- Trang Chủ
- Toán học
- Nghiệm phân rã của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng trên tuyến tính
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
NGHIỆM PHÂN RÃ CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN
BẬC PHÂN SỐ CÓ TRỄ HỮU HẠN VỚI
PHẦN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH
Vũ Nam Phong1, Trần Phương Liên1
1
Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
1 ( I A) 1 e t S (t )dt ,
0
Ta xét bài toán (*):
C D0 u (t ) Au (t ) F (t , ut ), t 0 (*1) S (t ) x ( )W (t ) xd ,
0
u ( s ) ( s ), s [ h,0] (*2) ( 1I A) 1 e t t 1P (t ) dt ,
C 0
Trong đó: D0 - đạo hàm bậc phân số
theo nghĩa Caputo, 0 1 ; A - toán tử P (t ) x ( )W (t ) xd , x X ,
0
tuyến tính đóng trong không gian Banach X, 1( ) n1
sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh W () ; hàm ( )
n1 (n 1)!
(n )sin( n ) .
đa trị F :[0, T ] h v( X ) ; ut - hàm trễ,
Nếu W (t ) Me t , ta có đánh giá: ([1])
ut ( s ) u (t s ) , s [ h,0] , hàm φ cho trước.
S (t ) x ME ,1 ( t ) x ,
Bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ
(*2) nhận được sự quan tâm trong những P (t ) x ME , ( t ) x , x X ; với:
năm gần đây vì một số vấn đề trong vật lí
zn
không thể mô tả chính xác bằng bao hàm Ea ,b ( z ) , z , a 0, b 0 .
n 0 ( an b)
thức vi phân thường. Bài báo này sẽ xem xét
nghiệm tích phân (Định nghĩa 1.1) phân rã Đặt:
khi phần tăng trưởng trên tuyến tính. hT C ([ h, T ]; X ), h C ([ h,0]; X ),
Định nghĩa 1.1. [4] Hàm u: [h, T] → X T C ([0, T ]; X ) , h C ([ h, ); X );
được gọi là nghiệm tích phân của (*) trên [h, cho trước h , đặt
T] khi và chỉ khi u (t ) (t ) t [h,0] và
t
C {u T | u (0) (0)} và || || là chuẩn
u (t ) S (t ) (0) (t s ) 1P (t s ) f ( s ) ds sup trong T , h , hT và h .
0
với mọi t [0, T ] , f Fp (u ) . (t ), t [ h,0]
Với u C , đặt u[ ](t ) ;
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU u (t ), t (0, T ]
(t s ), s t [ h,0]
Định nghĩa 2.1. [4] Hàm u[ ]t ( s ) , Fp (u[ ])
u (t s ), s t (0, T ]
f C ([0, T ]; X ) có đạo hàm bậc phân số
1
(0,1) theo nghĩa Caputo được xác định { f Lp (0, T ; X ) | f (t ) F (t , u[ ]t ) với hầu
bởi công thức: hết t [0, T ]} .
1 t X là không gian Banach, đặt ( X )
(t s ) u( s ) ds .
C
D0 u (t )
(1 ) 0 { A X : A } , b ( X ) { A ( X ) | A bị
Cặp giải thức S , P được xác định bởi: chặn}, v( X ) { A ( X ) | A lồi, compact}.
42
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Ta xét toán tử nghiệm: : T (T ) : W (t ) x Me t x , t 0, x X .
(u )(t ) S (t ) (0) Q Fp (u[ ])(t ) (F) 1, F :[0, T ] h v( X ) thỏa mãn:
t F (, v) đo được mạnh với mỗi v h , F (t , )
với Q ( f )(t ) (t s ) 1P (t s ) f ( s )ds .
0 nửa liên tục trên với mỗi t [0, T ] .
Do đó, u là điểm bất động của khi và 2, F (t , v) p (t )G ( v ) t [0, T ], v h ,
chỉ khi u là nghiệm tích phân của (*).
Bổ đề 2.1. [4] Đặt g1 (t ) E ,1 ( t ) và 1
p Lqloc ( ), q ; G liên tục, không âm và
g 2 (t ) t 1E , ( t ) , với mọi 0 ta có:
G (r ) 1 t
1. g1 , g 2 L1loc ( ); g1 , g 2 là hàm không âm. lim sup . sup I (t ) , I (t ) g3 ( s )ds ,
r 0 r t[0,T ] M 0
2. g1 là hàm không tăng, g1 (t ) 1, t 0 . g3 ( s ) g 2 (t s ) p ( s ) .
Có: BC0 {u h : lim u (t ) 0} với chuẩn 3, F (t , v) p (t )G ( v ) t 0, v h ; G,
t
u
sup u (t ) là không gian Banach. Cho p không âm;
t h
p Lqloc ( ), q 1 / ; G C ( ) , G không
h , BC0 {u BC0 : u (0) (0)} là
G (r ) 1
không gian con đóng của BC0 với chuẩn sup. giảm, lim sup .sup I (t ) và
r 0 r t 0 M
Định nghĩa 2.2. [2] Hàm g : b ( E ) t /2
là độ đo không compact trên không gian lim sup J (t ) 0 với J (t ) g3 ( s )ds .
T t T 0
Banach E nếu: g (co ) g () b ( E ) ,
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
với co là bao lồi đóng của Ω. ([2])
Ta sử dụng độ đo không compact Định lí 3.1. Các giả thiết (A), (F1-2) được
Hausdorff () được cho bởi công thức: thỏa mãn và 0 . Khi đó bài toán (*)
() inf{ 0 | có một ε - lưới hữu hạn}. có nghiệm tích phân trên [h, T].
T , T 0 là hàm cắt trên BC0, T ( D) là Chứng minh: đặt lim sup[G (r ) / r ] và
r 0
hạn chế của D BC0 trên đoạn [h, T]. Đặt
m1 sup I (t ) . Từ (F2), ta có thể lấy 0
d (D) limsupsup x(t) , (D) sup T (T (D)) t[0,T ]
T t T xD T 0
thỏa mãn M ( ) m1 1 . Hơn nữa, tồn tại
và * ( D) ( D) d ( D) , * ( D) 0 thì D
0 thỏa mãn G (r ) / r , r (0, 2 ] .
compact tương đối trong BC0.
1 M ( ) I (t )
Định nghĩa 2.3. [2] Cho F là ánh xạ đa trị, Đặt 0 inf , dễ thấy
F : Z E ( E ) , F được gọi là χ - nén nếu M t [0,T ] g1 (t ) ( ) I (t )
với mọi tập bị chặn Z , bất đẳng thức 0 0 . Đặt min{ 0 ,} . Nếu h thỏa
() ( F ()) suy ra tính compact tương mãn thì u[ ]s ( ) u
đối của Ω. , [ h,0] . Hình cầu đóng trong
Bổ đề 2.2. [2] Cho M là tập đóng, lồi, bị C với tâm tại gốc, bán kính là B . Xét
chặn trong E và : M v( M ) đóng và χ-
nén. Khi đó Fix {x M : x ( x)} . : B (C ) , với mỗi z (t ) (u )(t ) , lấy
Với F (t , v) sup : F (t , v) , để f Fp (u ) mà z (t ) S (t ) (0) Q( f )(t )
t
chỉ ra sự tồn tại tập compact các nghiệm phân z (t ) Mg1 (t ) (0) M g 2 (t s ) f ( s ) ds
0
rã của bài toán (*), ta cần các giả thiết: t
(A) C0 - nửa nhóm {W (t )}t 0 được sinh bởi A Mg1 (t ) M g2 (t s) F (s, us ) ds
0
là compact t 0 và bị chặn mũ, tức là t
M 1, 0 thỏa mãn: Mg1 (t ) M g 2 (t s ) p( s )G ( us
)ds
0
43
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
t
Mg1 (t ) M g3 ( s )( )( ) ds u n n , (u n ) n . Khi đó (u n )(t )
0
t
Mg1 (t ) M ( )( ) I (t ) (xem 0 ) Mg1 (t ) (0) M g3 ( s )G usn ds
0
(u )(t ) , t [0, T ] và (B ) B .
M ( ) n g 3 ( s )ds
t
Mg1 (t )
Do compact, áp dụng định lí điểm bất 0
động thu được điều phải chứng minh. M
M ( )(
n)m . Ta suy ra
Định lí 3.2. Các giả thiết (A), (F1-3) được 1 M
1
(u n ) [1 ( )m] M ( )m.
thỏa mãn và 0 . Khi đó bài toán (*) n n
có tập compact các nghiệm phân rã. Lấy giới hạn khi n , ta được mâu thuẫn.
Chứng minh: đặt m sup I (t ) , ta sẽ chỉ ra Xét : B B , ta chỉ ra là * - nén.
t 0
Nếu D B thì T ( D) 0 ( D ) 0
d ( ( D)) M ( )md ( D ) với mọi tập bị
* ( (D)) ( ( D)) d ( ( D)) d ( (D))
chặn D BC0 . Lấy v ( D) và u D mà
M ( )md ( D) M ( )m * ( D) * ( D).
v (u ) . Tương tự như định lí 3.1, ta có:
t Do đó là * - nén và có điểm cố định. Gọi
v(t ) Mg1 (t ) M ( ) g3 (s) sup u[]s ( ) ds
0 [ h,0] là các tập các điểm cố định của trong
t/2 B , khi đó đóng và ( ) . Vì vậy,
Mg1 (t ) 2 M ( ) g3 ( s )ds
0
* () * ( ()) M ( )m* () * () 0
M ( )[sup sup u[ ]s ( ) ] g3 ( s )ds .
t
và là tập compact. Kết thúc chứng minh.
s t / 2 [ h ,0] t/2
Ta chọn T1 2(T h) , với t T1 , thu được: 4. KẾT LUẬN
v(t ) Mg1 (t ) 2 M ( ) J (t ) Bài viết đưa ra một số giả thiết cụ thể để
bài toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có
M ( )[sup u[ ]( s ) ] g 3 ( s )ds
t
0
trễ với phần tăng trưởng trên tuyến tính có
s T
nghiệm phân rã.
Mg1 (t ) 2 M ( ) J (t )
M ( )[supsup u[ ]( s ) ]I (t ) 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
uD s T
sup v (t ) Mg1 (T1 ) 2 M ( ) sup J (t ) [1] N.T. Anh, T.D. Ke. 2014. Decay integral
t T1 t T1 solutions for neutral fractional differential
equations with infinite delays. Math. Methods
M ( )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) . Appl. Sci. 38 (2015), No. 8, 1601-1622.
uD s T t T1
[2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca.
Do v ( D) được lấy tùy ý nên ta được: 2001. Condensing multivalued Maps and
sup sup v(t ) Mg1 (T1 ) 2 M ( )sup J (t ) Semilinear Differential Inclusions in
v ( D ) t T1 t T1 Banach Spaces. In: de Gruyter Series in
M ( )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) . Nonlinear Analysis and Applications, vol.
uD s T t T1 7, Walter de Gruyter, Berlin.
Cho T thì T1 , khi đó ta nhận [3] T.D. Ke, D. Lan. 2014. Decay integral
solutions for a class of impulsive fractional
được: d ( ( D)) M ( )md ( D ) d ( D) . differential equations in Banach spaces,
Tiếp theo ta chứng minh tồn tại 0 thỏa Fract. Calc. Appl. Anal. 17:1, 96-121.
mãn (B ) B bằng phản chứng. Giả sử [4] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo.
2006. Theory and Applications of Fractional
với mỗi n , tồn tại u n BC0 thỏa mãn Differential Equations, Elsevier, Amsterdam.
44
nguon tai.lieu . vn
