- Trang Chủ
- Toán học
- Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƯỢC
CHO PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGH-STOKE SUY RỘNG
Nguyễn Ngọc Huy1, Trần Phương Liên1, Đỗ Lân1
1
Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG chính xác cho phương trình tuyến tính (xem
[4]; [5]), các phương pháp giải số (xem [1];
Trong các hệ động lực chất lỏng, việc
[2]; [3]), bài toán giá trị cuối (xem [6]).
nghiên cứu dáng điệu của các chất lỏng
Trong bài báo này, dựa trên công thức nghiệm
không Newton có cả tính nén và tính đàn hồi
của Zhou đưa ra cho phương trình Rayleigh-
được quan tâm nghiên cứu rất nhiều, vì Stoke suy rộng (xem [7]), chúng tôi sẽ chứng
những ứng dụng của nó trong công nghiệp và minh một số kết quả về tính giải được cho bài
kỹ thuật. Theo hướng nghiên cứu này, mô toán (*) trong các trường hợp khác nhau cho
hình dòng chảy bậc hai được nghiên cứu bởi phần phi tuyến f.
nhiều nhà toán học. Trong bài báo này, với
d là miền bị chặn với biên trơn, chúng 2. NỘI DUNG CHÍNH
tôi nghiên cứu phương trình Rayleigh-Stoke
1. Công thức nghiệm và tính chất toán
suy rộng
tử nghiệm
t u (1 t )u f (u ) in , t 0, (1)
Gọi {n }n 1 là cơ sở tự nhiên của L2 ()
u 0 on , t 0, (2) (*)
u (, 0) in . (3) tương ứng với các giá trị riêng của toán tử
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất,
tức là:
ở đây, 0 , (0,1) , t , t là ký hiệu
t n nn trong , n ( x) 0, x ,
đạo hàm Riemann-Liouville bậc được định
trong đó, ta giả sử { }
n n 1 là dãy tăng, n 0
nghĩa như sau
và n khi n . Từ đó, ta có biểu diễn
d t
dt 0
t v(t ) h1 (t s )v( s)ds, nghiệm của bài toán tuyến tính
t 1 t u (1 t )u F in , t 0,
với h (t ) for 0, t 0 .
( ) u 0 on , t 0,
u (, 0) in ,
Phương trình Rayleigh-Stoke đã được
nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ 20, tuy Trong đó, F F ( x, t ) với F L1loc ( ; L2 ())
nhiên, phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng và L2 () .
(có thành phần đạo hàm bậc phân) mới chỉ Đặt:
được W. Tan [4] đưa ra năm 2006, sau đó là
các kết quả nghiên cứu mở đường của C. u ( x, t ) un (t ) n ( x),
n 1
Fetecau và các cộng sự (xem [5]). Từ đó, một
loạt các công trình nghiên cứu về lớp phương F ( x, t ) Fn (t ) n ( x),
n 1
trình Rayleigh-Stoke suy rộng được công bố.
Tuy nhiên, sự quan tâm tới lớp phương trình ( x) n n ( x).
này chủ yếu ở 3 khía cạnh: Biểu diễn nghiệm n 1
57
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Ta có: Khi đó, tồn tại 0 sao cho bài toán (*)
un (t ) n (1 t )un (t ) Fn (t ), có duy nhất nghiệm trên 0;T với điều kiện
un (0) n . ‖‖ .
Vậy: Chứng minh:
t
un (t ) (t , n , ) n (t s, n , ) Fn ( s )ds. Với những giả thiết trên, với mọi
0
(0, 1 ) , tồn tại 0 sao cho
t
Nên u (, t ) S (t ) 0 S (t s) F (, s)ds, ‖ f (v)‖ ( )‖v‖, ‖v‖ .
Ta định nghĩa S (t ) : L () L () là toán
2 2
Gọi B là hình cầu trong C ([0, T ]; L2 ())
tử giải được xác định bởi tâm tại gốc tọa độ, bán kính . Với
S (t ) (t , n , ) n . L2 () , xét toán tử : B C ([0, T ]; L2 ())
n 1 xác định như sau
Từ đó, ta có định nghĩa nghiệm của bài t
(u )(, t ) S (t ) S (t s) f (u (, s ))ds
toán như sau: 0
Định nghĩa: Với L2 () cho trước, một S (t ) N f (u )(, t ),
hàm u C ([0, T ]; L2 ()) được gọi là một Trong đó N f (u )(, t ) f (u (, t )) . Do f liên
nghiệm tích phân của bài toán (*) trên tục nên liên tục. Mặt khác, áp dụng tính
khoảng [0,T] nếu compact của toán tử Cauchy Q , ta có là
t
u (, t ) S (t ) S (t s ) f (u (, s ))ds, t [0, T ] toán tử compact. Mặt khác, ta có đánh giá
0
‖ (u )(, t )‖
2. Các tính chất của toán tử nghiệm t
(t , 1 , )‖‖ (t s, 1 , )( )‖u (, s )‖ds
0
Các tính chất sau của toán tử giải S (t ) có t
(t , 1 , ) ‖ ‖( ) ‖u ‖ 0 ( s, 1 , ) ds
thể xem trong [1] và [7].
Tính chất 1: Với mỗi v L2 () , T 0 , ta có: (t , 1 , ) ‖ ‖( ) 1 (1 (t , 1 , ))
1
i) S ()v C ([0, T ]; L2 ( )) C ((0, T ]; H 2 ( ) H 01 ( )) (t , 1 , )[‖ ‖( ) 11 ] ( ) 11.
ii)‖S (t )v‖ (t , 1 , )‖v‖, với mọi t 0 . Do ( )11 1 , ta có ‖(u )‖ với
Đặc biệt: ‖S (t )‖ 1 với mọi t 0 . ‖‖ : 11 .
iii) S ()v C ( m ) ((0, T ]; L2 ()) với mọi m , Do đó, với ‖ ‖ , xét : B B là toán
và ‖S (t )v‖ Ct ‖v‖, trong đó C là hằng số tử liên tục và compact. Áp dụng Định lý
(m) m
dương. điểm bất động Schauder, có điểm bất
iv)‖S ( m ) (t )v‖ Ct m 1 ‖v‖ với mọi t 0 động. Tức là, bài toán (*) có một nghiệm tích
và m . phân. Định lý được chứng minh.
Tính chất 2: Toán tử Cauchy Ta có nhận xét rằng, trong định lý trên,
: C ([0, T ]; L2 ()) C ([0, T ]; L2 ()) phần phi tuyến f có thể tăng trưởng trên tuyến
t tính. Trong Định lý 2, ta sẽ chứng minh rằng
xác định bởi ( g )(t ) 0 S (t s) g ( s )ds, là toán nếu phần phi tuyến f có tăng trưởng dưới
tử compact. tuyến tính, ta có thể chứng minh được sự tồn
tại nghiệm của bài toán (*) và bỏ được giả
3. Các kết quả về tính giải được
thiết về tính đủ nhỏ của điều kiện ban đầu.
Định lý 1: Giả sử f : L2 () L2 () là một Định lý 2: Giả sử f : L2 () L2 () liên
hàm liên tục thỏa mãn tục và thỏa mãn ‖ f (v)‖ a‖v‖b, khi đó, bài
‖f (v) ‖ toán (*) có nghiệm trên mọi khoảng 0;T
lim sup [0, 1 )
‖‖
v 0 ‖v ‖ với mọi L2 () .
58
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Chứng minh: Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng, nghiệm
Với L2 () cho trước, xét toán tử nghiệm: duy nhất đó là nghiệm cổ điển. Lược đồ
t chứng minh tính chính quy này được chia
(u )(, t ) S (t ) S (t s ) f (u (, s ))ds.
0 thành bốn bước cơ bản sau đây.
Gọi w là nghiệm duy nhất của phương trình Bước 1: Chứng minh u là liên tục Holder
t
w(t ) ‖ ‖bT a w( s )ds, trên (0, T ] .
0
và D là tập con lồi đóng trong C ([0, T ]; L2 ()) Bước 2: Chứng minh u C ((0, T ]; L2 ()) .
xác định bởi Bước 3: Chứng minh u C1 ((0, T ]; L2 ()) .
D {u C ([0, T ]; L2 ())‖
: u (, t )‖ w(t ), t [0, T ]}. Bước 4: Chứng minh t u C ((0, T ]; L2 ()) .
Khi đó, với mọi u D , ta có Từ đó, ta thu được tính chính quy của
‖ (u )(, t ) ‖ ‖ ‖ (a ‖
t
u (, s ) ‖b)ds
nghiệm.
0
t
‖ ‖bT a ‖u (, s ) ‖ds w(t ). 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
0
Do đó, ( D) D . Áp dụng nguyên lý [1] E. Bazhlekova, B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou,
An analysis of the Rayleigh-Stokes problem
điểm bất động Schauder, ta thu được điều
for a generalized second-grade fluid,
phải chứng minh. Numer. Math. 131 (2015), no. 1, 1-31.
Định lý 3: Giả sử f : L2 () L2 () thỏa [2] C.M. Chen, F. Liu, K. Burrage, Y. Chen,
mãn f (0) 0 và điều kiện Lipschitz cục bộ Numerical methods of the variable-order
‖ f (v1 ) f (v2 )‖ (r )‖v1 v2‖, ‖v1‖,‖v2‖ r , Rayleigh-Stokes problem for a heated
trong đó, () là một hàm không âm thỏa mãn generalized second grade fluid with
fractional derivative, IMA J. Appl. Math. 78
lim sup (r ) [0, 1 ) . Khi đó, tồn tại 0 (2013), no. 5, 924-944.
r 0
sao cho bài toán (*) có duy nhất nghiệm cổ [3] C.M. Chen, F. Liu, V. Anh, Numerical
analysis of the Rayleigh-Stokes problem for
điển trên mỗi đoạn 0;T với mọi T 0 , nếu
a heated generalized second grade fluid
‖‖ . with fractional derivatives, Appl. Math.
Chứng minh: Comput. 204 (2008), no. 1, 340-351.
Ta nhận thấy, điều kiện ở định lý này kéo [4] F. Shen, W. Tan, Y. Zhao, Y. Masuoka, The
theo điều kiện trong định lý 1, do đó, bài toán Rayleigh-Stokes problem for a heated
(*) có nghiệm nhẹ toàn cục. Nghiệm này thỏa generalized second grade fluid with
mãn phương trình fractional derivative model, Nonlinear
t Anal. Real World Appl. 7 (2006), no. 5,
u (, t ) S (t ) S (t s) f (u (, s ))ds 1072-1080.
0
[5] C. Fetecau, M. Jamil, C. Fetecau, D. Vieru,
[ (t , n , ) n (t s, n , ) f n ( s )ds] n ,
t
0
The Rayleigh-Stokes problem for an edge in
n 1
a generalized Oldroyd-B fluid, Z. Angew.
Trong đó n ( , n ) và f n ( s ) ( f (u (, s )), n ) . Math. Phys. 60 (2009), no. 5, 921-933.
Sau đây, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của [6] N. H. Tuan, Y. Zhou, T.N. Thach, N.H.
nghiệm bài toán. Giả sử u1 và u2 là hai Can, Initial inverse problem for the
nghiệm của bài toán, ta có nonlinear fractional Rayleigh-Stokes
t equation with random discrete data,
‖S (t s)[ f (u1 (, s)) f (u2 (, s ))] ‖ds
‖u1 (, t ) u2 (, t ) ‖
0 Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 78
t
(r ) ‖u1 (, s) u2 (, s ) ‖ds, (2019), 104873, 18 pp.
0 [7] Yong Zhou, Jing Na Wang, The nonlinear
Trong đó r max{‖u1 ‖
,‖u2 ‖
} , (do Rayleigh-Stokes problem with Riemann-
‖S (t )‖ 1 với mọi t 0 ). Vậy, Liouville fractional derivative,
Mathematical Methods in the Applied
‖u1 (t ) u2 (t ) ‖
0 với mọi t [0, T ] .
Sciences, 2019.
59
nguon tai.lieu . vn
