- Trang Chủ
- Môi trường
- Mô phỏng lưu lượng dòng chảy hàng tháng với mô hình FGar(1) và mô hình MGar(1)
Xem mẫu
- Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang
MÔ PHỎNG LƯU LƯỢNG DÒNG CHẢY HÀNG THÁNG
VỚI MÔ HÌNH FGAR(1) VÀ MÔ HÌNH MGAR(1)
COMPUTER SIMULATION OF MONTHLY STREAMFLOW
WITH FGAR(1) AND MGAR(1) MODELS
Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang
Trường Cao đẳng Nghề Đà Nẵng; Email: hungnguyenvan@walla.com, trangngothanh@gmail.com
Tóm tắt – Mô phỏng là phương pháp được sử dụng phổ biến để Abstract – Computer simulation is used to study many stochastic
nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên. Hầu hết các quá trình ngẫu processes. Most of these stochastic processes in reality are
nhiên trong thực tế đều có độ lệch và phụ thuộc [5]. Để mô phỏng generally skewed and dependent [5]. In the simulation of these
các chuỗi này, mô hình Gar(1) có thể được áp dụng rất hiệu quả; đặc processes, the first-order gamma autoregressive (GAR) (1) model
biệt trong việc nghiên cứu dòng chảy trong Thuỷ văn ngẫu nhiên. has been found to be very effective; especially in the simulation
Bài báo này trình bày việc nghiên cứu mô hình Gar(1) để mô phỏng of streamflow in Stochastic Hydrology. This paper mainly presents
lưu lượng hàng tháng. Để đạt được mục đích này, chúng tôi nghiên a study on the application of the Gar(1) model in the simulation
cứu mô hình Gar(1) và đề xuất mô hình Gar(1)-Fragments gọi là of monthly streamflows. To achieve this aim we study the Gar(1)
FGar(1) và mô hình Gar(1) áp dụng để phát sinh chuỗi số liệu hàng model and propose the FGar(1) and MGar(1) models. Based on the
tháng gọi là mô hình MGar(1). Từ số liệu quan trắc dòng chảy hàng observed data of the monthly streamflows at the two stations and
tháng tại 02 trạm thuỷ văn và từ chuỗi số liệu hàng tháng có chiều the series of monthly data for 1,000 years generated by means of
dài 1000 năm được phát sinh bằng kỹ thuật mô phỏng theo mỗi mô computer simulation according to the FGar(1) and MGar(1) models,
hình FGar(1) và mô hình MGar(1), ta thấy rằng các tham số quan it was found that these models can reproduce the characteristic
trọng của chuỗi lịch sử được bảo toàn rất tốt bởi các mô hình này, parameters of the historical data very well, particularly the mean
đặc biệt giá trị trung bình và độ lệch tiêu chuẩn. and the standard deviation.
Từ khóa – Gar(1); FGar(1); MGar(1); giá trị trung bình; độ lệch Key words – Gar(1); FGar(1); MGar(1); mean; standard deviation;
tiêu chuẩn; hệ số lệch; hệ số tương quan; lưu lượng dòng chảy skewness; correlation coefficient; monthly streamflows.
hàng tháng.
1. Giới thiệu phân phối gamma 2 tham số, khi c = 0 và b = 1 ta có phân
Đã có nhiều công trình nghiên cứu mô phỏng lưu lượng phối gamma 1 tham số.
dòng chảy hàng tháng, hàng năm [6][12][14][15]. Trên cơ Các đặc trưng số cơ bản của phân phối gamma 3 tham
sở các số liệu của lưu lượng lịch sử tại các trạm đo thuỷ văn, số được tính như sau:
các mô hình mô phỏng lưu lượng dòng chảy tháng được áp - Kỳ vọng: E(X) = b + c
dụng để phát sinh nhiều chuỗi số liệu có cùng các tham số - Phương sai: Var(X)√= b2
đặc trưng như chuỗi lịch sử để dùng trong việc quy hoạch, - Hệ số lệch: g = 2/ a
thiết kế, và vận hành các Dự án Thủy lợi. Trong những năm 2.2. Mô hình hồi quy gamma bậc 1 (GAR(1))
gần đây việc giả thiết chuỗi lưu lượng lịch sử có phân phối
gamma phụ thuộc được nghiên cứu và ứng dụng rất hiệu Để giải những bài toán trong thực tế mà trong đó các quá
quả trong thực tế. Để mô phỏng lưu lượng dòng chảy hàng trình ngẫu nhiên là phụ thuộc và có phân phối không chuẩn,
năm, mô hình Gar(1) được áp dụng và kết quả cho thấy khi đó chuỗi các biến ngẫu nhiên gamma được nghiên cứu
mô hình này bảo toàn rất tốt các tham số thống kê: giá trị và áp dụng rất hiệu quả [5]. Đã có nhiều công trình nghiên
trung bình, phương sai, hệ số lệch và hệ số tương quan của cứu đề xuất các mô hình sinh ra chuỗi các biến ngẫu nhiên
chuỗi lịch sử [3][14]; tuy nhiên việc áp dụng mô hình Gar(1) có phân phối gamma phụ thuộc như Matalas [10] nhưng mô
để mô phỏng lưu lượng hàng tháng chưa được nghiên cứu hình được đề xuất bởi Lawrance và Lewis [9] tỏ ra rất hiệu
và đó là nội dung của bài báo này. Cho đến nay, các mô quả và được ứng dụng phổ biến. Mô hình hồi quy gamma
hình phát sinh dòng chảy tháng chỉ có khả năng bảo tồn bậc 1 (Gar(1)) được đề xuất bởi Lawrance và Lewis như sau:
hệ số lệch thông qua thành phần ngẫu nhiên trong mô hình Xi = ΦXi−1 + ei (2)
được dùng [12], nhưng không bảo tồn được phân bố gamma
của dòng chảy. trong đó:
- Xi là biến ngẫu nhiên biểu diễn quá trình phụ thuộc ở
2. Các nghiên cứu liên quan thời điểm i;
2.1. Phân phối Gamma - Φ là hệ số hồi quy;
- ei là biến ngẫu nhiên độc lập cần được xác định.
Một biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Xi có phân phối gamma 3 tham số và có hàm mật độ
gamma 3 tham số nếu hàm mật độ xác suất có dạng: xác suất như ở phương trình 1. Quá trình được xác định bởi
(x − c)a−1 e−(x−c)/b phương trình 2 được gọi là mô hình Gar(1). Để mô phỏng
f(x) = a
(1) quá trình này thì các tham số của mô hình phải được xác
b Γ(a)
định và ei được sinh ra theo các lược đồ.
Trong đó a > 0, b > 0, c > 0, x ≥ c và a, b, c tương Khi tham số độ nhọn a là một số nguyên, lược đồ sau
ứng là các tham số độ nhọn, tỉ lệ và vị trí. Khi c = 0 ta có được sử dụng để sinh ra ei ở phương trình 2 :
25
- TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(74).2014.QUYỂN II
Chuỗi lưu lượng hàng năm được sinh ra theo mô hình lưu
a
c(1 − φ) X lượng hàng năm và được phân phối để tính các lưu lượng
ei = + Zj
a hàng tháng bằng cách chọn lựa các mảnh một cách ngẫu
j=1
nhiên. Phương pháp này không bảo toàn tốt hệ số tương
- Zj = 0, với xác suất Φ quan của chuỗi lưu lượng lịch sử giữa tháng 1 của năm hiện
- Zj = E, với xác suất 1 − Φ tại và tháng 12 của năm trước.
E là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ và có kỳ vọng Srikanthan và McMahon [15] đề xuất phương pháp
là b. Khi a là 1 số không phải giá trị nguyên, theo quá trình Fragments cải tiến để khắc phục hạn chế này bằng cách sắp
shot-noise được sử dụng bởi Weiss [17], lược đồ sau được xếp chuỗi lưu lượng hàng tháng của từng năm thành các lớp
sử dụng: tăng dần theo lưu lượng hàng năm (có N lớp). Giá trị giới
ei = c(1 − Φ) + Z (3) hạn của 2 lớp liên tiếp bằng giá trị trung bình của lưu lượng
với 2 năm tương ứng. Khi đó mảnh tương ứng sẽ được gán cho
Z = 0 if Q = 0 (4) mỗi lớp. Mảnh lưu lượng dòng chảy hàng tháng sẽ được sinh
ra phù hợp với các giá trị giới hạn này. Với giả thiết chuỗi
và lưu lượng dòng chảy là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, từ
Q
X mẫu thống kê lưu lượng dòng chảy theo hàng tháng, bằng
Z= Yj ΦUj nếu Q > 0 (5)
phương pháp mô phỏng, các tác giả vận dụng phương pháp
j=1
cải tiến áp dụng vào các mô hình trong thuỷ văn để sinh ra
Ở các phương trình 4 và 5, Q là một biến ngẫu nhiên chuỗi lưu lượng dòng chảy hàng tháng cho n năm tại các
có giá trị nguyên và có phân phối Poisson có kỳ vọng là trạm đo và bảo toàn tốt các tham số thống kê: giá trị trung
−aln(Φ) ; Uj là biến ngẫu nhiên độc lập, đồng nhất có phân bình, phương sai của chuỗi lịch sử.
phối đều trên khoảng (0, 1) và Yj là biến ngẫu nhiên độc lập
3. Đề xuất mô hình mô phỏng lưu lượng hàng tháng
đồng nhất có phân phối mũ với kỳ vọng là b.
3.1. Mô hình FGar(1)
2.3. Ước lượng các tham số của mô hình
Nghiên cứu áp dụng mô hình Gar(1) với lưu lượng dòng
Quá trình ngẫu nhiên tuyến tính dừng Gar(1) ở phương
chảy hàng tháng, hàng năm: Kết hợp mô hình Gar(1) với
trình 2 có 4 tham số là a, b, c và Φ. Dựa vào mẫu thống kê
phương pháp Fragments gọi là mô hình Fgar(1) để mô
và sử dụng phương pháp moments, các tham số này và các
phỏng chuỗi số liệu hàng tháng. Từ chuỗi số liệu lưu lượng
moments của biến ngẫu nhiên Xi có mối liên hệ sau:
dòng chảy lịch sử các tháng của N năm, theo phương pháp
M = c + ab (6) Fragments cải tiến, các lớp và các mảnh được thiết lập. Lưu
lượng dòng chảy hàng năm thu được từ mô hình Gar(1) sẽ
S2 = ab2 (7) được phân phối phù hợp để tính được lưu lượng dòng chảy
√ hàng tháng bằng cách sử dụng các mảnh tương ứng. Trên cơ
G = 2/ a (8) sở chuỗi lưu lượng lịch sử hàng tháng của N năm; áp dụng
R=Φ (9) mô hình FGar(1) để sinh ra các giá trị lưu lượng hàng tháng
theo thuật toán sau:
Đã có các công trình nghiên cứu để ước lượng các tham
1: Phân chia chuỗi lịch sử thành N lớp, mỗi lớp là 01
số của mô hình Gar(1). Bằng phương pháp mô phỏng trên
năm lịch sử.
máy tính, Popovici và Dumitrescu [13] sử dụng thuật toán
2: Sắp xếp N lớp tăng dần theo lưu lượng lịch sử hàng
EM - Expectation Maximization Algorithm để ước lượng
năm Ai :
các tham số của mô hình Gar(1) và đánh giá cho kết quả tốt. 12
Bằng phương pháp giải tích và dựa trên cơ sở điều chỉnh
X
Ai = Ai,j
độ lệch do Bobee, B., Robitaille, R. [2] và Kirby, W. [8], j=1
Fernandez và Salas [5] đề xuất lược đồ điều chỉnh độ lệch
để ước lượng các tham số của mô hình Gar(1). Các tác giả Ai,j : lưu lượng của tháng j năm i. Sau khi sắp xếp A1
cũng xem xét cho trường hợp chuỗi các biến ngẫu nhiên là ứng với lớp có lưu lượng hàng năm bé nhất, AN ứng
độc lập. Bằng cách điều chỉnh theo Fernandez và Salas [5] với lớp có lưu lượng hàng năm lớn nhất.
ta thu được các ước lượng không lệch của M, R, S và G. Các 3: Tính cận trên Ui của lớp i: Ui = (Ai + Ai + 1)/2,
phương trình 6-9 được sử dụng để ước lượng tập các tham i = 1, 2, ..N − 1. UN có giá trị lớn tuỳ ý.
số của mô hình a, b, c và Φ. 4: Tính các tham số độ nhọn, tỉ lê, vị trí và hệ số hồi
quy của mô hình Gar(1) dựa vào mẫu lưu lượng lịch
2.4. Phương phápFragments sử hàng năm.
Svanidze [16] đề xuất phương pháp mô phỏng lưu lượng 5: Sinh ra số ngẫu nhiên X1 có phân phối gamma 3 tham
dòng chảy hàng tháng theo mô hình cơ bản Thomas-Fiering số: độ nhọn, tỉ lệ và vị trí (tính ở bước 4).
bằng cách phân mảnh thành 12 chuỗi lưu lượng dòng chảy 6: Chọn lớp có có cận trên bé nhất lớn hơn hoặc bằng
theo từng tháng từ chuỗi lưu lượng của N năm. Các lưu X1 (gọi là lớp i).
lượng trong các chuỗi được chuẩn hoá bằng cách chia các 7: Tính Q1,j Mi,j ∗ X1 : Q1,j là lưu lượng sinh ra của
giá trị lưu lượng năm i, tháng j cho lưu lượng của năm i. tháng j năm 1, Mi,j = Ai,j / Ai , Mi,j là fragment của
26
- Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang
lưu lượng lịch sử trong tháng j năm i. Bảng 2: Giá trị trung bình của chuỗi lịch sử
8: Tính Qk,j (k = 2, ..n, n là số năm cần sinh ra): và dữ liệu được sinh ra tại trạm đo Thạnh Mỹ (1000 năm)
Sử dụng mô hình Gar(1) để sinh ra ek và tính Xk Giá trình trung bình
Tháng
(k = 2, .., n), chọn lớp có cận trên bé nhất lớn hơn Lịch sử FGar(1) MGar(1)
hoặc bằng Xk (gọi là lớp i) Qk,j = Mi,j ∗ Xk . 1 116.05 101.25 116.59
3.2. Mô hình MGar(1) 2 71.03 66.39 71.69
3 50.73 47.96 50.35
Mô hình Gar(1) được sử dụng trong mô phỏng lưu lượng 4 45.03 37.92 46.06
dòng chảy hàng năm: 5 58.50 53.76 56.44
Xi = ΦXi−1 + ei 6 56.09 56.69 56.50
7 46.80 46.63 47.43
Với chuỗi dữ liệu hàng tháng của N năm, dữ liệu của 8 59.03 55.97 58.53
mỗi tháng qua N năm tạo thành một chuỗi dữ liệu và có thể 9 113.24 85.78 113.82
áp dụng mô hình Gar(1). Trường hợp này mô hình MGar(1) 10 301.76 347.83 298.64
được biểu diễn như sau: 11 403.93 405.80 403.14
12 255.31 243.10 257.62
Xi,j = Φj Xi−1 + ei (10)
Bảng 3: Độ lệch tiêu chuẩn của chuỗi lịch sử
Trong đó: và dữ liệu được sinh ra tại trạm đo Thạnh Mỹ (1000 năm)
- Xi,j là biến ngẫu nhiên biểu diễn quá trình phụ thuộc Độ lệch tiêu chuẩn
Tháng
ở tháng j năm i; Lịch sử FGar(1) MGar(1)
- Φj là hệ số hồi quy của tháng j qua N năm; 1 45.38 42.36 45.35
- ei là biến ngẫu nhiên độc lập cần được xác định. 2 23.88 24.74 23.25
Mỗi chuỗi biến ngẫu nhiên gamma phụ thuộc biểu diễn 3 16.73 16.34 16.45
cùng một tháng qua N năm có cấu trúc phân phối và hệ 4 17.86 17.83 18.09
số hồi quy riêng, vì vậy hệ thống các phương trình 10 là 5 28.40 24.26 29.80
mô hình thích hợp được áp dụng để mô phỏng dữ liệu hàng 6 27.23 27.46 27.58
tháng. Tuy nhiên mô hình này sẽ không bảo toàn được hệ số 7 17.16 17.29 17.54
quan hệ của 2 tháng liên tiếp trong năm. 8 31.67 32.57 30.61
9 90.08 44.23 91.39
4. Kết quả mô phỏng
10 159.87 164.95 167.09
4.1. Thí nghiệm mô phỏng 11 236.99 215.25 236.97
Để sinh ra các biến ngẫu nhiên MGar(1), FGar(1) nhóm 12 128.07 110.51 131.83
tác giả sử dụng các thuật toán thích hợp [11] đã được đề Bảng 4: Giá trị trung bình của chuỗi lịch sử
xuất. Sinh ra giá trị ngẫu nhiên có phân phối gamma: trường và dữ liệu được sinh ra tại trạm đo Nông Sơn (1000 năm)
hợp a ≤ 1 sử dụng thuật toán Ahrens và Dieter [1], trường
Giá trình trung bình
hợp a > 1 sử dụng thuật toán Do [4]. Để sinh ra giá trị ngẫu Tháng
Lịch sử FGar(1) MGar(1)
nhiên có phân phối Poisson, thuật toán Kemp and Kemp [7]
được sử dụng và sinh ra giá trị ngẫu nhiên có phân phối 1 248.96 220.25 246.52
mũ - sử dụng phương pháp đảo. Lưu lượng lịch sử hàng 2 138.21 136.53 137.85
tháng (m3 /giây) của trạm đo Thạnh Mỹ trên sông Vu Gia 3 94.05 94.06 93.01
và trạm đo Nông Sơn trên sông Thu Bồn thuộc tỉnh Quảng 4 76.45 66.42 76.84
Nam trong 30 năm (1980-2010) được sử dụng (nguồn: Viện 5 107.30 97.66 106.38
Khoa học Khí tượng Thuỷ văn và Môi trường). Các thuật 6 94.54 93.68 94.15
toán được cài đặt bằng ngôn ngữ Turbo C++ và được thử 7 70.33 74.95 71.44
nghiệm trên máy tính với bộ vi xử lý Intel(R) Atom CPU 8 85.02 91.32 85.60
N570 - 32 bit. Để có được các ước tính chính xác cao, các 9 195.59 174.61 188.32
chuỗi số liệu phát sinh sẽ được thực hiện với n = 1000 năm. 10 697.19 778.81 687.54
4.2. Kết quả 11 1041.81 1074.54 1039.30
12 619.97 559.19 622.19
Kết quả của viêc thí nghiệm được trình bày tóm lược
trong các Bảng 1-6 và các Hình 1-4. Bảng 5: Độ lệch tiêu chuẩn của chuỗi lịch sử
và dữ liệu được sinh ra tại trạm đo Nông Sơn (1000 năm)
Bảng 1: Thời gian (% giây) sinh ra chuỗi lưu lượng hàng tháng
theo mô hình FGar(1) và mô hình MGar(1) (1000 năm). Độ lệch tiêu chuẩn
Tháng
Lịch sử FGar(1) MGar(1)
Trạm đo FGAR(1) MGAR(1)
1 110.97 87.42 104.39
Thạnh Mỹ 0.16 0.03
2 46.07 37.07 45.50
Nông Sơn 0.25 0.05
27
- TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(74).2014.QUYỂN II
Độ lệch tiêu chuẩn
Tháng
Lịch sử FGar(1) MGar(1)
3 33.30 30.37 32.67
4 39.32 34.25 40.82
5 60.89 53.22 63.72
6 39.63 32.01 38.2
7 25.65 29.32 26.07
8 48.82 71.14 49.52
9 174.70 88.39 177.01 Hình 3: Giá trị trung bình tại trạm đo Nông Sơn
10 354.16 438.79 378.76
11 549.65 534.59 544.42
12 329.72 311.34 334.52
Bảng 6: Các tham số thống kê hàng năm của chuỗi lưu lượng
lịch sử và chuỗi lưu lượng hàng năm tính được từ chuỗi lưu lượng
hàng tháng được sinh ra theo mô hình FGar(1) và mô hình
MGar(1) (1000 năm).
a) Thạnh Mỹ
Tham số Lịch sử FGAR(1) MGAR(1)
Giá trị trung bình 1577.48 1572.32 1558.64
Độ lệch tiêu chuẩn 507.77 508.08 341.22 Hình 4: Độ lệch tiêu chuẩn tại trạm đo Nông Sơn
Hệ số lệch 0.95 1.15 0.41
5. Kết luận
Hệ số hồi quy 0.27 0.29 0.23
b) Nông Sơn Về mặt lý thuyết, mô hình Gar(1) không áp dụng được
Tham số Lịch sử FGAR(1) MGAR(1) với trường hợp hệ số hồi quy φ âm vì vậy mô FGar(1) và mô
hình MGar(1) cũng không áp dụng được với trường hợp hệ
Giá trị trung bình 8796.28 8732.18 3497.11 số hồi quy φ âm, tuy nhiên trên thực tế thì hệ số này không
Độ lệch tiêu chuẩn 1813.37 1803.24 804.33 thể có trị số âm được; do đó sự kiện này không dẫn đến một
Hệ số lệch 0.94 0.93 0.37 hạn chế nào về việc sử dụng mô hình FGar(1) và mô hình
Hệ số hồi quy 0.15 0.17 0.14 MGar(1).
Mô hình MGar(1) có tốc độ xử lý trên máy tính nhanh
hơn khoảng 5 lần so với mô hình Fgar(1).
Mô hình FGar(1) và mô hình MGar(1) bảo toàn rất tốt
các tham số thống kê hàng tháng: giá trị trung bình và độ
lệch tiêu chuẩn của 2 trạm đo được thử nghiệm.
Trên cơ sở dữ liệu hàng tháng để tính dữ liệu hàng năm
thì mô hình FGar(1) bảo toàn các tham số thống kê: giá trị
trung bình, độ lệch tiêu chuẩn, hệ số lệch và hệ số tương
quan tốt hơn so với mô hình MGar(1).
Lời cám ơn. Các tác giả chân thành cám ơn GS.TS.
Huỳnh Ngọc Phiên và PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến đã gợi
Hình 1: Giá trị trung bình tại trạm đo Thạnh Mỹ ý đề tài nghiên cứu và đóng góp một số ý kiến để cải tiến
bài báo này.
Tài liệu tham khảo
[1] Ahrens, J.H., Dieter, U., “Generating Gamma Variates by
a Modified Rejection Technique”, ACM Transactions on
Mathematical Software, Vol. 25, No. 1, 1982, pp. 47—54.
[2] Bobee, B., Robitaille, R., “Correction of Bias in the Estimation of
the Coefficient of Skewness”, Water Resources Research, Vol. 11,
No. 6, 1975, pp. 851—854.
[3] Cigizoglu, Bayazit, “Application of Gamma Autoregressive Model
to Analysis of Dry Periods”, J. Hydrologic Engrg. 3, 1998, pp.
218–221.
[4] Do, L.M., “Generating Gamma Variates”, ACM Transactions on
Hình 2: Độ lệch tiêu chuẩn tại trạm đo Thạnh Mỹ Mathematical Software, Vol. 14, No. 3, 1988, pp. 261—266.
28
- Nguyễn Văn Hưng, Ngô Thị Thanh Trang
[5] Ferandez, B., Salas, J.D., “Gamma – Autoregressive Models for [12] Phien, H. N., Ruksasilip,W., “A Review of Singe-Site Models for
Streamflow Simulation”, J. of Hydraulic Engineering, Vol. 116, No. Streamflow Generation”, J. Hydrology, Vol. 52, 1981, pp. 1-12.
11, 1990, pp. 1403—1414. [13] Popovici, Dumitrescu„ “Estimation on a GAR(1) Process by the
[6] K.P. Singh, C.G. Lonnquist., “Two-Distribution Method for EM Algorithm”, Economic Quality Control, vol. 22, Issue 2, 2010,
Modeling and Sequential Generation of Monthly Streamflows”, pp. 165–174, ISSN (Online) 1869-6147, ISSN (Print) 0940-5151,
Water Resources Research, Vol. 10, No. 4, 1967, pp. 763—773. published online: 11/03/2010.
[7] Kemp, C.D., Kemp, A.W., “Poisson random Variate Generation”, [14] S¸arlak, S¸orman,: Gamma Autoregressive Models and Application
Appl. Statist., Vol. 40. No. 1, 1991, pp 143—158. on the Kızılırmak Basin, Teknik Dergi vol. 18, No. 3 July 2007, pp.
[8] Kirby, W., “Algebraic boundness of sample statistics”, Water 4219–4227, Digest 2007, December 2007, pp. 1153—1161.
Resources Research, Vol. 10, No. 2, 1974, pp. 220—222. [15] Srikanthan, R., McMahon, T.A., “Stochastic Generation of Monthly
[9] Lawrance, A.J. and Lewis, P.A.W., “A New Autoregressive Time Flow for Ephemeral Streams”, J. Hydrology, Vol. 47, 1980, pp.
Series Model in Exponential Variables (NEAR(1))”, Adv. Appl. 19-40.
Prob, Vol. 13, No. 4, 1981, pp. 826-845. [16] Svanidze,G.G., “The Foundation of Calculation of River Flow
[10] Matalas, N.C.: Mathematical assessment of synthetic hydrology, Regulation Using the Monte-Carlo Method”, 1964, Metsniereba,
Water Resources Research, vol. 3, No. 4,1974, . pp. 937—945. Tbilisi.
[11] Nguyen Van Hung, Tran Quoc Chien, Vo Dinh Nam, “Evaluation [17] Weiss,G., “Shot Noise Models for the Generation of Synthetic
of algorithms generating gamma random variables”, University of Streamflow Data”, Water Resources Research, Vol. 13, No.1, 1977,
Danang, J. of Science and Technology, Vol.59, No.10, 2012, pp. pp. 101–108.
58-63.
(BBT nhận bài: 24/12/2013, phản biện xong: 23/01/2014)
29
nguon tai.lieu . vn
