Xem mẫu
- K y u
à N ng, 04/2013
- M cl c
ôi nét v i h c Duy Tân iW
I thi d tuy n n m 2013 1
1 is 3
1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ma tr n - nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 H ph ng trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 a th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Gi i tích 17
2.1 Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Phép tính vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Phép tính tích phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . 25
II thi chính th c n m 2013 27
3 thi 29
3.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 áp án 33
4.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iii
- Ph n I
thi d tuy n n m 2013
1
- 1
Ch ng 1
is
1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính
Bài 1 (C Tuyên Quang). Cho V là m t không gian véc t trên tr ng
K. Gi s u1 , u2 , ..., un là m t h véc - t c l p tuy n tính c a V , aij œ
K, 1 Æ j Æ i Æ n. Ch ng minh h véct :
v1 = a11 u1 ,
v2 = a21 u1 + a22 u2 ,
v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 ,
...
vn = an1 u1 + an2 u2 + . . . ann un
là c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 ...ann ”= 0.
Bài 2 ( H Khoa h c Hu ). Cho f : V ≠æ W là m t ánh x tuy n tính
c a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng:
1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t
không gian con r-chi u thì dim f (A) = k ≠ r.
2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t không
gian con s-chi u thì dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ).
Bài 3 ( H Khoa h c Hu ). Cho V = F[x] và f là m t t ng c u c a V
xác nh b i f (P ) = xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t
ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f .
3
- 1 is
Bài 4 ( H Khoa h c Hu ). Cho A là m t ma tr n th c vuông c p n và
ÏA , ÂA là các t ng c u tuy n tính c a không gian vecto th c M (n, R)
các ma tr n th c vuông c p n xác nh b i:
ÏA (X) = AX ≠ XA, ÂA (X) = AX.
Ch ng minh r ng det(ÏA ) = 0 và det(ÂA ) = (det A)n .
1.2 Ma tr n - nh th c
Bài 5 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 4 s th c a, b, c, d tùy ˝. Ch ng
minh r ng
- - - -
-1 a a2 a4 -- -1 a a2 a3 --
- -
-1 b b2 b4 -- -1 b b2 b3 --
- -
- - = (a + b + c + d) - -.
-1 c c2 c4 -- -1 c c2 c3 --
- -
-1 d d2 d4- -1 d d2 d3 -
Bài 6 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho W là t p các ma tr n vuông c p
3 có các ph n t ch nh n giá tr ±1. Tìm s các ma tr n trong W có nh
th c d ng.
Bài 7 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ),
aij œ Z, trong ó aij l v i i ”= j và aii ch n (1 Æ i, j Æ n). Ch ng minh
r ng: det(A) ”= 0.
Bài 8 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) và
aij œYK, 1 Æ i, j Æ n, K là m t tr ng. Ch ng minh r ng: A2 = 0 khi và ch
]rank(A) Æ 1,
khi .
[trace(A) = 0
Bài 9 (C Tuyên Quang). Tính nh th c
- -
- x
- 1 0 0 ... 0 0 --
-n ≠ 1 2 0 0 0 --
-
x ...
- -
- 0 n≠2 x 3 ... 0 0 --
D= -
- . .
- . . . ... . . --
- -
- 0 0 0 0 ... x n ≠ 1--
-
- 0 0 0 0 ... 1 x -
4
- 1.2 Ma tr n - nh th c
Bài 10 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 2013.
Ch ng minh r ng n u det (A≠1 ) = 2013 thì t t c các ph n t c a A không
th cùng là s nguyên.
Bài 11 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông
cùng c p 2013 tho mãn AB 2 A + BA2 B = I v i I là ma tr n n v c p
2013. Tìm t ng các ph n t trên ng chéo chính c a ma tr n AB 2 A.
Bài 12 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông
cùng c p 2013 tho mãn rank (AB) = rank (A) rank (B) . Hãy xác nh
ma tr n A n u rank (B) > 2.
Bài 13 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho
f (x) = a1 + a2 x + . . . + an xn≠1
là a th c h s th c và Ê1 , Ê2 , . . . , Ên là các giá tr c n b c n c a 1. G i
S T
a1 a2 . . . an≠1 an
W
Wan a1 . . . an≠2 an≠1 X
X
A=W
W .. .. .. .. .. X
U . . . .
X
. V
a2 a3 . . . an a1
và
S T
1 1 ... 1 1
W
W Ê1 Ê2 . . . Ên≠1 Ên X X
B= W .. .. .. .. .. X
W
U . . . .
X
. V
Ê1n≠1 Ê2n≠1 n≠1
. . . Ên≠1 Ênn≠1
Tính det (A).
Bài 14 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 3 có
các ph n t là 0 ho c 1. Tìm giá tr l n nh t c a det (A).
Q R
1 ≠2 1
Bài 15 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A = c d
a≠1 1 0b. Tìm A100 .
≠2 0 1
5
- 1 is
Bài 16 (C S ph m Hà N i). Cho A là ma tr n c p 3 ◊ 2, B là ma tr n
c p 2 ◊ 3 sao cho Q R
8 2 ≠2
c
AB = a 2 5 4db
≠2 4 5
Tìm BA.
Bài 17 (C S ph m Hà N i). Có t n t i hay không ma tr n vuông A c p
3 sao cho T r(A) = 0 và AT + A2 = I trong ó T r(A) là t ng các ph n t
trên ng chéo chính c a ma tr n A.
Bài 18 (C S ph m Hà N i). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n sao
cho
A2013 = 0, AB = BA, B ”= 0
Ch ng minh r ng rank(AB) Æ rank(B) ≠ 1.
Bài 19 (C S ph m Hà N i). Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho
A3 = A + I. Ch ng minh r ng det(A) > 0.
Bài 20 ( H An Giang).
1. Tìm t t c các ma tr n giao hoán v i ma tr n
Q R
0 1 2
c d
A = a 0 0 3 b.
0 0 0
2. Gi i ph ng trình X n = A v i n œ Nú .
Bài 21 ( H An Giang). Cho a, b, c là các s th c th a a2 + b2 + c2 = 4, tìm
giá tr l n nh t và nh nh t c a nh th c ma tr n
Q R
a+b b+c c+a
c d
A = a c + a a + b b + c b.
b+c c+a a+b
Bài 22 ( H An Giang). Cho A œ M2 (C), t Z(A) = {B œ M2 (C)|AB =
BA}. Ch ng minh r ng | det(A + B)| Ø | det(B)| v i m i B œ Z(A) khi và
ch khi A2 = 0.
6
- 1.2 Ma tr n - nh th c
Bài 23 ( H An Giang). Cho dãy các s th c (un ), (vn ), (wn ) c xác nh
b i u0 = v0 = 1, w0 = 2 và
Y
_
] un+1 = 4un + vn ≠ wn
vn+1 = 2un + 5vn ≠ 2wn
_
[
wn+1 = un + vn + 2wn .
un un
Tìm lim và næŒ
lim .
næŒ vn wn
Bài 24 ( H Th ng Long). Cho A là ma tr n th c c 4 ◊ 2 và B là ma tr n
th c c 2 ◊ 4 th a mãn
Q R
1 0 ≠1 0
c 0 1 0 ≠1d
AB = c
c
d
d.
a≠1 0 1 0b
0 ≠1 0 1
Hãy tính BA.
Bài 25 ( H Th ng Long). Cho A, B œ M3 (Z) sao cho
Q R
1 2k k(2k + 1)
c d
AB = a0 1 2k b
0 0 1
v i k œ N. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n C œ M3 (Z) sao cho BA = C k .
Bài 26 ( H Bà R a – V ng Tàu). Tính t ng t t c các nh th c c a các
ma tr n vuông c p n, (n Ø 2), mà trên m i hàng, m i c t c a m i ma tr n
ó có úng m t ph n t khác không và các ph n t khác không ôi m t
khác nhau, nh n giá tr trong t p h p {1; 2; ...; n}.
Bài 27 ( H Bà R a – V ng Tàu). Gi s A là ma tr n vuông c p 2013
th a mãn: v t c a A2 b ng 8052 và v i m i ma tr n B vuông c p 2013 u
vi t c d i d ng B = B1 + B2 , trong ó AB1 = B1 A và AB2 = ≠B2 A.
Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên m Æ 2013 sao cho:
det(A ≠ I) = (≠3)m .
Bài 28 ( H Bà R a – V ng Tàu). Có t n t i hay không hai ma tr n vuông
c p 2 A, B sao cho ma tr n C = AB ≠ BA giao hoán v i A, B và C khác
ma tr n không?
7
- 1 is
Bài 29 ( H Bà R a – V ng Tàu). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n
th a mãn Im(A) fl Im(B) = {0}, và{u1 , u2 , ..., uk }, {v1 , v2 , ..., vk } là các t p
con tùy ˝ c a Rn . Ch ng minh r ng n u k > r(A) + r(B) (r(A) là h ng c a
ma tr n A) thì luôn t n t i các s th c ⁄1 , ⁄2 , ..., ⁄k không ng th i b ng
không sao cho:
⁄1 Au1 + ⁄2 Au2 + ... + ⁄k Auk = ⁄1 Bv1 + ⁄2 Bv2 + ... + ⁄k Bvk .
Bài 30 ( H Bà R a – V ng Tàu). G i V là t p h p mà m i ph n t c a
nó là m t ma tr n vuông c p n có các ph n t ôi m t khác nhau và là các
s trong t p h p {1; 2; ...; n2 }. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a r(A) v i
A œ V (r(A) là h ng c a ma tr n A).
Bài 31 ( H Hàng H i).
S T
1 0 0
1. Cho ma tr n A = U1 1 0X
W
V và n > 0 là s nguyên. Tìm (An )≠1 .
1 1 1
2. Cho A và B là các ma tr n c n ◊ n khác nhau v i các ph n t th c.
Gi s A3 = B 3 và A2 B = B 2 A, ch ng minh r ng A2 + B 2 không kh
ngh ch.
Bài 32 ( H Hàng H i). Tính nh th c
S T
1 2 3 4 ··· 2000
W 2 1 2 3 1999X
W
··· X
W X
W 3 2 1 2 ··· 1998X
det A = det W
W 4
X.
W 3 2 1 ··· 1997XX
W X
U ··· ··· ··· ··· ··· ··· V
2000 1999 1998 1997 ··· 1
Bài 33 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho s th c a0 , dãy {a0 , a1 , a2 , ..., a2013 }
l p thành c p s c ng công sai d = 4. Tìm i u ki n c a a0 ma tr n A
sau là kh ngh ch
Q R
a0 a1 a2 ... a2012 a2013
c d
c a1 a0 a1 ... a2011 a2012 d
c d
c a2 a1 a0 ... a2010 a2011 d
c d
A= c .. .. .. .. .. .. d
c
c . . . . . . d
d
c d
a a2012 a2011 a2010 ... a0 a1 b
a2013 a2012 a2011 ... a1 a0
8
- 1.2 Ma tr n - nh th c
Bài 34 ( H Khoa h c Hu ). Tìm t t c các ma tr n A vuông c p n
sao cho v i m i ma tr n B vuông c p n ta u có det(A + 2013.B) =
det A + 2013. det B.
Bài 35 ( H Hùng V ng – Phú Th ).
1. Cho A, B œ M at(n, R) sao cho t n t i (–, —) œ (R ≠ {0})2 th a mãn:
AB + –A + —B = 0.
Ch ng minh AB = BA.
2. Ch ng minh r ng v i m i A, B, C œ M at(2, R) ta luôn có:
(AB ≠ BA)2 C ≠ C(AB ≠ BA)2 = O.
Bài 36 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho A là ma tr n th c c 3 ◊ 2, B
là ma tr n c 3 ◊ 2 th a mãn
Q R
0 ≠1 ≠1
c
AB = a ≠1 0 ≠1 d
b
1 1 2
1. Ch ng minh r ng ma tr n BA kh ngh ch.
2. Tìm ma tr n BA.
Bài 37 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Bi t r ng nh th c c a ma tr n
A = [aij ]n◊n b ng – và t ng các ph n bù i s c a các ph n t c a ma
tr n A b ng — (–, — œ R). Tính nh th c c a các ma tr n sau:
S T
a11 + 2013 a12 + 2013 ... a1n + 2013
W
W a21 + 2013 a22 + 2013 ... a2n + 2013 X
X
1. B = W X.
U ... ... ... ... V
an1 + 2013 an2 + 2013 ... ann + 2013
S T
1 1 ... 1
W X
W
W
a21 ≠ a11 a22 ≠ a12 ... a2n ≠ a1n X
X
2. C = W
W a31 ≠ a11 a32 ≠ a12 ... a3n ≠ a1n X.
X
W X
U ... ... ... ... V
an1 ≠ a11 an2 ≠ a12 ... ann ≠ a1n
Bài 38 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p
n th a mãn rank(AB) = rank(B). Ch ng minh r ng ABX = ABY …
BX = BY v i m i X,Y.
9
- 1 is
Bài 39 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n tr c giao vuông
c p n th a mãn det(AB) < 0. Ch ng minh r ng det A + det B = det(A + B).
Bài 40 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A vuông c p n. Ch ng
minh r ng n u trace(AT A) + n = 2.trace(A) thì A kh ngh ch.
Bài 41 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p 2013
th a mãn AB +2012A+2013B = 0. Ch ng minh r ng rank(A)+rank(B) ”=
2013.
Bài 42 ( H Khoa h c Hu ). Ch ng minh r ng n u ma tr n vuông A c p
n có các ph n t trên ng chéo chính b ng 0, các ph n t còn l i b ng 1
ho c b ng 2014 thì rank(A) Ø n ≠ 1.
Bài 43 ( H Khoa h c Hu ). Cho các ma tr n vuông th c A, B th a mãn
các i u ki n:
A2013 = 0, AB = 2012A + 2011B.
Ch ng minh r ng B 2013 = 0 và det(A ≠ 2011I) ”= 0.
Q R
4 ≠5 2
c d
Bài 44 ( H Khoa h c Hu ). Cho ma tr n th c A = a 5 ≠7 3 b. Tính
6 ≠9 4
f (A) bi t f (A) = 2013x2013 ≠ 2012x2012 + · · · ≠ 2x2 + x.
Bài 45 ( H Khoa h c Hu ). Cho n œ Nú , A œ M (n, R) sao cho A3 = A+In .
Ch ng minh r ng det(A) > 0.
Bài 46 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho A0 , A1 , . . . , Am œ M at (m, R) ,m œ
Z+ , m Ø 1. Ch ng minh r ng t n t i các s a0 , ..., am không ng th i b ng
không sao cho ma tr n
B = a0 A0 + a1 A1 + ... + am Am
là ma tr n suy bi n.
Bài 47 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho An = [aij ]n œ M at (n, R) , n Ø 3,
trong ó aij = ±1 Ch ng minh r ng
|det An | Æ (n ≠ 1) (n ≠ 1)!
Bài 48 ( H S ph m Hà N i 2). Cho ma tr n A œ M at (n, R) th a mãn
A3 + 2A2 ≠ A ≠ 2I = 0; tr(A) = n.
10
- 1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng
Xác nh ma tr n A.
Bài 49 ( H S ph m Hà N i 2). Cho A, B œ M at (n, R) , n Ø 2 th a mãn
rank (AB ≠ BA) = 1.
Ch ng minh r ng (AB ≠ BA)2 = 0.
1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng
A B
1 2
Bài 50 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 2 ma tr n A = ,B =
3 4
A B
4 3
và ma tr n c p 2 X th a mãn AX ≠ mX = B, m œ R. Tìm s th c
2 1
m X có tr riêng b ng 1.
Bài 51 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho A, B œ Mn (R) giao hoán c
v i nhau. Ch ng minh r ng n u A có n tr riêng phân bi t thì B chéo hóa
c.
Bài 52 (C SP Hà N i). Cho A là ma tr n vuông c p 3 có d ng
Q R
1 ≠1 0
A=c
a≠1 2 ≠1b
d
0 ≠1 1
Xác nh các s th c a sao cho lim an An t n t i và khác không.
næŒ
Bài 53 ( H An Giang). Cho a th c f (t) œ R[t] và A œ M2 (R). Trình bày
cách tính Af (A). TB ó tìm công th c tính ma tr n An . Áp d ng tính A2013
2 2
bi t A = .
1 3
Q 1 1 1R
1 2 3 4
c2 1 2 2d
c 4d
Bài 54 ( H Th ng Long). Cho ma tr n B = c 13 3
3
3d . Hãy tìm các
a1 2
1 4
b
4 4 4
1 2 3
1
giá tr riêng và véc t riêng c a B.
11
- 1 is
Bài 55 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho A là ma tr n th c vuông c p 3,
v t (v t là t ng các ph n t trên ng chéo chính) là 9. T ng các ph n t
trên m i c t c a A b ng 4 và det A = 24. Xác nh các giá tr riêng c a A.
Bài 56 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho A = (aij )nxn v i aij œ Z.
1. Ch ng minh r ng n u m i s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì
det(A) chia h t cho k.
2. Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m
q
( nj=1 aij = m(i = 1, n). Ch ng minh r ng det(A) chia h t cho m.
Bài 57 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A = [aij ] vuông c p n ,
có v t khác 0 th a mãn aik akj = akk aij , ’i, j, k. Ch ng minh r ng A chéo
hóa c.
Bài 58 ( H Khoa h c Hu ). Cho n, p œ Nú , A œ M (n ◊ p, F) và B œ
M (p ◊ n, F). Ch ng minh ng th c v a th c c tr ng: (≠x)n PBA (x) =
(≠x)p PAB (x).
Bài 59 ( H Khoa h c Hu ). Cho A œ M (3, R) sao choQ
A3 + A = R0 và
0 0 0
c
A ”= 0. Ch ng minh r ng A ng d ng v i ma tr n B = a 0 0 1 d
b.
0 ≠1 0
1.4 H ph ng trình tuy n tính
Bài 60 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Gi i h ph ng trình
Y
_
_
_x1 + x2 + x3 + . . . + xn = 0
_
_
_ 2
]x1
_
_ + x22 + x23 + . . . + x2n = 0
_
x31 + x32 + x33 + . . . + x3n = 0 .
_
_
_
_ ...
_
_
_
x1 + xn2 + xn3 + . . . + xnn = 0
[ n
Bài 61 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho h ph ng trình
Y
]úx
_ + úy + úz = 0
úx + úy + úz = 0
_
[
úx + úy + úz = 0
12
- 1.4 H ph ng trình tuy n tính
Hai ng i l n l t i n m i s th c vào m i ch ánh d u *. Ch ng minh
r ng ng i i u bao gi c ng có th làm cho h ph ng trình ch có nghi m
t m th ng. Ng i th hai có luôn t c i u ó không? iv im th
ph ng trình tuy n tính thu n nh t 2013 n, 2013 ph ng trình thì sao?
Bài 62 ( H Th ng Long). Gi i h ph ng trình
Y
_ 2012
_x1 + 2x2 + · · · + 2013x2013
_
_ = x1
_
_ 2013
_
_
_
]2x + 3x + · · · + 2014x 2012
1 2 2013 = x2
_
2013
_
_··· ···
_
_
_
_
_ 2012
[2013x
_
1 + 2014x2 + · · · + 4025x2013 = x2013
2013
Bài 63 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Gi i h ph ng trình:
Y
_
_
_
x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 6
_
_
_
] ≠x1 + 3x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 12
≠x1 ≠ x2 + 7x3 ≠ ... ≠ xn = 24
_
_
_
_ ................................
_
_
[ ≠x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... + (2n ≠ 1)xn = 3.2n
Bài 64 ( H Hàng H i). 1. Gi i và bi n lu n h ph ng trình
Y
_
_
_x5 + x2 = mx1
_
_
_
]x1
_
_ + x3 = mx2
_
x2 + x4 = mx3 ,
_
_
_
_
_x3 + x5 = mx4
_
_
[
x4 + x1 = mx5
trong ó m là tham s .
2. Cho {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } là m t c s c a không gian véc t V trên tr ng
R. Ch ng minh
{v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v5 , v5 + v1 }
c ng là m t c s c a V .
13
- 1 is
Bài 65 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho 2n s th c d ng a1 , a2 , ..., an
và b1 , b2 , ..., bn . Xét h ph ng trình tuy n tính sau:
Y
_
_
_
x1
a1 +b1
+ a1x+b2
2
+ ... + a1x+b n
=0
_ n
] x1
a2 +b1
+ a2 +b2 + ... + a2 +bn = 0
x2 xn
_
_ ....................................................
_
_
[ x1
an +b1
+ anx+b 2
2
+ ... + anx+b n
n
=0
Tìm i u ki n c n và h ph ng trình tuy n tính trên có nghi m duy
nh t (x1 , x2 , ..., xn ) = (0, 0, ..., 0).
1.5 a th c
Bài 66 (C Tuyên Quang). Tìm a th c P (x) œ R[x] sao cho
P [x] = x(x ≠ 1)P ÕÕ (x) + (x + 2)P Õ (x)
.
Bài 67 ( H An Giang). Cho a th c
P (x) = an xn + an≠1 xn≠1 + · · · + a1 x + a0 œ R[x]
th a P (z) œ Z v i m i z œ Z. Ch ng minh r ng an .n! œ Z.
Bài 68 ( H Hùng V ng – Phú Th ).
1. Cho n œ Nú , f (x) œ R[x], deg f (x) = n. Ch ng minh r ng t n t i
các s th c a0 , a1 , ..., an không ng th i b ng 0 sao cho a th c
qn
a
i=0 i x 2i
chia h t cho f(x).
2. Cho a th c v i h s th c P (x) b c n (n Ø 1) có m nghi m th c.
Ch ng minh r ng a th c Q(x) = (4x2 + 3)P (x) + P Õ (x) có ít nh t m
nghi m th c.
Bài 69 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho a th c f (x) = 2013x2013 +
a2012 x2012 + ... + a1 x + a0 có 2013 nghi m th c x1 , x2 , ..., x2013 và g(x) là m t
q g(xi )
a th c có b c nh h n 2012. Ch ng minh r ng 2013 i=1 f Õ (xi ) = 0.
Bài 70 ( H C n Th ). Cho ma tr n A œ M2013 (R) sao cho A2013 +
2012A2012 = 2013A2011 . Ch ng minh r ng T rA Æ 2013 (v i T rA là v t
c a A).
14
nguon tai.lieu . vn