- Trang Chủ
- Toán học
- Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
Xem mẫu
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
1
LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM
WEAK LAW OF LARGE NUMBERS FOR SUMS OF NEGATIVELY
SUPERADDITIVE DEPENDENT RANDOM VARIABLES
Võ Thị Vân Anh1, Nguyễn Lê Bảo Khuyên2
1
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, Việt Nam.
2
Trường Cao đẳng Y tế Kiên Giang, Việt Nam.
Ngày toà soạn nhận bài 5/4/2021, ngày phản biện đánh giá 20/4/2021, ngày chấp nhận đăng 03/5/2021.
TÓM TẮT [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]
Các định lý giới hạn, đặc biệt là các định lý về luật số lớn, đóng một vai trò vô cùng quan
trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê Toán học. Luật số lớn được Bernoulli thiết lập năm 1713
là nguồn gốc của lý thuyết xác suất hiện đại ngày nay mà dựa trên hệ tiên đề xác suất của
Kolmogorov đưa ra vào năm 1933. Các kết quả nổi bật về luật số lớn thông thường có hai dạng là
luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn. Trong số những thành tựu trên có thể kể đến định lý
Kolmogorov cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối cũng như các kết quả khác của
Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov, Martikainen, Gut và nhiều nhà nghiên cứu khác. Xu
hướng chung của các bài báo là mở rộng các kết quả cổ điển bằng cách thay thế bởi các điều kiện
phụ thuộc yếu hơn, chẳng hạn như phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ
thuộc theo khối, phụ thuộc âm, liên kết âm và phụ thuộc cộng tính trên âm. Trong bài báo này,
chúng tôi đưa ra một dạng mở rộng cho luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller cho các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu nhiên này bị chặn ngẫu nhiên.
Từ khóa: phụ thuộc cộng tính trên âm; bị chặn ngẫu nhiên; luật số lớn; biến đổi đều; hội tụ
theo xác suất.
ABSTRACT
The limit theorems, especially the theorems of the law of large numbers, play a very
important role in the theory of probability and mathematical statistics. Law of the large
number established by Bernoulli in 1713 was the origin of the modern probability theory
based now on the solid axiomatic foundation proposed by Kolmogorov in 1933. There are a
number of brilliant results concerning the law of large numbers in weak and strong forms.
Among them one can mention, e.g., the Kolmogorov theorem for independent identically
distributed random variables, the results by Khintchine, Feller, Birkhoff, Prohorov, Petrov,
Martikainen, Gut and many other researchers. The general trend is to extend the classical
results by analysis of dependent summands, such as martingale dependence, Markov
dependence, m-dependence, blockwise m-dependence, negative quadrant dependence,
negatively association, and negatively superadditive dependence. In this paper, we give a
version of the Kolmogorov - Feller law of the large number for negatively superadditive
dependent random variables and stochastically dominated random variables.
Keywords: negatively superadditive dependent; stochastically dominated; law of large
numbers; regularly varying; convergence in probability.
yếu số lớn Kolmogorov – Feller, nghĩa là hai
1. GIỚI THIỆU
mệnh đề sau là tương đương
Cho X , X n , n 1 là dãy các biến ngẫu
(i) nP X n 0.
nhiên độc lập cùng phân phối thỏa mãn luật
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
1 n thiệu trong [10] và một điều kiện mở rộng cho
(ii) X i EX I X n 0 theo xác suất.
n i 1
tính phụ thuộc âm được gọi là phụ thuộc cộng
tính trên âm được trình bày trong [9].
Luật yếu số lớn Kolmogorov – Feller đã
được nhiều tác giả chứng minh và mở rộng Định nghĩa 2. Ánh xạ : n được gọi
(xem [1], [2], [3]). Trong luật yếu số lớn là cộng tính trên (superadditive) nếu với mọi
Kolmogorov – Feller, điều kiện các biến x, y thuộc n thì
ngẫu nhiên độc lập là rất mạnh. Vì thế, nhiều
nhà toán học đã không ngừng thay thế điều x y x y x y.
kiện độc lập bởi các điều kiện yếu hơn,
trong đó
chẳng hạn độc lập đôi một (pairwise
independent) (xem [4]), phụ thuộc âm x y max{x1, y1}, max{x2 , y2}, ... , max{xn , yn}
(negative quadrant dependent) (xem [5]), liên x y min{x1, y1},min{x2 , y2}, ... , min{xn , yn}
kết âm (negatively associated) được đưa ra
bởi Alam và Saxena (xem [6]) và được với x x1, x2 , ... , xn và y y1, y2 , ... , yn .
nghiên cứu bởi Joag – Dev và Proschan (xem Định nghĩa 3. Dãy hữu hạn các biến ngẫu
[7]) và Block (xem [8]). Trong bài báo này,
chúng tôi sử dụng điều kiện phụ thuộc cộng nhiên X1 , X 2 , ... , X n được gọi là phụ thuộc
tính trên âm (negatively superadditive cộng tính trên âm nếu thỏa mãn
dependent) (xem [9]). Hu [9] đưa ra ví dụ chỉ E X1, X 2 , ... , X n E Y1, Y2 , ... , Yn , (2)
ra rằng, điều kiện này rất yếu so với điều
kiện liên kết âm. Trong bài báo này, chúng trong đó Y1 , Y2 , ... , Yn là các biến ngẫu nhiên
tôi thiết lập luật yếu số lớn Kolmogorov –
độc lập sao cho X i và Yi cùng phân phối với
Feller cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
cộng tính trên âm với điều kiện các biến ngẫu mọi i : 1 i n và là ánh xạ cộng tính
nhiên bị chặn ngẫu nhiên. trên sao cho các kỳ vọng trong bất đẳng thức
(2) là tồn tại.
Định lý sau đây là kết quả chính của bài
báo này. Định nghĩa 4. Dãy vô hạn các biến ngẫu
nhiên X i , i 1 được gọi là phụ thuộc cộng
Định lý 1. Giả sử X i , i 1 là dãy các biến
tính trên âm nếu mọi tập con hữu hạn của
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm bị
chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X sao X i , i 1 là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
cộng tính trên âm.
cho P X x thuộc R V , 1.
Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm
Khi đó, với các số thực không âm , : hàm biến đổi đều và hàm biến đổi chậm (xem
[11]).
1
0 , 0 và lim
2 n
nP X n 0 thì
Định nghĩa 5. Cho a thuộc , hàm số
1 k X i EX i I X i n
0 U : a, 0, được gọi là biến đổi đều
max
1 k n n
i 1 i (regularly varying) bậc , ký hiệu
theo xác suất khi n . (1) U R V nếu mọi giá trị t dương thì
2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ U tx
lim t .
Trước khi chứng minh kết quả chính, x U x
chúng tôi trình bày một số khái niệm và bổ
đề phục vụ chứng minh Định lý 1. Đặc biệt, nếu 0 thì hàm số U được
gọi là hàm biến đổi chậm (slowly varying),
Đầu tiên chúng tôi sử dụng khái niệm ánh
xạ cộng tính trên (superadditive) được giới ký hiệu U SV.
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
3
Định nghĩa sau đây trình bày dãy các Bổ đề 10. Giả sử là số thực dương thỏa
biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên bởi một 1
biến ngẫu nhiên. mãn 0 . Khi đó, tồn tại hằng số C
2
Định nghĩa 6. Dãy các biến ngẫu nhiên dương sao cho bất đẳng thức sau được thỏa
mãn
X i , i 1 được gọi là được gọi là bị chặn
ngẫu nhiên (stochastically dominated) bởi n
1
biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C
i
i 1
2
Cn1 2 .
dương sao cho Bổ đề kế tiếp là một kết quả nổi tiếng
P X n x CP X x , của Karamata (xem [11]).
Bổ đề 11. (Karamata) Giả sử f xác định
với mọi x 0 và n 1.
Hai bổ đề sau đây được sử dụng để
trên X ; và f thuộc R V . Khi đó,
chứng minh Định lý 1 (xem [9]). với mọi 1 thì
Bổ đề 7. Giả sử X1 , X 2 , ... , X n là các biến x 1 f x
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và lim 1.
x x
t f t dt
f1 , f 2 , ... , f n là các hàm đơn điệu tăng. Khi
X
đó, f1 X1 , f2 X 2 , ... , f n X n là các biến Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một bổ đề
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. được sử dụng trực tiếp để chứng minh Định
lý 1.
Bổ đề 8. Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n , n 2 là các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Bổ đề 12. Giả sử X i , i 1 là dãy các biến
khả tích bậc hai có kỳ vọng 0. Khi đó, với ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm bị
mọi dương thì chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa
k
8 n mãn P X x thuộc R V , 1. Với
P max X 2 Var X i .
i 1
i
1k n i 1 mỗi i : i 1 và các số thực không âm , :
Bổ đề tiếp theo là một tính chất cơ bản 0
1
, 0 đặt
của dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu 2
nhiên, chúng tôi lược bỏ chứng minh chi tiết.
Bổ đề đã được chứng minh trong [12]. X i n I X i n
Bổ đề 9. Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên X i I X i n n I X i n ,
X i , i 1 bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu
nhiên X . Khi đó, với mọi dương và b
mi ,n E X i I X i n .
dương, tồn tại các hằng số dương C1 , C2 sao
Khi đó, nếu lim nP X n 0 thì các
cho các mệnh đề sau là đúng n
mệnh đề sau là đúng
(i) E X n I X n b
1 k E X i mi ,n
C1E X I X b b P X b .
(i) lim max
n 1 k n n
i 1 i
0.
(ii) E X n I X n b C2 E X I X b .
E X i I X i n 0.
n
1
Bổ đề sau đây là một kết quả đơn giản.
(ii) lim
n n
i 1 i
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
4 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
(iii) lim 1
n
E X i 2 I X i n 0. (iii) Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11,
n n 2
i 2
ta có
i 1
E X i 2 I X i n
P Xi n 0.
n
1
(iv) lim n2
n
n2
i 1 i 2
n
i 1 i 2
1 n
E X i 2 I X i n
2
n
i 2
Chứng minh. i 1
(i) Áp dụng Bổ đề 10, ta có 1 n
C E X 2 I X n
2 i 2
1 k E X i mi ,n n i 1
max
1 k n n
i
n 2 P X n
n
i 1 1
i 2
I Xi n
i 1
1 k E n
max
1 k n n
i Cn2 P X n
n
1
i 1
i 1 i 2
1 n
E n I X i n CnP X n 0.
n
i 1 i
(iv) Ta có
n P X i n
n n P X i n
i 1 i n 2
i 2
Cn P X n
1 n i 1
Cn2 P X n
i 1 i
n
1
i 2
Cn 2 P X n 2
n
1 i 1
CnP X n 0.
i 1 i
CnP X n
0. Bổ đề được chứng minh.
(ii) Áp dụng Bổ đề 9, Bổ đề 10, Bổ đề 11,
ta có
3. KẾT QUẢ CHÍNH
1 n
E X i I X i n
n
i 1 i
3.1. Chứng minh Định lý 1
Với mỗi k 1, đặt,
C E X I X n n P X n
1 n
Sk
k X i mi ,n
, Sk
k X i mi ,n
.
n i 1 i
i 1 i i 1 i
C E X I X n n P X n
n
1
Khi đó, với mọi 0 , ta có
2 1
n i 1 i P max Sk
n 1 k n
C E X I X n
CnP X n
1
P X i n P max Sk
n
1
n i 1 n 1 k n
CnP X n 0. : I1 I 2
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
5
với mãn P X x thuộc R V , 1. Khi
đó, với các số thực không âm , :
I1 P X i n CnP X n 0,
n
i 1 1
0 , 0 và lim nP X n 0
n
2
và thì
k
1 Xi
1
I 2 P max Sk
max
1 k n n
i 0
n 1 k n
i 1
k X m theo xác suất, khi n .
P max i i ,n n
1k n i 1 i Chứng minh.
Với mọi 0, áp dụng Bổ đề 12 (ii), ta có
k X EX k E X i mi ,n
P max i i n k
1 k n i 1 1 Xi
i i 1 i
P max
1 k n n
i
i 1
k X i mi ,n
k
X i E X i n P max
1
P max
1k n i
2 1 k n n
i 1 i 2
i 1
1 k mi ,n
P max
1 k n n
i
k E X i mi ,n n i 1 2
P max
1k n i
2
i 1 1 k X i mi ,n
P max i
I1,1 I1,2 . 1k n n i 1 2
1 n mi ,n
Từ Bổ đề 12 (i), ta có I1,2 0. Áp dụng P max
0.
Bổ đề 7, Bổ đề 8, Bổ đề 13, ta có 1 k n n
i 1 i 2
X i E X i n
k Hệ quả được chứng minh.
I1,1 P max
1k n i
2 Ví dụ 14. Giả sử X i , i 1 là dãy các biến
i 1
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và bị
2
4 n E Xi chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X có
2 2
n
i 1 i 2 hàm phân phối
CnP X n 1 e x log x khi x e,
FX ( x )
0 khi x e,
C n
E X i 2 I X i n 0.
2
n
i 1 i 2
trong đó 1. Khi đó, với các số thực
1
không âm , : 0 , 0 sao cho
Định lý được chứng minh. 2
3.2. Hệ quả và ví dụ ( ) 1 0 thì ta có luật yếu số lớn,
Hệ quả 13. Giả sử X i , i 1 là dãy các biến 1 k X i E X i I X i n
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và bị
max
1 k n n
i 1 i
0
chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa
theo xác suất, khi n .
- Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 64 (06/2021)
6 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Naderi, P. Matuła, M. Amini, H. Ahmadzade, A version of the Kolmogorov–Feller
weak law of large numbers for maximal weighted sums of random variables, Commun.
Stat., Theory Methods 48 (2018), no. 21, p. 5414-5418.
[2] V. V. Petrov, Limit theorems of probability theory – Sequences of independent random
variables. Clarendon Press, (1995).
[3] D. Yuan, X. Hu. A conditional version of the extended Kolmogrov-Feller weak law of
large numbers, Statistics and Probability Letters, (2015) 97, 99–107.
B. D. Choi, S. H. Sung, On convergence of Sn ESn / n ,1 r 2 for pairwise
1/ r
[4]
independent variables, Bull. Korean Math. Soc. 22(1985), no.2, pp.79-82.
[5] F. Ma, J. Li, T. Hou, Some limit theorems for weighted negative quadrant dependent
random variables with infinite mean, Journal of Inequalities and Applications (2018).
[6] K. Alam, K. M. L. Saxena, Positive dependence in multivariate distributions, Commun.
Stat., Theory Methods 10 (1981), p. 1183-1196.
[7] K. Joag-Dev, F. Proschan, Negative association of random variables with applications,
Ann. Stat. 11 (1983), p. 286-295.
[8] H. W. Block, T. H. Savits, M. Shaked, Some concepts of negative dependence, Ann.
Probab. 10 (1982), p. 765-772.
[9] T. Hu, Negatively superadditive dependence of random variables with applications,
Chin. J. Appl. Probab. Stat. 16 (2000), no. 2, p. 133-144.
[10] J. H. B. Kemperman, On the FKG - inequalities for measures on a partially ordered
space, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 80 (1977), no. 4, 313–331.
[11] N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia of
Mathematics and Its Applications, vol. 27, Cambridge University Press, 1987.
[12] F. Ma, Y. Miao, J. Mu, A note on the weak law of large numbers of Kolmogorov and
Feller, Indian Academy of Sciences (2020).
Tác giả chịu trách nhiệm bài viết:
Võ Thị Vân Anh
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật Tp.HCM
Email: anhvtv@hcmute.edu.vn
nguon tai.lieu . vn