Xem mẫu
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM
CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT
NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
Khoa Toán học
1 GIỚI THIỆU
Khái niệm nghịch đảo Drazin ra đời vào năm 1958 bởi nhà toán học Drazin mà khi mới
ra đời ông gọi là nghịch đảo suy rộng. Lý thuyết nghịch đảo Drazin đã phát triển một
cách nhanh chóng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi
phân, lý thuyết dồ thị, lý thuyết mật mã. . . Vì vậy ngay từ khi mới ra đời đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Việc đi tìm một biểu diễn tường minh cho
nghịch đảo Drazin của ma trận bất kỳ là một vấn đề không hoàn toàn đơn giản. Năm 2009
Catral, Olesky và Driessche đã cho một biểu diễn cho nghịch đảo Drazin của ma trận hai
thành phần. Năm 2010, trong khóa luận của mình Nguyễn Tý cho một biểu diển nghịch
đảo Drazin khi hạng của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1. Năm 2010 Kyrchei đã thiết lập
một biểu diển nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp. Kết quả này được Thanh Hương tổng
quan lại một cách hệ thống trong khóa luận của mình vào năm 2011. Năm 2011, X. Liu,
L Wu and J. Benitez đã thiết lập một biểu diển cho nghịch đảo nhóm của tổ hợp tuyến
tính của hai ma trận khả nghịch nhóm. Ta biết rằng nghịch đảo nhóm là một trường hợp
đặc biệt của nghịch đảo Drazin. Vấn đề đặt ra là liệu có mở rộng được kết quả Liu, Wu
và Benitez cho nghịch đảo Drazin hay không?
2 MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI GẦN ĐÂY VỀ NGHỊCH ĐẢO NHÓM
Lưu ý: Nếu P ∈ C n∗n là khả nghịch nhóm, ta xác định P π = In − P P # thì rõ ràng rằng
P π là hàm lũy đẳng và P P π = P π P = 0. Hiển nhiên, nếu P ∈ C n∗n là khả nghịch nhóm
và c ∈ C\{0} thì P π = (cP )π
Định lý 2.1. Cho A ∈ C n∗n . Khi đó A là khả nghịch nhóm nếu và chỉ nếu tồn tại ma
trận không suy biến U ∈ C n∗n và C ∈ C r∗r sao cho A = U (C ⊕ 0)U −1 với r là hạng của
A. Hay A# = U (C −1 ⊕ 0)U −1
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013: tr. 19-30
- 20 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
Định lý 2.2. Giả sử
" #
A B
M= ∈ C n∗n , A ∈ C m∗m (1)
0 C
Khi đó:
i) M # tồn tại khi và chỉ khi A# và C # tồn tại và Aπ BC π = 0
ii) Nếu M # tồn tại thì
" #
A # X
M# = (2)
0 C#
mà
X = (A# )2 BC π + Aπ B(C # )2 − A# BC #
Định lý 2.3. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b là hai số phức
6= 0.
Nếu P QQ# = QP P # thì aP + bQ là khả nghịch nhóm.
Nếu a + b 6= 0 thì:
1 1 1 1 1
(aP + bQ)# = [P # + Q# − P # QQ# ] + ( − )Qπ P # + ( − )P π Q#
a+b a a+b b a+b
Hơn nữa:
(P − Q)# = (P − Q)(P # − Q# )2
Chứng minh:
Gọi r là hạng của P. Với P là là nhóm khả nghịch, khi đó sẽ tồn tại ma trận không suy
biến U ∈ C n∗n và A ∈ C r∗r rằng P = U (A ⊕ 0)U −1 (**)
Ta viết:
" # " #
Q1 Q2 −1 Q1 Q2
Q=U U #
; QQ = U U −1 ; Q1 , X1 ∈ C r∗r ; (3)
Q3 Q4 Q3 Q4
Khi đó: " # " #
AX1 AX2 Q1 0
P QQ# = U U −1 và QP P # = U U −1 ; (4)
0 0 Q3 0
Từ giả thiết và tính không suy biến của A, ta đặt:
X2 = 0, Q3 = 0, AX1 = Q1 (*1)
Khi đó: " #
Q1 Q2
Q=U U −1 ; (5)
0 Q4
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 21
Áp dụng định lý 3.2(Mời xem bản báo cáo tổng kết), ta có Q1 và Q4 là khả nghịch nhóm và:
" #
Q# M
Q# = U 1
U −1 với M ∈ C r∗(n−r) (6)
0 Q#4
Sử dụng (5), (6) và đại diện của QQ# trong (3), ta đặt:
X1 = Q1 Q# , X3 = 0, X4 = Q4 Q# 4 (*2)
Sử dụng đại diện của QQ# trong (3), các đẳng thức (*1), (*2) ta có:
" #
Q1 Q# 0
#
QQ = U 1
U −1 (7)
0 Q4 Q#
4
Sử dụng đẳng thức Q = Q(QQ# ) = (QQ# )Q và các đại diện của Q VÀ QQ# từ (5) và (7)
ta có:
Q2 = Q2 Q4 Q# #
4 = Q1 Q1 Q2
Gọi x, y là hạng của Q1 và Q4 . Khi đó, Q1 và Q4 là nhóm ma trận khả nghịch sao cho
tồn tại ma trận không suy biến W ∈ C r∗r và B1 ∈ C x∗x và V ∈ C (n−r)∗(n−r) và B2 ∈ C y∗y
rằng:
Q1 = W (B1 ⊕ 0)W −1 và Q4 = V (B2 ⊕ 0)V −1 (*3)
Ta có: Với Q2 ∈ C r∗(n−r) Ta có:
" #
B3 B4
Q2 = W V −1 với B3 ∈ C x∗y (8)
B5 B6
Từ Q2 = Q1 Q# #
1 Q2 , đặt B5 = 0 và B6 = 0. Sử dụng Q2 = Q2 Q4 Q4 , dẫn đến B4 = 0. Do đó:
" #
B3 0
Q2 = W V −1 (9)
0 0
Ta có:
" #
A1 A2
A=W W −1 với A1 ∈ C x∗x (10)
A3 A4
Từ đẳng thức (*1) và (*2) và Q1 ở (*3) ta có:
A1 = B 1 A3 = 0 (*4)
Từ (10) và A3 = 0 và ma trận không suy biến A thể hiện rằng A1 và A4 là không suy biến và:
" #
A−1 −A−1 −1
1 A2 A4
A−1 = W 1
W −1 (11)
0 A−1
4
- 22 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
Ta xác định ma trận không suy biến Z = U (W ⊕ V )
Từ (**) và (5), ta thu được:
" # " #
W −1 AW 0 W −1 Q1 W W −1 Q2 V
P =Z Z −1 ; Q = Z Z −1 (12)
0 0 0 V −1 Q4 V
Từ (9)(10) và (*3)(*4). Ta có:
B1−1 A2 0 0 B1 0 B3 0
0 A4 0 0 −1 0 0 0 0 −1
P =Z Z ;Q = Z Z (13)
0 0 0 0
0 0 B2 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Như vậy:
(a + b)B1 aA2 bB3 0
0 aA4 0 0 −1
aP + bQ = Z Z (14)
0 0 bB2 0
0 0 0 0
Thật dễ dàng thấy từ định nghĩa của nghịch đảo nhóm và từ (13). Ta có:
B1−1 −B1−1 A2 A−1
4 0 0
−1
#
0 A 4 0 0 Z −1
P =Z (15)
0 0 0 0
0 0 0 0
Và
B1−1 0 −B1−1 B3 B2−1 0
A−1
#
0 4 0 0 −1
Q =Z Z (16)
0 0 B2−1 0
0 0 0 0
Hơn nữa, Từ (**) Ta đặt:
P P # = U (Ir ⊕ 0)U −1 = Z(W −1 ⊕ V −1 )(Ir ⊕ 0)(W ⊕ V )Z −1 = Z(Ir ⊕ 0)Z −1
Do đó:
P P # = Z(Ix ⊕ Ir−x ⊕ 0 ⊕ 0)Z −1 (*5)
Từ (7) và (*3) ta thu được:
QQ# = U (Q1 Q# #
1 ⊕ Q4 Q4 )U
−1 = Z(I ⊕ 0 ⊕ I ⊕ 0)Z −1
x y (*6)
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 23
Từ giả thiết rằng a + b 6= 0. Thật không khó ta nhìn thấy ma trận:
(a + b)−1 B1−1 −(a + b)−1 B1−1 A2 A−1
4 −(a + b)−1 B1−1 B3 B2−1 0
a−1 A−1
0 4 0 0 −1
X =Z Z (17)
0 0 b B2−1
−1 0
0 0 0 0
Thỏa mãn:
(aP + bQ)X = X(aP + bQ), (aP + bQ)X(aP + bQ) = aP + bQ và X(aP + bQ)X = X. Vì
vậy aP + bQ là khả nghịch nhóm và (aP + bQ)# = X.
Quan sát ta có X được biểu diễn:
B1−1 −B1−1 A2 A−1
4 −B1−1 B3 B2−1 0
1 0 0 0 0 −1
X= Z Z (18)
a+b
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 A−1
1 4 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1
+ Z Z + Z Z (19)
a
0 0 0 0
b
0 0 B2−1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Ta tính toán thấy rằng Qπ P # và P π Q# . Từ (15) và (*6) Ta có:
0 0 0 0 B1−1 −B1−1 A2 B4−1 0 0
A−1
π #
0 Ir−x 0 0 0 4 0 0 −1
Q P =Z Z (20)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 In−r−y 0 0 0 0
0 0 0 0
0 A−1
4 0 0 −1
=Z Z (21)
0 0 0 0
0 0 0 0
Từ (16) (*5) Ta thu được
0 0 0 0 B1−1 0 −B1−1 B3 B2−1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 −1
P π Q# = Z
Z (22)
0
0 Iy 0
0 0 B2−1 0
0 0 0 In−r−y 0 0 0 0
- 24 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
0 0 0 0
0 0 0 0 −1
=Z Z (23)
0 0 B2−1 0
0 0 0 0
Ta có:
B1−1 −B1−1 A2 B4−1 0 0 Ix 0 0 0
A−1
# #
0 4 0 0 0 0 0 0 −1
P QQ = Z Z (24)
0 0 0 0
0 0 Iy 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B −1 0 0 0
1
0 0 0 0 −1
=Z 0
Z (25)
0 0 0
0 0 0 0
Theo cách trên ta có thể chứng minh được rằng P # QQ# = Q# P P #
Vì vậy:
1 1 1 1 1
X= [P # + Q# − P # QQ# ] + ( − )Qπ P # + ( − )P π Q#
a+b a a+b b a+b
Mặt khác, ta có thể chứng minh được rằng P − Q là khả nghịch nhóm, do đó ta có biểu
thức (P − Q)# . Từ (13) ta có:
0 A2 −B3 0
0 A4 0 0 −1
P −Q=Z Z (26)
0 0 −B2 0
0 0 0 0
Thật không khó để thấy rằng:
0 A2 (A−1
4 )
2 B (B −1 )2
3 2 0
A−1
0 4 0 0 −1
Y =Z Z (27)
0 0 −B2−1 0
0 0 0 0
Thỏa:
(P − Q)Y = Y (P − Q), (P − Q)Y (P − Q) = (P − Q) và Y (P − Q)Y = Y
Vì vậy P − Q là khả nghịch nhóm và (P − Q)# = Y . Ta có thể biểu diễn Y theo P và Q
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 25
Từ (15) và (16) Ta có:
0 −B1 A2 A−1
4 B1−1 B3 B2−1 0
A−1
#
# 0 4 0 0 −1
P −Q =Z Z (28)
0 0 −B2−1 0
0 0 0 0
Suy ra:
0 −B1 A2 (A−1
4 )
2 −B −1 B (B −1 )2
1 3 2 0
(A−1 2
#
# 2 0 4 ) 0 0 −1
(P −Q ) =Z Z (29)
0 0 (B2−1 )2 0
0 0 0 0
Từ đó ta có:
0 A2 (A−1
4 )
2 −B (B −1 )2
3 2 0
−1
# # 2
0 A4 0 0 −1
(P − Q)(P −Q ) =Z Z = Y (30)
0 0 B2−1 0
0 0 0 0
Điều phải chứng minh.
Định lý 2.4. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b là hai số phức
6= 0.
Nếu QQ# P = P P # Q thì aP + bQ là khả nghịch nhóm.
Nếu a + b 6= 0 thì:
1 1 1 1 1
(aP + bQ)# = [P # + Q# − Q# QP # ] + ( − )P # Qπ + ( − )Q# P π
a+b a a+b b a+b
Hơn nữa:
(P − Q)# = (P # − Q# )2 (P − Q)
Chứng minh:
Tương tự như trong phần chứng minh định lý 3.3 (Bản báo cáo tổng kết) đối với tổ hợp
tuyến tính a0 P ∗ + b0 Q∗ và sử dụng ma trận C có nghịch đảo nhóm nếu và chỉ nếu C ∗ là
khả nghịch nhóm. Trong trường hợp này (C ∗ )# = (C # )∗
Hệ quả 2.5. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b là hai số phức
6= 0.
Nếu P QQ# = QP P # và QQ# P = P P # Q thì aP + bQ và P Q là khả nghịch nhóm.
- 26 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
Nếu a + b 6= 0 thì:
1 1 1
(aP + bQ)# = P # QQ# + Qπ P # + P π Q#
a+b a b
Hơn nữa:
(P − Q)# = P # − Q#
và:
(P Q)# = (P # QQ# )2 = (QP )#
Chứng minh:
Từ P QQ# = QP P # đã được chứng minh ở định lý 3.3, P và Q có thể được viết tương
tự như (7) (phần chứng minh định lý 3.3 (Bản báo cáo tổng kết)), P P # tương tự (*5) và
QQ# tương tự (*6). Từ QQ# P = P P # Q. Đặt A2 = 0 và B3 = 0. Do đó:
P = Z(B1 ⊕ A4 ⊕ 0 ⊕ 0)Z −1 và Q = Z(B1 ⊕ 0 ⊕ B2 ⊕ 0)Z −1
Vì vậy:
aP + bQ = Z((a + b)B1 ⊕ aA4 ⊕ bB2 ⊕ 0)Z −1
P Q = Z(B1 2 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0)Z −1
Vì vậy aP + bQ là nhóm khả nghịch và:
1 1
(aP + bQ)# = Z((a + b)# B1 −1 ⊕ A4 −1 ⊕ B2 −1 ⊕ 0)Z −1
a b
(P Q)# = Z(B1−2 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0)Z −1
Ở đây, ta xác định λ# = λ−1 với λ ∈ C\{0} và 0# = 0.
Từ đó việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn từ (21) (23) (25).
Do đó nếu P và Q là ma trận lũy đẳng thì P và Q là khả nghịch nhóm và P # = P và
Q# = Q. Từ việc sử dụng định lý 3.3 Ta thu được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.6. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận lũy đẳng sao cho P Q = QP thì:
3
(P + Q)# = P + Q − P Q
2
và (P − Q)# = P − Q
Do đó nếu P và Q là ma trận lũy đẳng thì P và Q là nghịch đảo nhóm và P # = P và
Q# = Q. Từ việc sử dụng định lý 3.3 Ta thu được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.7. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận lũy đẳng cấp 3 sao cho P Q2 = QP 2 thì:
1 1 1
(P + Q)# = P + Q − P Q2 − P 2 Q − Q2 P
2 2 2
và:
(P − Q)# = (P − Q)3 = (P − Q) + (Q2 P − P 2 Q) + (QP Q − P QP )
Từ định lý 3.4 ta thu được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.8. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận lũy đẳng cấp 3 sao cho P Q2 = QP 2 thì:
1 1 1
(P + Q)# = P + Q − P Q2 − P Q2 − QP 2
2 2 2
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 27
và:
(P − Q)# = (P − Q)3 = (P − Q) + (QP 2 − P Q2 ) + (QP Q − P QP )
Khi P, Q ∈ C n∗n là lũy đẳng, điều kiện QP = P được nghiên cứu trong nhiều năm và nó
xuất hiện nhiều trường phái ứng dụng về toán (ở đây ta có thể chứng minh QP=P khi và
chỉ khi miền P là không gian con của miền Q).
Định lý 2.9. Cho P, Q ∈ C n∗n là hai ma trận khả nghịch. Nếu QP # P = P và a, b
∈ C\{0} là hai số thỏa a + b 6= 0 thì aP + bQ là khả nghịch nhóm và:
a b a2 + 2ab π # π a
(aP + bQ)# = 2
P# + 2
Q# + P Q P − P # (Q − P )Q#
(a + b) (a + b) b(a + b)2 (a + b)2
Chứng minh
Gọi r là hạng của P. Từ định lý 3.1 (Bản báo cáo tổng kết), tồn tại ma trận không suy
biến U ∈ C n∗n và A ∈ C r∗r rằng P = U (A ⊕ 0)U −1 vì vậy P # = U (A−1 ⊕ 0)U −1 và
P π = U (0 ⊕ In − r)U −1 . Ta có:
" #
Q1 Q2
Q=U U −1 (31)
Q3 Q#
4
Từ QP P # = P ta đặt Q1 = A và Q3 = 0. Từ đây, ứng dụng định lý 2.2 (Bản báo cáo
tổng kết) cho ma trận Q khả nghịch nhóm thu được Q4 là khả nghịch nhóm và
" #
A−1 X
Q# = U U −1 ; X = A−2 Q2 Qπ4 − A−1 Q2 Q#
4 (32)
0 Q#
4
Khi đó:
" #
(a + b)A bQ2
aP + bQ = U U −1 (33)
0 bQ4
Từ định lý 3.2, tồn tại (aP + bQ)# và:
" #
(a + b)−1 A−1 Y
#
(aP + bQ) = U U −1 (34)
0 b Q#
−1
4
Với:
Y = (a + b)−2 A−2 (bQ2 )(bQ4 )π − (a + b)−1 A−1 (bQ2 )(bQ4 )#
= b(a + b)−2 A−2 Q2 Qπ4 − (a + b)−1 A−1 Q2 Q#
4
Ta có:
- 28 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
" # " #
(a + b)−1 A−1 Y 1 1 0 Y
U −1 U= P # + P π Q# P π + U −1 U (35)
0 b Q#
−1
4
a+b b 0 0
Nhưng " # " # " #
0 Y b 0 A−2 Q2 Qπ4 1 0 A−1 Q2 Qπ4
= − (36)
0 0 (a + b)2 0 0 a+b 0 0
" # " #
b A−1 A−2 Q2 Qπ4 − A−1 Q2 Q#
4 b A−1 0
= − (37)
(a + b)2 0 Q#4
(a + b)2 0 0
" # " #
b 0 0 b 1 0 A−1 Q2 Q#
4
= +( − ) (38)
(a + b)2 0 Q#
4
(a + b) 2 (a + b) 0 0
b b 1
= U{ 2
(Q# − P # − P π Q# P π ) + ( 2
− )P # (Q − P )Q# }U −1
(a + b) (a + b) (a + b)
Khi đó: ta có:
" #
−1 (a + b)−1 A−1 Y
U U (39)
0 b−1 Q#
4
a b 2
= P #+ Q# + a + 2ab P π Q# P π − a
P # (Q − P )Q#
(a + b)2 (a + b)2 b(a + b) 2 (a + b)2
Điều phải chứng minh.
3 NGHỊCH ĐẢO NHÓM QUA TỔ HỢP TUYẾN TÍNH HAI MA TRẬN
Định lý 3.1. (Về tổ hợp tuyến tính 2 ma trận nghịch đảo nhóm) Gọi P, Q là 2 ma
trận khả nghịch nhóm với P Q = QP ,khi đó tồn tại ma trận không suy biến Z ∈ C n∗n và
A1 , B1 ∈ C x∗x A2 ∈ C (r−x)∗(r−x) và B2 ∈ C y∗y rằng:
P = Z(A1 ⊕ A2 ⊕ 0 ⊕ 0)Z −1 ,Q = Z(B1 ⊕ 0 ⊕ B2 ⊕ 0)Z −1 , A1 B1 = A2 B2
Chứng minh:
Gọi r là hạng của P. Vì P là khả nghịch nhóm. Từ định lý 3.1 ta có:
tồn tại ma trận không suy biến U ∈ C n∗n và A ∈ C r∗r rằng P = U (A ⊕ 0)U −1 . Ta có:
" #
Q1 Q2
Q=U U −1 (40)
Q3 Q#
4
- NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 29
Khi đó:
" #
Q1 A 0
QP = U U −1 (41)
Q3 A 0
" #
AQ1 AQ2
PQ = U U −1 (42)
0 0
Với P Q = QP Từ ma trận A không suy biến. Ta đặt Q1 A = AQ1 Q2 = 0 và Q3 = 0. Khi
đó: Q = U (Q1 ⊕ Q4 )U −1 .
Từ định lý 3.2 (Bản báo cáo tổng kết) Q1 và Q4 là các nhóm khả nghịch. Gọi x,y là hạng
của Q1 và Q4 . Từ định lý 3.1 (Bản báo cáo tổng kết), tồn tại ma trận không suy biến
B1 ∈ C x∗x ; W ∈ C r∗r và B2 ∈ C y∗y ; V ∈ C (n−r)∗(n−r) rầng:
Q1 = W (B1 ⊕ 0)W −1 và Q4 = V (B2 ⊕ 0)V −1
Nếu ta xác định Z = U (W ⊕ V ) thì ta có: Q = Z(B1 ⊕ 0 ⊕ B2 ⊕ 0)W −1
và
" #" #" #
−1 W 0 W −1 AW 0 W −1 0
P = U (A ⊕ 0)U = U −1 (43)
0 V 0 0 0 V −1
= Z(W −1 AW ⊕ 0)Z −1
Ta viết:
" #
−1 X1 X2
W AW = ; X1 ∈ C x∗x (44)
X3 X4
Từ AQ1 = Q1 A Ta có:
" #" # " #" #
X1 X2 B1 0 B1 0 X1 X2
= (45)
X3 X4 0 0 0 0 X3 X4
Từ đây ta có ma trận không suy biến B1 với X1 B1 = B1 X1 , X2 = 0 và X3 = 0 Ta cũng
có X1 và X4 là không suy biến và điều này thể hiện từ W −1 AW = X1 ⊕ X4 và ma trận A
không suy biến
Hệ quả 3.2. Gọi P và Q ∈ C n∗n là 2 ma trận khả nghịch rằng P Q = QP . Khi đó P, Q, P #
và Q# là giao hoán
- 30 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ
Hệ quả 3.3. Gọi P và Q ∈ C n∗n là 2 ma trận khả nghịch rằng P Q = QP và a, b ∈ C\{0}.
Thì aP + bQ là khả nghich nhóm nếu và chỉ nếu aP QQ# + bQP P # là khả nghịch nhóm.
Khi đó:
1 1
(aP + bQ)# = (aP QQ# + bQP P # ) + P # Qπ + Q# P π
a b
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] X. Liu, L Wu and J. Benitez, On the group inverse of linear combinations of two group
invertible matrices, Electronic Journal of Linear Algebra, 21:490-503, 2011.
[2] Nguyễn Thị Thanh Hương, Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp, Khóa
luận tốt nghiệp, Trường đại học sư phạm Huế (2011).
[3] Nguyễn Tý, Đồ thi hai thành phần và nghịch đảo Drazin của ma trận, Khóa luận tốt
nghiệp, Trường Đại học Sư Phạm Huế (2010).
[4] Các tài liệu lấy từ Internet.
NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI
LÊ THỊ QUỲNH DƯ
SV lớp Toán 4B, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
ĐT: 0934.694.428, Email: nguyenngoc.uyennhi@gmail.com
nguon tai.lieu . vn
