1. Trang Chủ
  2. Vật lý
  3. Một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi Spin một chiều với mô hình Heisenberg

Một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi Spin một chiều với mô hình Heisenberg

Ngày nay các tích phân phiếm hàm đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý lý thuyết như trong cơ học lượng tử [4], lý thuyết trường lượng tử, cơ học thống kê lượng tử đều có thể được viết trong dạng các tích phân phiếm hàm. Từ lâu, đây đã là một phương pháp hữu dụng và mô tả chính xác các hành vi của hệ spin. MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN MỘT CHIỀU VỚI MÔ HÌNH HEISENBERG VÕ QUANG NHẬT NGUYỄN THỊ THU HẰNG - VÕ CÔNG HƯỚNG LÊ THỊ NGỌC THANH - NGÔ THỊ THUẬN Khoa

Thể loại Tài liệu miễn phí Vật lý

Số trang 8

Ngày tạo 4/8/2023 7:34:35 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.63 M

Tên tệp

Tải Một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi Spin... (.pdf)

Xem mẫu

  1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN MỘT CHIỀU VỚI MÔ HÌNH HEISENBERG VÕ QUANG NHẬT NGUYỄN THỊ THU HẰNG - VÕ CÔNG HƯỚNG LÊ THỊ NGỌC THANH - NGÔ THỊ THUẬN Khoa Vật lý 1. GIỚI THIỆU Ngày nay các tích phân phiếm hàm đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý lý thuyết như trong cơ học lượng tử [4], lý thuyết trường lượng tử [4], cơ học thống kê lượng tử [4] đều có thể được viết trong dạng các tích phân phiếm hàm. Từ lâu, đây đã là một phương pháp hữu dụng và mô tả chính xác các hành vi của hệ spin [1], [6]. Phương pháp tích phân phiếm hàm cho các mô hình spin khối và màng mỏng khác nhau đã được phát triển thành công trong các công trình [2], [6], do đó cũng rất đáng quan tâm để được nghiên cứu trong các hệ 1 chiều. 2. MÔ HÌNH LÝ THUYẾT Hình 1. Mô hình chuỗi spin 1 chiều, với J là tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất. Xét một chuỗi spin một chiều, với N là tổng số spin (xem hình 1). Hệ tọa độ được chọn như sau: trục Oz song song với chuỗi spin, vuông góc với mặt phẳng xOy. Vị trí của mỗi ur spin trong mạng được xác định bởi các chỉ số j, R j là véctơ một chiều để chỉ vị trí của spin j. Mô hình Heisenberg cho hệ spin một chiều với Hamiltonian được viết như sau: 1 r r H = -­‐ gmhext  S zj -­‐  J ( R j -­‐ R j ' )S zj S zj , (1) j 2 j, j ' ở đây, số hạng đầu tiên của (1) là Hamiltonian của các spin không tương tác trong một từ trường ngoài đồng nhất với cường độ hext có hướng dọc theo hướng z; số hạng thứ hai r r v là Hamiltonian trao đổi Heisenberg; J ( R j -­‐ R j ' ) là tương tác trao đổi giữa các spin S j v và S j ' ; µ là mômen từ của một nút mạng; g là hằng số Lande. Biểu diễn Hamiltonia (1) dưới dạng 1 r r r H = -­‐  J (k )S z (k )S z (-­‐ k ) -­‐ g mhext  S zj = H 0 + H int , (2) 2 kr j Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, tháng 12/2013, tr: 59-66
  2. 60 VÕ QUANG NHẬT và cs. với r 1 rur r r r r ur ur S z (k ) = ∑ S z exp ⎡⎣−ik R j ⎤⎦; J (k ) = ∑ J ( R j − R j ' ) exp ⎡⎣−ik ( R j − R j ' )⎤⎦. (3) N j j 1 r r r H 0 = -­‐ gmhext  S zj ; H int = -­‐  J (k ) S z (k ) S z (-­‐ k ). (4) j 2 kr r Trong (4), k (k z ) là véctơ sóng một thành phần liên quan đến tính đối xứng tịnh tiến trong chuỗi spin. Bởi vì tính đối xứng tịnh tiến trong chuỗi spin mà ta luôn có S zj = S z . Các toán tử thống kê của hệ có thể được viết trong biểu diễn tương tác sử dụng ma trận tán xạ s ( b ) , Hamiltonian không tương tác H0 và phần tương tác Hint ÏÔ b r z r r ¸Ô $ exp Ô 1 Ô ÌÚ Â z exp(-­‐ b H ) = exp(-­‐ b H 0 )s ( b ) = exp(-­‐ b H 0 )T J ( k ) S ( k , t ) S (-­‐ k , t )d t ˝, Ô Ô 2 r Ô Ô Ô 0 k ,a Ó ˛Ô (5) với Tˆ là toán tử trật tự “thời gian” b . Sử dụng phép biến đổi tích phân Stratonovich – Hubbard (xem [6]) È1 ˘ Ê • ˆ ÏÔ 1 ¸Ô Á dyi ˜˜ exp Í Â xi Âij x j ˙˙ = Í Á Á’ Ú ˜˜ exp ÔÌ -­‐  yi + 2  xi Â1/2 Ô ij y j ˝ (6) ÍÎ2 i , j ˙˚ Á Á 2p ˜¯ˉ Ô Ô 2 i Ô Ëi -­‐ • Ó i, j ˛Ô cho phương trình cuối trong (5), ở đây  là ma trận đối xứng, Â1/2 ij là yếu tố ma trận của ma trận Â1/2 , với (Â1/2 )2 =  , chúng tôi nhận được ÏÔ ¸Ô ÏÔ r ¸Ô Ô 1 z r Ôµ Ô ÈJ ( k ) ˘1/2j z S rz Ô exp(-­‐ b H) = exp(-­‐ b H 0 ) Ú(dj )exp Ì -­‐  j qrzj T -­‐ q ˝Ô exp Ì Â ÍÎ ˙˚ q q ˝Ô. (7) Ô Ô 2 qr Ô Ô Ô r Ô Ô Ó ˛Ô Ôq Ó ˛Ô r r Ở đây: q = (k , w), ... = Âr Âr  ... (8) q k w b Sqrz = b -­‐ 1 Úe it w rz Sk (t )dt , (9) 0 a r ,c + • a r ,s +• dj 0a +•dj dj Ú(dj ) = ’ Ú 2p r’ Ú p q q Ú p . (10) a -­‐ • k π 0 -­‐ • -­‐ • Sử dụng biểu thức (7) chúng tôi đã nhận được biểu diễn tích phân phiếm hàm cho năng lượng tự do
  3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC... 61 Ï Ô ¸ Ô 1 = -­‐ b -­‐ 1 ln Ú(dj ) exp Ô F = -­‐ b -­‐ 1 lnSp e-­‐ bH Ì -­‐ Â j z z rÔ r j ˝ Ô Ô 2 qr q -­‐ q ÔÔ Ô Ó ˛Ô (11) ÏÔ ¸ -­‐ b H 0 µ Ô È r ˘1/2 rz rz Ô Ô ¥ Sp e T exp Ì Âr ÍJ ( k )˙ j q Sq ˝ Ô Î ˚ Ô Ô Ôq Ó Ô ˛Ô 1 È 1 r r ˘ hay: F = F0 -­‐ ln Ú(dj ) exp ÍÍ-­‐ Â j z ( q )j z (-­‐ q ) -­‐ Fint [j ]˙˙, b 2 qr ÎÍ ˚˙ 1 N sh( S + 1 / 2) y với: F0 = − ln Spe− β H0 = − ln ( ) , (12) β β sh ( y / 2 ) và a = x, y , z . Số hạng thứ hai Fint [j ] trong (11) là phiếm hàm tương tác và có thể được biểu diễn trong dạng chuỗi như sau ∞ 1 r r r r r r − Fint [ϕ ] = ∑ ∑ β 1/2 J 1/2 k1 ...β 1/2 J 1/2 km ϕ z ( q1 )...ϕ z ( qm ) M z... z ( q1,..., qm ) . ( ) ( ) m = 2 m ! q ,..., q r r 1 m (13) r r ˆ z ( qr ) ...S z ( qr ) ir với: M z... z ( q1,..., qm ) = TS 1 m , (14) 0 ir và ... biểu thị trung bình tối giản các toán tử spin thành phần theo tập hợp thống kê 0 cân bằng không tương tác. Các giá trị trung bình rút gọn có dạng như sau (xem [6]) r r ⎛ ⎞ 1−n /2 r r M zν1......ν z n ( q1 ,..., qn ) = ⎜ ∏ δ (ωn ) ⎟ N δ k 1 + ...(+ k ) n δ ν1 ν2 δ ν2 ν3 ...δ νn −1 νn b ( n −1) ( yv1 ), ⎝ n ⎠ (15) với b ( y ) và b( m) ( y ) là hàm Brillouin và các đạo hàm cấp m của nó 1 1 1 y b ( y ) = ( S + )cth( S + ) y -­‐ cth . (16) 2 2 2 2 Tiếp theo chúng tôi sử dụng phép gần đúng Gaussian, lúc đó phiếm hàm Fint [ϕ ] có dạng đơn giản như sau 1 r 1/2 r r r r z r -­‐ Fint [j ]= Â 2! qr ,qr b J 1/2 ( q1 )J ( q 2 )d( w1 )d( w2 )d( k 1 + k 2 ) b'( y )j z ( q1 )j ( q 2 ) (17) 1 2 Do đó
  4. 62 VÕ QUANG NHẬT và cs. ÏÔ r z r ¸Ô 1 Ô 1 Ô F = F0 -­‐ ln Ú(dj ) exp Ì -­‐  j ( q)j (-­‐ q)˝ z b Ô Ô 2 q r Ô Ô Ô Ó ˛Ô (18) 1 r r r r r r ¥ exp{  b Jˆ 1/2 ( q1 )Jˆ 1/2 ( q 2 )d( w1 )d( w2 )d( k 1 + k 2 ) b'( y ν1 )j z z ν '1 ( q1 )j ν '2 ( q 2 )}, 2! qr ,qr 1 2 với F0 được tính theo công thức (12). Tính toán tích phân phiếm hàm biểu diễn trong (18), chúng tôi nhận được biểu diễn cho năng lượng tự do của chuỗi spin 1 chiều N sh( S + 1 / 2) y 1 r F = -­‐ b ln y + 2 b Âr ˆ A( ln det 1- ˆ k ). (19) sh k 2 r ˆ k ) là ma trận vuông cấp n Với A( r r r r Êb b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) ... b b '( y1 ) J1n ( k ) ˆ˜˜ Á Á 1 11 1 12 1 13 Á r r r r ˜˜ Á Áb b '( y2 ) J 21 ( k ) b b '( y2 ) J 22 ( k ) b b '( y2 ) J 23 ( k ) ... b b '( y2 ) J 2n ( k ) ˜˜˜ r Á r r r r ˜˜ ˆ k)= Á Á A( Á Áb b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) ... b b '( y3 ) J 3n ( k ) ˜˜ (20) Á 3 31 3 32 3 33 ˜˜ Á Á ... ... ... ... ... ˜˜ Á Á r r r r ˜˜˜ Áb b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y b b '( y n ) J nn ( k ) ¯ˉ˜ Ë n n1 n n2 n n3 ) ) J ( k ... r với các thành phần của ma trận Jˆ (k ) có dạng như sau r r ⎧ J (k ), α = α ' = z Jαα ' (k ) = ⎨ (21) ⎩0, α = x, y; α ' = x, y Nội năng và nhiệt dung riêng của hệ có thể được xác định từ năng lượng tự do (19) ∂( β F ) ∂U U= , C= (22) ∂β ∂T Trong gần đúng trường trung bình (mean field - MF) tích của các toán tử spin được thay ur bởi tích của toán tử spin S j và giá trị trung bình của các toán tử spin lân cận của nó ur ur S j = S (hệ đồng nhất). Giả sử chỉ tồn tại những tương tác lân cận gần nhất, với Zn là số các lân cận gần nhất, và Jij = J giống nhau cho tất cả các lân cận, và lúc đó ta có mMF ª Sz = b( yMF ). (23) 0 với: ( yMF = β g µ hext + J ( 0 ) S z 0 ). (24)
  5. MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC... 63 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN Để tính toán số, chúng tôi sử dụng gần đúng trao đổi lân cận gần nhất (n.n), ở đây chỉ có ur r ur ur tích phân trao đổi n.n J (D ) , ( D = R j -­‐ R j ¢ là véctơ mạng chỉ các spin n.n trong chuỗi) là khác 0. Thành phần Fourier của tích phân trao đổi có dạng như sau r J (k ) = 2. J .cos(k z .a) (25) Ma trận (20) bây giờ trở thành r Êb b '( y ) J (k ) 0 0 ... 0 ˆ˜ Á Á ˜˜ Á r ˜˜ Á Á 0 b b '( y ) J ( k ) 0 ... 0 ˜˜ r Á Á r ˜˜ ˆ A(k ) = Á ˜˜ (26) Á Á 0 0 b b '( y ) J ( k ) ... 0 Á ˜˜ Á Á ... ... ... ... ... ˜˜ Á Á r ˜˜˜ Á Ë 0 0 0 ... b b '( y ) J ( k )¯ˉ˜ b Ở đây τ C = TC / TCb là nhiệt độ Curie tương đối. TC là nhiệt độ Curie của mạng spin khối tương ứng; TCb = S (S + 1)Z n J 3kB , ở đây Z n là số các nút lân cận gần nhất. Chúng tôi tính toán số cho điểm Curie bằng cách giải các phương trình m ( τC ) = 0 (27) Chúng tôi lựa chọn các tham số cho tính toán số như sau: S=1, N=1000. 3.1. Khi không có trường ngoài (hext = 0) Hình 2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa cho chuỗi spin 1 chiều, ở đây N=1000, hext=0, S=1. Hình 2 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa cho chuỗi spin 1 chiều. Từ hình 2 có thể thấy rằng khi nhiệt độ tăng thì độ từ hóa giảm tương ứng và triệt tiêu tại điểm ứng với nhiệt độ Curie. Có thể giải thích về sự triệt tiêu của độ từ hóa của một hệ ở nhiệt độ Curie và sự phụ thuộc của các tính chất từ vào nhiệt độ thông qua các kích thích nhiệt. Trong các hệ sắt từ, ở 0K chúng ta có thể giả sử tất cả các spin trong tinh thể của vật
  6. 64 VÕ QUANG NHẬT và cs. liệu sắt từ đều định hướng song song nhau. Tuy nhiên, khi nhiệt độ tăng lên thì các thăng giáng nhiệt sẽ làm cho các spin lệch khỏi vị trí cân bằng và truyền sự dao động này tới spin của các nguyên tử lân cận thông qua tương tác trao đổi giữa chúng, đây chính là hành vi của động lực học tập thể của các spin trong tinh thể. Khi các spin bị lệch khỏi vị trí cân bằng thì tất nhiên độ từ hóa của hệ sẽ giảm đi và khi các spin bị mất đi hoàn toàn các trật tự sắt từ của chúng là lúc nhiệt độ của hệ đạt đến nhiệt độ Curie. Từ hình 2 có thể xác định được nhiệt độ Curie của hệ (cũng xem bảng 1). Bảng 2.1. Nhiệt độ Curie TC(K) của các hệ 1D (1 chiều), 2D (2 chiều) và 3D (khối) được tính cho sắt (Fe) Hệ Nhiệt độ Curie (TC(K)) Tài liệu tham khảo 1D 203,39 [công trình này] 2D (màng mỏng với các [2] bề dày khác nhau) 1 lớp nguyên tử 281,61 2 lớp nguyên tử 709,24 3 lớp nguyên tử 785,25 3D (Khối) 1043,00 [7] Bảng 1 chỉ ra nhiệt độ Curie của các hệ 1D, 2D và 3D. Từ bảng này có thể thấy là khi số chiều giảm thì nhiệt độ Curie cũng giảm tương ứng. Theo như lý thuyết trường trung bình, nhiệt độ Curie phụ thuộc vào số các lân cận gần nhất Zn, mà khi số chiều của hệ giảm sẽ kéo theo Zn giảm, do đó kết quả này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết trường trung bình và các lý thuyết khác [3], [5]. Hình 3. Nội năng của chuỗi spin 1 chiều như Hình 4. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung một hàm của nhiệt độ (ở đây U được tính theo riêng của chuỗi spin (ở đây C được tính theo đơn vị J - hằng số tích phân trao đổi), với đơn vị kB, hằng số Boltzmann), với N=1000, N=1000, S=1, hext=0 S=1, hext=0 Hình 3 chỉ ra sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng của hệ. Khi nhiệt độ tăng, các spin dao động càng nhanh dẫn đến làm tăng nội năng của hệ. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng của hệ được chỉ ra trong hình 4. Nhiệt dung riêng của hệ tăng theo sự tăng
  7. MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC... 65 của nhiệt độ và đạt đến giá trị cực đại tại điểm Curie, điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết chuyển pha loại hai và các công trình nghiên cứu trước đây [8], [9], [10]. 3.2. Khi có trường ngoài ( hext ≠ 0 ) Hình 5 chỉ ra sự phụ thuộc vào trường ngoài của độ từ hóa của hệ. Hình 5. Sự phụ thuộc trường ngoài của độ Hình 6. Sự phụ thuộc trường ngoài của từ hóa của chuỗi spin, ở đây N=1000, nhiệt dung riêng của chuỗi spin, ở đây T TCb = 0, 15 và S=1. N=1000, T TCb = 0, 15 và S=1. Từ hình 5, ta có thể thấy là độ từ hóa tăng khi trường ngoài tăng và đạt đến giá trị bão hòa khi g µhext ≈ 6 . Có thể giải thích hiện tượng này như sau: khi có trường ngoài, các spin sẽ định hướng theo hướng của trường ngoài, do đó trật tự của các spin được thiết lập, dẫn đến độ từ hóa của hệ tăng tương ứng, khi trường ngoài tăng đến một giá trị nào (hext)bão hòa đó thì tất cả các spin trong hệ đều sắp xếp song song với nhau và song song với hướng của trường ngoài, thì lúc này trật tự của các spin đã được ổn định hoàn toàn, độ từ hóa đạt giá trị bão hòa (tiếp tục tăng trường ngoài độ từ hóa vẫn giữ nguyên không đổi).Xu hướng ngược lại xảy ra đối với nhiệt dung riêng (xem hình 6). Nhiệt dung riêng giảm khi trường ngoài tăng và cũng đạt đến giá trị bão hòa khi g µhext ≈ 6 . Như vậy, giữa nhiệt dung riêng và trật tự spin của hệ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết chuyển pha loại hai [10]. 4. KẾT LUẬN Phương pháp tích phân phiếm hàm được áp dụng cho hệ spin 1 chiều với mô hình Heisenberg đã đưa ra biểu thức của năng lượng tự d, độ từ hóa, nhiệt độ Curie và nhiệt dung riêng của hệ.Các kết quả đã chỉ ra nhiệt độ Curie trong hệ này nhỏ hơn trong các hệ 2 chiều và hệ khối. Đồng thời, qua đường cong nhiệt dung riêng cũng có thể xác định được TC một cách chính xác theo lý thuyết chuyển pha loại hai. Các kết quả nhận được phù hợp với các kết quả của các lý thuyết trước đây [2], [3], [5], [7], [8], [9], [10] đã chứng tỏ được mức độ chính xác cao của phương pháp tích phân phiếm hàm với mô
  8. 66 VÕ QUANG NHẬT và cs. hình Heisenberg. Bên cạnh đó, các kết quả về sự phụ thuộc từ trường ngoài của độ từ hóa và nhiệt độ Curie cũng đã được đưa ra, các kết quả này đã cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa độ từ hóa, nhiệt dung riêng và trật tự spin của hệ. Mô hình này còn có thể được phát triển cao hơn cho các trường hợp khác như: hằng số tương tác trao đổi giữa các nút là khác nhau, tính toán các thăng giáng spin để nâng cao độ chính xác của kết quả, mở rộng cho bài toán với mô hình Ising, mô hình XY. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Li Jialiang, Lei Shuguo (2008). Physics Letters A, 372, pp. 4086-4091. [2] Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao (2013). Physica B, 426, pp/ 144–149. [3] Chuang-Chuang Song, Yuan Chen, Ming-WeiLiu (2010). Physica B, 405, pp. 439– 445. [4] Kleinert, Hagen (2004)., “Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets”, 4th edition, World Scientific (Singapore). [5] Li Jialiang, Lei Shuguo (2008). Physics Letters A, 372, pp. 4086–4091. [6] Vakarchuk I.A. and Rudavskii Yu.K. (1981). Theoretical and Mathematical Physics, 49, pp.1002 (translated from Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika (1981), Vol. 49, No. 2, pp. 234-247). [7] Charles Kittel (1953). “Introduction to solid state physics”, John Wiley & Sons, Inc, New York, pp. 16-17. [8] H.C. Fogedby, N. Elstner and H.J. Mikeska (1988). Journal De Physique, C8, pp. 1593. [9] Khusan T. Igamberdiev, Shavkat U. Yuldashev and Tae Won Kang (2009). Journal of the Korean Physical Society, 55, pp. 934-937. [10] Vũ Đình Cự (2001). Lý thuyết chuyển pha loại hai và hiện tượng tới hạn, NXB Bưu điện, Hà Nội VÕ QUANG NHẬT, ĐT: 0973 227 385, Email: voquangnhatsp@gmail.com LÊ THỊ NGỌC THANH, ĐT: 0120 276 1107, Email: lethingocthanh.spvl@gmail.com SV lớp lý 4B, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế NGUYỄN THỊ THU HẰNG, ĐT: 0168 550 4634, Email: thuhangnguyenthi93@gmail.com SV lớp lý 3C, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế VÕ CÔNG HƯỚNG, ĐT: 0167 509 1389, Email: pettu.conghuong@gmail.com SV lớp lý 4A, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế NGÔ THỊ THUẬN, ĐT: 0126 665 5577, ray.ntt89@gmail.com SV lớp lý 3A, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học