- Trang Chủ
- Toán học
- Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
NGHIỆM S - TIỆM CẬN TUẦN HOÀN CHO HỆ VI PHÂN
KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TUYẾN TÍNH
Nguyễn Văn Đắc1, Lê Thị Minh Hải1
1
Trường Đại học Thủy lợi, email: lethiminhhai@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU của phương trình Volterra loại 2 với nhân
hoàn toàn dương.
Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ:
d 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
k *(u u0 ) Au f (t ), t 0
dt (1)
Phần đầu trình bày một số kiến thức cơ cở,
u (0) u0
sau đó là công thức nghiệm, tiếp theo chúng
Trong đó: u nhận giá trị trong không gian tôi chứng minh nghiệm có tính S-tuần hoàn
Hilbert khả li H , nhân k L1loc , A là tiệm cận khi hàm ngoại lực có tính tuần hoàn
tiệm cận. Cuối cùng là một ví dụ minh họa.
toán tử tuyến tính không bị chặn,
Trong phần này, ta kí hiệu J : [0, ) .
f : 0, H là một hàm cho trước và *
Định nghĩa 1. (xem [1]) Một hàm
là kí hiệu tích chập Laplace, f BC J , H được gọi là S - tiệm cận tuần
t
k * v (t ) k (t s)v( s)d s . hoàn chu kỳ nếu tồn tại 0 sao cho
0 lim f t f (t ) 0 .
t
Điều đáng chú ý trong (1) là khi
t Khi đó được gọi là một tiệm cận chu kỳ
k (t) g1 (t ) , 0,1 , thì hạng của f.
(1 ) Trong [1] đã chỉ ra rằng tập SAP ( H )
d
tử k *(u u0 ) là đạo hàm phân thứ kiểu gồm các hàm S - tiệm cận tuần hoàn chu kỳ
dt là một không gian Banach và là không gian
Caputo bậc của hàm trạng thái. Bằng cách con của BC J , H .
chọn nhân k phù hợp, ta thu được một số kiểu
Để đưa ra công thức nghiệm, chúng ta cần
phương trình khác như phương trình với đạo
giả thiết (K):
hàm phân thứ có trọng, đạo hàm phân thứ đa
hạng tử… Nói khác đi, hệ trên là mô hình Hàm k L1loc không âm và không
tổng quát của một số lớp hệ vi phân đang thu tăng, và tồn tại một hàm l L1loc sao cho
hút sự quan tâm của một số nhà toán học. Hệ
trên đã được nghiên cứu bởi các tác giả trong k * l 1 trên 0, .
[2], họ trình bày về công thức nghiệm, tính Gọi s và r là các nghiệm của phương trình
chính quy và tính ổn định của nghiệm. Volterra loại 2
Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu về tính S- s (t ) . l * s (t ) 1, t0
tiệm cận tuần hoàn của hệ (1).
r (t ) . l * r (t ) l (t ), t 0
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mệnh đề 1.(xem [2]) Giả sử (K) được thỏa
Chúng tôi dùng các ước lượng trên công mãn. Khi đó s , , r , L1loc với
thức nghiệm, sử dụng các tính chất nghiệm mỗi 0 . Thêm nữa, ta có các tính chất:
51
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
(a) Hàm s , không âm và không tăng dễ thấy S (t) và R (t) là các toán tử tuyến tính
t
và thỏa mãn các tính chất được trình bày
và s t , 1 l d 1, t 0 , vì thế trong mệnh đề sau:
0 Mệnh đề 2 (xem [2]).
nếu l L , thì lim s (t , ) 0 .
1 i) Có S (.)v C ([0, T ]; H ) ,với mỗi v H
t
và T 0 . Hơn nữa:
(b) Hàm r , là không âm và
S (t )v s (t , 1 ) v , t 0, T .
t
s t , 1 r , d k * r , t , t 0 ii) Với g C 0,T ; H thì:
R(.)v C 0,T ; H và R * g C 0, T ; H .
0
t
nên r , d 1 , t 0 . Hơn nữa: R (t)v r (t , 1 ) v , t 0, T
0
t
và ( R * g )(t) r (t , 1 ) g ( ) d , t 0, T .
Nếu l L ( ) ,thì r , d 1, 0 .
1
0
Định nghĩa 2. ([2]) Hàm u C 0, T ; H
0
(c) Với mỗi t 0 , các hàm số s t ,
được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (1) trên
và r t , không tăng.
Để có được công thức nghiệm cho bài
0,T nếu:
t
toán, ta cần giả thiết sau cho toán tử A: u (t ) S (t )u0 R(t ) f ( )d , t 0, T .
Giả thiết (A): Toán tử A là toán tử tuyến 0
tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù Nhận xét: Nếu f C 0, T ; H thì bài
mật với giải thức compact.
Khi đó, ta có thể xét cơ sở của H gồm các toán có nghiệm.
Định lí sau đây là nội dung chính.
hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 của A và
Định lí Giả sử (K) và (A) được thỏa mãn.
Av nvnen , trong đó Aen nen , n 0 Nếu f SAP ( H ) thì u SAP ( H ) .
n 1 Chứng minh Ta có
với 0 1 2 n khi n . u (t ) u (t ) S (t ) S (t ) u0
Giả sử: t t
u (t ) un (t )en , u0 u0,n en , f (t ) f n (t )en .
R(t ) f ( ) d R(t ) f ( ) d
0 0
n 1 n 1 n 1
Thay vào hệ (1), ta thấy un là nghiệm của S (t ) S (t ) u 0 R (t ) f ( ) d
du 0
phương trình vô hướng k * n nu f n (t ) , t t
dt R(t ) f ( )d R(t ) f ( )d
t
tức là un (t ) s(t , n )u0 r (t , n ) f n ( )d . 0 0
0
Từ đó, ta được: S (t ) S (t ) u0 R(t ) f ( ) d
t
u (t ) sn (t , n )u0,n en r (t ,n ) hn ( ) d en
0
t
R (t ) f ( ) f ( ) d .
n 1 n 1 0
Dẫn đến định nghĩa các toán tử S (t) và 0
R (t) như sau: Với mỗi 0 , tồn tại hằng số dương L
S (t)v s (t, n ) v, en en , t 0, v H thỏa mãn f (t ) f (t) , t L .
n 1
Từ đó cùng với các khẳng định trong
R (t)v r (t, n ) v, en en , t 0, v H Mệnh đề 1 và Mệnh đề 2, ta có các ước
n 1 lượng sau:
52
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
u (t ) u (t ) S (t ) S (t ) . u0
xác định bởi Au n 2 u ,e n en , giả thiết
n 1
R (t ) f ( ) d
(A) được thỏa mãn với n n 2 và
0
L 2
R (t )( f ( ) f ( )) d en ( y ) sin ny . Nhân
0
t k (t ) g 2 (t ) g 1 (t ) .
R (t )( f ( ) f ( ) d 3 2
L Như trình bày trong [3], k thỏa mãn điều
kiện tồn tại nhân l sao cho k l 1 trên
2 s (t , 1 ) u 0 f R (t ) d (0, ) và trong trường hợp này
L
0
(1 l )(t ) g 4 (t ) khi t . Do vậy
t
R (t ) d R (t ) d
3
2 f 1
0 L s (t , ) 0 khi t ,với
t 1 1 l (t )
2 s (t , 1 ) u 0 f r ( , ) d
t
1 mọi 0 . Cuối cùng f (t ) cos 2 t là hàm
t t L tuần hoàn và liên tục. Theo kết quả lí thuyết
thì bài toán có nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn
2 f
t L
r ( , 1 ) d
0
r ( , 1 ) d
với 1 .
f
2 s (t , 1 ) u 0
s(t , 1 ) s(t , 1 ) 4. KẾT LUẬN
1
Bằng các ước lượng trên công thức nghiệm
2 f 1
s(t L , 1 ) s(t , 1 ) . nhẹ, và những kiến thức về nghiệm phương
1 1 tình Volterra loại 2 với nhân hoàn toàn
Từ Mệnh đề 1(a), ta suy ra: dương, chúng tôi chứng minh được bài toán
u (t ) u(t) 0 khi t . (1) có nghiệm S- tuần hoàn tiệm cận khi
Ví dụ minh họa ngoại lực cũng có tính chất đó.
Xét phương trình đạo hàm riêng sau:
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
c 13 1
Dt u(t , y) Dt u(t , y)
c 2
[1 ] Hernán R. Henríquez, Michelle Pierri, Plácido
2 Táboas (2008) On S-asymptotically ω-periodic
2 u(t , y) cos2 t , t J , y 0, functions on Banach spaces and applications
y
J. Math. Anal. Appl., 343, 1119-1130.
u(t ,0) u(t , ) 0, t J [2] T.D. Ke, N.N. Thang, L.T.P. Thuy, (2020),
u(0, y) u ( y), y 0, Regularity and stability analysis for a class
0
of semilinear nonlocal differential equations
Đặt H L2 0, . Định nghĩa toán tử in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl., 483,
No.2, 123655.
d 2u
A : D( A) H H bởi Au với [3] V. Vergara, R. Zacher (2015) Optimal decay
dy 2 estimates for time-fractional and other
miền xác định: nonlocal subdiffusion equations via energy
du d 2u methods, SIAM J. Math, Anal. 47, 210-239.
D( A) u H , 2 H , u(0) u( ) 0 [4] I. I Vrabie, (2003) C0 -semigroups and
dy dy Applications, North-Holland Publishing
Khi đó, theo [4], thì A là toán tử sinh của Co., Amsterdam.
C0 nửa nhóm S (t)t 0 compact trong H và A
53
nguon tai.lieu . vn
