Xem mẫu
- MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
TRONG KHÔNG GIAN Lp,q
DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một số bất đẳng
thức cơ bản trong không gian Lp,q (Ω) như bất đẳng thức Holder, bất
đẳng thức nội suy và chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov
+
vẫn đúng trong không gian Lp,q (R+ ), 1 < q ≤ p < ∞ với hằng số Ck,n .
Từ khóa: Không gian Lp,q , Bất đẳng thức Holder, Bất đẳng thức nội
suy, Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov.
1 GIỚI THIỆU
Lý thuyết hàm là một ngành quan trọng của giải tích toán học nghiên cứu lớp gồm
các hàm đo được trên một không gian có độ đo. Vào những năm 1950, G. Lorentz đã
nghiên cứu và đưa ra một không gian mới đó là không gian Lp,q . Đây là các không
gian tổng quát hơn không gian Banach Lp .
Cho (Ω, Σ, µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và 0 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞. Khi đó,
không gian Lp,q (Ω, µ) (xem [7]) là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực f đo được sao
cho kf kpq < ∞ với
q 1q
R∞ 1
t f ∗ (t) dtt
p nếu 0 < p < ∞, 0 < q < ∞
kf kpq = 0
1
sup t p f ∗ (t) nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞
t>0
trong đó
µf (λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ 0
f ∗ (t) = inf{λ ≥ 0 : µf (λ) ≤ t}, t > 0.
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr. 17-26
- 18 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU
Hơn nữa nếu Ω = Rn , µ là độ đo Lebesgue, ta có thể biểu diễn kf kpq như sau:
1q
R∞ q
p tq−1 µf (t) p dt
nếu 0 < p < ∞, 0 < q < ∞
kf kpq = 0
1
sup tµf (t) p nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞.
t>0
Không gian (Lp,q (Ω), k.kpq ) đã được chứng minh trong [7] là không gian định chuẩn
khi và chỉ khi 1 ≤ q ≤ p < ∞ hoặc p = q = ∞.
Trên lớp không gian Lp , các nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu một
số bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức
Landau-Kolmogorov. Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov
kf (k) kn∞ ≤ K(k, n)kf k∞
n−k
.kf (n) kk∞ ,
với 0 < k < n được nghiên cứu đầu tiên bởi L. Landau và J. Hadamard với trường
hợp n = 2. Năm 1939, A. Kolmogorov đã chứng minh bất đẳng thức trên R với hằng
số tối ưu Ck,n . Sau đó J. Hadamard, A. Gorny, A. P. Matorin nghiên cứu trên R+
nhưng hằng số chưa tối ưu. Năm 1970, I. J. Schoenberg và A. Cavaretta đã tìm ra
+
hằng số Ck,n tối ưu cho bất đẳng thức trên R+ . Năm 2004, H. H. Bang và M. T.
Thu đã chứng minh bất đẳng thức cho hàm số trong không gian Nφ (R+ ) với hằng
+
số Ck,n .
Trong bài báo này chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức
nội suy trong không gian Lp,q và dựa vào phương pháp chứng minh của tài liệu [3],
chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng cho không
+
gian Lp,q (R+ ) với hằng số Ck,n trong đó 1 < q ≤ p < ∞.
2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Định lý 2.1. [7] Bất đẳng thức Hardy-Littlewood
Cho f, g là các hàm Σ-đo được trên Ω. Khi đó,
Z Z ∞
|f (x)g(x)|dµ ≤ f ∗ (t)g ∗ (t)dt.
Ω 0
Định nghĩa 2.1. [7]
Độ đo µ được gọi là độ đo phi hạt nhân nếu bất kì tập đo được A với µA > 0 thì tồn
tại tập con B của A đo được và µA > µB > 0.
- MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 19
Định lý 2.2. [7] Cho µ là độ đo phi hạt nhân, f1 , f2 , . . . , fn , n ∈ N là các hàm Σ-đo
được trên Ω. Khi đó,
Z Y n Z ∞Y n
|fk (x)|dµ ≤ fk∗ (t)dt.
Ω k=1 0 k=1
Pn 1 1
Định lý 2.3. [1] Giả sử 1 ≤ r, pj ≤ ∞ trong đó = .
j=1 pj r
n
Nếu fj ∈ Lpj (Ω) với 1 ≤ j ≤ n thì fj ∈ Lr (Ω) và
Q
j=1
n
Y n
Y
k fj kr ≤ kfj kpj .
j=1 j=1
Định lý 2.4. [2] Giả sử 1 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞.
Nếu f ∈ Lp,q (Rn ) thì f ∈ L1loc (Rn ) và
kf ∗ gkpq ≤ ckf kpq kgk1 , ∀g ∈ L1 (Rn ),
với c là hằng số chỉ phụ thuộc p, q.
Định lý 2.5. [5] Nếu 1 < q ≤ p < ∞ và f ∈ Lp,q (Ω) thì
Z
kf kpq = sup | f (x)g(x)dx|.
kgkp0 q0 =1 Ω
1 1 1 1
trong đó + 0 = 1, + 0 = 1.
p p q q
Định lý 2.6. [4] Giả sử 0 < p, q < ∞. Nếu f, f1 , f2 , . . . ∈ Lp,q (Ω) sao cho fn → f
h.k.n trên Ω và kfn kpq → kf kpq thì kfn − f kpq → 0 khi n → ∞.
Định lý 2.7. [6] Giả sử n ≥ 1. Nếu f ∈ L1loc (R+ ) và g là đạo hàm suy rộng cấp n
của f cũng thuộc L1loc (R+ ) thì f có thể được định nghĩa lại trên tập có độ đo bằng 0
sao cho f (n−1) liên tục tuyệt đối và f (n) = g hầu khắp nơi trên R+ .
3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q
Định lý 3.1. Bất đẳng thức Holder trong không gian Lp,q
1 1
Giả sử f ∈ Lp1 ,q1 (Ω), g ∈ Lp2 ,q2 (Ω) với p1 , p2 , q1 , q2 là các số dương thõa + =1
p1 p 2
1 1
và + = 1. Khi đó f.g ∈ L1 (Ω) và
q1 q2
- Z
-
kf gk1 =
- f (x)g(x)dµ
- ≤ kf kp1 q1 kgkp2 q2 .
-
-
Ω
- 20 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU
Chứng minh. Trường hợp 1 < q1 < ∞ và 1 < q2 < ∞.
Áp dụng bất đẳng thức Holder và Định lý 2.1, ta có:
- Z
- Z Z ∞
- f (x)g(x)dµ
- ≤ |f (x)g(x)|dµ ≤ f ∗ (t)g ∗ (t)dt
-
-
Ω
ZΩ∞ 0
1 1 1 1
= t p1 .f ∗ (t). 1 .t p2 .g ∗ (t). 1 dt
0
Z ∞ q t q1 t q2
1 q1
1 −1
q2
q −1
= t p1 f ∗ (t)q1 1 t p2 g ∗ (t)q2 2 dt
0
Z ∞ q1 q1 Z ∞ q2 q1
−1 ∗ −1
≤ t p1 f (t) dt 1 q1
t p2 g ∗ (t)q2 dt 2
0 0
= kf kp1 q1 kgkp2 q2 .
Tương tự với trường hợp q1 = 1, q2 = ∞.
Hệ quả 3.1. Giả sử f1 ∈ Lp1 ,q1 (Ω), f2 ∈ Lp2 ,q2 (Ω) với p1 , p2 , q1 , q2 , r là các số dương
1 1 1 1 1 1
thõa + = và + = . Khi đó f1 .f2 ∈ Lr (Ω) và
p 1 p2 r q1 q 2 r
kf1 f2 krr ≤ kf1 kp1 q1 kf2 kp2 q2 .
Chứng minh. Với 0 ≤ p < ∞ ta có (|f |p )∗ (t) = (f ∗ (t))p .
Suy ra k|f |r kpq = kf krpr,qr trong đó 0 < p, r < ∞, 0 < q ≤ ∞.
Áp dụng Định lý 3.1 với f = |f1 |r , g = |f2 |r , ta có:
kf1 f2 krrr ≤ k|f1 |r |f2 |r k1 ≤ k|f1 |r k pr1 qr1 k|f2 |r k pr2 qr2 = kf1 krp1 q1 kf2 krp2 q2 .
Vậy
kf1 f2 krr ≤ kf1 kp1 q1 kf2 kp2 q2 .
Định lý 3.2. Cho µ là độ đo phi hạt nhân,
n 1 n 1 n
Giả sử fk ∈ Lpk ,qk (Ω) với fk ∈ L1 (Ω) và
P P Q
= 1, = 1. Khi đó,
k=1 pk k=1 qk k=1
n
- Z Y
- Y n
fk (x)dµ
- ≤ kfk kpk qk .
-
nguon tai.lieu . vn
