Xem mẫu
- TẤM MỎNG CHỊU UỐN
CHƯƠNG 8 :
$8.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Tấm là vật thể dạng hình trụ hay lă ng trụ có chiều cao nhỏ hơn nhiều
so với các kích thước ở đáy (h
b 100 h 5
Tấm mỏng được tính theo lý thuyết gần đúng, còn gọi là lý thuy ết k ỹ
a
thuật, dựa trên những giả thiết của (Kirchhoff).
x
b
1. Giả thiết pháp tuyến thẳng: tríc biÕn d¹ng
a mÆt trung gian
b
x
sau biÕn d¹ng
z
Hình 8.2
63
- Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian của tấm vẫn
thẳng và vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài của phân tố
đó không thay đổi.
Điều kiện pháp tuyến thẳng và vuông góc cho ta biết góc vuông gi ữa
pháp tuyến và các trục x,y vẫn vuông góc. Do đó:
γyz = γxz = 0 (8.1)
Điều kiện chiều dài của phân tố không đổi:
εz = 0 (8.2)
2. Giả thiết về các lớp của tấm không chèn ép lên nhau:
Có nghĩa: σz = 0 (8.3)
3. Giả thiết về sự không co giãn của mặt trung gian:
Tức mặt trung gian chỉ có chuyển vị theo ph ương vuông góc v ới nó,
chuyển vị theo các phương khác nhau rất nhỏ nên có thể bỏ qua:
u 0 = v 0 = 0
(8.4)
w≠0
Các kết quả tính toán dựa trên các giả thiết trên cho thấy chúng khá phù
hợp với thực nghiệm.
$8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN
Giả sử tấm chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian. Khi
đó trong tấm phát sinh các chuyển vị. Ta sử dụng các giả thuyết để xác định
chúng.
∂w
= 0 ⇒ Chuyển vị w là hàm không
Từ giả thuyết 1: εz = 0 hay εz =
∂z
phụ thuộc z ⇒ w = w(x,y). Nghĩa là với mọi điểm nằm trên 1 đường vuông
góc với mặt trung gian có chuyển vị như nhau. Vì vậy chỉ cần xác đ ịnh độ
võng của mặt trung gian là đủ.
Từ (8.1) ta có:
∂v ∂w ∂v ∂w
γ yz = + = 0 =
∂z ∂y
∂z ∂y
⇔ (8.5)
∂w ∂u ∂u ∂w
γ zx = + =0 =
∂z ∂x
∂x ∂z
Lấy tích phân (8.5) theo z ta có:
∂w
u = -z +f1(x,y)
∂x
∂w
v = -z ∂y +f2(x,y)
Trong đó f1, f2 là các hàm của 2 biến (x,y). Để xác định f1(x,y), f2(x,y)
Tại z = 0 ta có: u(0) = f1(x,y) ; v(0) = f2(x,y).
Theo giả thiết 3 ta có u(0) = f1(x,y) = 0 ; v(0) = f2(x,y) = 0
64
- ∂w
u=-z
∂x
⇒ (8.6)
∂w
v=-z
∂y
Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có:
∂u ∂2w
εx = =-z 2
∂x ∂x
∂u ∂2w
εy = ∂y =-z 2 (8.7)
∂y
∂u ∂u ∂2w
γxy = ∂y + =-2z
∂x ∂x∂y
Từ (8.6) và (8.7) cho thấy các thành phần chuy ển vị và bi ến d ạng trong
tấm chỉ biểu diễn qua một hàm độ võng của mặt trung gian của tấm.
$8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN
Xét một phân tố được tách ra từ 2 mặt phẳng vuông góc với trục x cách
nhau 1 đoạn dx và 2 mặt phẳng vuông góc với trục y cách nhau 1 đoạn dy.
Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm.
dx
dy
y
h/2 -h/2
σx
τ yz o
x
τ xz
σy τ xy
τ yx
z
Hình 8.3
+ Tại điểm có tọa độ z:
- Trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất: σx, Txy, Txz.
- Trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất: σy, Tyx, Tyz.
Theo giả thiết 1 => Txz = Tyz = 0
Trong thực tể các ứng suất này khác 0 vì nếu không có nó, s ẽ không
thõa mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát. Nh ưng
các ứng suất này nhỏ so với các ứng suất σx, σy, Txy nên có thể bỏ qua.
+ Khi đã biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nh ận
được các ứng suất theo chuyển vị w:
65
- − E.z ∂ 2 w ∂2w
E
2 +µ 2 ;
σx = 1 − µ 2 (εx + μεy) = 1 − µ 2
∂y
∂x
− E.z ∂ w ∂ w
E 2 2
σy = 1 − µ 2 (εy + μεx) = 1 − µ 2 2 + µ 2 ; (8.8)
∂y ∂x
− Ez ∂ 2 w
E
Txy = 2(1 − µ ) γxy= 1 − µ .
∂x∂y
Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta th ấy các ứng suất σ x, σy, Txy
là hàm bậc nhất của z. Tức là ứng suất phân bố tỉ lệ bậc nh ất v ới kho ảng
cách tính từ mặt trung gian.(Góc tọa độ 0 nằm trên mặt trung gian)
dx
dy
y
-h/2
o
x
h/2
z Hình 8.4
- Đối với ứng suất qui luật phân bố này tương tự như dầm phẳng.
- Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố này tương tự như thanh b ị
xoắn có mặt cắt hình chữ nhật. Những ứng suất này hợp thành những
moment uốn và những moment xoắn trên mặt cắt của bản.
* Gọi Mx, My là các moment uốn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài
bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y.
* Mxy và Myx là moment xoắn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài
bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y.
Qui ước dấu:
Mx, My > 0 : Khi căng thớ ở phía (+) của trục z
Mxy, Myx > 0 : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt nó quay thuận chi ều
kim đồng hồ.
y y
Mx
My
o o Mxy
x x
Myx
Hình 8.5
z z 66
- * Để xét sự cân bằng của phân tố ta ph ải tính các n ội l ực c ủa phân t ố:
Moment uốn, moment xoắn và các lực cắt tác dụng lên phân tố.
1. Tính moment uốn:
a. Tính Mx: (Hình 8.3)
h
2
dz
Mx.dy = ∫ (σx.dy.dz)(z + ) (*)
2
h
−
2
Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz/2:
h
2
(*) ⇔ Mx = ∫ z.σx.dz
h
−
2
− E.z ∂2w ∂2w
2 + µ 2 từ (8.8):
thay σx = 1 − µ 2 ∂x ∂y
h
− E.z ∂ w ∂ w
2 2 2
Mx = 1 − µ 2 2 + µ 2 ∫ z2dz.
Ta có ∂x ∂y h
−
2
∂2w ∂2w
− E.h 3
2 + µ 2 .
= ∂x ∂y
12(1 − µ 2 )
E.h 3
Đặt: D =
12(1 − µ 2 )
(8.9)
D: Độ cứng của bản khi chịu uốn
∂2w ∂2w
2 +µ 2
Thay (8.9) vào Mx,ta có: Mx = -D (8.10)
∂y
∂x
b. Tính My: (Hình 8.3)
h
2
dz
∫
My.dx = (σy.dx.dz)(z + )
2
h
−
2
∂2w ∂2w
2 +µ 2
Tương tự ta có: My = -D
∂x
∂y
(8.11)
2. Tính moment xoắn:
a. Tính Mxy:
h
2
dz dz
∫ ), bỏ qua cô cùng bé bậc cao , ta có:
Mxy.dy = (Txy.dy.dz)(z +
2 2
h
−
2
67
- h
2
Mxy = ∫ z.Txy.dz
⇔
h
−
2
− Ez ∂ 2 w
từ (8.8) ta có:
Thay Txy = 1 − µ .
∂x∂y
h
− Ez ∂ 2 w − E.h 3 (1 − µ ) ∂ 2 w
2
∫ 2
Mxy = 1 − µ . z dz = .
12(1 − µ 2 ) ∂x∂y
∂x∂y h
−
2
∂2w
Mxy = -D(1-μ) (8.12)
∂x∂y
b. Tính Myx:
h
2
dz
Myx.dx = ∫ (Txy.dy.dz)(z + )
2
h
−
2
Tương tự ta có:
∂2w
Myx = + D(1-μ) (8.13)
∂x∂y
Từ (8.12) và (8.13) ta thấy: Mxy = - Myx (8.14)
Kết quả (8.14): Định luật đối ứng của moment xoắn trong tấm mỏng
chịu uốn.
3. Tính lực cắt:
h
2
Qx.dy = ∫ Txz.dy.dz
h
−
2
(8.15)
h
2
Qy.dx = ∫ Tyz.dx.dz
h
−
2
Quan hệ giữa moment uốn và ứng suất:
− E.z ∂2w ∂2w
2 +µ 2
σx = 1 − µ 2 (a)
∂x ∂y
(8.8) ⇒
− E.z ∂2w ∂2w
2 +µ 2
σy = 1 − µ 2 (b)
∂y ∂x
∂ w ∂2w
− E.h 3 2
2 +µ 2
(8.10) ⇒
Từ Mx = (c)
12(1 − µ 2 ) ∂x ∂y
∂2w ∂2w
− E.h 3
2 +µ 2
(8.11) ⇒ My = (d)
∂y ∂x
12(1 − µ 2 )
Theo sức bền vật liệu ta có:
68
- Mx
Mx 12 Mx
σx = .z = h 3 .z = .z
1.h 3
b.
Jx
12
Từ (a) và (c) ta có:
Mx
−E ∂2w ∂2w
2 +µ 2
σx = h .z = 1 − µ 2 .z
3
∂y
∂x
12
Từ (b) và (d) ta có:
My
−E ∂2w ∂2w
2 +µ 2
σy = h .z = 1 − µ 2 .z
3
∂x
∂y
12
h
Các ứng suất đạt cực trị tại mặt có z = ±
2
| Mx |
1.h 2
h 6 | Mx |
Max |σx| = h 3 . = (Wx = )
h2
2 6
12
6 | My | | My |
Max |σy| = = My
h2
$8.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA MẶT TRUNG GIAN KHI UỐN TẤM
Xét một phân tố có cạnh là dx, dy của mặt trung gian, chịu tác động của
ngoại lực phân bố q(x,y) vuông góc với mặt tấm.
- Nội lực của phân tố được biễu diễn trên hình (Hình 8.6)
dx
Qy
dy
My
A
Myx
oM
Qx
Mx ∂M x
∂ Mx + dx
y
My + dy ∂x
∂y
Mxy
∂Q x
Qx + dx
∂x
B C
∂Q y
Qy + dy ∂M xy
∂y
y ∂M yx M xy + dx
M yx + dy ∂x
∂y
z
Hình 8.6
- Nội lực trên các cạnh bao gồm:
Các cạnh vuông góc với Ox:
Cạnh OB: Qx, Mx, Mxy.
∂Qx ∂Mx ∂Mxy
Cạnh AC: Qx + .dx, Mx + .dx, Mxy + .dx
∂x ∂x ∂x
69
- Các cạnh vuông góc với Oy:
Cạnh OA: Qy, My, Myx.
∂Qy ∂My ∂Myx
Cạnh BC: Qy + ∂y .dy, My + ∂y .dy, Myx + ∂y .dy
* Phân tố ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực.
Từ điều kiện cân bằng có tổng hình chiếu của các lực lên trục z:
∂Qy
∂Qx
Σz = 0 ⇔ - Qx.dy +(Qx + .dx).dy – Qy.dx + (Qy + ∂y .dy).dx + qdxdy = 0
∂x
∂Qx ∂Qy
⇔ + ∂y + q = 0 (8.16)
∂x
Viết phương trình moment của các lực đối với trục y:
∂Myx
∂Mx
ΣMy = 0 ⇔ [- Mx +( Mx + .dx)].dy + [Myx - (Myx + ∂y .dy)].dx
∂x
∂Qy ∂Qx
dx dx dx
– (Qy + ∂y .dy).dx. + Qy.dx. - (Qx + .dx).dydx - qdxdy =0
∂x
2 2 2
Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao và chia cho dxdy ta có:
∂Mx ∂Myx
- ∂y - Qx = 0 (8.17)
∂x
∂Mx ∂Myx
⇔ Qx = -
∂y
∂x
Thay Mx từ (8.10) và Myx từ (8.13) vào Qx ta có:
∂2w ∂2w ∂ ∂2w
∂
2 + µ 2 - D(1-μ)
Qx =-D ∂x ∂y ∂y ∂x∂y
∂x
∂ ∂ 2 w ∂2w
∂2w ∂2w
2 +µ 2 + 2 −µ 2
= - D
∂y ∂y
∂x ∂x ∂y
∂ ∂2w ∂2w
Qx = - D 2 + 2
⇔ (8.18)
∂x ∂x ∂y
Tương tự:
∂2w ∂2w
∂
2 + 2
Qy = - D ∂y (8.19)
∂x ∂y
Thay Qx và Qy từ (8.18) và (8.19) vào (8.16) ta có:
∂2w ∂2w ∂2w ∂2w
∂2
∂2 2 + 2 -D 2 2 + 2 = -q
-D 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
∂y
∂x
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂2 q
2 + 2 2 + 2 w =
∂x ∂x
∂y ∂y D
⇔
∂ w + 2∂ w + ∂ w = q
4 4 4
∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D
Hay viết dưới dạng toán tử vi phần Laplace:
q
∇ 2 (∇ 2 w ) = (8.20)
D
70
- Phương trình (8.20) là phương trình vi phân của mặt trung gian của tấm
khi chịu uốn được gọi là phương trình Sophie-Germain.
Khi tích phân (8.20) sẽ xuất hiện các hằng số tích phân, chúng được xác
định từ các điều kiện biên.
$8.5. CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN
1. Biên ngàm:
y
y=b
=0
w y=b
∂w
Tại ngàm độ võng và góc xoay bằng 0: (8.21)
= 0
∂y
y=b
2. Biên gối khớp:
x
y
y=b
Tại khớp độ võng và moment uốn My = 0.
w y =b = 0
∂2w ∂2w
= 0 ⇔ - D 2 + 2
My =0
∂y ∂x
y =b y =b
∂2w
Theo phương trục x biên đều thẳng vì vậy độ cong =0
∂x 2
∂2w
⇒ =0
y =b
∂x 2
=0
w y =b
⇒ Điều kiện gối khớp: (8.22)
∂2w
= 0
y =b
∂y 2
2. Biên tự do:
y
y=b
Tại biên moment, lực cắt, moment xoắn đều bằng 0.
=0
My y=b
Qy y = b = 0
→ (8.23)
Myx y = b = 0
71
- $8.6 TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI
TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU
x
Xét bản mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố đều q.
x2 y2
Phương trình Ellip: + −1 = 0 A
a2 b2
a
Tìm hàm độ võng của bản dưới dạng: b b
oa
2
x2 y2 y
w(x,y) = C 2 + 2 − 1 (8.24)
a
b
A'
Trong đó C là hằng số cần xác định sao cho (8.25) thõa mãn ph ương
trình Sophia-Germain q
∂4w ∂4w ∂4w q
q
⇔ + 2 2 2 + 4 = (*)
∇ (∇ w) =
2 2
∂x 4 ∂x ∂y ∂y
h
D
D
Tính các đạo hàm:
∂w 4Cx x 2 y 2
= 2 2 + 2 − 1
a
∂x a b
∂3w 8Cy
∂ 2 w 4C x 2 y 2 ⇒ 2 =22
8Cx 2
2 = 2 2 + 2 − 1 + 4
∂x ∂y a b
a a
∂x b a
∂4w 8C
∂ 3 w 8Cx 16Cx
=22
3= 4+ 4
∂x ∂y
∂x a a ab
2 2
∂ w 24C
4
4= 4
∂x a
∂ 4 w 24C 24C 8C 24C q
=4 (*) ⇔ 4 + 2 2 2 + 4 =
Tương tự:
∂y 4
b D
a ab b
q
⇒ C = 24 24
16 (8.25)
D 4 + 2 2 + 4
a b
ab
Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn các điều kiện biên sau:
x2 y2
Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến 2 + 2 − 1 = 0
a b
Thì độ võng w = 0 (1)
∂w ∂w
Các góc xoay ∂x = ∂y = 0 (2)
Kiểm tra điều kiện biên:
Từ (8.25) cho thấy khi x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến thì w = 0
Điều kiện 2: ta có:
∂w 4Cx x 2 y 2
= 2 2 + 2 − 1 = 0 khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến.
a
∂x a b
∂w 4Cy x 2 y 2
= 2 2 + 2 − 1 = 0 khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến.
a
∂y b b
Vậy các điều kiện biên (1) & (2) đều được thỏa mãn.
72
- Phương trình độ võng:
2
x2 y2
q
2 + 2 − 1
a
w(x,y) = 24 16 24 (8.26)
b
D 4 + 2 2 + 4
b
a ab
Nhận thấy wmax của tấm ở tâm O tức là khi x=y=0.
q
⇒ |wmax| = 24 24
16 (8.27)
D 4 + 2 2 + 4
a b
ab
Tính moment uốn trong tấm:
∂2w ∂2w
Mx= - D
∂x 2 + µ ∂y 2
8cx
8cy 4c x
4c x y2 y2
2 2 2 2
=- D 4 + 2 2 + 2 − 1 + µ 4 + 2 2 + 2 − 1
a a b b a
a b b
∂2w ∂2w
My= - D
∂y 2 + µ ∂x 2
8cy 2 4c x 2 y 2
8cx 4c x 2 y 2
2
= - D 4 + 2 2 + 2 − 1 + µ 4 + 2 2 + 2 − 1
b a a a a
b b b
Giá trị Mx tại tâm và 2 đầu trục ngắn:
1
1
= 4DC 2 + µ 2
Mx
b
y = x =0
a
(a)
8DC
Mx y =0 = − 2
a
x =± a
Giá trị My tại tâm và 2 đầu trục dài:
1
1
= 4DC 2 + µ 2
My
a
y = x =0
b
(b)
8DC
=− 2
Mx
x =0
b
y=± b
So sánh (a) & (b) ⇒
8DC
(Tại A & A’)
Max | M | =
a2
Max | M | 6 max | M |
(h: bề dày bản)
Max | σ | = =
Wx h2
6 max | M |
≤ [ σ]
⇒ Điều kiện: Max | σ | =
h2
73
nguon tai.lieu . vn
