1. Trang Chủ
  2. Vật lý
  3. Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử

Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử

Nghiên cứu quy tắc cộng mômen xung lượng quỹ đạo, mômen cơ học riêngcủa một hạt với hai bậc tự do, mômen xung lượng của hệ hai hạt không tương tác. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc lîng tö. A. Më §Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi. Nh chóng ta ®∙ biÕt “vËt lÝ h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp cña m«n vËt lÝ, trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu tÝnh chÊt, c¸c quy luËt t¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ ph¶n h¹t cña chóng. Khi ®i s©u vµo thÕ giíi h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®∙ nãi tíi thÕ giíi h¹t vi m«. V× vËy 

Thể loại Tài liệu miễn phí Vật lý

Số trang 50

Ngày tạo 8/29/2018 7:50:00 PM +00:00

Loại tệp DOC

Kích thước

Tên tệp

Tải Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử (.docx) Tải Luận văn: Cộng mômen trong cơ học lượng tử (.pdf)

Xem mẫu

  1. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. A. Më §Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi. Nh  chóng ta  ®∙ biÕt “vËt lÝ  h¹t c¬  b¶n” lµ  mét  chuyªn ngµnh hÑp cña m«n vËt lÝ, trong ®ã ®i s©u vµo  nghiªn cøu tÝnh chÊt, c¸c quy luËt t¬ng t¸c cña h¹t  c¬   b¶n   vµ   ph¶n   h¹t   cña   chóng.   Khi   ®i   s©u   vµo   thÕ  giíi h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®∙ nãi tíi thÕ giíi h¹t vi   m«. V×  vËy lÝ  thuyÕt cæ  ®iÓn sÏ  bÞ  thay thÕ  bëi lÝ  thuyÕt lîng tö vµ ®îc dïng nh mét c«ng cô kh¸ tèt ®Ó  nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n. Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ  lîng tö  hãa quü   ®¹o  th×  m«men xung lîng cña  ®iÖn  tö  chuyÓn    ®éng quanh  h¹t nh©n chØ cã  thÓ  nhËn c¸c gi¸ trÞ  gi¸n  ®o¹n lµ  mét béi sè nguyªn cña  h . Trong   phÇn   luËn   v¨n   nµy   ta   sÏ   thÊy   gi¶   thiÕt  cña Borh lµ  hÖ  qu¶ cña c¸c tiªn  ®Ò  cña c¬  häc lîng  tö. §Ó  thÊy râ   ®iÒu ®ã  ta nghiªn cøu lÝ thuyÕt lîng  tö   vÒ   m«men   xung   lîng.   Trong   ®ã   ®Ó   h×nh   dung   mét  c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng  ta cã  thÓ  tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬  trªn h×nh vÏ.  Nhng   c¸ch   tr×nh   bµy   trªn   h×nh   vÏ   chØ   ®Ó   hiÓu   mét   c¸ch   trùc   quan,   kh«ng   thÓ   coi   lµ   c¸ch   biÓu   diÔn  chÝnh   x¸c   vÒ   m«men   xung   lîng.   V×   vËy   ®Ó   hiÓu   mét  c¸ch chÝnh x¸c vÒ  m«men xung lîng ta  ®i xÐt hÖ  hai  1 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  2. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. h¹t, bá  qua t¬ng t¸c gi÷a chóng lµm thay  ®æi m«men  xung lîng th× m«men xung lîng cña hÖ b»ng tæng m«men  xung lîng cña tõng h¹t. Vµ  ®Ó ®i ®Õn ®îc ®iÒu ®ã  ta  dïng quy t¾c céng m«men xung lîng, céng m«men spin  nãi riªng vµ céng m«men nãi chung. Tuy nhiªn, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ  lÜnh héi  phÇn lÝ thuyÕt nãi chung vµ vËt lÝ lîng tö nãi riªng  th×  viÖc gi¶i bµi tËp vËt lÝ  gi÷ vai trß quan träng  bëi lÏ  chØ cã  thÓ  gi¶i bµi tËp khi  ®∙ hiÓu cÆn kÏ  phÇn lÝ thuyÕt vÒ chóng. V× nh÷ng lý do trªn ®©y, t«i ®∙ chän ®Ò tµi  “Céng m«men trong c¬ häc lîng tö”. Sau ®ã ¸p dông  gi¶i mét sè bµi tËp vÒ céng m«men. 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu Nghiªn cøu quy t¾c céng m«men xung lîng quü  ®¹o, m«men c¬ häc riªngcña mét h¹t víi hai bËc tù  do, m«men xung lîng cña hÖ hai h¹t kh«ng t¬ng t¸c. 3. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu T×m hiÓu vÒ  m«men xung lîng quü   ®¹o, m«men c¬  häc   riªng,   m«men   xung   lîng   toµn   phÇn,   céng   m«men  xung lîng cña c¸c h¹t. Dïng cho hÖ h¹t kh«ng t¬ng t¸c. 2 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  3. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Dïng ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lÝ: To¸n tö, gi¶i  ph¬ng tr×nh hµm riªng vµ trÞ riªng. Ch¬ng 1: Céng m«men xung lîng 1.1  M«men xung lîng 1.1.1 To¸n tö m«men xung lîng  Theo   c¬   häc   cæ   ®iÓn   mét   h¹t   chuyÓn   ®éng   trªn  quü   ®¹o víi xung lîng   p , b¸n kÝnh vect¬   r , sÏ  cã  m«men xung lîng L = r ∧ p . Nh vËy to¸n tö m«men xung l­ ˆˆˆ ˆ îng cña h¹t  L = r ∧ p . Hay:   L = −iL(r ∧ ∇)  vµ c¸c to¸n tö  h×nh chiÕu m«men xung lîng cña h¹t cã d¹ng : 3 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  4. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. ∂ ∂ Lx = yp z − zp y = −iL y − z  ˆ / ˆˆ ˆˆ ∂ ∂y  z  ∂ ∂ ˆ L y = zp x − xp z = −iL z − x  ˆˆ ˆˆ ∂ ∂z  x  ∂ ∂ Lz = xp y − yp x = −iL x − y  ˆ ˆˆ ˆˆ ∂ ∂x  y  Cßn   to¸n   tö   b×nh   ph¬ng   m«men   xung   lîng   :  ˆ ˆ ˆ ˆ L2 = L2x + L2y + L2z   Sau   ®©y   ta   nªu   lªn   mét   vµi   hÖ   thøc   giao   ho¸n  gi÷a c¸c to¸n tö  m«men xung lîng víi nhau vµ  gi÷a  b×nh ph¬ng m«en xung lîng víi chóng: ˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ Lx , Ly ] = iLLz ;[ Ly , Lz ] = iLLx ;[ Lz , Lx ] = iLLy ˆˆ ˆˆ ˆˆ [ L2 , Lx ] = [ L2 , Ly ] = [ L2 , Lz ] = 0 §Ó thuËn tiÖn ngêi ta ®a vµo c¸c to¸n tö: ˆ ˆ ˆ L± = Lx ± iL y C¸c to¸n tö nµy tu©n theo c¸c hÖ thøc sau: ˆˆ ˆ [ L+ , L− ] = 22Lz ˆ ˆ [ Lz , L− ] = ±2L± ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ L2 = L+ L− + L2z − 2Lz = L− L+ + L2z + 2Lz 1.1.2  TrÞ riªng cña to¸n tö m«men xung lîng 4 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  5. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. a. TrÞ  riªng cña to¸n tö  h×nh chiÕu m«men xung lîng  lªn ph¬ng Oz  §Ó thuËn tiÖn ta dïng täa ®é cÇu. Trong täa ®é  ∂ ˆ cÇu  Lz = −i= ∂ϕ Gäi  ψ   lµ   hµm  riªng  t¬ng   øng  víi   trÞ  riªng   Lz   ˆ cña to¸n tö  Lz   Th×   ph¬ng   tr×nh   cho   hµm   riªng   vµ   trÞ   riªng:  ˆ Lzψ = Lzψ Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m  ®îc thµnh phÇn phô  i  thuéc vµo ϕ  cña ψ  cã d¹ng:    ψ ( ϕ ) = exp Lzϕ  i  VËy ψ ( r ,θ ,ϕ )    lµ  mét h»ng sè  nh©n víi hµm mò  trªn,  h»ng sè  nµy nãi chung cã  thÓ  phô  thuéc vµo c¸c täa   ®é  r & θ i  ψ ( r ,θ ,ϕ ) = C( r ,θ ) exp Lzϕ  C  Chó   ý   r»ng   khi   ϕ   thay   ®æi   2π   th×   l¹i   trë   vÒ  ®iÓm cò. Muèn cho ψ  lµ mét hµm ®¬n trÞ th× ψ ( ϕ ) = ψ ( ϕ + 2π ) . 5 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  6. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. BiÕn  ®æi  ®¬n gi¶n ta thu  ®îc   Lz = mî   víi m = 0; ± 1;±2;.... ˆ Tõ   ®ã   suy   ra   r»ng   trÞ   riªng   cña   Lz   lµ   mét   sè  nguyªn lÇn  n . b. TrÞ riªng cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng ˆ ˆ ˆ ˆ V× hiÖu  L2 − L2z = L2x + L2y  b»ng to¸n tö cña mét ®¹i l­ îng vËt lÝ  d¬ng x¸c  ®Þnh  Lx + Ly ≥ 0 .  Cho nªn øng víi  2 2 mçi gi¸ trÞ  cho tríc cña b×nh ph¬ng m«men xung lîng  L2  th×  tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ  riªng kh¶ dÜ  Lz  ph¶i tháa  m∙n bÊt ®¼ng thøc: L2 − L2z ≥ 0 ⇔   − L2 ≤ Lz ≤ L2 Nh  vËy, c¸c gi¸ trÞ  kh¶ dÜ  cña Lz  bÞ  giíi h¹n  bëi cËn trªn vµ  cËn díi. Ta kÝ  hiÖu l lµ  sè  nguyªn  t¬ng øng víi gi¸ trÞ lín nhÊt cña  ( Lz ) max = l¬ .  Do ®ã: ψ 0 ,ψ ±1 ,...ψ ±l = 0 , cßn ψ ± ( l +1) = 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ Tõ   [ Lz , L± ] = Lz L± − L± Lz = ±[ L± ˆˆ ˆˆ ˆ Nªn  Lz L± = L± Lz ± ˆ L± T¸c dông  Lz L±  lªn ψ m  ta ®îc  Lz L±ψ m = L± Lzψ m ± ˆ L±ψ m ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  7. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Hay:  Lz L ± ψ m = L± ( mˆ ψ m ) ± ˆ L±ψ = ( m ± 1) ˆ L±ψ m ˆˆ ˆ ˆ ˆ víi ψ m  lµ hµm øng víi gi¸ trÞ riªng  m   cña  Lz ˆ ˆ Tõ   ®©y suy ra r»ng   L±ψ m   lµ  hµm riªng t¬ng øng  víi trÞ riªng  ( m ± 1) )  cña to¸n tö  Lz . ˆ V× ψ m  lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng  m   cña  Lz ,  ˆ cho nªn: Lzψ m = mψψ m  ;   Lzψ m ±1 = ( m ± 1) ψψ m ±1 ˆ ˆ ˆ Bëi vËy:  L±ψ m =ψ m ±1 ˆ NÕu   m   =   l   th×   L+ψ l = ψ l +1 = 0     (V×   tr¹ng   th¸i   øng  víi m > l  lµ kh«ng cã) T¸c dông  L2  lªn ψ l  ta cã : ˆ L2ψ l = L− L+ψ l + L2zψ l + ˆ Lzψ l = 0 + l 2 ˆ 2ψ l + lˆ 2ψ l = l ( l + 1) ˆ 2ψ l ˆ ˆˆ ˆ ˆ Nh  vËy trÞ  riªng cña to¸n tö  b×nh ph¬ng m«men  xung lîng lµ  l(l+1) 2 2  , víi l lµ  c¸c gi¸ trÞ  nguyªn   d¬ng, kÓ c¶ gi¸ trÞ 0. Víi mét gi¸ trÞ cña l ®∙ cho   th× m cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh trªn ®∙ nãi l lµ gi¸ trÞ  lín nhÊt cña m, mÆt kh¸c hai híng gi÷a trôc cña z lµ  t¬ng ®¬ng nhau vÒ mÆt vËt lÝ nªn víi mçi gi¸ trÞ cña  7 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  8. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. l l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh vËy m cã thÓ  cã c¸c gi¸ trÞ nguyªn tõ +l ®Õn ­l :  m = +l, l­1, l­2,...,­l   tÊt c¶ cã  (2l+1) gi¸  trÞ. 1.1.3 PhÐp céng m«men xung lîng. §Ó  h×nh dung mét c¸ch cô  thÓ  vÒ  trÞ  riªng  cña to¸n tö  m«men xung lîng ta cã  thÓ  tr×nh bµy mét  c¸ch th« s¬ trªn  h×nh vÏ:                                                                                  z                                            2                                                                                                                                       O   6                                 ­                                ­2   8 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  9. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Vect¬   m«men   xung   lîng   cã   ®é   dµi   : L = l (l + 1)î .  H×nh chiÕu cña vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè  lµ  : L z= m =  víi m = +l; l­1;…;­l. Nh  vËy  L  kh«ng  thÓ  ®Þnh híng tïy  ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ  ®Þnh   híng   nh  thÕ   nµo   ®Ó   h×nh   chiÕu   cã   gi¸   trÞ   nh  trªn. VÝ dô : H×nh vÏ trªn  cña  L  øng víi l = 2 L = l ( l + 1) ) = 6)                 Lz = 0;±) ;±2) Trªn mÆt ph¼ng h×nh vÏ     L  chØ cã  thÓ  cã  5 c¸ch  ®Þnh híng kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i cña trôc z). NÕu  ta quay h×nh vÏ quanh trôc z th× ®îc c¸c híng cã thÓ  cã cña   L  trong kh«ng gian. B©y giê, ta xÐt hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung l­ îng lÇn lît lµ   L1 ; L2  NÕu ta bá qua t¬ng t¸c cña hai  h¹t lµm thay ®æi m«men xung lîng th× m«men xung lîng  cña hÖ    L  = L1 + L2 . NÕu biÕt sè  lîng tö l1, m1, l2, m2  x¸c  ®Þnh m«men xung lîng   L1 ; L2   th×  ta cã  thÓ  suy ra  c¸c sè  lîng tö  l, m   x¸c  ®Þnh m«men  xung lîng   L .  C¸ch   suy   ra   c¸c   sè   lîng  tö   l,   m  gäi  lµ   phÐp  céng  m«men xung lîng trong c¬ häc lîng tö. 9 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  10. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Ta cã :  Lz = L1z+ L2z  Hay:  m= = m1= + m2 = ⇔ m = m1 + m2   Mµ  gi¸ trÞ  cùc  ®¹i cña m1  lµ  l1  ; cña m2  lµ  l2.  Nªn gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m lµ (l1+l2). Ta cã thÓ hiÓu  mét c¸ch th« s¬  r»ng  ®©y lµ  trêng hîp   L1 ; L2   cïng h­ íng. Trêng hîp hai vect¬ Êy ngîc híng th× l =  l1 − l 2 . Cßn   trêng   hîp   kh¸c   l   cã   gi¸   trÞ   nguyªn   trong  kho¶ng gi÷a hai gi¸ trÞ  trªn. Tøc lµ  :     l = l1  +  l2 ; l1 + l2 ­ 1 ; ....;  l1 − l 2 . 1.2  Lý thuyÕt lîng tö vÒ m«men xung lîng. 1.2.1 Lîng tö hãa m«men xung lîng. Quy   t¾c   lîng   tö   hãa   m«men   xung   lîng   :To¸n   tö   ˆ b×nh  ph¬ng  m«men  xung  lîng  toµn  phÇn   J 2 cña h¹t  vi   m« cã  trÞ  riªng  lµ  j( j +1 ) 2 2 . Trong   ®ã  j lµ  sè   kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn. To¸n   tö   h×nh   chiÕu   cña   m«men   xung   lîng   toµn  phÇn lªn trôc z cã gi¸ trÞ riªng lµ Jz = mj     .Víi :  mj = +j; j­1;...; ­j. Cã tÊt c¶ ( 2j + 1 ) gi¸ trÞ. 10 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  11. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. TËp hîp (2j + 1) hµm sãng øng víi (2j + 1) trÞ  ˆ riªng   kh¸c   nhau   cña   J z   vµ   víi   cïng   mét   trÞ   riªng  ˆ j( j +1 ) 2 2  cña  J 2 ®îc gäi lµ mét ®a tuyÕn. 1.2.2 Quy t¾c céng m«men xung lîng. XÐt mét hÖ gåm hai h¹t vµ gäi c¸c to¸n tö m«men  ˆˆ xung lîng cña chóng lµ   J (1) , J ( 2 ) . Gi¶ sö  gi÷a hai h¹t  kh«ng cã t¬ng t¸c. Khi ®ã h¹t thø i       (i =1, 2)  Cã  thÓ   ®îc diÔn t¶ b»ng (2ji  +1) hµm sãng  ψ j µ   víi  (i ) ii c¸c gi¸ trÞ  x¸c  ®Þnh cña c¸c b×nh ph¬ng m«men xung  lîng vµ h×nh chiÕu cña nã lªn trôc Oz:  ˆ J 2 ( i )ψ (j iµ = ji ( ji + 1)ψ2ψ (j iµ ) ) ii i i ˆ (i )             J z ψ (j iµ) = µ i ψψ (j iµ) ii i i  Víi :  µ i = − ji ,− ji + 1,...., + ji  . Tøc lµ :    µ i ≤ ji HÖ hai h¹t nh vËy ®îc m« t¶ b»ng (2j1 + 1) (2j2 +  1) tÝch trùc tiÕp cña hai hµm sãng  ψ j µ ψ j µ . (1) ( 2) 11 2 2 Trong nhiÒu trêng hîp ngêi ta l¹i quan t©m  ®Õn  m«men xung lîng toµn phÇn cña hÖ. To¸n tö m«men xung  lîng toµn phÇn vµ h×nh chiÕu cña nã lªn trôc Oz lµ:  11 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  12. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. ˆˆ ˆ J = J (1) + J ( 2 ) ˆ ˆ (1) ˆ ( 2 ) J z = J z +J z B×nh ph¬ng m«men xung lîng toµn phÇn vµ    h×nh  chiÕu cña nã  lªn trôc Oz cã  trÞ  riªng lµ   j( j+1) 2 2   vµ  µv  víi   µ ≤ j . VÊn   ®Ò   ®Æt   ra   lµ   j  b»ng   bao   nhiªu   vµ   c¸c   hµm  riªng t¬ng øng cã d¹ng nh thÕ nµo? Tríc   hÕt,   ta   thÊy   r»ng   tÝch    ψ j µ ψ j µ   lµ   hµm  (1) ( 2) 11 2 2 riªng cña  J z  øng víi trÞ riªng:    µ  = ( µ1 + µ 2 ) ) ˆ ˆ V×   :     J zψ (j1µ ψ (j 2µ) = ( J z (1) + J z ( 2 ) ) ψ j µ ψ j µ ˆ ˆ (1) ( 2) ) 11 2 2 11 2 2 ˆ                                                            =  ψ (j 2µ ( J z(1)ψ (j1µ )   +  ) ) 2 2 1 1 ˆ ψ (j1µ ( J z( 2 )ψ (j 2µ ) ) ) 11 2 2                               = ( µ1 + µ 2 ) ) ψ j µ ψ j µ (1) ( 2) 11 2 2 Nhng   c¸c   tÝch    ψ j µ ψ j µ   l¹i   kh«ng   ph¶i   lµ   hµm  (1) ( 2) 11 2 2 ˆ ˆˆ riªng   cña   J 2 .   V×   sù   cã   mÆt   cña     2 J (1) J ( 2 )   lµm   cho  ˆ J 2ψ (j1µ) ψ (j 2µ)   ≠   cosnt ψ j µ ψ j µ (1) ( 2) 11 2 2 11 2 2 12 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  13. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Tuy nhiªn tõ  c¸c tÝch  ψ j µ ψ j µ   cã  thÓ  lËp  ®îc tæ  (1) ( 2) 11 2 2 ˆˆ hîp tuyÕn tÝnh  ®ång thêi lµ  hµm riªng cña   J 2 , J z , kÝ  hiÖu lµ  φ j j jµ 12 J 2 φ j j jµ  = j( j+1) 2 2   φ j j ˆ   jµ 12 12 J z φ j j jµ  =  µ  φ j j ˆ jµ 12 12 V×   gi¸   trÞ   lín   nhÊt   cña     µ1 , µ 2   lµ   j1,   j2  nªn  µ max = j1 + j2   khi vµ  chØ khi   { µ1 = j 1 , µ 2 = j2 } .  Hµm sãng hai  h¹t  t¬ng  øng  duy  nhÊt   lµ  ψ j j ψ j j .  §ã   còng  chÝnh  lµ  (1) ( 2) 11 22 tr¹ng th¸i øng víi gi¸ trÞ m«men xung lîng toµn phÇn  j =  µ max = j1 + j 2 . VËy  φ j j  =  ψ j j ψ j j . (1) ( 2) 1 2 j1 + j 2 j1 + j 2 11 22 Gi¸ trÞ tiÕp theo cña  µ  lµ   µ max − 1  =  j1 + j2 − 1 , khi  {µ = j 1 , µ 2 = j2 − 1} , hoÆc   { µ1 = j 1 −1, µ 2 = j 2 } . Hµm sãng hai h¹t  1 t¬ng øng  lµ  ψ j j ψ j , hoÆc ψ j j −1ψ j j . Tõ hai hµm nµy,  (1) ( 2) (1) ( 2) 2 j 2 −1 11 11 22 cã thÓ lËp hai tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh, mét tæ hîp  cho j =  j1 + j 2 , øng víi hµm sãng  φ j j , cßn tæ hîp  1 2 j1 + j 2 j1 + j 2 −1 kia   cho                   j= j1 + j2 − 1,   øng   víi   hµm   sãng  φj j . 1 2 j1 + j 2 −1 j1 + j 2 −1 Ta quy íc r»ng  j1 ≥ j2. . Cø mçi lÇn gi¶m ®i mét ®¬n  vÞ   l¹i   xuÊt   hiÖn   thªm   hµm   sãng   míi   cho   tíi   khi  µ = j1 − j2 . Gi¸  trÞ  nµy  cña   µ   cã  thÓ  nhËn  ®îc trong  13 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  14. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. (2j2  +1) trêng hîp   { µ1 , µ 2 }   = { j1 ,− j 2 } ;   { j1 − 1,− j 2 + 1} ;……..;  {j − 2 j2 , j 2 } , øng víi (2j2 +1) hµm sãng hai h¹t ψ (j1j) ψ (j 2− j ;  ) 1 11 2 2 ψ (j1j) −1ψ (j 2−) j +1 ;....; ψ (j1j) − 2 j ψ (j 2j) .  11 2 2 11 2 22 Tõ     (2j2  +1)  hµm   sãng  nµy   cã   thÓ   lËp  (2j2  +1)  tæ hîp  ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho     j   =   j1 + j 2 , j1 + j2 − 1 ,...,j1  ­   j2  lÇn   lît   øng   víi   φ j j ,φ j j ,…,  1 2 j1 + j 2 j1 − j 2 1 2 j1 + j 2 −1 j1 − j 2 φj j . 1 2 j1 − j 2 j1 − j 2 Víi c¸c gi¸ trÞ tiÕp theo cña  µ  mµ   j 2 − j1 ≤ µ
  15. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. ψ (j1− j ψ (j 2j) −1 . Tõ  2j2  hµm sãng nµy cã  thÓ  lËp 2j2  tæ hîp  ) 1 1 22 ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho j =  j1 + j 2  ,...,         j1  ­  j2+1, lÇn lît øng víi  φ j j ,φ j j ,…,  φ j j 1 2 j1 + j 2 j 2 − j1 −1 1 2 j1 + j 2 −1 j 2 − j1 −1 1 2 j1 − j 2 +1 j 2 − j1 −1 B¾t  ®Çu tõ  gi¸ trÞ   µ = j 2 − j1 − 1  mçi lÇn  µ  gi¶m  ®i  mét ®¬n vÞ th× sè tr¹ng th¸i còng gi¶m ®i 1  cho tíi   khi   µ = − j1 − j 2 ,   øng   víi   mét   tr¹ng   th¸i   duy   nhÊt  {µ = − j 1 , µ 2 = − j 2 }  . VËy  φ j j  =  ψ j − j ψ j − j . (1) ( 2) 1 2 j1 + j 2 − j1 − j 2 1 1 1 2 2 Khi  j 2 ≥ j1. , c¸c lËp luËn ë trªn vÉn ®óng , ta chØ  cÇn lµm phÐp ho¸n vÞ j1 ↔ j2 Tãm l¹i, víi j1, j2 cho tríc ,tõ c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ   (1) ( 2)   11 2 2 , ta cã thÓ lËp ®îc c¸c tæ hîp ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ  c¸c   hµm   sãng   φ j j jµ   cña   c¸c   tr¹ng   th¸i   riªng   cña   hÖ  12 hai h¹t cã m«men xung lîng toµn phÇn J vµ h×nh chiÕu  cña nã Jz. J =  j ( j + 1) )  ;  Jz =  µ    Víi  − j ≤ µ ≤ j , j lÊy c¸c gi¸ trÞ c¸ch nhau mét ®¬n vÞ  mµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ (j1 + j2), cßn gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ  j1 − j 2 j = j1 + j2 ; j 1 + j2 − 1;...; j1 − j 2 15 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  16. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Víi mçi gi¸ trÞ cña j cã (2j+1) tr¹ng th¸i, øng  víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña  µ ∈ [ j1 − j2 , j1 + j2 ] .  Sè c¸c hµm víi tÊt c¶ gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña j lµ: j = j1 + j 2 ∑ (2 j + 1) = ( 2 j + 1) ( 2 j2 + 1)    1 j = j1 − j2 chÝnh b»ng sè c¸c tÝch ψ j µ ψ j µ  víi gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña  (1) ( 2) 11 2 2 µ1 , µ 2 . jµ C¸c hÖ  sè   C j µ j µ quy  íc lµ  thùc trong c¸c tæ hîp  112 2 tuyÕn tÝnh :                       φ j j jµ   = µ =∑ µ j µ j µ ψ j µ ψ j µ C jµ (1) ( 2) 112 2 µ+ 12 11 2 2 1 2 jµ C¸c hÖ  sè   C j µ j µ  gäi lµ  hÖ  sè  Clebsh­Gordan, c¸c  112 2 hÖ  sè  nµy x¸c  ®Þnh phÇn  ®ãng gãp cña c¸c hµm kh¸c  nhau ψ j µ ψ j µ . Vµ c¸c hÖ sè nµy cho bëi b¶ng riªng. (1) ( 2) 11 2 2 C¸c kÕt qu¶ trªn  ®©y gäi lµ  quy t¾c céng m«men  xung lîng. C¸c lËp luËn trªn còng cã  thÓ  ¸p dông cho hµm  sãng mét h¹t víi hai bËc tù do kh¸c nhau : bËc tù do   chuyÓn  ®éng quü   ®¹o víi m«men xung lîng quü   ®¹o vµ  ˆ ˆ ˆ bËc tù  do spin. B©y giê,  L   ®ãng vai trß cña  J (1) ,  S   16 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  17. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. ˆˆˆ ˆ ®ãng   vai   trß   cña   J ( 2 )   vµ   : J = L + S   lµ   to¸n   tö   m«men  xung lîng toµn phÇn cña h¹t cã spin. Trong trêng hîp h¹t cã spin 1/2 vµ ë tr¹ng th¸i  cã l ≠ 0  th× j = l +1/2 hoÆc  l ­1/2. NÕu hÖ  vËt lÝ  gåm nhiÒu h¹t vi m« cïng chuyÓn  ®éng trong trêng xuyªn t©m th×  m«men xung lîng toµn  ˆ phÇn   J   cña   c¶   hÖ     sÏ   ®îc   hîp   thµnh   tïy   theo   c¸c  d¹ng t¬ng t¸c. Trong trêng hîp t¬ng t¸c spin­quü ®¹o  cña mçi h¹t m¹nh h¬n so víi t¬ng gi÷a c¸c h¹t víi  ˆ ˆ nhau th×:  J = ∑ J i   víi  J i = L i + S i   ˆˆˆ i =1 ˆ ˆ NÕu ngîc l¹i th×  :    J =  L  +  S       víi  L = ∑ Li ,  ˆ ˆ ˆ i =1 ˆ ˆ S = ∑ Si . i =1 1.3 Bµi tËp Bµi   1:   X¸c   ®Þnh   nh÷ng   gi¸   trÞ   cã   thÓ   cã   cña  m«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i  3 D ? Bµi gi¶i:  ( ) ( ) e e e e Ta cã m«men tõ :  M = L+ S = L + 2S = J +S 2m m 2m 2m 17 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  18. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. ˆˆ  ( ) e  JS eˆˆ ˆ ˆˆ ˆ  2 + 1 J = GJ To¸n tö m«men tõ :  M = J +S = J  ˆ 2m 2m   ˆ 2 ˆ2 ˆ 2 ˆ = e  J − L + S + 1 . Do ®ã tri riªng cña  G     ˆ Víi :  G 2m   ˆ2 2J   e lµ :G =g.   2m j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1)            trong ®ã: g = +1 2 j ( j + 1) VËy   trÞ   riªng   cña   to¸n   tö   m«men   tõ   lµ:  e M = g.µ B . j ( j + 1)                              víi:   µ B =     lµ  2m Mannhªt«n Bo Theo gi¶ thiÕt tr¹ng th¸i cña nguyªn tö  lµ   3 D   nªn 2s + 1=3 vµ l = 2    Hay: s =1;   l = 2. Vµ  theo quy t¾c céng m«men  ta cã: j = l +s; l +s­1;l ­ s = 3; 2; 1. 8 µB Víi j =3 th× M1 =  3 18 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  19. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. 7 µB   Víi j =2 th×  M2=  6 1 µB Víi j =1 th×  M3 =  2 Bµi 2: M«men tõ cña nguyªn tö ë tr¹ng th¸i  4 D, 5 F   b»ng 0. X¸c  ®Þnh m«men   cña nã  trong c¸c tr¹ng th¸i  ®ã?  Bµi gi¶i: Theo   bµi   1   ta   cã   c«ng   thøc   tÝnh   m«men   tõ   cña  nguyªn tö :                          M = g. µ B . j ( j + 1)  = 0 (1)  j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) trong ®ã : g = +1 2 j ( j + 1) 3 +) Víi nguyªn tö   ë  tr¹ng th¸i   4 D   th×   s = ; l = 2.  2 1 Thay vµo (1) ta ®îc: j = 2 3 VËy m«men  xung lîng toµn phÇn : J = î 2 +) Víi nguyªn tö ë tr¹ng th¸i  5 F  th× s = 2, l = 3. T¬ng tù trªn ta t×m ®îc  J = 6î 19 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
  20. Khãa luËn tèt nghiÖp: Céng m«men trong c¬ häc  lîng tö. Bµi 3: H∙y chØ ra c¸c tr¹ng th¸i cã  thÓ  cã  cña  m«men toµn phÇn trong c¸c tr¹ng th¸i  1S ,3P, 4D ? Bµi gi¶i: +) Tr¹ng th¸i  1 S  cã nghÜa lµ s = 0, l = 0 .           M«men  xung lîng toµn phÇn : J = j ( j + 1)î  ,                    víi j = l + s,l + s­1,…, l − s  = 0          VËy ta cã tr¹ng th¸i  1 S 0 . +) Tr¹ng th¸i  3 P  cã nghÜa lµ s = 1, l = 1. t¬ng  tù trªn cã j = 0, 1, 2 VËy ta cã tr¹ng th¸i  kh¶ dÜ :  3 P0 , 3 P1 , 3 P2 , +)   T¬ng   tù   trªn:   Tr¹ng   th¸i   4 D   cã   c¸c   tr¹ng  4 4 4 4 th¸i kh¶ dÜ:  D1 , D 3 , D5 , D7 2 2 2 2 Bµi 4: Cã  thÓ  tån t¹i nh÷ng tr¹ng th¸i nµo  ®èi  víi hai electron sau: a)  ns vµ n’s                       c) ns vµ n’d b) ns vµ n’p                       d) np vµ n’p Bµi gi¶i: 20 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng­32A LÝ
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học