Xem mẫu
- NGHIỆM MỜ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM
HYPERBOLIC
FUZZY SOLUTION OF THE HYPERBOLIC FUNCTION EQUATION
ThS Đặng Vân Thu Thuỷ
Đại Học Hàng Hải Việt Nam
Email:dvthuy@vimaru.edu.vn
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:02/12/2020
Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020
Ngày bài báo được duyệt đăng: 28/12/2020
Tóm tắt:
Hiện nay, các nhà toán học đã và đang rất quan tâm đến lý thuyết tập mờ và đặc biệt
là phương trình đạo hàm riêng mờ trên cơ sở logic mờ, tập mờ với mong muốn tìm ra
nghiệm và tính chất nghiệm của các bài toán mà một số đại lượng của phương trình mang
tính chất không đầy đủ, không chính xác, mơ hồ như hàm phụ thuộc, điều kiện ban đầu,
điều kiện biên.... Trong sự phát triển đa dạng của lý thuyết tập mờ, phương trình vi phân
mờ và phương trình đạo hàm riêng mờ đang dần hoàn thiện và đạt được một số kết quả
quan trọng. Những kết quả này có rất nhiều ứng dụng trong hệ động lực khí đốt, hệ âm
thanh, hệ điều khiển, mạng noron máy tính.... Do có nhiều ứng dụng rộng rãi và quan
trọng nên việc nghiên cứu về phương trình vi phân mờ và phương trình đạo hàm riêng
mờ đang là một đề tài được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu. Có rất
nhiều kết quả đã được công bố về vấn đề này, dựa vào các kết quả đó bài báo tập trung
nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng và đặc biệt là sự tồn tại duy nhất nghiệm mờ
của lớp phương trình hyperbolic.
Từ khóa : nghiệm mờ, hàm hyperbolic mờ, phương trình hyperbolic
Summary:
Currently, mathematicians have been very interested in fuzzy set theory and especially
fuzzy partial derivative equations on the basis of fuzzy logic, fuzzy sets with the desire
to find solutions and solution nature of problems but some quantities of the equation
are of incomplete, inaccurate, ambiguous nature such as dependent function, initial
condition, boundary condition .... In the diversified development of fuzzy set theory,
fuzzy differential equations and fuzzy partial derivative equations are gradually being
completed and achieving some important results. These results have many applications
in gas dynamics, sound systems, control systems, computer noron networks ... Due to
44 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- micro equations Fuzzy division and fuzzy partial derivative equations are a
topic of much interest and research by scientists. There are many published
manyresults on this
wide and problem,
important based on the
applications, these results,
study the equations
of micro article focuses
Fuzzy on the and
division
fuzzy partial derivative
specific derivative equations
equationsareand
a topic of muchthe
especially interest and research
existence of onlybyfuzzy
scientists.
There are many published results on this problem, based on these results, the article
solutions
focuses on theof specific
the classderivative
of hyperbolic equations.
equations and especially the existence of only fuzzy
solutions of the class of hyperbolic equations.
Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations
Key words: fuzzy solutions, fuzzy hyperbolic functions, hyperbolic equations
1. Mở đầu
1.1 Tính liên tục, khả vi và đạo hàm của hàm mờ
n
Định nghĩa 1.1: Với x, y ∈ E , nếu tồn tại z ∈ E n sao cho x= y + z thì z được gọi
là hiệu Hukuhara của x và y , ký hiệu là x − y .
Định nghĩa 1.2: Ánh xạ f : J × J → E được gọi là liên tục cấp tại (t , s ) ∈ J × J a b
n
0 0 a b
nếu ánh xạ fα ( t , s ) = f ( t , s )α liên tục tại ( t , s ) = ( t0 , s0 ) đối với mêtric Hausdorff
H d với mọi α ∈ [0,1] .
Ánh xạ f : J × J → E được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm khả tích
a b
n
h ∈ L1 ( J a × J b , � n ) sao cho | y |≤ h ( s, t ) với mọi y ∈ f 0 ( s, t ) .
Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f : J × J × E → E được gọi là liên tục cấp tại điểm a b
n n
(t , s , x ) ∈ J × J × E nếu với mọi α ∈ [0,1] và ò > 0 bất kỳ, tồn tại một số δ (ò, α ) > 0
0 0 0 a b
n
sao cho tại mọi điểm (t , s) mà max ( t − t0 , s − s0 ) < δ (ò, α ) và
( )
H d [ x ] , [ x0 ] < δ (ò, α ) với mọi ( t , s, x ∈ J a × J b × E n ) : H d f ( t , s, x ) , f ( t0 , s0 , x0 ) < ò.
α α
( α α
)
a b
Cho f : J a × Jb → E n , ký hiệu ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt
0 0
là tích phân của f trên J a × J b xác
định bởi
(∫ ∫ )
a b α a b
f ( t , s ) dsdt =∫ ∫ f ( t , s ) dsdt
0 0 0 0 α
a b
= {∫
0 ∫ v ( t , s ) dsdt | v : J
0 a × J b → � n , v(t , s ) = y, y ∈ fα (t , s ) = [ f (t , s )]α = x : f (t , s )( x) ≥ α }
= {∫ ∫ ydsdt : y ∈[ f (t, s)] }= {=z
0
a b
0
α
(∫
a
0 ∫
0
b
y1dsdt ,..., ∫
0
a
∫ 0
b
}
yn dsdt ) ∈ � n , y ∈ [ f (t , s )]α , ∀α ∈ (0,1]
Định nghĩa 1.4: Một hàm f : J a × Jb → E n được gọi là khả tích trên J a × Jb nếu
∫ ∫ f ( t , s ) dsdt ∈ E .
a b
n
0 0
Mệnh đề 1.1: Nếu f, g khả tích trên J a × J b và λ ∈ � n thì
a b a b a b
i) ∫∫ ( f ( t , s ) + g ( t , s ))dsdt
∫∫ = ∫ g ( t , s ) dsdt , f ( t , s ) dsdt + ∫
0 0 0 0 0 0
a b a b
ii) ∫ ∫ λ. f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt ,
0 0 0 0
a b a b a b
iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d ( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt.
∞ 0 0 0 0 0 0 ∞
Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , đạo hàm riêng mờ của f theo biến x
∂f ( t0 , x0 )
tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b là tập mờ ∈ En xác định
TẠP CHÍ bởi 45
KHOA HỌC
∂x QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
∂f ( t0 , x0 ) f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 )
= lim . Giới hạn này được lấy trong không gian mêtric
∂x h →0 h
- a b a b
ii) ∫ ∫ λ. f ( t , s ) dsdt = λ.∫ ∫ f ( t , s ) dsdt ,
0 0 0 0
a b a b a b
iii) d [ ∫ ∫ f ( t , s ) dsdt , ∫ ∫ g ( t , s ) dsdt ] ≤ ∫ ∫ d
∞ 0 0 0 0 0 0 ∞
( f ( t , s ) , g ( t , s ))dsdt.
Định nghĩa 1.5:Cho ánh xạ f : J a × Jb → E n , đạo hàm riêng mờ của f theo biến x
∂f ( t0 , x0 )
tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b là tập mờ ∈ En xác định bởi
∂x
∂f ( t0 , x0 ) f ( t0 + h, s0 ) − f ( t0 , x0 )
= lim . Giới hạn này được lấy trong không gian mêtric
∂x h →0 h
( E , H ) . Đạo hàm riêng mờ của
n
d f theo biến y tại điểm (t0 , x0 ) ∈ J a × J b được
định nghĩa tương tự.
2. Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương
Chúng ta sẽ đi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình sau:
∂ 2 u ( x, y )
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (1)
∂x∂y
u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (2)
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], (3)
n
trong đó f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E ) → E , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E là các hàm
n n
cho trước và hàm u( x , y ) ( s, t ) được định nghĩa như sau:
u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0].
Định nghĩa 2.1: Nghiệm của phương trình (1), (2), (3) là hàm u (.,.) thuộc
n ∂ 2 u ( x, y )
không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao cho = f ( x, y, u( x , y ) ) trên J a × J b thỏa
∂x∂y
mãn điều kiện ban đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] .
Định lý 2.1: Giả sử phương trình thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) nghĩa là tồn tại một
hằng số K' sao cho
H d ([ f (t , s, ϕ )]α ,[ f (t , s,ψ ]α ) ≤ K ′.H d ([ϕ (ω , ω )]α ,[ψ (ω , ω )]α )
với mọi (t , s) ∈ J a × J b và ϕ ,ψ ∈ C ([−r ,0] × [−r ,0], E , ω , ω ∈ [−r , 0] .
n
Nếu K ′ab < 1 thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian
C ([−r , a] × [−r , b], E n ) .
Chứng minh
Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử
N ′ : C ([ − r , a ] × [ − r , b], E ) → C ([ − r , a ] × [ − r , b]E ) được xác định như sau
n n
ϕ ( x, y ) khi ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0]
N ′(u )( x, y ) =
q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt
x y
khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
0 0
trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0).
Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b
n
∫ f ( t, s, u ) dsdt Và
x y
′(u=
)( xCHÍ
46N TẠP , y )KHOA , y) + ∫
q′( xHỌC (t ,s )
0 0
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
)( x, y ) q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt.
x y
N ′(u = (t ,s )
0 0
Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] và nếu
-
∫∫ 0 0
trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0).
Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b
n
∫ f ( t, s, u ) dsdt Và
x y
)( x, y ) q′( x, y ) + ∫
N ′(u= (t ,s )
0 0
q′( x, y ) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt.
x y
N ′(u =
)( x, y ) (t ,s )
0 0
Ta có H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] và nếu
( x, y ) ∈ J a × J b thì từ ( H 2 ) suy ra
H d ([ N ′(u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α )
∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] )
x y x y
= H d ([q′( x, y ) + ∫ α
(t ,s )
α
(t ,s )
0 0 0 0
≤ ∫ ∫ H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt
x y
0 0
x y
≤∫ ∫ K ′.H d (u (t + ω , s + ω )α , u (t + ω , s + ω )α )dsdt
0 0
a b
K ′. sup H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ K ′ ∫∫ d ∞ (u (t , s), u (t , s))dsdt
a b
≤∫ ∫ 0 0
0 0 α ∈(0,1]
≤ K ′abH1 (u, u ).
Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N ′(u )( x, y ), N ′(u )) ≤ K ′abH1 (u, u ). Nếu K ′ab < 1 thì N’ là
ánh xạ co và theo nguyên lý điểm bất động ánh xạ này có điểm bất động duy
nhất và đó chính là nghiệm của (1), (2), (3). �
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán sau
∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) )
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (4)
∂x∂y ∂y
u ( x,0)= η1 ( x), u (0, y )= η2 ( y ),( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (5)
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [ − r , 0], (6)
n
trong đó f : J a × J b × C ([−r ,0] × [−r ,0], E n ) → E n , ϕ :[−r ,0] × [−r ,0] → E ,
p : J a × J b → � là các hàm cho trước và u( x , y ) ( s, t ) được định nghĩa như sau
u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0].
Định nghĩa 2.2: Nghiệm của phương trình (4), (5), (6) là hàm u (.,.) thuộc
không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao n
cho
∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) )
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] trên J a × J b thỏa mãn điều
∂x∂y ∂y
kiện ban đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y ) trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] .
Định lý 2.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và a. sup p(t , s ) + K ′ab < 1
( t , s )∈J a × J b
n
thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian C ([−TẠP r , a]CHÍ
× [−KHOA
r , b], EHỌC). 47
Chứng minh QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử
N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được xác định như sau
- u( x , y ) ( s, t ) = u ( x + s, y + t );( s, t ) ∈ [−r ,0] × [−r ,0].
Định nghĩa 2.2: Nghiệm của phương trình (4), (5), (6) là hàm u (.,.) thuộc
không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) sao n
cho
∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p ( x, y )u( x , y ) )
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] trên J a × J b thỏa mãn điều
∂x∂y ∂y
kiện đầu u ( x,0) = η1 ( x), u (0, y ) = η2 ( y )
ban trên ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] và
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) với ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0] .
Định lý 2.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và a. sup p(t , s ) + K ′ab < 1
( t , s )∈J a × J b
n
thì bài toán có nghiệm mờ duy nhất trên trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) .
Chứng minh
Nghiệm của bài toán là điểm bất động của toán tử
N1′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được xác định như sau
ϕ ( x, y ) khi ( x, y ) ∈ [− r , 0] × [− r , 0]
N1′(u )( x, y ) =
q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt
x x y
khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
0 0 0
x
trong đó q′( x, y ) =η1 ( x) + η2 ( y ) − ϕ (0,0) − ∫0 p( s,0).ϕ0 ( x).
Giả sử u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì với ( x, y ) ∈ J a × J b
n
∫ f ( t , s, u ) dsdt
x x y
q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫
N1′(u )( x, y ) =+ (t ,s )
0 0 0
Và
∫ f ( t , s, u ) dsdt.
x x y
q′( x, y ) ∫ p( s, y )u( s , y ) ds + ∫
N1′(u )( x, y ) =+ (t ,s )
0 0 0
Ta có H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α ) = 0 nếu ( x, y ) ∈ [−r , 0] × [−r , 0] và nếu
( x, y ) ∈ J a × J b thì từ (H2 ) suy ra
H d ([ N1′(u )( x, y )]α ,[ N1′(u )( x, y )]α )
∫ f ( t , s, u ) dsdt ] ,[q′( x, y) + ∫ ∫ f ( t , s, u ) dsdt ] )
x x y x x y
H d ([q′( x, y ) + ∫ p ( s, y )u( s , y ) ds + ∫
= α
(t ,s ) p ( s, y )u( s , y ) ds ∫ (t ,s )
α
0 0 0 0 0 0
H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt
x x y
≤ ∫ H d ( p( s, y )u( s , y ) ]α ,[ p( s, y )u( s , y ) ]α )ds + ∫ ∫
0 0 0
≤ sup p (t , s ) ∫
x
H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )ds
( t , s )∈J a × J b 0
x y
+∫ ∫ K ′.H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt ≤ sup p (t , s ) ∫
a
d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt
0 0 ( t , s )∈J a × J b 0
a b
+ K ′∫ ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ).
0 0 ( t , s )∈J a × J b
Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ).
( t , s )∈J a × J b
48 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- +∫ ∫ K .H d ([u (t + ω , s + ω )] ,[u (t + ω , s + ω )] )dsdt ≤ sup p (t , s ) ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dt
0 0 ( t , s )∈J a × J b 0
a b
+ K ′∫ ∫ d ∞ (u (t , s ), u (t , s ))dsdt ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ).
0 0 ( t , s )∈J a × J b
Với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b : H1 ( N1′(u )( x, y ), N1′(u )) ≤ ( sup p(t , s ) + K ′ab) H1 (u, u ).
( t , s )∈J a × J b
Nếu sup p(t , s ) + K ′ab < 1 thì N1′ là ánh xạ co nên nó có một điểm bất động duy
( t , s )∈J a × J b
nhất và đó chính là nghiệm của bài toán (4), (5), (6). �
3. Phương trình hàm hyperbolic mờ với điều kiện biên địa phương
Ta tiếp tục nghiên cứu bài toán với điều kiện biên không địa phương như sau
∂ 2 u ( x, y )
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a ] × [0, b] (7)
∂x∂y
p
u ( x, y ) + ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) =
ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0], i =1,..., p (8)
i =1
m
u ( x, y ) + ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) =
ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b , j =1,..., m (9)
j =1
Định nghĩa 3.1: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian
2
C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = f ( x, y, u( x, y ) ) với ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b]
∂x∂y
,thỏa mãn các điều kiện (8), (9).
Định lý 3.1: Giả sử bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) nếu
p r
∑ sup g ( x) + ∑ sup h ( y) + K ′ab < 1
i =1 x∈J a
i
j =1 y∈J b
j
n
thì bài toán (7), (8), (9) có nghiệm duy nhất trên C ([−r , a] × [−r , b], E ) .
Chứng minh
Nghiệm của bài toán là điểm bất động của ánh xạ
N 2′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được định nghĩa như sau
p
ϕ ( x, y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]
i =1
m
ψ ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b
N 2′ (u )( x, y ) = j =1
p m
2q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )
i =1 j =1
∫0 ∫0 f ( t , s, u(t ,s ) ) dsdt
x y
+ khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
trong đó
q2′ ( x, y ) =ϕ ( x,0) +ψ (0, y ) − ϕ (0,0).
n
Với u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) và α ∈ (0,1] thì
TẠP CHÍ KHOA HỌC 49
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- p
ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]
i =1
m
ψ ( x, y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b
N 2′ (u )( x, y ) = j =1
p m
2 q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )
i =1 j =1
+ ∫ ∫ f ( t , s, u(t , s ) ) dsdt
x y
khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
0 0
Và
p
ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]
i =1
m
ψ ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b
′
N 2 (u )( x, y ) = j =1
p m
2 q ′ ( x , y ) − ∑ g i ( x ) u ( x , y ) − ∑ h j ( y )u (a j , y )
i =1 j =1
( )
x y
+ ∫ ∫ f t , s, u (t , s ) dsdt khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
0 0
Nếu ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b thì theo ( H 2 ) ta có
p p
H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N ′(u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
p
≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt
i =1 x∈J a α ∈(0,1]
p p
≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ).
i =1 x∈J a i =1 x∈J a
Do đó, với mọi ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì
p
H1 ( N 2′ (u ), N 2′ (u ) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ).
i =1 x∈J a
p
Nếu ∑ sup g ( x) < 1 thì N2′ là ánh xạ co. Khi đó N2′ có một điểm bất động duy
i =1 x∈J a
i
nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài toán.
Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi
r
∑ sup | h ( y) |< 1 .
j =1 y∈J b
j
Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có
p p
H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N 2′ (u )( x, y )]α ) ≤ H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
50 TẠP CHÍ KHOA
m HỌC m
QUẢN ([ VÀhCÔNG
+ H LÝ d ∑ a + x, y )]α ,[
( y )u (NGHỆ
j =1
j j ∑ h ( y)u (a
j =1
j j + x, y )]α )
H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt )
x y
+∫ ∫
0 0
- ∑ sup | h ( y) |< 1 .
j =1 y∈J b
j
Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có
p p
H d ([ N 2′ (u )( x, y )]α ,[ N 2′ (u )( x, y )]α ) ≤ H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
m m
+ H d ([∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α )
j =1 j =1
H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt )
x y
+∫ ∫
0 0
p
≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt
i =1 x∈J a α ∈(0,1]
r
+ ∑ sup h j ( y ) H d ([h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[h j ( y )u (a j + x, y )]α )
j =1 y∈J b
x y
+ K ′.∫ ∫ H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt
0 0
p r
≤ ∑ sup gi ( x) .d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) + ∑ sup h j ( y ) d ∞ (u (a j + x, y ), u (a j + x, y ))
i =1 x∈J a j =1 y∈J b
a b p r
+ K ′.∫ ∫0 d∞ (u(t + ω, s + ω ), u (t + ω, s + ω )) ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y) + K ′ab) H1 (u, u )
0
i =1 x∈J a j =1 y∈J b
Như vậy với mọi
p r
H1 ( N 2′ (u ), N 2′ (u ) ≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + K ′ab) H1 (u , u )
i =1 x∈J a j =1 y∈J b
p r
Nếu ∑ sup g ( x) + ∑ sup h ( y) + K ′ab < 1
i =1 x∈J a
i
j =1 y∈J b
j
thì N 2′ là ánh xạ co và do đó nó có một điểm bất động duy nhất và đó chính là
nghiệm của bài toán (7), (8), (9) trong không gian C ( J a × J b , � n ) .
p r
Vậy nếu ∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y) + K ′ab < 1
i =1 x∈J a j =1 y∈J b
n
thì bài toán có một nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], � ) . �
Ta tiếp tục nghiên cứu phương trình sau
∂ 2u ( x, y ) ∂ ( p( x, y )u ( x, y ))
= f ( x, y, u( x , y ) ), ( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b] (10)
∂x∂y ∂y
p
u ( x, y ) + ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) =
ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0], i =1,..., p (11)
i =1
m
u ( x, y ) + ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) =
ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b , j =1,..., m (12)
j =1
Định nghĩa 3.2: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian
2
C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = ∂ ( p( x, y )u ( x, y )) f ( x, y, u( x , y ) ) với
∂x∂y ∂y
( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b]. và thỏa mãn các điều kiện (11), (12).
TẠP CHÍ KHOA HỌC 51
Định lý 3.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
p m p
[∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
- Định nghĩa 3.2: Nghiệm của bài toán là hàm u (.,.) thuộc không gian
2
C ([−r , a] × [−r , b], E n ) sao cho ∂ u ( x, y ) = ∂ ( p( x, y )u ( x, y )) f ( x, y, u( x , y ) ) với
∂x∂y ∂y
( x, y ) ∈ J a × J b= [0, a] × [0, b]. và thỏa mãn các điều kiện (11), (12).
Định lý 3.2: Nếu bài toán thỏa mãn điều kiện ( H 2 ) và
p m p
[∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
n
thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) .
Chứng minh:
Nghiệm của bài toán là điểm bất động của ánh xạ
N3′ : C ([−r , a] × [−r , b], E n ) → C ([−r , a] × [−r , b]E n ) được định nghĩa như sau
p
ϕ ( x , y ) − ∑ gi ( x)u ( x, bi + y ) khi ( x, y ) ∈ J a × [−r , 0]
i =1
m
ψ ( x, y ) − ∑ h j ( y )u (a j + x, y ) khi ( x, y ) ∈ [−r , 0] × J b
j =1
N 3′ (u )( x, y ) = p m
q′ ( x, y ) − g ( x)u ( x, y ) − h ( y )u (a , y ) + x p ( s, y )u ( s, y )ds
2 ∑
i =1
i ∑ j =1
j j ∫0
p
gi ( s )u ( s, bi ))ds + ∫ ∫ f ( t , s, u( t , s ) ) dsdt
x x y
+ ∫ 0
p ( s , 0).( ∑
i =1
0 0
khi ( x, y ) ∈ J a × J b .
trong đó
x
q2′ ( x, y ) = ϕ ( x, 0) +ψ (0, y ) − ϕ (0, 0) − ∫ p( s, 0)ϕ ( x, 0)ds.
0
Với u, u ∈ C ([−r , a] × [−r , b], E ) , α ∈ (0,1] và ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì theo ( H 2 ) ta có
n
p p
H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
p
≤ ∑ sup gi ( x) . sup H d ([u ( x, bi + y )]α ,[u ( x, bi + y )]α )dsdt
i =1 x∈J a α ∈(0,1]
p p
≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u , u ).
i =1 x∈J a i =1 x∈J a
Suy ra
p
H1 ( N 3′ (u ), N 3′ (u )) ≤ ∑ sup gi ( x) H1 (u, u ).
i =1 x∈J a
p
Do đó, với ( x, y ) ∈ J a × [−r ,0] thì N 2′ là ánh xạ co nếu ∑ sup g ( x) < 1 . Khi đó N2′
i
i =1 x∈J a
có một điểm bất động duy nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài
toán.
Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi
m
∑ sup | h ( y) |< 1 .\ j =1 y∈J b
j
52 TẠP CHÍ KHOA HỌC
( x, yLÝ) ∈VÀJ aCÔNG
NếuQUẢN × J b thì
NGHỆ
theo ( H 2 ) ta có
p p
H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
- có một điểm bất động duy nhất và điểm bất động này chính là nghiệm của bài
toán.
Tương tự với ( x, y ) ∈ [−r ,0] × J b , bài toán có duy nhất một nghiệm khi
m
∑ sup | h ( y) |< 1 .\ j =1 y∈J b
j
Nếu ( x, y ) ∈ J a × J b thì theo ( H 2 ) ta có
p p
H d ([ N3′ (u )( x, y )]α ,[ N3′ (u )( x, y )]α ) =H d ([∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α ,[∑ gi ( x)u ( x, bi + y )]α )
i =1 i =1
m m x x
+ H d ([∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ,[∑ h j ( y )u (a j + x, y )]α ) + H d ([ ∫ p ( s, y )u ( s, y )ds ]α ,[ ∫ p ( s, y )u ( s, y ) ds ]α )
0 0
j =1 j =1
p p
x x
+ H d ([ ∫ p ( s, 0).(∑ gi ( s )u ( s, bi ))ds ] ,[ ∫ p( s, 0).(∑ gi ( s )u ( s, bi ))ds ]α )
α
0 0
i =1 i =1
p
H d ([ f ( t , s, u(t , s ) )]α ,[ f ( t , s, u (t , s )]α )dsdt ) ≤ ∑ sup gi ( x) d ∞ (u ( x, bi + y ), u ( x, bi + y ))
x y
+∫ ∫
0 0
i =1 x∈J a
m p
x
+ ∑ sup h j ( y ) d ∞ (u (a j + x, y ), u (a j + x, y ) + sup p (t , s ) .(∑ sup | gi ( x) |) ∫ H d ([u ( s, bi )]α ,[u ( s, bi )]α )ds
( t , s )∈J a × J b 0
j =1 y∈J b i =1 x∈J a
x x y
+ sup
( t , s )∈J a × J b
p (t , s ) ∫0
H d ([u (t , s )]α ,[u (t , s )]α )ds + K ′.∫
0 ∫0
H d ([u (t + ω , s + ω )]α ,[u (t + ω , s + ω )]α )dsdt
p m p
a
≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) ) H1 (u , u ) + sup p (t , s ) .(∑ sup | gi ( x) |) ∫ d ∞ (u ( s, bi ), u ( s, bi ))ds
( t , s )∈J a × J b 0
i =1 x∈J a j =1 y∈J b i =1 x∈J a
a b
d ∞ (u ( s, t ), u ( s, t ))ds + K ′. ∫∫ d ∞ (u ( s + ω , t + ω ), u ( s + ω , t + ω ))dsdt
a
+ sup
( t , s )∈J a × J b
p (t , s ) ∫ 0 0 0
p m p
≤ (∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) ) H1 (u , u ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) H1 (u , u )
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
+ K ′abH1 (u, u )
p m p
≤ [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) + K ′ab]H1 (u , u )
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
Vậy với mọi ( x, y ) ∈ J a × J b thì
H1 ( N3′ (u ), N3′ (u ))
p m p
≤ [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab]H1 (u, u )
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
p m p
Nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (∑ sup | gi ( x) | +1) + K ′ab] < 1 thì N3′
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
là ánh xạ co và theo nguyên lý điểm bất động ánh xạ này có một điểm bất động
duy nhất và đó chính là nghiệm của bài toán (3.10), (3.11), (3.12) trong không
n
gian C ([0, a] × [0, b]E ) .
p m p
Vậy nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
n
thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . �
Trong phần này, tác giả đưa ra một số khái niệm của hàm chỉnhTẠP hình, giả HỌC
CHÍ KHOA 53
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
khoảng cách Kobayashi , ánh xạ Elliptic mạnh và các tính chất của nó.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- gian C ([0, a] × [0, b]E ) .
p m p
Vậy nếu [∑ sup gi ( x) + ∑ sup h j ( y ) + a. sup p (t , s ) (1 + ∑ sup | gi ( x) |) + K ′ab] < 1
i =1 x∈J a j =1 y∈J b ( t , s )∈J a × J b i =1 x∈J a
n
thì bài toán có nghiệm duy nhất trong không gian C ([−r , a] × [−r , b], E ) . �
Trong phần này, tác giả đưa ra một số khái niệm của hàm chỉnh hình, giả
khoảng cách Kobayashi , ánh xạ Elliptic mạnh và các tính chất của nó.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Th Agarwal R.P.,The method of upper, lower solutions and monotone
[1] Th Agarwal R.P.,The method of upper, lower solutions and monotone iterative scheme for
higher orderiterative scheme
hyperbolic partial for higher order
differential hyperbolic
equations, partial
J. Austral. differential
Math. equations,
Soc. (seriesA) 47 (1998),
pp. 153-170.
J. Austral. Math. Soc. (seriesA) 47 (1998), pp. 153-170.
[2] Agarwal R.P. and Scheng Q., Periodic solutions of higher order hyperbolic partial differential
equations, PanAmer.Math.J. 2 (1992), pp. 1-22.
[3] Agarwal R.P., Benchohra M., O’ReganD. and OuahabA., Fuzzy solutions for multipoint
boundary value problems, Mem. Differential Equations Math. Phys. 35 (2005), pp. 1–14.
[4] Arara A. and Benchohra M., Fuzzy solutions for boundary value problems with integral
boundary conditions, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol.LXXV, 1(2006), pp. 119–126.
[5] Arara A. and Benchohra M., Fuzzy solutions for neutral functional differential equations
with nonlocal conditions, Georgian Math.J. 11 (2004), pp. 35–42.
[6] Arara A., Benchohra M., Ntouyas S. K. and Ouahab A. , Fuzzy Solutions for Hyperbolic
Partial Differential Equations, International Journal of Applied Mathematical Sciences, Vol.2
No.2(2005), pp. 181-195.
[7] Aumann R. J. , Integrals of set valued functions, J. Math. Anal. Appl. , 12 (1965), pp. 1–12.
[8] Balasubramaniam P. and Muralisankar S., Existence and uniqueness of fuzzy solution for
the nonlinear fuzzy Volterra integrodifferential equations, Differential Equations Dynam. Systems
11 (2003), pp. 369–383.
[9] Balachandran K. and Prakash P., Existence of solutions of nonlinear fuzzy integral
equations in Banach spaces, Libert as Mathematica, XXI (2001), pp. 91–97.
54 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
nguon tai.lieu . vn
