1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu

Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu

Bài viết Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu trình bày về một lớp các bài toán bất đẳng thức trong tam giác có cùng chu vi (bằng 1) được giải quyết và sáng tạo bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng và bất đẳng thức Popoviciu mở rộng. Mời các bạn cùng tham khảo! Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG VỚI CÁC TAM GIÁC ĐẲNG CHU Hoàng MInh Quân Trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức trong tam giác là một chủ đề hay, xuất hiện

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 11

Ngày tạo 4/8/2023 9:57:49 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.19 M

Tên tệp

Tải Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu (.pdf)

Xem mẫu

  1. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG VỚI CÁC TAM GIÁC ĐẲNG CHU Hoàng MInh Quân Trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức trong tam giác là một chủ đề hay, xuất hiện trong nhiều kì thi học sinh giỏi các cấp. Bài viết sau đây trình bày về một lớp các bài toán bất đẳng thức trong tam giác có cùng chu vi (bằng 1) được giải quyết và sáng tạo bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng và bất đẳng thức Popoviciu mở rộng. Hi vọng thông qua bài báo này bạn đọc có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán hay và đẹp khác bằng cách xây dựng thông qua các hàm số thích hợp. Ý tưởng cho bài viết này xuất phát từ những lần nói chuyện, trao đổi của tác giả với PGS.TS Tạ Duy Phượng về bất đẳng thức trội và các vấn đề liên quan, và học hỏi cách phát triển bài toán từ GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu thông qua các lần hội thảo toán học. 1 Bất đẳng thức Jensen mở rộng cho tam giác có chu vi bằng 1 Định lý 1. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương. Khi đó ta có a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.1) x 2 y z ( ax + by + cz)2 1 −2 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = 2 trên khoảng (0, +∞) , ta có f 0 ( x ) = 3 , suy ra x x 6 1 f ( x ) = 4 > 0, ∀ x ∈ (0; +∞) nên hàm số f ( x ) = 2 lồi trên khoảng (0, +∞) . 00 x x Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta được   a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ax + by + cz ≥ f a+b+c a+b+c tương đương a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ≥ f ( ax + by + cz) vì a+b+c = 1 141
  2. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 tương đương a b c 1 + 2+ 2 ≥ , ∀ x, y, z > 0. x 2 y z ( ax + by + cz)2 Vậy Định lí (1) được chứng minh. Bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức có nhiều ứng dụng, từ bất đẳng thức này chúng ta xây dựng được nhiều bất dẳng thức mới như sau Bài toán 1. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.2) 2 ma mb mc ( am a + bmb + cmc )2 Bài toán 2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.3) 2 la lb lc ( ala + blb + clc )2 Bài toán 3. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.4) 2 ra rb rc ( ar a + brb + crc )2 Bài toán 4. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.5) 2 ha hb hc ( ah a + bhb + chc )2 Bài toán 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2R 2R 2R 1 + + ≥ . (1.6) sin A sin B sin C ( a sin A + b sin B + c sin C )2 Bài toán 6. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + + ≥ . (1.7) 2 2 2 cos A cos B cos C ( a cos A + b cos B + c cos C )2 Bài toán 7. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.8) tan A tan B tan C ( a tan A + b tan B + c tan C )2 Bài toán 8. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.9) (m a la ) ( m b lb ) ( m c lc ) ( am a la + bmb lb + cmc lc )2 Bài toán 9. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.10) (m a h a ) (mb hb ) (mc hc ) ( am a h a + bmb hb + cmc hc )2 142
  3. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 10. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.11) (m a r a ) (mb rb ) (mc rc ) ( am a r a + bmb rb + cmc rc )2 Bài toán 11. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.12) (la h a ) ( lb hb ) ( lc hc ) ( ala h a + blb hb + clc hc )2 Bài toán 12. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.13) (la r a ) ( lb rb ) ( lc rc ) ( ala r a + blb rb + clc rc )2 Bài toán 13. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . (1.14) (ha ra ) ( hb rb ) ( hc rc ) ( ah a r a + bhb rb + chc rc )2 Định lý 2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z, α là các số thực. Khi đó aeαx + beαy + ceαz ≥ eα(ax+by+cz) . (1.15) Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = eαx có f 0 ( x ) = αeαx , f 00 ( x ) = α2 eαx > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số f ( x ) = eαx là hàm lồi trên R. Áp dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng, ta có   a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ax + by + cz ≥ f a+b+c a+b+c tương đương a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ≥ f ( ax + by + cz) (Vì a+b+c=1) tương đương aeαx + beαy + ceαz ≥ eα(ax+by+cz) . Vậy định lí (1.15) được chứng minh xong. Hệ quả 1. Với α = 1, ta có bất đẳng thức ae x + bey + cez ≥ e ax+by+cz (1.16) Sử dụng hệ quả (1) ta chứng minh được các bất đẳng thức sau Bài toán 14. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 + b2 + c2 ae a + beb + cec ≥ e a . (1.17) Bài toán 15. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aema + bemb + cemc ≥ e ama +bmb +cmc . (1.18) 143
  4. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 16. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aeha + behb + cehc ≥ e aha +bhb +chc . (1.19) Bài toán 17. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aela + belb + celc ≥ e ala +blb +clc . (1.20) Bài toán 18. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aera + berb + cerc ≥ e ara +brb +crc . (1.21) Bài toán 19. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aesin A + besin B + cesin C ≥ e a sin A+b sin B+c sin C . (1.22) Bài toán 20. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aecos A + becos B + cecos C ≥ e a cos A+b cos B+c cos C . (1.23) Bài toán 21. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aetan A + betan B + cetan C ≥ e a tan A+b tan B+c tan C . (1.24) Định lý 3. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương tùy ý. Khi đó √ √ √ p a x + b y + c z ≤ ax + by + cz. (1.25) √ 1 −1 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = x với x > 0, ta có f 0 ( x ) = √ , f 00 ( x ) = √ < √ 2 x 4x x 0, ∀ x > 0. Do đó f ( x ) = x là hàm lõm trên (0; +∞). Áp dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng, ta có   a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ax + by + cz ≤ f a+b+c a+b+c tương đương a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ≤ f ( ax + by + cz) (Vì a+b+c=1) tương đương √ √ √ p a x + b y + c z ≤ ax + by + cz. Vậy Định lí (3) được chứng minh. Sử dụng Định lí (3), ta sẽ chứng minh được các bài toán sau Bài toán 22. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a b + b c + c a ≤ ab + bc + ca. (1.26) Bài toán 23. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ p a m a + b mb + c mc ≤ am a + bmb + cmc . (1.27) 144
  5. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 24. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng p p p √ a h a + b hb + c hc ≤ 6S. (1.28) Bài toán 25. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng p p p p a la + b lb + c lc ≤ ala + blb + clc . (1.29) Bài toán 26. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ p a r a + b rb + c rc ≤ ar a + brb + crc . (1.30) Bài toán 27. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a sin A + b sin B + c sin C ≤ a sin A + b sin B + c sin C. (1.31) Bài toán 28. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a cos A + b cos B + c cos C ≤ a cos A + b cos B + c cos C. (1.32) Bài toán 29. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a tan A + b tan B + c tan C ≤ a tan A + b tan B + c tan C. (1.33) Định lý 4. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương tùy ý. Khi đó x a yb zc ≤ ax + by + cz. (1.34) 1 00 −1 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = ln x trên (0; +∞), ta có f 0 ( x ) = , f (x) = 2 < x x 0, ∀ x > 0 nên hàm số f ( x ) = ln x lõm trên khoảng (0; +∞). Áp dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng, ta có   a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ax + by + cz ≤ f a+b+c a+b+c tương đương a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ≤ f ( ax + by + cz) (Vì a+b+c=1) tương đương a ln x + b ln y + c ln z ≤ ln ( ax + by + cz) tương đương   ln x a yb zc ≤ ln ( ax + by + cz) tương đương x a yb zc ≤ ax + by + cz. Vậy Định lí (4) được chứng minh. Áp dụng Định lí (4) ta chứng minh được các bất đẳng thức sau Bài toán 30. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a a b b c c ≤ a2 + b2 + c2 . (1.35) 145
  6. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 31. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng ama bmb cmc ≤ am a + bmb + cmc . (1.36) Bài toán 32. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aha bhb chc ≤ ah a + bhb + chc . (1.37) Bài toán 33. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng ala blb clc ≤ ala + blb + clc . (1.38) Bài toán 34. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng ara brb crc ≤ ar a + brb + crc . (1.39) Bài toán 35. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng asin A bsin B csin C ≤ a sin A + b sin B + c sin C. (1.40) 2 Bất đẳng thức Popoviciu mở rộng cho tam giác có chu vi bằng 1 Định lý 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương. Khi đó a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . (2.1) x y z ax + by + cz by + cz cz + ax ax + by 1 −1 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = trên khoảng (0; +∞) , ta có f 0 ( x ) = 2 , suy ra x x 2 1 f ( x ) = 3 > 0, ∀ x > 0. Do đó hàm số f ( x ) = lồi trên khoảng (0; +∞) . 00 x x Áp dụng bất đẳng thức Popoviciu mở rộng và giả thiết a + b + c = 1, ta có a f ( x ) + b f (y) + c f (z) + f ( ax + by + cz) ≥       by + cz cz + ay ax + by ≥ (b + c) f + (c + a) f + ( a + b) f b+c c+a a+b tương đương a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . x y z ax + by + cz by + cz cz + ax ax + by Vậy Định lí (5) được chứng minh. Sử dụng Định lí (5) ta chứng minh được các bất đẳng thức sau Bài toán 36. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . (2.2) ma mb mc am a + bmb + cmc bmb + cmc cmc + am a am a + bmb 146
  7. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 37. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . (2.3) ha hb hc ah a + bhb + chc bhb + chc chc + ah a ah a + bhb Bài toán 38. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . (2.4) la lb lc ala + blb + clc blb + clc clc + ala ala + blb Bài toán 39. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 + + + ≥ + + . (2.5) ra rb rc ar a + brb + crc brb + crc crc + ar a ar a + brb Bài toán 40. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + + + ≥ sin A sin B sin C a sin A + b sin B + c sin C ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 ≥ + + . (2.6) b sin B + c sin C c sin C + a sin A a sin A + b sin B Bài toán 41. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + + + ≥ cos A cos B cos C a cos A + b cos B + c cos C ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 ≥ + + . (2.7) b cos B + c cos C c cos C + a cos A a cos A + b cos B Bài toán 42. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + + + ≥ tan A tan B tan C a tan A + b tan B + c tan C ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 ≥ + + . (2.8) b tan B + c tan C c tan C + a tan A a tan A + b tan B Định lý 6. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương. Khi đó √ √ √ p a x + b y + c z + ax + by + cz ≤ √ p √ √ √ p ≤ b + c by + cz + c + a cz + ax + a + b ax + by. (2.9) √ 1 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = x trên khoảng (0; +∞) , ta có f 0 ( x ) = √ , suy ra 2 x −1 √ √ < 0, ∀ x > 0. Do đó hàm số f ( x ) = x lõm trên khoảng (0; +∞). f 00 ( x ) = 4x x Áp dụng bất đẳng thức Popoviciu mở rộng và giả thiết a + b + c = 1, ta có a f ( x ) + b f (y) + c f (z) + f ( ax + by + cz) ≤       by + cz cz + ay ax + by ≤ (b + c) f + (c + a) f + ( a + b) f b+c c+a a+b 147
  8. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 tương đương √ √ √ p a x + b y + c z + ax + by + cz ≤ √ p √ √ √ p ≤ b + c by + cz + c + a cz + ax + a + b ax + by. Vậy Định lí (6) được chứng minh. Sử dụng Định lí (6) ta chứng minh được các bất đẳng thức sau Bài toán 43. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ p a m a + b mb + c mc + am a + bmb + cmc ≤ √ p √ √ √ p ≤ b + c bmb + cmc + c + a cmc + am a + a + b am a + bmb . (2.10) Bài toán 44. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng p p p p a h a + b hb + c hc + ah a + bhb + chc ≤ √ p √ p √ p ≤ b + c bhb + chc + c + a chc + ah a + a + b ah a + bhb . (2.11) Bài toán 45. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng p p p p ala + b lb + c lc + ala + blb + clc ≤ √ p √ p √ p ≤ b + c blb + clc + c + a clc + ala + a + b ala + blb . (2.12) Bài toán 46. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ p a r a + b rb + c rc + ar a + brb + crc ≤ √ p √ √ √ p ≤ b + c brb + crc + c + a crc + ar a + a + b ar a + brb . (2.13) Bài toán 47. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a sin A + b sin B + c sin C + a sin A + b sin B + c sin C ≤ √ √ √ √ √ √ ≤ b + c b sin B + c sin C + c + a c sin C + a sin A + a + b a sin A + b sin B. (2.14) Bài toán 48. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a cos A + b cos B + c cos C + a cos A + b cos B + c cos C ≤ √ √ √ √ √ √ ≤ b + c b cos B + c cos C + c + a c cos C + a cos A + a + b a cos A + b cos B. (2.15) Bài toán 49. Cho tam giác nhọnABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng √ √ √ √ a tan A + b tan B + c tan C + a tan A + b tan B + c tan C ≤ √ √ √ √ √ √ ≤ b + c b tan B + c tan C + c + a c tan C + a tan A + a + b a tan A + b tan B. (2.16) 148
  9. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Định lý 7. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương. Khi đó by+cz cz+ ax ax +by ae x + bey + cez + e ax+by+cz ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.17) Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = e x trên khoảng (0; +∞) , ta có f 0 ( x ) = e x , suy ra f 00 ( x ) = e x > 0, ∀ x > 0. Do đó hàm số f ( x ) = e x lồi trên khoảng (0; +∞) . Áp dụng bất đẳng thức Popoviciu mở rộng và giả thiết a + b + c = 1, ta có a f ( x ) + b f (y) + c f (z) + f ( ax + by + cz) ≥       by + cz cz + ay ax + by ≥ (b + c) f + (c + a) f + ( a + b) f b+c c+a a+b tương đương by+cz cz+ ax ax +by ae x + bey + cez + e ax+by+cz ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . Vậy Định lí (7) được chứng minh. Sử dụng Định lí (7) ta chứng minh được các bất đẳng thức sau Bài toán 50. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 + b2 + c2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 ae a + beb + cec + e a ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.18) Bài toán 51. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aema + bemb + cemc + e ama +bmb +cmc ≥ bmb +cmc cmc + am a am a +bmb ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.19) Bài toán 52. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aeha + behb + cehc + e aha +bhb +chc ≥ bhb +chc chc + ah a ah a +bhb ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.20) Bài toán 53. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aela + belb + celc + e ala +blb +clc ≥ blb +clc clc + al a al a +blb ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.21) Bài toán 54. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aera + berb + cerc + e ara +brb +crc ≥ brb +crc crc + ar a ar a +brb ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.22) Bài toán 55. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aesin A + besin B + cesin C + e a sin A+b sin B+c sin C ≥ b sin B+c sin C c sin C + a sin A a sin A+b sin B ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.23) 149
  10. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Bài toán 56. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aecos A + becos B + cecos C + e a cos A+b cos B+c cos C ≥ b cos B+c cos C c cos C + a cos A a cos A+b cos B ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.24) Bài toán 57. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng aetan A + betan B + cetan C + e a tan A+b tan B+c cos C ≥ b tan B+c tan C c tan C + a tan A a tan A+b tan B ≥ (b + c) e b+c + (c + a) e c+ a + ( a + b) e a+b . (2.25) 3 Mở rộng cho đa giác có chu vi bằng 1 Định lý 8. Cho đa giác A1 A2 . . . An có chu vi bằng 1 và xi là độ dài cạnh Ai Ai+1 (Với đỉnh Aii trùng đỉnh An+i .) Chứng minh rằng n xi ∑∏ xj ≥ n n −1 . 1 i6= j Chứng minh. Kí hiệu Rn++ = {( x1 , . . . , xn ) : xi > 0 Với mọi i}. Xét hàm số x1 x2 xn f (x) = + +···+ x2 . . . x n x3 . . . x n x 1 . . . x n −1 là hàm lồi Schur ngặt trên Rn++ .  1 1 Vì xi > 0 và ∑ xi = 1, ta có x  ,..., . Áp dụng bất đẳng thức Karamata, ta có n n n xi ∑∏ ≥ n n −1 . 1 i6= j x j Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa giác A1 A2 . . . An là đa giác đều và x1 = x2 = · · · = 1 xn = . n Định lý 9. Cho đa giác A1 A2 . . . An có chu vi bằng 1 và xi là độ dài cạnh Ai Ai+1 (Với đỉnh Ai trùng đỉnh An+i .) Chứng minh rằng n xi n ∑ 1 − xi ≥ n−1 . 1 Chứng minh. Kí hiệu Rn++ = {( x1 , . . . , xn ) : xi > 0 Với mọi i}. Xét hàm số x1 x2 xn f (x) = + +···+ x2 + · · · + x n x3 + · · · + x n x 1 + · · · + x n −1   1 1 là hàm lồi Schur ngặt trên R++ . Vì xi > 0 và ∑ xi = 1, ta có x  n ,..., . Áp dụng n n bất đẳng thức Karamata, ta có n xi n ∑ 1 − xi ≥ n − 1 . 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa giác A1 A2 . . . An là đa giác đều và x1 = x2 = · · · = 1 xn = . n 150
  11. Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Tài liệu [1] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên, 2005. [2] Tạ Duy Phượng, Hoàng Minh Quân, Vũ Văn Thưởng, Sử dụng bổ đề trội chứng minh bất đẳng thức hình học, bản thảo 204 trang, 2017. [3] Lê Hồ Quý , Bất đẳng thức Karamata và một vài ứng dụng, Hội thảo Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT tổ chức tại Phú Yên,2011. [4] Cao Minh Quang, http://sachsangtao.com/bvct/sach-tham-khao/414/bdt- karamata-va-mot-so-ung-dung-cao-minh-quang.html [5] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức 2006. [6] Konstantinos G. Derpanis, Jensen’s Inequality, 2015. [7] M. V. Mihai and Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, New extension of Popoviciu’s inequal- ity, 2015. 151
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học