- Trang Chủ
- Toán học
- Nghiệm của phương trình Poisson ba chiều có tính đến điều kiện biên Neumann
Xem mẫu
- NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU
CÓ TÍNH ĐẾN ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
NGUYỄN VĂN ĐẲNG
LÊ HÀ DUNG - NGUYỄN THỊ THU HẰNG
Khoa Vật lý
1. GIỚI THIỆU
Nghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm mạnh
mẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1], [2]. Nghiên cứu thực nghiệm các
linh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ cao và mất
nhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc phục được các
hạn chế nêu trên [3], đặc biệt phương pháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp với
các ưu điểm nổi trội là tính chính xác và tính ổn định.
Trong quá trình mô phỏng, phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp cần cập nhật
phân bố của điện thế trong linh kiện thông qua việc giải phương trình Poisson, thông
thường bằng phương pháp sai phân hữu hạn [3]. Khi đó việc giải phương trình Poisson
chuyển thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn với hàng triệu
phương trình và hàng triệu ẩn. Thông thường để giải hệ phương trình trên người ta phải
sử dụng các phương pháp số chạy trên một siêu máy tính với bộ nhớ cực lớn mà Việt
Nam hiện nay chưa có. May mắn là các phương pháp không gian con Krylov có thể hỗ
trợ cách tính toán không cần lưu trữ các số liệu tính toán trung gian [4], [5], [6]. Một số
tác giả đã sử dụng các phương pháp BICGSTAB, BICGSTAB tiền điều kiện,
BICGSTAB2, BICGSTAB(3) và GPBICG để giải phương trình Poisson và đã thu được
các kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn nhiều lần [7], [8], [9], 10].
Ngoài ra, việc giải phương trình Poisson trong linh kiện dẫn đến yêu cầu cần phải tích
hợp các điều kiện biên, ở đây là điều kiện biên Neumann và điều kiện biên Direclet, một
cách phù hợp. Việc tích hợp điều kiện biên trong lời giải số là một trong những thách
thức mà chúng tôi gặp phải trong việc giải số phương trình Poisson. Trong nghiên cứu
này chúng tôi khảo sát việc tích hợp điều kiện biên Neumann. Chúng tôi đã xây dựng
hai chương trình giải phương trình Poisson tính đến và không tính đến điều kiện biên
Neumann. Ảnh hưởng của điều kiện biên Direclet được tiến hành đồng thời bởi một
nhóm nghiên cứu khác.
Bài báo này được tổ chức như sau. Phần 2 trình bày việc giải phương trình Poisson ba
chiều và điều kiện biên Neumann. Phần 3 trình bày kết quả mô phỏng và thảo luận.
Phần 4 trình bày một số kết luận.
2. PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Giả sử vật liệu là đồng nhất thì phương trình Poisson trong trường hợp ba chiều có dạng
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ρ (1)
2
+ 2 + 2 =− ,
∂x ∂y ∂z εS
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, tháng 12/2013, tr: 47-51
- (3)
(2)
48 NGUYỄN VĂN ĐẲNG và cs.
ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;
x , y , z là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chia
mô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo các
chiều không gian là bằng nhau, Δx = Δy = Δz . Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phương
trình (1) ta thu được hệ phương trình sau
ρi , j , k 2
ϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = − Δx ,
εS
ở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo các
chiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn
mà ta cần giải.
Điều kiện biên Neumann được mô tả bằng phương trình sau
∂ϕb
r = g (ib , jb , kb ),
∂r
với chỉ số dưới b hàm ý rằng phương trình này xảy ra tại biên. Để tích hợp điều kiện
biên này vào lời giải số của phương trình Poisson ta cần các lệnh gán phù hợp.
3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN
Để kiểm tra hiệu năng của chương trình giải phương trình Poisson ba chiều chúng tôi
tích hợp chương trình này vào chương trình mô phỏng bằng phương pháp Monte –
Carlo tập hợp tự hợp để mô phỏng động lực học của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn
GaAs. Mô hình cấu trúc của đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs gồm một lớp bán dẫn thuần (i)
kẹp giữa hai lớp bán dẫn pha tạp loại p và loại n như được chỉ ra trong Hình 1, trong đó
mỗi lớp có độ dày tương ứng là di = 340 nm, d p = d n = 50 nm. Mật độ pha tạp acceptor
và donor tương ứng là N A = 0.5 × 1017 cm-3 và N D = 2.5 ×1017 cm-3. Các hạt tải kích
thích quang được tạo ra trong linh kiện bằng cách chiếu một xung laser với chiều dài
xung là 12 fs và năng lượng photon là 1.49 eV, mật độ hạt tải quang là N ex = 5 ×1016
cm-3 sau thời gian 1 ps. Kích thước theo ba chiều không gian của đi-ốt là
Lx × Ly × Lz = 440 ×100 ×100
nm3, giả sử đi-ốt được nuôi
cấy theo phương Ox .
Linh kiện được chia thành
các ô lưới không gian với
Δx = Δy = Δz = 50 ×10−10 m.
Như vậy ta sẽ có N x = 89
nút lưới theo phương Ox ,
Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs
- NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU CÓ TÍNH ĐẾN ĐIỀU KIỆN BIÊN... 49
N y = 21 nút lưới theo phương Oy và N z = 21 nút lưới theo phương Oz . Điện trường
ngoài được đặt vào linh kiện dọc theo phương Ox và đi-ốt được phân cực nghịch, xem
Hình 1.
Hình 2. Phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy
khi sử dụng điều kiện biên Neumann chính xác.
Hình 2 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai
phương Ox , Oy khi sử dụng điều kiện biên Neumann chính xác, chính là phân bố mà ta
thu được trong thực tế; còn hình 3 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-
n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox , Oy khi chưa sử dụng điều kiện biên Neumann
phù hợp với mật độ điện tích trong linh kiện thấp. Trong trường hợp này chúng tôi đã sử
dụng điều kiện biên Direclet phù hợp để khảo sát bài toán với mục đích nêu rõ ảnh
hưởng của điều kiện biên Neumann mà thôi.
Hình 3. Phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy
khi chưa sử dụng điều kiện biên Neumann phù hợp
- 50 NGUYỄN VĂN ĐẲNG và cs.
Hình 3 cho thấy khi chưa sử dụng điều kiện biên Neumann phù hợp thì phân bố điện thế
không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox , Oy khác hoàn toàn
phân bố điện thế thu được trong hình 2, đi-ốt không được áp điện thế ngoài dọc theo
trục Oy nhưng ở hai biên đầu trục Oy điện thế lại bằng không còn ở khoảng giữa trục Oy
điện thế lại có thể khác không. Như đã đề cập, hình 2 là phân bố điện thế không gian thu
được trong trường hợp sử dụng điều kiện biên Neumann chính xác. Điều đó cho thấy
ảnh hưởng rõ rệt của điều kiện biên Neumann nói riêng và điều kiện biên nói chung lên
lời giải của phương trình Poisson.
4. KẾT LUẬN
Chúng tôi đã xây dựng hai chương trình giải phương trình Poisson tính đến và không
tính đến điều kiện biên Neumann. Các chương trình này được tích hợp vào chương trình
mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp và
được áp dụng để mô phỏng các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs để khảo sát vai trò của điều
kiện biên Neumann. Các kết quả cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của điều kiện biên Neumann
lên lời giải của phương trình Poisson, chỉ ra rằng việc sử dụng điều kiện biên Neumann
phù hợp là một trong các điều kiện cần để thu được nghiệm chính xác của phương trình
Poisson.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D. N. Thao, S. Katayama, and K. Tomizawa (2004). Numerical simulation of THz
radiation by coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high electric fields,
Journal of the Physical Society of Japan 73, 3177 – 3181.
[2] G. Klatt et al. (2011). Photo-Dember terahertz emitter excited with an Er: fiber laser,
Appl. Phys. Lett. 98, 021114 – 021114-3.
[3] K. Tomizawa (1993). Numerical simulation of submicron semiconductor devices,
Artech House, Boston London.
[4] H. A. Vorst (2003). Iterative Krylov methods for large linear systems, Cambridge
University.
[5] Y. Saad (2000). Iterative Methods for Sparse Linear Systems, SIAM.
[6] Shao-Liang Zhang (1997). GPBi-CG: Generalized product-type methods based on Bi-
CG for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Comput., Vol 18, No. 2,
537 – 551.
[7] G. Speyer, D. Vasileska and S.M. Goodnick (2001). Efficient Poisson equation
solvers for large scale 3D simulations, Technical Proceedings of the 2001
International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, Nanotech
2001, Vol. 1, 23 – 26.
[8] D. N. Thao and L. H. Hai (2010). 3D simulation of semiconductor devices using
BICGSTAB (3) for the solution of Poisson’s equation, Journal of Science and
Education 15, 19-26.
[9] D. N. Thao and N. T. Ngoc (2010). 3D simulation of semiconductor devices using
preconditioned BICGSTAB algorithm with Jacobi preconditioner for the solution of
Poisson’s equation, Journal of Science and Education 16, 34-41.
- NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU CÓ TÍNH ĐẾN ĐIỀU KIỆN BIÊN... 51
[10] D. N. Thao, D. T. D. My, N. C. P. Thi and N. T. Thuy (2011). Three-dimensional
simulation of nano semiconductor devices using GPBICG algorithm for the solution
of the Poisson's equation, Journal of Science 65, 215-223.
NGUYỄN VĂN ĐẲNG
LÊ HÀ DUNG
NGUYỄN THỊ THU HẰNG
SV lớp VLTT 4, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế
nguon tai.lieu . vn
