1. Trang Chủ
  2. Địa Lý
  3. LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 11

LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 11

Lý thuyết xác suất và toán học thống kê nói chung và lý thuyết các hàm ngẫu nhiên nói riêng là công cụ toán học quan trọng được sử dụng rất rộng rãi là hiệu quả trong các khoa học khí tượng, thủy văn và hải dương học. Trong chương trình đào tạo chuyên ngành khí tượng, thủy văn và hải dương học việc ứng dụng các phương pháp thống kê và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên có mặt trong nhiều môn học và thể hiện dưới những hình thức khác nhau. Tuy nhiên, cho đến nay ở... H×nh 10.2 Theo c«ng thøc (10.

Thể loại Tài liệu miễn phí Địa Lý

Số trang 13

Ngày tạo 8/29/2018 9:23:42 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước

Tên tệp

Tải LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. H×nh 10.2 Theo c«ng thøc (10.2.9), ë ®©y cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng t Du (t ) =  Ru (τ)dτ . (10.2.16) 0 C¸c gi¸ trÞ cña hÖ sè khuÕch t¸n rèi cña thμnh phÇn vÜ h−íng ®· ®−îc tÝnh vμ dÉn ra trªn h×nh 10.2. Ph©n tÝch h×nh nμy cho thÊy r»ng, theo thêi gian hÖ sè khuÕch t¸n rèi t¨ng lªn, ®¹t ®Õn cùc ®¹i sau 30 giê, sau ®ã dÇn tiÕn ®Õn gi¸ trÞ giíi h¹n ∞ D(∞) =  Ru (τ)dτ , 0 mμ trªn thùc tÕ nã ®¹t ®−îc chØ ë kho¶ng τ = 54 ÷ 60 giê. Ch−¬ng 11: VÒ viÖc tÝnh mËt ®é phæ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng. Phæ sãng biÓn 11.1. X¸c ®Þnh mËt ®é phæ theo sè liÖu thùc nghiÖm Trong ch−¬ng 3 chóng ta ®· thÊy mËt ®é phæ S (ω) cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng lμ biÕn ®æi Fourier hμm t−¬ng quan R(τ) cña nã vμ cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (3.2.12). Khi ®ã cÇn biÕt hμm t−¬ng quan thùc trªn toμn kho¶ng v« h¹n cña sù biÕn ®æi cña ®èi sè. Khi x¸c ®Þnh nh÷ng ®Æc tr−ng thèng kª cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X (t ) theo sè liÖu thùc nghiÖm chóng ta sö dông c¸c thÓ hiÖn cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ®−îc ghi trªn mét kho¶ng h÷u h¹n T nμo ®ã cña sù biÕn thiªn cña ®èi sè t . Khi ®ã ta cã thÓ x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ~ thèng kª cña hμm t−¬ng quan R (τ) trªn kho¶ng τ ε ∈ [− T , T ] . §Æc biÖt, khi x¸c ®Þnh hμm t−¬ng quan cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng cã tÝnh egodic theo mét thÓ hiÖn x(t ) ®é dμi T , gi¸ trÞ thèng kª cña nã ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2.6.2). Nh− ®· thÊy trong ch−¬ng 6, do nhiÒu nguyªn nh©n, gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng 206
  2. ~ quan lμ mét hμm ngÉu nhiªn nμo ®ã, vμ gi¸ trÞ tÝnh ®−îc cña nã R (τ) cã thÓ kh¸c nhiÒu so víi gi¸ trÞ thùc cña hμm t−¬ng quan R(τ) vμ ph−¬ng sai sai sè t¨ng ®¸ng kÓ khi ®èi sè τ t¨ng. V× vËy viÖc sö dông trùc tiÕp c«ng thøc (3.2.12) vμ thay hμm t−¬ng quan thùc trong ®ã b»ng gi¸ trÞ thèng kª cña nã, thay kho¶ng tÝch ph©n v« h¹n b»ng kho¶ng h÷u h¹n, tøc c«ng thøc ~ 1 T −iωτ ~ 2π − S (ω) = e R (τ)dτ , T lμ kh«ng hîp lý, v× viÖc kh«ng tÝnh ®Õn nh÷ng trÞ sè cña hμm t−¬ng quan khi τ > T ~ vμ nh÷ng kh¸c biÖt ®¸ng kÓ cña hμm R (τ) so víi gi¸ trÞ thùc cña hμm t−¬ng quan, ®Æc ~ biÖt t¹i nh÷ng gi¸ trÞ τ gÇn c¸c cËn cña kho¶ng tÝch ph©n, cã thÓ dÉn ®Õn gi¸ trÞ S (ω) t×m ®−îc sÏ rÊt kh¸c víi gi¸ trÞ thùc cña mËt ®é phæ. Mét vÊn ®Ò n¶y sinh lμ, lμm thÕ nμo ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ phï hîp nhÊt cña mËt ®é phæ cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ®ang xÐt trong khi kh«ng cã hμm t−¬ng quan thùc, mμ chØ sö dông gi¸ trÞ thèng kª cña nã. ~ Ta xÐt hμm R (τ) , b»ng gi¸ trÞ thùc cña hμm t−¬ng quan R(τ) khi τ ≤ τ m vμ b»ng 0 khi τ > τ m . Hμm nμy cã thÓ xem nh− tÝch cña hμm R(τ) víi hμm λ(τ) ~ R (τ) = λ(τ) R(τ) , (11.1.1) trong ®ã  1 khi τ ≤ τ m ,  λ (τ) =  (11.1.2) 0 khi τ > τ m .  ~ Hμm R (τ) ®−îc cho trªn kh¾p trôc sè thùc. Ta sÏ t×m biÕn ®æi Fourier cña nã vμ ~ ~ xem ®ã lμ gi¸ trÞ gÇn ®óng S (ω) cña mËt ®é phæ S (ω) , tøc lμ tÝnh S (ω) theo c«ng thøc 1 ∞ −iωτ ~ 1 ∞ −iωτ ~ 2π − 2π − S (ω) = e R (τ)dτ = e λ(τ) R(τ)dτ . (11.1.3) ∞ ∞ Ta ký hiÖu S (ω) lμ mËt ®é phæ thùc cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn, tøc biÕn ®æi Fourier cña hμm t−¬ng quan thùc R(τ) , ký hiÖu Q(ω) lμ biÕn ®æi Fourier, tøc phæ, cña hμm λ(τ) 1 ∞ −iωτ 2π − Q(ω) = e λ(τ)dτ . (11.1.4) ∞ ~ Theo (11.1.3) tÝch λ(τ) R(τ) lμ biÕn ®æi Fourier cña hμm S (ω) ∞ ~ λ(τ) R(τ) =  e iωτ S (ω)dω . (11.1.5) −∞ MÆt kh¸c, ta cã ∞ ∞ λ(τ) R (τ) =  e iω1τ S (ω1 )dω1  e iω2 τ Q(ω 2 )dω 2 = −∞ −∞   ∞ ∞ =  S (ω1 )   e i ( ω2 + ω2 ) τ Q(ω 2 )dω 2 dω1 . − ∞  −∞ Khi thay thÕ ω1 + ω 2 = ω ë tÝch ph©n bªn trong vμ ®æi thø tù lÊy tÝch ph©n, ta ®−îc 207
  3. ∞  ∞ λ(τ) R(τ) =  e iωτ   S (ω1 )Q(ω − ω1 )dω1  dω . (11.1.6)  −∞  −∞ So s¸nh (11.1.5) vμ (11.1.6) ta nhËn ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a mËt ®é phæ thùc S (ω) vμ gi¸ trÞ gÇn ®óng cña nã (11.1.3) ∞ ~ S (ω) =  S (ω1 )Q (ω − ω1 )dω1 . (11.1.7) −∞ ~ Tõ ®ã thÊy r»ng, S (ω) chÝnh lμ gi¸ trÞ cña mËt ®é phæ thùc S (ω) ®−îc lÊy trung b×nh theo toμn kho¶ng tÇn víi hμm träng l−îng Q(ω − ω1 ) . §èi víi hμm λ (τ) d¹ng (11.1.2) phæ Q(ω) cña nã ®−îc x¸c ®Þnh d−íi d¹ng τ sin ωτ m 1 m −iωτ  e dτ = πω . Q(ω) = (11.1.8) 2π − τ m Nh− vËy, b»ng c¸ch sö dông tÝch (11.1.1) lμm gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan trong khi x¸c ®Þnh mËt ®é phæ, chóng ta nhËn ®−îc kh«ng ph¶i mËt ®é phæ thùc S (ω) , mμ gi¸ trÞ cña nã ®−îc lμm tr¬n nhê hμm träng l−îng lμ phæ cña hμm λ(τ) . Khi ®ã ph−¬ng ph¸p lμm tr¬n ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch chän hμm λ (τ) . Tõ ®ã n¶y sinh ý t−ëng ~ lùa chän hμm λ (τ) sao cho phÐp lμm tr¬n (11.1.7) lμ tèt nhÊt, tøc nã cho gi¸ trÞ S (ω) gÇn nhÊt víi gi¸ trÞ thùc S (ω) . Nh− vËy bμi to¸n x¸c ®Þnh mËt ®é phæ cã thÓ ph¸t biÓu d−íi d¹ng sau: Gi¶ sö cã gi¸ ~ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan R (τ) t¹i τ ≤ T , ta sÏ t×m gi¸ trÞ thèng kª cña mËt ®é ~ phæ S (ω) theo c«ng thøc τ ~ ~ 1 m −iωτ  e λ(τ) R (τ)dτ S (ω) = (11.1.9) 2π − τ m víi ®iÒu kiÖn ph¶i chän hμm λ (τ) vμ gi¸ trÞ τ m sao cho tho¶ m·n mét chØ tiªu tèi −u nμo ®ã. Hμm λ(τ) ®−îc gäi lμ hμm träng l−îng lμm tr¬n, cßn gi¸ trÞ τ m gäi lμ ®iÓm c¾t cña hμm t−¬ng quan. ý nghÜa cña hμm λ (τ) ë chç, nhê nã ng−êi ta lμm tr¬n gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan ®Ó tõ ®ã x¸c ®Þnh mËt ®é phæ. Nh− ta ®· thÊy, viÖc chän hμm lμm tr¬n λ (τ) t−¬ng øng víi sù lμm tr¬n phæ thùc cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn d¹ng (11.1.7) víi hμm träng l−îng lμ phæ cña hμm λ (τ) . ~ §Ó lμm tiªu chuÈn ®¸nh gi¸ ®¹i l−îng S (ω) vμ chän hμm lμm tr¬n tèi −u λ (τ) cã thÓ ~ lÊy sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh η[ S (ω)] , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc {[ ]} [ [ ] ][ ] ~ ~ ~ ~ 2 η2 S (ω) = M S (ω) − S (ω) = σ2 S (ω) + b 2 S (ω) . (11.1.10) Trong c«ng thøc nμy ®¹i l−îng ] {[ ]] } [ [ [ ][ ] ~ ~ ~ ~ ~ 2 σ 2 S (ω) = M S (ω) − M S (ω) = σ 2 S (ω) − b 2 S (ω) (11.1.11) ~ lμ ph−¬ng sai cña c¸c gi¸ trÞ S (ω) vμ ®Æc tr−ng cho sù t¶n m¹n cña c¸c gi¸ trÞ thèng kª cña mËt ®é phæ xung quanh kú väng to¸n häc cña nã. §¹i l−îng [ ][ ] ~ ~ b 2 S (ω) = M S (ω) − S (ω) (11.1.12) 208
  4. ®−îc gäi lμ ®é chÖch vμ ®Æc tr−ng cho sù lÖch cña kú väng to¸n häc cña c¸c trÞ sè thèng kª ~ S (ω) khái gi¸ trÞ thùc S (ω) . §é chÖch ®Æc tr−ng cho sù hiÖn diÖn cña sai sè hÖ thèng, v× ~ nã mμ c¸c gi¸ trÞ S (ω) sÏ tËp trung kh«ng ph¶i gÇn gi¸ trÞ thùc S (ω) , mμ gÇn mét gi¸ trÞ ~ M [ S (ω)] nμo ®ã. Tiªu chuÈn kh¸c, nhê ®ã cã thÓ ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña viÖc x¸c ®Þnh ®¹i l−îng ~ S (ω) vμ chän hμm lμm tr¬n tèi −u λ(τ) , lμ sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh tÝch ph©n [ ] ∞ ~  ~ 2 J S (ω) = M   S (ω) − S (ω) dω . (11.1.13) − ∞  Bμi to¸n chän hμm lμm tr¬n tèi −u lμ lμm sao víi gi¸ trÞ ®é dμi kho¶ng T ®· cho, ph¶i chän mét hμm λ (τ) lμm cho ®é lín cña tiªu chuÈn ®¸nh gi¸ ®· chän trë thμnh cùc tiÓu. NghiÖm cña bμi to¸n nμy phô thuéc nhiÒu vμo d¹ng cña hμm t−¬ng quan thùc R(τ) . Trong c«ng tr×nh cña E. Parzen [70] ®· nhËn ®−îc nghiÖm bμi to¸n nμy øng víi tiªu chuÈn (11.1.13) cho hai d¹ng hμm t−¬ng quan R(τ) . D¹ng thø nhÊt gåm líp c¸c hμm t−¬ng quan gi¶m theo quy luËt hμm mò víi hÖ sè −ρ τ ρ > 0, tøc nh÷ng hμm tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc R(τ) ≤ R0 e , trong ®ã R0 lμ mét h»ng sè nμo ®ã. Ng−êi ta ®· chøng minh ®−îc r»ng ®èi víi nh÷ng hμm t−¬ng quan nh− vËy c¸c hμm lμm tr¬n sau lμ tèi −u:   τ 1 − u khi u ≤ 1 sin u 1 u = , λ (τ) = λ (τ) =  λ ( τ) = , , ,  τm  khi u > 1 1+ u 0   u  vμ mét sè hμm kh¸c n÷a. D¹ng thø hai c¸c hμm t−¬ng quan mμ Parzen xÐt lμ líp c¸c hμm gi¶m theo kiÓu ®¹i sè, tøc nh÷ng hμm cã d¹ng τ− r trong ®ã r < 1 víi nh÷ng gi¸ trÞ τ lín. §èi víi c¸c hμm d¹ng nμy nh÷ng hμm träng l−îng tèi −u lμm cho sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh tÝch ph©n cùc tiÓu cã thÓ lμ nh÷ng hμm d¹ng 1 λ(τ) = , 1 + Bu 2 r trong ®ã h»ng sè B ®−îc biÓu diÔn qua hμm t−¬ng quan thùc R(τ) . Lomnhisky vμ Zaremba [96] ®· chøng minh r»ng hμm träng l−îng tèi −u λ(τ) lμm cho sai sè b×nh ph−¬ng trung b×nh tÝch ph©n (11.1.13) cùc tiÓu, cã d¹ng R 2 ( τ) λ(τ) = [] . (11.1.14) ~ R 2 (τ) + D R (τ) §iÒu nμy cho thÊy r»ng hμm lμm tr¬n tèi −u λ(τ) phô thuéc vμo hμm t−¬ng quan thùc cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ®−îc kh¶o s¸t vμ do ®ã, kh«ng tån t¹i mét hμm lμm tr¬n duy nhÊt ¸p dông cho tÊt c¶ c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Ngoμi ra, v× khi x¸c ®Þnh thùc nghiÖm c¸c ®Æc tr−ng thèng kª cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ta ch−a biÕt hμm t−¬ng quan thùc, cßn gi¸ trÞ thèng kª cña nã chØ lμ −íc l−îng gÇn ®óng, nªn ta kh«ng thÓ sö dông trùc tiÕp c¸c c«ng thøc ®· dÉn ®Ó x¸c ®Þnh hμm λ (τ) . Nh÷ng c«ng thøc nμy chØ cã thÓ sö dông nh− lμ c«ng thøc ®Þnh h−íng khi chän d¹ng cô thÓ cña hμm lμm tr¬n trong c«ng thøc (11.1.9). 209
  5. HiÖn nay c¸c t¸c gi¶ kh¸c nhau ®Ò x−íng nhiÒu d¹ng hμm lμm riªng biÖt cã nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c nhau, m« t¶ chi tiÕt vÒ c¸c hμm nμy tr×nh bμy trong c¸c c«ng tr×nh [2, 25, 70, 91−97]. Phæ dông nhÊt trong sè ®ã lμ nh÷ng hμm sau: 1. Hμm Bartlette  1 khi τ ≤ τ m , λ (τ) =  (11.1.15) 0 khi τ > τ m .  2. Hμm Bartlette biÕn d¹ng  τ 1 − khi τ ≤ τ m , λ(τ) =  τ m (11.1.16) 0 khi τ > τ m .  3. Hμm Tiukey πτ  1 − 2a + 2a cos khi τ ≤ τ m , λ (τ) =  τm (11.1.17)  khi τ > τ m . 0  Tiukey ®Ò nghÞ lÊy hÖ sè a = 0,23 mμ kh«ng chØ râ lý do chän trÞ sè ®ã. Parzen cho biÕt r»ng trÞ sè a = 0,25 lμ tèi −u d−íi gãc ®é tiªu chuÈn (11.1.13). 4. Hμm Hanning  πτ  0,51 − cos  khi τ ≤ τ m , τm   λ(τ) =   (11.1.18)   khi τ > τ m . 0  5. Hμm Parzen   τ q 1 −   khi τ ≤ τ m , λ(τ) =   τ m  (11.1.19)   khi τ > τ m . 0  víi q > 1, ®Æc biÖt Parzen ®· xÐt hμm nμy víi q = 2. 6. Parzen còng ®· nghiªn cøu hμm d¹ng  1 khi τ ≤ τ m ,  q  τ λ(τ) = 1 + (11.1.20)    τm   khi τ > τ m , 0  ®èi víi nh÷ng trÞ sè q = 1 vμ q = 2. 7. Hμm Hemming πτ  0,54 + 0,46 cos khi τ ≤ τ m , λ(τ) =  τm (11.1.21)  khi τ > τ m . 0  TÊt c¶ nh÷ng hμm ®· tr×nh bμy lμ tèt nhÊt theo quan ®iÓm tèi −u ho¸ mét tÝnh chÊt nμo ®ã trong sè c¸c tÝnh chÊt cña gi¸ trÞ thèng kª cña mËt ®é phæ. Khi x¸c ®Þnh gi¸ trÞ thèng kª cña mËt ®é phæ theo c«ng thøc (11.1.9) víi hμm lμm 210
  6. tr¬n λ(τ) ®· chän, gi¸ trÞ nhËn ®−îc sÏ phô thuéc nhiÒu vμo viÖc chän ®¹i l−îng τ m . Khi chän ®iÓm c¾t τ m cña hμm t−¬ng quan cÇn tÝnh ®Õn hai lo¹i sai sè: ®é chÖch cña −íc l−îng mËt ®é phæ, xuÊt hiÖn khi c¸c gi¸ trÞ cña ®¹i l−îng τ m nhá vμ tÝnh biÕn ®éng ~ ®¸ng kÓ do tËp mÉu cña c¸c gi¸ trÞ S (ω) t¹i nh÷ng τ m lín. Thùc vËy, trong c«ng thøc (11.1.9), t¹i nh÷ng trÞ sè nhá cña τ m ta sö dông gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan, nã kh«ng kh¸c nhiÒu l¾m so víi gi¸ trÞ thùc, tuy nhiªn ta gi¶ thiÕt nã b»ng 0 víi nh÷ng gi¸ trÞ τ > τ m , mμ t¹i ®ã hμm t−¬ng quan cã thÓ rÊt kh¸c kh«ng. ChÝnh v× vËy chóng ta ®· m¾c sai sè hÖ thèng g©y nªn ®é chÖch cña −íc l−îng. T¨ng τ m dÉn tíi lμm gi¶m sai sè hÖ thèng nμy, nh−ng khi ®ã trong c«ng thøc (11.1.9), víi ~ nh÷ng τ lín gi¸ trÞ thèng kª R (τ) chóng ta sö dông cã thÓ kh¸c xa so víi gi¸ trÞ thùc ~ R(τ) . V× lý do ®ã ph−¬ng sai cña −íc l−îng S (ω) t¨ng lªn, ®Æc biÖt lμ khi kho¶ng ghi thÓ hiÖn T cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn kh«ng lín. ý muèn chän ®¹i l−îng τ m lμm cùc tiÓu c¶ ®é chÖch lÉn ph−¬ng sai cña −íc l−îng mËt ®é phæ dÉn tíi sù cÇn thiÕt ph¶i tho¶ m·n hai ®ßi hái m©u thuÉn nhau. ¶nh h−ëng cña ®¹i l−îng τ m ®Õn d¹ng cña gi¸ trÞ thèng kª mËt ®é phæ biÓu lé nh− ~ sau: T¹i nh÷ng gi¸ trÞ τ m nhá trªn ®å thÞ S (ω) c¸c ®Ønh mËt ®é phæ sÏ bÞ lμm tr¬n. Khi t¨ng dÇn gi¸ trÞ cña τ m nh÷ng ®Ønh ®ã dÇn lé râ ra, nh−ng khi tiÕp tôc t¨ng τ m , do sù ~ kh¸c nhau gi÷a gi¸ trÞ thèng kª vμ gi¸ trÞ thùc cña hμm t−¬ng quan, ®å thÞ S (ω) sÏ ~ kh«ng ph¶n ¸nh ®Æc ®iÓm cña hμm S (ω) , mμ sÏ tiÕn dÇn tíi thÓ hiÖn cña qu¸ tr×nh ngÉu ~ nhiªn mμ tõ ®ã R (τ) ®−îc x¸c ®Þnh. 11.2. Ph©n tÝch phæ sãng biÓn Lý thuyÕt phæ c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng hiÖn nay ®−îc sö dông réng r·i khi ph©n tÝch sãng biÓn. ë ®©y ng−êi ta xem nh÷ng dao ®éng mùc biÓn t¹i ®iÓm x¸c ®Þnh nh− lμ hμm ngÉu nhiªn cña thêi gian. Nh÷ng kh¶o s¸t thùc nghiÖm vÒ sãng biÓn cho thÊy: hμm ngÉu nhiªn Z (t ) m« t¶ nh÷ng dao ®éng th¼ng ®øng cña mÆt n−íc theo thêi gian t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh so víi mùc trung b×nh, ë mét møc ®é gÇn ®óng nμo ®ã, cã thÓ xem nh− qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn tùa dõng, cã tÝnh ego®ic. Gi¶ ®Þnh r»ng mçi thÓ hiÖn cã thÓ chia thμnh nh÷ng ®o¹n dõng, trong ph¹m vi ®ã c¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt gi÷ nguyªn kh«ng ®æi, cßn khi chuyÓn tõ mét ®o¹n dõng nμy sang ®o¹n dõng kh¸c th× c¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt biÕn ®æi nh¶y vät. TÝnh tùa dõng cña sãng thùc còng nh− nh÷ng khã kh¨n kü thuËt trong khi thùc hiÖn nh÷ng ®ît ®o sãng dμi h¹n dÉn tíi chç, ®Ó x¸c ®Þnh c¸c ®Æc tr−ng thèng kª buéc ph¶i sö dông mét hoÆc mét sè kh«ng nhiÒu c¸c thÓ hiÖn víi ®é dμi h¹n chÕ. ~ T−¬ng øng víi gi¶ thiÕt vÒ tÝnh ego®ic, gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan R (τ) theo mét thÓ hiÖn ®é dμi T ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (6.2.2). Sù ph©n tÝch c¸c b¨ng ghi sãng giã æn ®Þnh ë ®¹i d−¬ng, c¸c biÓn vμ hå n−íc ®· cho thÊy r»ng c¸c hμm t−¬ng quan cña sãng giã cã thÓ xÊp xØ b»ng biÓu thøc d¹ng −α τ Rz (τ) = De cos βτ (11.2.1) hay 211
  7. −γ τ Rz (τ) = De cos βτ cos Bτ , (11.2.2) trong ®ã D − ph−¬ng sai cña qu¸ tr×nh, β − tÇn sè c¸c dao ®éng th¨ng gi¸ng, B − tÇn sè nhãm, α − hÖ sè suy gi¶m néi nhãm cña ®−êng bao hμm t−¬ng quan, γ − hÖ sè suy gi¶m liªn nhãm cña ®−êng bao hμm t−¬ng quan. Ta sÏ xÐt ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh mËt ®é phæ b»ng vÝ dô nghiªn cøu phæ sãng biÓn. ë ®©y chóng ta sÏ dùa vμo c«ng tr×nh [72]. Víi kiÓu hμm t−¬ng quan ®· chän, mËt ®é phæ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (11.1.9). §Ó ph©n tÝch ¶nh h−ëng cña ®¹i l−îng τ m tr−íc tiªn ta chän hμm lμm tr¬n λ(τ) lμ hμm Bartlette (11.1.15). Khi ®ã c«ng thøc (11.1.9) ®èi víi qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn thùc Z (t ) cã thÓ viÕt l¹i d−íi d¹ng τ ~ 1m S z (ω) =  Rz (τ) cos ωτdτ . (11.2.3) π0 ThÕ hμm t−¬ng quan (11.2.1) vμo (11.2.3) vμ lÊy tÝch ph©n, ta nhËn ®−îc  − α cos( β + ω )τ m + ( β + ω ) sin( β + ω )τ m −ατ  De Dα  ~ 1 1 +   α 2 + (β + ω)2 + α 2 + (β − ω) 2  + S z (ω) = 2π α 2 + (β + ω ) 2 2π    − α cos(β − ω)τ m + (β − ω) sin(β − ω)τ m  +  (11.2.4) α 2 + (β − ω) 2  Nh− ®· chØ ra trong ch−¬ng 3, sè h¹ng thø nhÊt cña (11.2.4) lμ mËt ®é phæ thùc, øng víi hμm t−¬ng quan (11.2.1). Do ®ã, sè h¹ng thø hai biÓu thÞ ®é chÖch hÖ thèng cña ~ ®¹i l−îng S (ω) . §é chÖch nμy, nh− ®· thÊy tõ (11.2.4), gi¶m dÇn khi τ m t¨ng. Nh− vËy nÕu hμm t−¬ng quan x¸c ®Þnh kh«ng cã sai sè, th× τ m ph¶i sao cho biÓu thøc trong dÊu ngoÆc nhän cña c«ng thøc (11.2.4) kh«ng ¶nh h−ëng ®¸ng kÓ ®Õn ®¹i ~ l−îng S (ω) . Sù ¶nh h−ëng nμy cña ®¹i l−îng τ m ph¶n ¸nh trªn h×nh 11.1, ë ®ã biÓu diÔn c¸c ®å thÞ mËt ®é phæ tÝnh theo c«ng thøc (11.2.4) víi D = 1 ; α = 0,1 ; β = 0,644 vμ c¸c gi¸ trÞ τ m = 7,3 gi©y (®−êng liÒn nÐt) vμ τ m = 1000 gi©y (®−êng g¹ch nèi). §Ó lμm râ tÝnh biÕn ®éng do tËp mÉu cña c¸c gi¸ trÞ thèng kª cña mËt ®é phæ v× thay thÕ hμm t−¬ng quan thùc R(τ) trong c«ng thøc (11.2.3) b»ng gi¸ trÞ thèng kª cña nã ~ ~ ~ R (τ) , trªn h×nh 11.2 dÉn ra c¸c gi¸ trÞ S (ω) nhËn ®−îc theo chuçi c¸c trÞ sè R (τ) tÝnh theo nh÷ng ®o¹n thÓ hiÖn dμi 20 phót cña sãng biÓn æn ®Þnh. §¹i l−îng τ m ®−îc chÊp nhËn lÊy b»ng 112 gi©y. 212
  8. H×nh 11.1 H×nh 11.2 H×nh 11.3 ~ Trªn h×nh 11.2 thÊy râ c¸c ®å thÞ hμm S (ω) rÊt kh¸c nhau. Sù t¶n m¹n nμy lμ do ®· chän gi¸ trÞ τ m lín mμ víi gi¸ trÞ ®ã, sù t¶n m¹n cña c¸c gi¸ trÞ thèng kª cña hμm ~ t−¬ng quan R (τ) biÓu lé rÊt m¹nh. C¸c h×nh 11.1 vμ 11.2 cho thÊy r»ng khi chän gi¸ trÞ τ m cÇn ph¶i: mét mÆt lÊy ®ñ lín ®Ó kh«ng x¶y ra sù chÖch, mÆt kh¸c nã ph¶i n»m trong miÒn c¸c gi¸ trÞ cña ®èi sè τ , t¹i ®ã ch−a biÓu lé râ sù t¶n m¹n cña c¸c gi¸ trÞ thèng kª cña hμm t−¬ng quan. Sù tho¶ hiÖp hai ®ßi hái m©u thuÉn nμy cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch thay ®æi c¸c tham sè T vμ τ m nÕu kho¶ng dõng cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ®ñ lín. Cßn nÕu nh− kho¶ng dõng cña qu¸ tr×nh kh«ng cho phÐp t¨ng ®¸ng kÓ ®é dμi thÓ hiÖn, trªn ®ã x¸c ®Þnh c¸c ®Æc tr−ng thèng kª, th× lóc ®ã viÖc chän hμm lμm tr¬n λ(τ) cã vai trß quan träng. Trªn h×nh 11.3 dÉn ra ~ c¸c gi¸ trÞ mËt ®é phæ sãng giã S (ω) tÝnh theo c«ng thøc (11.1.9) víi hμm träng l−îng Hemming (11.1.21) (®−êng cong 1), vμ víi hμm träng l−îng Bartlette (11.1.15) (®−êng cong 2). §é dμi thÓ hiÖn cña b¨ng ghi sãng T b»ng 30 phót. §−êng cong 1 tÝnh víi gi¸ trÞ ~ cña τ m lín, τ m = 0,1 T , t−¬ng øng víi sù t¶n m¹n ®¸ng kÓ cña ®¹i l−îng R (τ) , ®−êng cong ~ 2 − víi τ m nhá, thuéc miÒn tin cËy cña ®¹i l−îng R (τ) . Nh− ta thÊy tõ h×nh 11.3, ®−êng cong 2 cho nh÷ng gi¸ trÞ lμm tr¬n cña mËt ®é phæ. Tμi liÖu tham kh¶o PhÇn 1 213
  9.               Ν  Ν             Ν        IV      VII, 214
  10.   Ν n- Ν   Ν Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. New York, 1949 33. Taylor G. J. Diffusion by continuous movements. Proc. London Math. Soc. (2), 20 PhÇn 2                           Ν     215
  11.                         vv               Ν  Ν  216
  12. Ν   Ν            Ν             Ν             Ν  217
  13.        91. Blackman R. B., Tykey Y.W. The measurement of power spestra from the point of view of communications engineering. Bell syst., Tech. J., v. 37, 1958 92. Hotelling H. Analysis of complex of statistical variables into principal component. J. Educ. Psycho., v. 24, 1933 93. Crenander U. On empirical spectral analysis of stochastic processes. Archives for Mathematics, v. 1, 1951 94. Crenander U. Rosenblatt M., Statistical analysis of stationary time series. N.Y., 1956 95. Jenkins G.M. General consideration in the analysis of spectra. Techno-metrics, v. 3, 1961 96. Lomniski Z.A. Zaremba S.K. On the estimation of autocorelation in time series. Ann. Math. Statist., v. 28, 1957 97. Priestiey M.B. Basis concideration in the estimation of spectra. Technometrics, v. 4, 1962 218
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học