Xem mẫu
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
Khoa Toán học
Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập một số đẳng thức
hạng của ma trận liên quan đến nghịch đảo Moorse-Penrose và nghịch
đảo Drazin.
1 GIỚI THIỆU
Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông A là khả nghịch khi và chỉ chi rank(A) =
n. Nhưng lớp các ma trận không khả nghịch là "khá lớn", nhằm khắc phục điều này
Moore-Penrose và Drazin đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma
trận. Moore-Penrose đã đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận A
cấp m × n là một ma trận X thõa mãn 4 phương trình: AXA = A, XAX = X,
(AX)∗ = AX, (XA)∗ = XA. Sau đó X được gọi là nghịch đảo Moore-Penrose và
ký hiệu là A† . Drazin cũng đưa ra khái niệm nghịch đảo suy rộng của một ma trận
vuông A cấp n có chỉ số k là một ma trận X thõa mãn 3 phương trình: Ak XA = Ak ,
XAX = X, AX = XA, X được gọi là nghịch đảo Drazin và ký hiệu là AD . Ta thấy
rằng các nghịch đảo suy rộng là những ma trận có những tính chất gần giống với
ma trận nghịch đảo thông thường của một ma trận cho trước. Ngay từ khi mới ra
đời nghịch đảo suy rộng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và có nhiều
ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết đồ thị, phương trình vi phân và giải tích
hàm.
Mục đích chính của bài báo này là nghiên cứu một số đẳng thức về hạng của ma
trận liên quan đến nghịch đảo suy rộng.
Vấn đề liên quan đến hạng của ma trận và các nghịch đảo suy rộng thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, một số bài báo và những cuôn sách viết
về vấn đề này như: [6] G.Marsaglia and G.P.H Styan, Equalities and inequalities for
ranks of matrices, Linear and Multilinear Algebra 2(1974) 269-292, [4] C.D.Meyer,
Jr., Generalized inverses inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl. Math.
25(1973), 597-602, [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices
and Their Applications, Yongge Tian...
Kết quả đạt được của bài báo là chứng minh chi tiết các đẳng thức hạng liên
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 5-19
- 6 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
quan đến nghịch đảo suy rộng, các đẳng thức được chứng minh nằm rãi rác trong
quyển sách [7] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their
Applications-Yongge Tian, do tôi chọn lọc và trình bày.
Bài báo được chia làm 4 mục. Sau mục giới thiệu là Mục 2 nói về một số kiến thức
đại số tuyến tính. Trong mục này chúng tôi đưa ra một số kiến thức cơ bản, một số
ký hiệu đồng thời cũng đưa ra cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch
đảo Drazin giúp cho người đọc có thể có cái nhìn rõ hơn về hai loại nghich đảo này.
Trong Mục 3, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề về hạng của ma trận. Cuối cùng,
Mục 4 chúng tôi sẽ trình bày một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo suy
rộng. Lưu ý các ma trận mà chúng ta xét trong bài báo này là các ma trận có các
phần tử trên trường C.
2 MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2.1 Một số khái niệm và ký hiệu
+ Cho A là ma trận cấp m × n trên C. Lúc đó ta gọi A∗ là ma trận chuyển vị liên
hợp của A tức là A∗ = (bij )n×m ở đó bij = a
¯ji .
+ Cho hai không gian U, V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu L(U, V)
là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V. Ta biết rằng L(U, V) là C− không
gian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n . Do đó với ma trận A ∈ Cm×n , ta có thể
đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính
A : Cn → Cm ,
với
Im(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn } được ký hiệu là R(A).
Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N (A).
+ Ký hiệu r(A) là hạng của ma trận A.
+ Cho A, B là hai không gian con Cn . Lúc đó ta định nghĩa tổng của hai không gian
con A và B là:
A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}. Và nếu A ∩ B = {0} thì lúc đó tổng hai không gian
con gọi là tổng trực tiếp và kí hiệu A ⊕ B.
+ Cho ma trận C vuông cấp n trên trường C ma trận C được gọi là lũy đẳng nếu
C 2 = C.
+ Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường C. Số nguyên không âm nhỏ nhất k
sao cho rank(Ak ) = rank(Ak+1 ) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là ind(A).
Từ định nghĩa trên ta dễ dàng thấy ma trận 0 có chỉ số là 1.
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 7
2.2 Nghịch đảo Moore-Penrose và nghịch đảo Drazin
2.2.1 Nghịch đảo Moore-Penrose
Cho A là ma trận cấp m × n trên trường C. Vào năm 1955 Penrose đã chứng minh
rằng tồn tại duy nhất một ma trận X thõa mãn bốn phương trình sau:
AXA = A.
XAX = X.
(AX)∗ = AX.
(XA)∗ = XA.
lúc đó X được ký hiệu bởi A† , A† được gọi là nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận
A.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một cách xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose nhằm có
một cái nhìn rõ hơn về nghịch đảo này:
Cho A là một ma trận cấp m × n trên trường C. Lúc đó ta có thể xem A như là
một ánh xạ tuyến tính với cặp cơ sở chính tắc, bây giờ ta đi xây dựng nghịch đảo
Moore-Penrose.
Ta có R(A∗ ) là một không gian con của C n , mặt khác r(A∗ ) = r(A), nên:
A|R(A∗ ) : R(A∗ ) → R(A)
→
− →
− →
− →
−
là một song ánh, từ đó giả sử R(A∗ ) =< a0 1 , . . . , a0 k > thì R(A) =< A( a0 1 ), . . . , A( a0 k ) >
→
− →
−
ta viết lại R(A) =< → −a 1, . . . , →
−
a k > ở đó →
−a 1 = A( a0 1 ), . . . , →
−
a k = A( a0 k ). Sau đó ta
bổ sung vào hệ {→ −
a 1, . . . , →
−
a k } các vector →−a k+1 , . . . , →
−
a m ở đó → −a k+1 , . . . , →
−
a m là các
⊥ →
− →
− ∗
vector thõa mãn R(A) =< a k+1 , . . . , a m >= N (A ), đồng thời ta cũng bổ sung
→
− →
− →
− →
− →
− →
−
vào hệ { a0 1 , . . . , a0 k } các vector a0 k+1 , . . . , a0 n trong đó các vector a0 k+1 , . . . , a0 n
→
− →
−
thõa mãn N (A) =< a0 k+1 , . . . , a0 n >, lúc đó ta được một cơ sở {→ −a 1, . . . , →
−
a m } của
m
→
− 0
→
− 0 n
C và một cơ sở { a 1 , . . . , a n } của C bây giờ ta xây dựng ma trận B trong cặp cơ
sở này :
Cm → Cn
→
− →
−
1 a → a01
.. .
. → ..
→
− →
−
a k → a0 k
→
− →
−
a k+1 → 0
.. .
. → ..
→
− →−
am → 0.
- 8 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
như vậy B đã xác định vì đã biết ảnh của một cơ sở, lưu ý để viết ma trận của B ta
phải chuyển về cơ sở chính tắc, không khó khăn gì khi kiểm tra ma trận B thỏa mãn
bốn phương trình của nghịch đảo Moorse-Penrose. như vậy B đã xác định vì đã biết
ảnh của một cơ sở, lưu ý để viết ma trận của B ta phải chuyển về cơ sở chính tắc,
không khó khăn gì khi kiểm tra ma trận B thỏa mãn bốn phương trình của nghịch
đảo moorse-penrose. Cố định cặp cơ sở trên ta có thể chứng minh các tính chất sau:
(i) R(AA† ) = R(A)
(ii) R(A† A) = R(A† )
(iii) R(A† ) = R(A∗ ).
(iv) r(A† A) = r(A† ) = r(A∗ ) = r(A) = r(AA† ).
2.2.2 Nghịch đảo Drazin
Cho A ∈ C n×n và ind(A)=k. Năm 1958 Drazin đã chứng minh được rằng tồn tại
duy nhất một ma trận X ∈ C n×n thõa mãn.
Ak XA = Ak , (5)
XAX = X, (6)
AX = XA. (7)
X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD .
Cũng như nghịch đảo Moore-penrose ta cũng sẽ đi tìm hiểu rõ hơn về cách xây dựng
nghịch đảo này.
Mệnh đề 2.1. ([2, Mệnh đề 2.2.3] Cho A ∈ Cn×n , ind(A)=k. Khí đó Cn = R(Ak ) ⊕
N (Ak ).
Bây giờ nếu ta xem A như là một ánh xạ tuyến tính thì lúc đó ta có AR(Ak ) =
R(Ak+1 ) = R(Ak ). Do đó A|R(Ak ) là một đẳng cấu nên A|R(Ak ) khả nghịch. Mặt
khác theo [Mệnh đề 2.1] mỗi x ∈ Cn được phân tích duy nhất x = u + v trong đó
u ∈ R(Ak ), v ∈ N (Ak ). Từ đó ta xây dựng ma trận X như sau:
(
A−1
|R(Ak )
u nếu u ∈ R(Ak ),
Xu =
0 nếu u ∈ N (Ak ).
Dễ dàng kiếm chứng rằng X là nghịch đảo Drazin.
Tiếp theo chúng ta sẽ đi đến một vài mệnh đề, nó giúp có cái nhìn rõ hơn về nghịch
đảo này.
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 9
Mệnh đề 2.2. Cho A ∈ Cn×n và ind(A)=k. Lúc đó luôn tồn tại một ma trận P
không suy biến sao cho
C 0
A=P P −1 ,
0 N
trong đó C là ma trận không suy biến N là ma trận lũy linh k. Đồng thời
−1
D C 0 −1
A =P P .
0 0
Mệnh đề 2.3. ([3, Mệnh đề 7.8.1, trang 147]) Cho A ∈ Cn×n có ind(A)=k. Lúc đó
mối số nguyên l ≥ k và bất kì nghịch đảo yếu nào của A2l+1 ta có
AD = Al (A2l+1 )− Al
, đặc biệt AD = Al (A2l+1 )† Al .
3 MỘT SỐ BỔ ĐỀ VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một vài đẳng thức hạng nó là cơ sở để xây dựng các
đẳng thức ở Mục 4.
Bổ đề đầu tiên chúng tôi muỗn nói đến ở đây là khi chúng ta bổ sung thêm các vectơ
hàng hay cột vào một ma trận sẽ làm tăng hạng của ma trận đó, từ đó ta nhận được
các bất đẳng thức về hạng tương ứng như sau:
Bổ đề 3.1. Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k .
A A
(i) r ≥ r(A), r ≥ r(B).
B B
(ii) r[A, B] ≥ r(A), r[A, B] ≥ r(B).
Hai đẳng thức tiếp theo được nêu dưới đây là công thức quen thuộc trong đại số
tuyến tính, đó là dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim A ∩ B ở đó A và B là các
không gian con Cn , được viết dưới dạng ma trận.
Bổ đề 3.2. Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k .
A
(i) r = r(A) + r(B) − dim R(A> ) ∩ R(B > ).
B
(ii) r[A, B] = r[A] + r[B] − dim R(A) ∩ R(B).
- 10 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
Chúng ta hãy nhìn lại [Bổ đề 3.2], nếu chúng ta tìm được một ma trận B sao cho
R(A) ∩ R(B) = {0} thì lúc đó làm mất đi được đại lượng dim R(A) ∩ R(B) chính ý
tưởng này, thông qua việc xây dựng nghịch đảo Moore-Penrose mà chúng tôi đã trình
bày, bạn có thể thấy R(I −AA† )∩R(A) = {0} dẫn đến R[(I −AA† )B]∩R(A) = {0}.
Từ nhận xét trên ta đi đến bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 3.3. (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k .
(i) r[A, B] = r(A) + r(B − AA† B) = r(B) + r(A − BB † A)
A
(ii) r = r(A) + r(C − CA† A) = r(C) + r(A − AC † C).
C
Cùng với những tính chất như trên, bằng cách sử dụng các phép toán trên ma trận
khối chúng ta có thể đạt được những đẳng thức sau bạn đọc có thể tham khảo chi
tiết thông qua tài liệu.
Bổ đề 3.4. (xem [6], [4]) Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cm×k , C ∈ Cl×n và D ∈ Cl×k .
(I − AA† )B
A B 0
(i) r = r(A) + r
C D C(I − A† A) D − CA† B
(ii) Giả sử R(B) ⊆ R(A) và R(C ∗ ) ⊆ R(A∗ ). Lúc đó ta có:
A B
r = r(A) + r(D − CA† B),
C D
(iii) Cho A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 và D sao cho các ma trận D − C1 A†1 B1 − C2 A†2 B2
được xác đinh. Lúc đó ∗
A1 A1 A∗1 A∗1 B1
0
r(D − C1 A†1 B1 − C2 A†2 B2 ) = 0 A∗2 A2 A∗2 A∗2 B2 − r(A1 ) − r(A2 )
C1 A∗1 C2 A∗2 D
Qua việc tìm hiểu nghịch các đảo Moore-Penrose, nghịch đảo Drazin ở [Mục 2.2.1,
2.2.2] chúng ta nhận thấy các ma trận AA† , A† A, I − AA† , AA† − I, AAD là các ma
trận lũy đẳng, từ đó nảy sinh việc đi tìm các đẳng thức hạng liên quan đến ma trận
lũy đẳng, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một số đẳng thức cần thiết.
Bổ đề 3.5. (Xem [7]) Cho P, Q ∈ Cn×n là các ma trận lũy đẳng. Lúc đó
(i) r[Q, P ] = r(Q) + r[−QP + P ] = r(P ) + r[Q − P Q],
P
(ii) r[P − Q] = + r[P, Q] − r(P ) − r(Q).
Q
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 11
(iii) Cho P ∈ C m×m , Q ∈ C n×n và A ∈ C m×n
PA
r[P A − AQ] = r + r[AQ, P ] − r(P ) − r(Q).
Q
Bổ đề 3.6. Cho A là một ma trận vuông
(i) R(A∗ AA∗ ) = R(A∗ )
(ii) R(Ak ) = R(Ak A∗ )
Bổ đề 3.7. Cho A ∈ Cm×n , B ∈ Cn×m và N ∈ C m×m . Lúc đó
(i) r(A − ABA) = r(A) + r(In − BA) − n = r(A) + r(Im − BA) − m.
A 0
Chứng minh. Xét ma trận khối bằng phép biến đổi trên ma trận
0 In − BA
A 0 A A A A
khối ta có r(A) + r(In − BA)=r =r =r
0 In − BA 0 In − BA BA In
0 A A − ABA A A − ABA 0
=r =r =r =r(A − ABA) + n
BA In 0 In 0 In
Tương tự ta cũng chứng minh được r(A − ABA) = r(A) + r(Im − BA) − m.
(ii) r(Im − N 2 ) = r(Im + N ) + r(Im − N ) − m.
Im − N 0
Chứng minh. xét ma trận khối băng phép biến đổi trên ma
0 Im + N
Im − N 0 Im − N 0
trận khối ta có r(Im +N )+r(Im −N )=r =r
0 I +N Im − N Im + N
m
−1
I −N 0 0 (Im − N 2 )
=r m =r 2
2Im Im + N 2Im Im + N
−1
0 (Im − N 2 )
=r 2 =r(Im − N 2 ) + m
2Im 0
- 12 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
4 MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG LIÊN QUAN ĐẾN NGHỊCH ĐẢO SUY
RỘNG
4.1 Một số đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Moore-
penrose
Một ma trận vuông A được gọi là ma trận EP nếu R(A) = R(A∗ ). Ma trận EP
có rất nhiều tính chất, một trong những tính chất liên quan đến ma trận EP là
AA† = A† A, và điều ngược lại cũng đúng nếu AA† = A† A thì A là ma trận EP (Xem
[3]). Và bây giờ chúng ta sẽ đi thiết lập một số đẳng thức hạng của ma trận, để tìm
các điều kiên khi nào một ma trận vuông A là một ma trận EP.
Mệnh đề 4.1. Cho A ∈ C m×m . Lúc đó hạng của AA† − A† A thỏa mãn đẳng thức
sau:
r[AA† − A† A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A) = 2r[A − A2 A† ] = 2r[A − A† A2 ],
Chứng minh. Ta có AA† và A† A là ma trận lũy đẳng nên theo [2, Bổ đề 3.5] ta có
†
† † AA
r[AA − A A] = r † + r[AA† , A† A] − r[A† A] − r[AA† ].
AA
Theo [2.2.1]
r(A† A) = r(AA† ) = r(A) (1)
Theo [1, 2, 3, 2.2.1] ta có R(AA† ) = R(A) và R(A† A) = R(A† ) = R(A∗ ) nên
r[AA† , A† A] = r[A, A∗ ] ([2, Bổ đề 3.2]) (2)
Ta có
AA†
†
AA
r † = r( † )∗ = r[(AA† )∗ , (A† A)∗ ] = r[AA† , A† A] = r[A, A∗ ] (3)
AA AA
Từ (1), (2), (3) suy ra r[AA† − A† A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A).
Bây ta xét 2r[A, A∗ ] − 2r(A) theo [Mệnh đề 2.1] ta có 2r[A, A∗ ] − 2r(A) = r[(I −
AA† )A∗ )] = r([(I − AA† A∗ )]∗ ) = r[A(I − AA† )∗ ] = r[A(I − AA† )] = r[A − A2 A† ].
Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng chứng minh được 2r[A, A∗ ] − 2r(A) =
2r(A − A† A2 ), vậy [Mệnh đề 4.1] đã được chứng minh.
Từ [Mệnh đề 4.1], ta có
Hệ quả 4.2. Cho A ∈ C m×m , lúc đó
(i) AA† = A† A ⇐⇒ r[A, A∗ ] = r(A) ⇐⇒ A = A2 A† ⇐⇒ A = A† A2 ⇐⇒ R(A) =
R(A∗ ), nghĩa là A là ma trận EP.
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 13
(ii) AA† −A† A không suy biến ⇐⇒ r[A, A∗ ] = 2r(A) = m ⇐⇒ R(A)⊕R(A∗ ) = C m
Mệnh đề 4.3. Cho A ∈ C m×m và k là một số nguyên, k ≥ 2. Lúc đó
Ak
r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A).
k † † k
A
Chứng minh. Ta viết A† Ak = A† AAk−1 và Ak A† = Ak−1 AA† lưu ý A† A và AA† là
các ma trận lũy đẳng theo [3, Bổ đề 3.5], ta có
† k
k † † k † k k † AA
r(A A − A A ) = r(A A − A A ) = r + r[Ak A† , A† A] − r(A† A) − r(AA† ).
AA†
(4)
k ∗ † ∗ k ∗ k ∗ ∗ k ∗ k−1 ∗
Bởi vì R((A ) (A ) ) ⊆ R((A ) ) và R((A ) ) = R((A ) ) = R((A ) .A ) =
R((Ak−1 )∗ .A∗ .(A∗ )† .A∗ ) = R((Ak )∗ .(A∗ )† .A∗ ) ⊆ R((Ak )∗ (A† )∗ ) nên R((Ak )∗ (A† )∗ ) =
R((Ak )∗ ), mặt khác
† k † k ∗
AA AA
r † = r( ) = r[(Ak )∗ (A† )∗ , AA† ].
AA AA†
Vì vậy
A† Ak
k
k ∗ † ∗ † k ∗ A
r † = r[(A ) (A ) , AA ] = r[(A ) , A] = r ∗ . (5)
AA A
Bời vì R(Ak A† ) ⊆ R(Ak ), R(Ak ) = R(Ak−1 A) = R(Ak−1 AA† A) = R(Ak A† A) ⊆
R(Ak A† ) nên R(Ak A† ) = R(Ak ), mặt khác R(A† A) = R(A† ) = R(A∗ ), vì vậy
r[Ak A† , A† A] = r[Ak , A∗ ] (6)
Từ (4), (5), (6) và r(A† A) = r(AA† ) = r(A) = r(A† ) ta thu được
k
A
r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A).
k † † k
A
Mệnh đề 4.4. Cho A ∈ C m×m và k là một số nguyên k ≥ 2. Lúc đó
k
A
(i) r[A(A ) − (A ) )A] = r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ).
k † k †
A A
(ii) r[A(Ak )† − (Ak )† )A] = 2r[A, A∗ ] − 2r(A), nếu r(A) = r(A2 ).
Chứng minh. Theo [3, Bổ đề 3.4] áp dụng cho A1 = Ak , A2 = Ak , B1 = I, B2 = A,
C1 = A, C2 = I, D = 0 ta có :
k ∗ k k ∗
(Ak )∗
(A ) A (A ) 0
r[A(Ak )† − (Ak )† )A]= 0 −(Ak )∗ Ak (Ak )∗ (Ak )∗ A − 2r(Ak )
A(Ak )∗ (Ak )∗ 0
- 14 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
bằng phép biến đổi sơ cấp trên ma trận khối ta có
k ∗ k k ∗
(Ak )∗
(A ) A (A ) 0
r 0 −(Ak )∗ Ak (Ak )∗ (Ak )∗ A
A(Ak )∗ (Ak )∗ 0
k ∗ k k ∗ k ∗ k−1 k ∗
(Ak )∗ (Ak )∗
(A ) A (A ) (A ) A (A ) 0 0
= 0 0 (Ak )∗ A= 0 0 (Ak )∗ A
A(Ak )∗ (Ak )∗ 0 A(Ak )∗ (Ak )∗ 0
k
A
=r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ). Như vậy ta có
A A
Ak
r[A(A ) − (A ) )A] = r k ∗ + r[Ak , A∗ Ak ] − 2r(Ak ).
k † k †
A A
(Chứng minh được đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4]).
Chứng minh đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4]
Giả sử r(A) = r(A2 ) thì lúc đó ta có R(A) = R(Ak ) và R(A∗ ) = R((A∗ )k ) với mọi
k ≥ 2.
Bây giờ ta chứng minh r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ], để chứng minh điều này ta sẽ chứng
minh R(Ak ) = R(A) và R(A∗ Ak ) = R(A∗ ), như ở nhận xét trên ta có R(Ak ) = R(A)
bây giờ ta chứng minh R(A∗ Ak ) = R(A∗ ):
Hiển nhiên R(A∗ Ak ) ⊆ R(A∗ ), giả sử y ∈ R(A∗ ) = R(A∗ A) khi đó tồn tại z ∈ C m
sao cho y = A∗ Az mặt khác ta có R(Ak ) = R(A) nên tồn tại x ∈ C m sao cho
Az = Ak x, do đó y = A∗ Ak z, suy ra y ∈ R(A∗ Ak ), vậy R(A∗ ) ⊆ R(A∗ Ak ), từ điều
này kết hợp với R(A∗ Ak ) ⊆ R(A∗ ), ta thu được R(A∗ ) = R(A∗ Ak ), vậy
r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ] (7)
Ak
A
Tiếp theo ta sẽ chứng minh r k ∗ =r ∗
A A A
k k ∗
A A
Ta có r k ∗ =r k ∗ =r[(Ak )∗ , A(Ak )∗ ] từ đây dựa trên kỹ thuật chứng minh
A A A A
như phần chứng minh r[Ak , A∗ Ak ] = r[A, A∗ ] với lưu ý R(AA∗ ) = R(A) (theo [Hệ
quả 4.2]) thì ta sẽ chứng minh được r[(Ak )∗ , A(Ak )∗ ]=r[A, A∗ ], vậy
Ak
r k ∗ = r[A, A∗ ] (8)
A A
Từ đẳng thức [1, Mệnh đề 4.4], (7), (8) và r(Ak ) = r(A) (như đã nhận xét trên) ta
thu được đẳng thức [2, Mệnh đề 4.4].
Mệnh đề 4.5. Cho A ∈ C m×m . Lúc đó
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 15
0 0 A2
(i) r[A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A] = r 0 0 A∗ − 2r(A).
A2 A∗ A
(ii) Nếu r(A) = r(A2 ) luc đó r[A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A]=2r[A, A∗ ] − 2r(A).
Chứng minh. A(AA† − A† A) − (AA† − A† A)A = A2 A† + A† A2 − 2A nên theo [3, Bổ
đề 3.4] ta có
∗
A AA∗ A∗
0
r(A2 A† + A† A2 − 2A)=r 0 A∗ AA∗ A∗ A2 bằng phép biến đổi sơ cấp trên
A2 A∗ A∗ 2A
∗ ∗ ∗
∗
A AA∗ A∗
A AA 0 A 0
ma trận khối ta có r 0 A∗ AA∗ A∗ A2 =r −A∗ A3 A∗ 0 −A∗ A2
A2 A∗ A∗ 2A A2 A∗ A∗ 2A
∗
0 0 A
=r 0 0 −A∗ A2 theo [2, Bổ đề 3.6] ta được R(A2 A∗ ) = R(A2 ) nên
−A2 A∗ A∗ 2A
A∗ A∗
0 0 0 0 0 0
R 0 = R 0 từ đó suy ra r 0 0 −A∗ A2 =r 0 0 −A∗ A2
−A2 A∗ −A2 −A2 A∗ A∗ 2A −A2 A∗ 2A
∗
∗ 2 ∗
2 ∗
0 0 A 0 0 (−A ) 0 0 (−A )
=r( 0 0 −A∗ A2 )=r 0 0 A =r 0 0 A
−A2 A∗ 2A A −(A2 )∗ A 2A∗ −(A2 )∗ A A 2A∗
0 (−A2 )∗
0
bằng cách lý luận như trên từ R[(A2 )∗ A] = R(A2 )∗ ta cũng được r 0 0 A
2 ∗
−(A ) A 2A∗
0 (A2 )∗ 0 0 A2
0
=r 0 0 A =r 0 0 A∗ như vậy đẳng thức [1, Mệnh đề 4.5] đã được
(A2 )∗ A A∗ A2 A∗ A
chứng minh.
0 0 A2
Và khi R(A) = R(A2 ) và R[(A∗ )2 ] = R(A∗ ) thì ta suy ra được ngay r 0 0 A∗
A2 A∗ A
0 0 A2
2
A
=r 0 0 A =r ∗ + r[A2 , A∗ ] = 2r[A, A∗ ] từ đó đẳng thức [2, Mệnh đề 4.5]
∗
A
A2 A∗ 0
được chứng minh.
Hệ quả 4.6. r(A) = r(A2 ) và A giao hoán với AA† − A† A ⇐⇒ A là EP.
- 16 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
Chứng minh. Hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ các đẳng thức [1, 2 Mệnh đề
4.5]
4.2 Một số đẳng thức về hạng liên quan đến nghịch đảo
Drazin
Ở phần này ta sẽ thiết lập một số đẳng thức cơ bản liên quan đến nghịch đảo Drazin
bằng cách dựa trên mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và nghịch đảo Moore-Penrose
cùng với các đẳng thức hạng liên quan đến nghịch đảo Moore-Penrose.
Mệnh đề 4.7. Cho A ∈ C m×m với Ind(A) = k. Lúc đó
(i) r(Im + AD ) = r(Im + A).
(ii) [Im − (AD )2 ] = r(Im − A2 ).
Chứng minh. Theo giả thiết Ind(A) = k nên R(Ak ) = R(A2k+1 ) và R[(Ak )∗ ] =
R[(A2k+1 )∗ ]. Áp dụng [2, Bổ đề 3.4] ta có
r(Im − AD ) = r[Im − Ak (A2k+1 )† Ak ]
2k+1
Ak
A
=r − r(A2k+1 )
Ak Im (9)
2k+1
− A2k 0
A
=r = r(A2k − A2k+1 ) + m − r(Ak ).
0 Im
Mặt khác, bằngphép biến đổi trên ma trận
2k khối ta có
2k 2k−1 2k
A 0 A A −A
r =r
0 Im − A 0 Im − A
2k−1
A2k−1 − A2k
A
=r
Im − A Im − A
2k−2
A2k−2 − A2k A − A2k
A A .
=r = ... = r
Im − A Im − A Im − A Im − A
A A − A2k A A2k 0 A2k − A2k+1 0 A2k − A2k+1
=r =r =r =r
Im Im − A2k Im A2k Im A2k Im 0
= m + r(A2k − A2k+1 )
Vì vậy
r(A2k ) + r(Im − A) = m + r(A2k − A2k+1 ) (10)
Thay (10) vào (9) với lưu ý r(A2k ) = r(Ak ) ta được kết quả là đẳng thức (i).
chứng minh tương tự ta cũng được, r(Im − AD ) = r(Im − A).
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 17
Đối với đẳng thức (ii) ta áp dụng [3, Bổ đề 3.5], ta có
r(Im −(AD )2 ) = r(Im +AD )+r(Im −AD )−m = r(Im +A)+r(Im −A)−m = r(Im −A2 ).
Định lý 4.8. Cho A ∈ C m×n với Ind(A)=k. Lúc đó
(i) r(A − AAD ) = r(A − AD A) = r(A − A2 ).
(ii) AAD = AD A ⇐⇒ A2 = A.
Chứng minh.
r(A − AAD ) = r[A − Ak+1 (A2k+1 )† Ak ]
2k+1
Ak
A
=r k+1 − r(A2k+1 )
A A
2k+1
− A2k 0
A
=r k+1 − r(A2k+1 )
A A
2k+1
− A2k 0
A
=r − r(A2k+1 )
0 A
= r(A2k+1 − A2k ) + r(A) − r(Ak )
= r(A2k ) + r(Im − A) − m + r(A) − r(Ak )
= r(A − A2 )
Định lý 4.9. Cho A ∈ Cm×m với Ind(A) = k. Lúc đó
k
† A
r(AA − AA ) = r ∗ − r(Ak ).
D
A
Chứng minh. Hai ma trận AA† và AAD là hai ma trận lũy đẳng nên theo [2, Bổ đề
AA†
† D
3.5] nên ta có r(AA − AA ) = r + r[AA† , AAD ] − r(AA† ) − r(AAD ).
AAD
Mặt khác
∗
AA† AA†
∗
† D ∗ D ∗ ∗ k A
r D = r D = r[AA , (AA ) ] = r[A, (A∗) A ] = r[A, (A ) ] = r k .
AA AA A
(11)
r[AA† , AAD ] = r[A, Ak ](vì R(AAD ) = R(Ak )) (12)
Từ (11), (12) và r(AA† ) = r(A), r(AAD ) = r(Ak ) ta suy ra điều cầ chứng minh.
- 18 LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG - BÙI THỊ LY
Định lý 4.10. Cho A ∈ Cm×n với Ind(A)=k. Lúc đó
k
A
r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A)
† D D †
A
Chứng minh. Theo [3, Bổ đề 3.4] và bằng phép biến đổi trên ma trận khối ta có
∗
A AA∗ A∗ AD
0
r(A† AD − AD A† ) = r 0 −A∗ AA∗ A∗ − 2r(A)
A∗ AD A∗ 0
∗
A AA∗ A∗ AD AA∗ A∗ AD
= r 0 0 A∗ − 2r(A)
A∗ AD A∗ 0
A∗ AD
0 0
= r 0 0 A∗ − 2r(A)
A∗ AD A∗ 0
∗ D
AA
=r + r[A∗ , AD A∗ ] − 2r(A)
A∗
Ta có AD = Ak (A2k+1 )† Ak và R(Ak A∗ ) = R(Ak ) nên R(AD A∗ ) = R(AD ) = R(Ak )
vì vậy k
A
r(A A − A A ) = r ∗ + r[Ak , A∗ ] − 2r(A).
† D D †
A
Đó cũng là đẳng thức cuối cùng mà tôi muốn giới thiệu đến người đọc.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Thị Thanh Hương, Khóa Luận Tốt Nghiệp-Biễu diễn Nghịch Đảo Drazin
Qua Ma Trận Phụ Hợp.
[2] Nguyễn Tý, Đồ thị hai phần và nghịch đảo Drazin của ma trận, Khóa luận tốt
nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Huế, (2010).
[3] S.L. Campbell and C.D. Mayer, Jr., Generalized inverses of linear transforma-
tions, Corrected reprint of the 1979 original. Dover Publications, Inc., New York,
1991.
[4] C.D.Meyer, Jr., Generalized inverses and ranks of block matrices, SIAM J.Appl.
Math. 25(1973), 597-602.
- MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN 19
[5] C.R. Rao and S.K. Mitra, Generalized Inverse of Matrices and Its Applications,
Wiley, New York, 1971.
[6] G.Marsaglia and G.P.H. Styan, Equalities and inequalities for ranks of matrices,
Linear and Multilinear Algebra 2(1974), 269-292.
[7] Yongge Tian, Rank Equalities Related to Generalized Inverse of Matrices and
Their Applications.
LÊ VĂN PHÚ CƯỜNG
BÙI THỊ LY
SV lớp Toán 3, khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
nguon tai.lieu . vn
