Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
NGHIÊN CỨU NGHIỆM XẤP XỈ
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES
Nguyễn Thị Lý
Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG Trong đó X H 01 () 2 , M L20 () .
Phương pháp POD là một phương pháp a(u, v ) u.vdxdy ,
tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ
sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một
1 2 v j w v
không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô a1 u, v, w ui w j ui xj j v j dxdy
2 i , j 1 xi
hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin ([1]). i
Phép chiếu Galerkin trên hệ các véc tơ cơ sở với u, v, w X , và
POD đưa vào trong hệ Navier-Stokes sẽ dẫn b(q, v ) qdiv vdxdy .
đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để tìm nghiệm phương pháp số cho Bài
toán II, ta sẽ rời rạc hóa Bài toán II. Chúng ta
Cho 2 là miền liên thông, bị chặn. sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho
Xét hệ phương trình không dừng Navier - biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữu
Stokes. hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L
Bài toán I. là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian
Tìm u (u1 , u2 ) , p sao cho với T 0 bởi k T / L ( T là toàn bộ thời gian):
u t u (u )u p f trong (0, T ) t ( n ) nk ; 0 n L ;
divu 0 trong (0, T ) (u nh , phn ) X h M h có xấp xỉ tương ứng
u( x, y, t ) φ( x, y, t ) trên (0, T ) theo phương pháp phần tử hữu hạn là
u( x, y, 0) φ( x, y, 0) trong (u (t ( n ) ), p (t ( n ) ) (u n , p n ) . Do đó dùng sơ đồ
Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là nửa ẩn Euler cho thời gian và phương pháp
áp suất, là hằng số (nghịch đảo của số phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thành
Reynolds), f ( f1 , f 2 ) là trọng lượng, bài toán sau đây:
φ( x, y, t ) là hàm véc tơ. Bài toán III
Ta viết lại Bài toán I dưới dạng bài toán Tìm (u nh , phn ) X h M h sao cho
khác như sau:
Bài toán II. (u nh , v h ) ka (u nh , v h )
Tìm (u, p) H 1 (0, T ; X ) L2 (0, T ; M ) sao n 1
ka1 (u h , u h , v h ) kb( ph , v h )
n n
cho với mọi t (0, T ) , n 1
k ( f , v h ) (u h , v h ) v h X h
n
(ut , v ) a (u, v ) a1 (u, u, v ) b( p, v ) (f , v )
b(qh , u h ) 0 qh M h
n
v X
u 0 0 trong
b(q, u) 0 q M h
u ( x, 0) 0 trong ở đó 1 n L .
75
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Xét ma trận K ( K ij ) R tương ứng
Gọi với snapshots U i i 1 xác định bởi
X h X h M h.
Cho: 1
Ui ( x, y ) (u1nhi , u2nih , phni )T (i 1,2,..., ), Kij (Ui , U j ) Xˆ .
đặt: V span U1 , U 2 ,..., U Ma trận K là nửa xác định dương và có
là không gian sinh bởi các snapshots U i i1 ,
hạng là l .
trong đó giả sử ít nhất có một véc tơ khác Mệnh đề 2: Cho 1 2 ... l 0 là
các giá trị riêng không âm của K và
l
không. Gọi ψ j là một cơ sở trực giao
i1 v1 , v 2 ,..., v l là các véc tơ riêng trực giao
của V , với l dimV . Khi đó mỗi véc tơ
tương ứng. Khi đó cơ sở POD bậc d l
trong không gian được biểu diễn dưới dạng
l được xác định bởi
U i ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j với i 1,2,..., . 1
j1 ψi
i
( vi ) j U j
j 1
ở đó:
( U i , ψ j ) Xˆ ψ j Trong đó ( vi ) j là tọa độ thứ j của véc tơ
((uhni , ψ u j )0 ψ u j ,( phni , p j )0 p j ) riêng v i . Hơn nữa, công thức sai số được xác
định
(.,.)0 là L2 - tích bên trong, và ψ u j và p j 2
1 d l
là các cơ sở trực giao tương ứng của u và p .
i 1
U i (U i , ψ j ) Xˆ ψ j j
Ta có: j 1 Xˆ j d 1
V span U1 , U 2 ,..., U Cho V d span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ d và
span ψ1 , ψ 2 ,..., ψ l X d M d V d với X d Xh X và
nj
b( p , u ) 0 (1 i , j )
ni
h h M d Mh M .
tức là b( p j , ψ u j ) 0(1 i, j l ). Xét phép chiếu Ritz P h : X X h sao cho:
Định nghĩa 1. Phương pháp POD xây Ph Pd : X h X d
dựng một cơ sở trực chuẩn sao cho với mọi Xh
d (1 d l ) thì trung bình bình phương sai và:
số giữa các thành phần U i và d - tổng riêng Ph : X \ X h X h \ X d
tương ứng là nhỏ nhất
2 và L2 - phép chiếu là d : M M d được
d
1
min Ui
ψ j j 1 i 1
d
(Ui , ψ j ) Xˆ ψ j định nghĩa tương ứng là
j 1 Xˆ a( P hu, v h ) a(u, v h ) v h X h
sao cho:
và:
(ψ i , ψ j ) Xˆ ij
với 1 i d ,1 j i ( d p, qd )0 ( p, qd )0 q M d .
ở đó: d
1 ở đó u X và p M . Toán tử tuyến tính
u1nhi phni .
2 2 2 2
Ui u2nih P h và d là xác định và bị chặn:
Xˆ 0 0
0
( P d u) u 0 , d p) p)
d
Một nghiệm ψ j được gọi là một cơ sở 0 0 0
j1
POD bậc d. u X và p M .
76
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Bổ đề 3 4. KẾT LUẬN
Với mọi d (1 d l ) toán tử chiếu P d và Trong bài báo này, tác giả sẽ xây dựng một
thỏa mãn
d
cơ sở trực chuẩn bằng phương pháp POD.
1 l Sau đó sử dụng phép chiếu để xây dựng một
(u nhi P d u nhi
2
j mô hình rút gọn và xấp xỉ nghiệm của hệ
i 1 0
j d 1
phương trình Navier – Stokes.
1 ni l
u h P d u nhi
2
Ch 2 j 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
i 1 0
j d 1
và: [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz.
1 l Turbulence, Coherent Structures,
( phni d phni
2
j Dynamical Systems and Symmetry.
i 1 0
j d 1 Cambridge Monographs on Mechanics,
ở đó u nhi (u1nhi , u2nih ) và (u1nhi , u2nih , phni )T V . Cambridge University Press, 1996.
Do đó, sử dụng V d X d M d , chúng ta
có thể thu được công thức rút gọn cho Bài
toán III.
Bài toán IV: Tìm (u nd , pdn ) V d sao cho
(u nd , v d ) ka (u nd , v d ) ka1 (u nd1 , u nd , v d )
n 1
kb( pd , v d ) k ( f , v d ) (u d , v d ) v d X
n n d
b(qd , u d ) 0 qd M d
n
u 0 0
d
ở đó 1 n L.
Chú ý: Bài toán IV là mô hình rút gọn
MFE dựa trên phương pháp POD của Bài
toán III.
77
nguon tai.lieu . vn
