Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
Nguyễn Hữu Thọ1, Phạm Nam Giang1
1
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG Khi đó, nghiệm của bài toán (1) tồn tại và
được xác định bởi (xem trong [3]):
Báo cáo này sẽ trình bày về nghiệm yếu
ì
ï 1
của một lớp bài toán biên cho phương trình vi ï -1
ïG (t ), 0 £t £
ï
u(t ) = í 2
phân phi tuyến, các phương trình phi tuyến ï
ï 1
này có chứa tổ hợp của các thành phần kỳ dị ïG -1(1 - t ), £ t £ 1,
ï
ï
î 2
tại 0.
trong đó:
x -1
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
G (t ) = c1 ò (c2s - t s ) p d t, x Î [0, c2 ] ,
1. Đặt vấn đề 0
và c1, c2 là các hằng số dương phụ thuộc vào
Xét bài toán biên sau
s, p, l .
ì
ï
ï
ï
( )
- | u ' |p-2 u ' ' = f (u ), trong (0;1) Một câu hỏi được đặt một cách tự nhiên là:
ï u > 0 trong (0;1) (1)
í điều gì sẽ xảy ra nếu f (t ) = lt s-1 bị nhiễu bởi
ï
ï
ï
ï u(0) = u(1) = 0, một đại lượng sao cho điều kiện (2) không
î
còn đúng. Trong báo cáo này, chúng ta sẽ xét
ở đây p Î (1, ¥) và f : (0, ¥) là hàm liên
hai trường hợp sau:
tục. Dễ thấy, tồn tại p Î (1, ¥) sao cho
(i) f (t ) = lt s-1 + t q -1, 0 < s < p < q,
p - 2 < 0 , và do đó có thể tồn tại kỳ dị tại 0 ,
do đó ta sẽ xét tính giải được của bài toán (ii) f (t ) = lt s-1 - t r -1, 0 < r < s < p.
trong lớp nghiệm yếu. Ta thấy rằng, trong cả hai trường hợp trên,
Định nghĩa 1. ([2]) Hàm u Î W01,p ((0,1)) là sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài toán
một nghiệm yếu của bài toán (1) nếu không thể xảy ra với mọi l > 0 mà tùy theo
1 l > 0 sẽ có các kết quả khác nhau.
ò (| u ' | )
p -2
u ' v '- f (u )v dt = 0 2. Kết quả
0
với mọi hàm thử u Î W01,p ((0,1)) . a) Trường hợp f (t ) = lt s-1 + t q -1.
Trong [1], khi xét bài toán
Như vậy, nghiệm của (1) ít nhất thuộc lớp
ìï-Du = lu s-1 + u q -1 trong W
C trong [0,1] . Chẳng hạn, với điều kiện hàm
1
ïï
ï u > 0 trong W (3)
t Î (0, ¥) f (t )t 1-p giảm ngặt (2) í
ïï
thì bài toán (1) có ít nhất một nghiệm, một ïï u = 0,
ïî ¶W
trong các hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện với W là miền mở, bị chặn trong n ,
này đó là: s Î (1, 2), q Î (2, ¥) , các tác giả đã đạt được
f (t ) = lt s -1, t > 0, s Î (0, p), l > 0. kết quả sau.
63
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Định lý 1. ([1]) Tồn tại số L > 0 sao cho Do đó, giải bài toán (4) tương đương với
bài toán (3): việc giải phương trình (5) trong + , số
a) có ít nhất một nghiệm khi l Î (0, L] , nghiệm của (5) được xác định thông qua việc
b) có ít nhất 2 nghiệm khi khảo sát hình học của hàm T .
2n
l Î (0, L) và q £
, nếu n ³ 3 ,
n -2
c) không có nghiệm với l > L.
Với cách tiếp cận tương tự, ta xét bài
toán sau:
( )
ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 + u q -1, trong (0,1)
ïï Hình 1. Biểu diễn hình học của T
ï u > 0 trong (0;1) (4)
í
ïï b) Trường hợp f (t ) = lt s-1 - t r -1.
ïï u(0) = u(1) = 0,
î Giả sử p Î (1, ¥), s Î (0, p), r Î (0, s ) và
và nhận được kết quả sau.
l Î (0, ¥) . Chúng ta xét bài toán biên sau
Định lý 2. Cho p Î (1, ¥), s Î [1, p) và
q Î (p, ¥) , khi đó luôn tồn tại số L > 0 sao ( )
ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 - u r -1, trong (0,1)
ïï
ï u > 0 trong (0;1) (6)
cho bài toán (4): í
ïï
a) có đúng 2 nghiệm khi l Î (0, L) , ïï u(0) = u(1) = 0.
ïî
b) có đúng một nghiệm khi l = L ,
Khi đó chúng ta cũng nhận được kết quả
c) không có nghiệm với l > L.
tương tự Định lý 2. Trong trường hợp này,
Chứng minh. Bằng cách sử dụng phương
chỉ khác rằng nghiệm tồn tại với l lớn và bài
pháp “shooting” như trong [1], ta sẽ biến đổi
toán vô nghiệm với l nhỏ. Cụ thể là, tồn tại
bài toán (4) thành một phương trình đại số và
tồn tại tương ứng 1 - 1 giữa tậpnghiệm của số L > 0 sao cho bài toán (6) có nghiệm với
l ³ L và vô nghiệm khi l Î (0, L) .
bài toán (4) với tập nghiệm của phương trình
(ẩn c > 0 ) sau: Lúc này, hàm T tương ứng với bài toán
1
(6) có dạng
1 æ p - 1ö÷ p . q -s
p1 q -p
T (c) = ççç ÷÷ l (5) -1
2 è p ø÷ c æc s c r t s t r ö÷ p
T (c) := ò çç - - + ÷ dt,
ở đây: çç s ÷
0 è r s r ÷ø
-1 1
c æc s c q t s t q ö p æ s ös -r
T (c) := ò ççç + - - ÷÷÷ dt, c > 0. c ³ t(r ) := ççç ÷÷÷ .
0 èç s q s q ø÷ è r ÷ø
Hơn nữa, mỗi nghiệm c0 > 0 của phương Ở đậy, t(r ) là nghiệm dương duy nhất của
trình (5) sẽ xác định một nghiệm tương ứng ts tr
phương trình - = 0. Cũng như trường
u : [0,1] [0, c0 ] của (4) được xác định (ẩn) bởi: s r
-1 hợp a), với mỗi nghiệm c0 Î [t(r ), ¥) của
u (x ) æc s cq t s t q ö÷ p
ç 0 ÷ phương trình
ò ççç s + q - s - q ÷÷÷ dt =
è
0
ø
0 1
1 æ p - 1ö÷p p .s -r
1 1 q -s
æ p - 1ö÷ é 1ù T (c) = ççç
1 q -p
p . ÷÷ l ,
= çç ÷ l p q -s
x , x Î ê 0, ú 2 è p ø÷
çè p ÷÷ø ê 2ú
ë û
é1 ù sẽ tương ứng với một nghiệm duy nhất
u(x ) = u(1 - x ), x Î ê ,1ú .
ê2 ú u : [0,1] [0, c0 ] được xác định (ẩn) bởi
ë û
64
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
-1 3. KẾT LUẬN
u (x ) æc s cq t s t q ö÷ p
ç 0 ÷
ò ççç s + q - s - q ÷÷÷ dt =
è
0
ø
Báo cáo trình bày bài toán về nghiệm yếu
0
1 của bài toán biên đối với phương trình vi phân
æ p - 1ö÷p p1 .qs --rs é 1ù phi tuyến trong các trường hợp về phải là
= ççç ÷÷ l x , x Î ê0, ú
è p ø÷ ê 2ú
ë û
tổng hoặc hiệu của các thành phần mũ có kỳ
é1 ù dị tại 0. Chúng ta cũng có thể mở rộng bài
ê
u(x ) = u(1 - x ), x Î ,1 . ú
ê2 ú toán trong trường hợp hàm vế phải là tổ hợp
ë û
của nhiều hơn hai thành phần chứa kỳ dị tại 0.
Trong trường hợp r > 1 (không xảy ra kỳ
dị) chúng ta nhận được kết quả sau. 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Định lý 3. Giả sử
p Î (1, ¥), s Î (1, p), r Î (1, s ) . [1] A. Ambrosetti, H. Brezis and G. Cerami,
(1994), Combined effects of concave and
Khi đó luôn tồn tại hai số dương Giả sử convex nonlinearities in some elliptic
L1, L2 với L1 < L2 sao cho bài toán (6): problems, J. Funct. Anal, Vol. 122, pp.
a) không có nghiệm khi l Î (0, L1 ) ; 519-543.
[2] J.L. Diaz, (2009), Branches of positive and
b) có nghiệm duy nhất ul Î Á nếu free boundary solutions for a quasi-linear
l Î {L1 } È (L2, ¥) ; elliptic problems, J. Math. Anal. Appl. 352,
pp. 449-474.
c) có đúng hai nghiệm ul , vl nếu [3] M. Otani, (1984), On certain second order
l Î (L1, L2 ] ; hơn nữa ul , vl Î Á nếu l < L2 , ordinary differential equations associated
with Sobolev - Poincare - type inequalities,
và ul Î Á, vl Î Á0 nếu l = L2 . Ở đây Nonlinear Anal. , Vol. 8, No. 11,
Á := ïí
(
êë úû )
ìu Î C 1 é 0,1ù : u > 0 trong (0,1), ï
ï ü
ïý ,
pp. 1255-1270.
[4] J. Sanchez, (2000), One-dimensional
ï
ï u '(0) > 0, u '(1) < 0 ï
ï
ï
î ï
þ elliptic equation with concave and convex
Á0 := í
ï ëê ûú( )
ìïu Î C 1 é0,1ù : u > 0 trong (0,1), üï
ïý .
nonlinearirties, Electron. J. Differ. Equ.,
Vol. 2000, No. 50, pp. 1-9.
ïï u '(0) = u '(1) = 0ïï
îï þï
Một điều thú vị nữa là nghiệm vL Î Á0 với 2
l > L2 .
65
nguon tai.lieu . vn
