,
i 1 j 1
phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác
định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một sao cho u i , u j m
ij ; 1 i, j l được xác
¡
cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hợp l
định bởi ui i 1 là l cột đầu tiên của U .
rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết quả
thực nghiệm hay là các kết quả số tại các thời Hơn nữa:
l l
điểm khác nhau). Hệ cơ sở này sẽ xác định
arg max P l i 2 i .
một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một i 1 i 1
mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin. Định nghĩa 2.2. Với l 1,..., d các véc tơ
Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở l
POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn ui i 1 được gọi là hệ cơ sở POD với hạng l.
đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai. Hệ quả 2.3. (Tối ưu hóa hệ cơ sở POD)
Trong bài báo này tác giả nghiên cứu Với các giả thiết trong định lý trên xảy ra.
phương pháp POD với phép toán tích trong µd ¡ md là ma trận ứng với
Giả sử rằng U
với trọng trên không gian hữu hạn chiều.
các véc tơ vuông góc đôi một với các véc tơ
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU u$i và:
Y U µd C d ,
Phương pháp POD trong không gian hữu ở đó:
hạn chiều đã được nghiên cứu trong [2]. Các
Cijd u$i , y j m ; 1 i d ;1 j n .
kết quả chính được trình bày trong định lý ¡
2.1 và các hệ quả 2.3; 2.4. Khi đó với l 1,..., d ta có:
Định lý 2.1. Cho Y y1 ,..., yn là ma trận
Y U l Bl µl C l
Y U ,
cỡ m n có hạng là d min m, n với phép F
F
phân tích SVD Y U V T ở đó: trong đó . F là chuẩn Frobenius được định
U u1 ,..., um ¡ mm , nghĩa như sau:
m n
V v1 ,..., vn ¡ nn 2
A F
A ij trace AT A ,
mn
là các ma trận trực giao và ¡ có dạng: i 1 j 1
89
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
và U l là ma trận l cột đầu của U ; B l là ma trận Thay P1 bởi:
µl và C l .
l cột đầu của B , tương tự đối với U n 2
Chú ý: Hệ cơ sở POD hạng l là tối ưu
n
P :max
1
W
u¡ m
y j ,u W
; u W
1.
j 1
theo nghĩa lấy trung bình của các cột y j m
j 1
Toán tử Lagrange L : ¡ ¡ ¡ đối với
của Y như là một tổ hợp tuyến tính của một
hệ cơ sở trực chuẩn với hạng l :
P1W được xác định bởi:
2
l n
y j , ui
¡ m
2
l
i
2 L u, y j , u
W
1 u W
2
.
i 1 j 1 i 1
l l n 2
Giả sử u ¡ m
là nghiệm của P1W thì nó
i y j , u$i m
, là nghiệm của:
¡
i 1 i 1 j 1
L u , 0 .
n
với u$i
i 1
là một hệ véc tơ trực chuẩn bất kỳ. Vì W đối xứng nên ta nhận được
2
Hệ quả 2.4. Với các giả thiết của định lý L n m m
trên chúng ta nhận được u, Y jT W k uk
ui ui j 1 k 1 1
n
m m
y j , ui y j , uk Bijl Bkjl i2 ik ,
¡ m
¡ m 1 u W k uk
j 1
k 1 1
ở đó 1 i, k l . 2 WYY T Wu Wu .
Nếu n m chúng ta có thể xác định hệ cơ
hay là
sở hạng l như sau: Tính các véc tơ
v1 ,..., vn ¡ n bằng việc giải bài toán n n giá u L u , 2 WYY T Wu Wu 0 .
trị riêng: Do vậy chúng ta phải giải bài toán giá trị
Y T Yvi i vi với i 1,..., l . riêng
T
Trong trường hợp này phương pháp POD WY WY u Wu . (1)
thường được gọi là phương pháp snapshots. mn
Mặt khác, với m n chúng ta sẽ giải bài toán Định lý 3.1. Cho Y ¡ là ma trận có
hạng là d min m, n , W là ma trận đối
m m giá trị riêng.
xứng, xác định dương, và Y W 1/2Y
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU l 1,..., d . Cho phép phân tích SVD của Y :
T
Chúng ta sẽ mở rộng định lý 2.1 bằng cách Y U V mm
ở đó U u1 ,..., um ¡ ;
đưa vào trong không gian Euclid ¡ m phép
toán tích trong với trọng như sau: V v1 ,..., vn ¡ nn
u , u% uTW u% u,W u% Wu , u% , m m là các ma trận trực giao và có dạng
W ¡ ¡
ở đó u , u%
¡ m , W ¡ mm là ma trận đối T D 0
U YV ¡ mn .
xứng, xác định dương. 0 0
Chuẩn trong trường hợp này được xác Khi đó nghiệm của
định bởi: l n 2
u W
u, u W
; u¡ m
. P :
W
l
max m
u1 ,...,ul ¡
y j , ui
W
,
i 1 j 1
Khi W I thì tích trong xác định ở trên
trùng với tích Euclid thông thường. sao cho u i , u j ij ; 1 i, j l
W
90
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
được xác định bởi ui W 1/2 ui ; i 1,..., l . Đặt
1
Hơn nữa:
l l
ui W 1/ 2 ui
i
W 1/ 2 Y vi
arg max P W i i .
l 2
i 1 i 1 1 1
Các bước chứng minh chính của định lý W 1/ 2W 1/ 2Y vi Y vi .
i i
3.1 như sau:
Bởi vì W là ma trận đối xứng, xác định Chú ý rằng
dương nên nó có các giá trị riêng ij j
ui , u j uiTWu j với 1 i, j l .
1 , 2 ... m 0 và W
i j
W QDQT , Khi mà m ? n dùng phương pháp
ở đó D diag 1 , 2 ,..., m và Q là một ma snapshots tính toán trên máy tính sẽ nhanh
hơn rất nhiều so với phương pháp POD
trận trực giao.
thông thường.
Đặt W Qdiag 1 ,...,1 QT , ¡ .
Nhận xét: 4. KẾT LUẬN
1
W
W Trong bài báo này tác giả nghiên cứu
phương pháp phân tích trực giao với phép
và W W W , , ¡ . toán tích trong với trọng trên không gian hữu
Ta có: hạn chiều. Ở đây tác giả đã mở rộng bằng
u , u% W 1/2 u ,W 1/2 u%m , u, u%
¡ m cách xét phép toán tích trong với trọng là một
W ¡
ma trận đối xứng xác định dương, bài toán tối
1/ 2 m
và || u ||W || W u ||¡ m , u ¡ . ưu được viết lại đối với phép toán mới. Giải
Đặt u W 1/ 2 u ¡ m và Y W 1/2Y ¡ mxn . bài toán giá trị riêng cho phép xác định được
hệ cơ sở POD đối với bài toán mới.
Nhân hai vế của (1) với W 1/ 2 đưa đến bài
toán giá trị riêng: 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
T
Y Y u u . (2) [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz.
Ta có u1 W 1/ 2
u1 là nghiệm của P 1
W , Turbulence, Coherent Structures,
Dynamical Systems and Symmetry.
T
ở đó u1 là véc tơ riêng của YY ứng với giá Cambridge Monographs on Mechanics,
Cambridge University Press, 1996.
trị riêng lớn nhất 1 với ||| u1 ||¡ m 1 . Từ
[2] Nguyễn Đức Hậu. Nghiên cứu phương pháp
phương pháp SVD ta có u1 được xác định từ POD trên tập hợp các kết quả của mô hình
T số tính toán dòng chảy. Tuyển tập hội nghị
bài toán giá trị riêng Y Y v1 1 v1 , ở đó thường niên trường Đại học Thủy lợi 2019,
T
Y Y Y T WY . tr. 165-167.
Tương tự chúng ta có thể tìm véc tơ thứ
hai u ¡ m với u , u1 W 0 để cực đại
n
j 1
| yj ,u |2 .
W
l
Hệ quả 3.2. Hệ cơ sở POD ui i 1 với
hạng l có thể được xác định bằng phương
pháp snapshots như sau:
Giải bài toán giá trị riêng
Y TWY vi i vi với i 1,..., l .
91
nguon tai.lieu . vn
