1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm ước lượng điểm, ước lượng khoảng; khái niệm cơ bản về kiểm định giả thuyết, kiểm định về kỳ vọng; kiểm định về tỷ lệ; kiểm định về sự bằng nhau của hai kỳ vọng;... 98 Giáo trình Xác suất thống kê Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG 3.1. LÝ THUYẾT MẪU 3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả Trong thực tế, ngƣời ta thƣờng phải nghiên cứu một tập hợp các phần tử đồng nhất theo một

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 96

Ngày tạo 10/2/2021 12:25:21 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.85 M

Tên tệp

Tải Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 - ĐH Sư phạm ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. 98 Giáo trình Xác suất thống kê Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG 3.1. LÝ THUYẾT MẪU 3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả Trong thực tế, ngƣời ta thƣờng phải nghiên cứu một tập hợp các phần tử đồng nhất theo một hay nhiều dấu hiệu định tính hoặc định lƣợng đặc trƣng cho các phần tử đó. Chẳng hạn, một doanh nghiệp phải nghiên cứu tập hợp các khách hàng của nó thì dấu hiệu định tính có thể là mức độ hài lòng của khách hàng đối với sản phẩm hoặc dịch vụ của doanh nghiệp, còn dấu hiệu định lƣợng là nhu cầu của khách hàng về số lƣợng sản phẩm của doanh nghiệp. Để nghiên cứu tập hợp các phần tử này theo một dấu hiệu nhất định đôi khi ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu toàn bộ, tức là thống kê toàn bộ tập hợp đó và phân tích từng phần tử của nó theo dấu hiệu nghiên cứu. Chẳng hạn để nghiên cứu dân số của một nƣớc theo các dấu hiệu nhƣ tuổi tác, trình độ văn hoá địa bàn cƣ trú, cơ cấu nghề nghiệp . . . có thể tiến hành tổng điều tra dân số và phân tích từng ngƣời theo các dấu hiệu trên, từ đó tổng hợp thành dấu hiệu chung cho toàn bộ dân số của nƣớc đó. Tuy nhiên trong thực tế phƣơng pháp này gặp phải những khó khăn chủ yếu sau: - Nếu quy mô của tập hợp quá lớn thì việc nghiên cứu toàn bộ sẽ đòi hỏi nhiều chi phí vật chất và thời gian. - Nhiều khi cũng do quy mô của tập hợp quá lớn nên có thể xảy ra trƣờng hợp tính trùng hoặc bỏ sót các phần tử của nó. - Do quy mô nghiên cứu lớn mà trình độ tổ chức nghiên cứu lại hạn chế dẫn đến các sai sót trong quá trình thu thập thông tin ban đầu, hạn chế độ chính xác của kết quả phân tích. - Trong nhiều trƣờng hợp không thể nắm đƣợc toàn bộ các phần tử của tập hợp cần nghiên cứu, do đó không thể tiến hành nghiên cứu toàn bộ đƣợc. . . . . . . . . Vì thế trong thực tế phƣơng pháp nghiên cứu toàn bộ thƣờng chỉ đƣợc áp dụng đối với các tập hợp có quy mô nhỏ, còn chủ yếu ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu không toàn bộ, đặc biệt là phƣơng pháp nghiên cứu chọn mẫu. Phƣơng pháp này chủ trƣơng từ tập hợp cần nghiên cứu chọn ra một số phần tử (gọi là mẫu), phân tích các phần tử này và dựa vào đó mà suy ra các kết luận về tập hợp cần nghiên cứu. Giả
  2. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 99 sử theo một phƣơng pháp nào đó từ tổng thể lấy ra n phần tử tạo nên mẫu kích thước n. Nếu mẫu đƣợc chọn ra một cách ngẫu nhiên và xử lý bằng các phƣơng pháp xác suất thì vừa thu đƣợc các kết luận một cách nhanh chóng, đỡ tốn kém mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết. Việc thu thập, sắp xếp và trình bày các số liệu của tổng thể hoặc một mẫu gọi là thống kê mô tả. Còn việc sử dụng thông tin của mẫu để tiến hành các suy đoán, kết luận về tổng thể gọi là thống kê suy diễn. Giả sử mẫu kích thƣớc N từ tổng thể nghiên cứu có dấu hiệu là biến ngẫu nhiên X, đƣợc lập theo phƣơng pháp chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản. Với cách chọn mẫu này, mỗi lần chọn một phần tử của mẫu nhƣ làm một phép thử độc lập rút ngẫu nhiên một giá trị của X từ tập các giá trị của nó. Rút ngẫu nhiên đƣợc hiểu là rút phù hợp với luật phân phối xác suất của X nghĩa là xác suất để giá trị đƣợc rút đó thuộc bộ phận nào đó, bằng xác suất của X thuộc bộ phận đó. Vì vậy ta có thể coi thành phần thứ i trong mẫu là biến ngẫu nhiên Xi có cùng luật phân phối của X. Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , . . . , Xn được thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể nghiên cứu và có cùng phân phối xác suất với X. Mẫu ngẫu nhiên thƣờng đƣợc ký hiệu là: W = (X1 , X2 , . . . , Xn) Giả sử một giá trị của nó là: X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn. Tập hợp n giá trị x1, x2, . . . , xn tạo thành một giá trị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn gọi là một mẫu cụ thể, ký hiệu: w = (x1 , x2 , . . . , xn) Nhƣ vậy, mẫu ngẫu nhiên là tập hợp của n biến ngẫu nhiên, còn mẫu cụ thể là tập hợp của n giá trị cụ thể quan sát đƣợc khi thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Khi nghiên cứu chiều cao của một cộng đồng ngƣời, gọi X là ĐLNN chỉ chiều cao. Chúng ta dự định đo chiều cao của 100 ngƣời đƣợc chọn ngẫu nhiên. Trƣớc khi chƣa tiến hành chọn mẫu, ta chƣa biết đƣợc ngƣời thứ nhất đƣợc chọn vào mẫu có chiều cao là bao nhiêu, nó đóng vai trò là một ĐLNN, ký hiệu X1, có cùng phân phối xác suất với X. Tƣơng tự, ta có chiều cao của ngƣời thứ 100 là X100. Khi đó bộ (X1,
  3. 100 Giáo trình Xác suất thống kê X2, ..., X100) là một mẫu tổng quát có kích thƣớc 100. Sau khi đo đạc ta sẽ xác định đƣợc các giá trị của Xi là xi, khi đó bộ số thực (x1, x2, ..., x100) là một mẫu cụ thể. 3.1.2. Các phƣơng pháp lấy mẫu Có nhiều phƣơng pháp chọn mẫu khác nhau, nhƣng khó có thể nói rằng phƣơng pháp nào là tốt nhất. Tùy thuộc vào đặc điểm của từng tổng thể nghiên cứu mà mẫu có thể đƣợc chọn theo nhiều phƣơng pháp khác nhau để đảm bảo yêu cầu về tính đại diện của mẫu. Sau đây là một số phƣơng pháp chọn mẫu chủ yếu thƣờng đƣợc sử dụng để nghiên cứu các tổng thể kinh tế – xã hội. a) Chọn mẫu đơn giản Là phƣơng pháp chọn trực tiếp từ danh sách các phần tử đã đƣợc đánh số của tổng thể. Từ tổng thể kích thƣớc N ngƣời ta dùng cách rút thăm đơn giản ra n phần tử của mẫu theo một bảng số ngẫu nhiên nào đó. Khi đó mỗi phần tử của đám đông đều có thể đƣợc chọn vào mẫu với cùng khả năng nhƣ nhau Việc chọn mẫu kiểu này có 2 phƣơng thức chọn: chọn có hoàn lại và chọn không hoàn lại. Khi số phần tử N của tổng thể rất lớn so với kích thƣớc mẫu n thì kết quả lấy mẫu theo 2 phƣơng thức trên là sai lệch không đáng kể. Phƣơng pháp này có ƣu điểm là cho phép thu đƣợc một mẫu có tính đại diện cao, cho phép suy rộng kết quả của mẫu cho tổng thể với một sai số nhất định, song để vận dụng phải có đƣợc toàn bộ danh sách các phần tử của tổng thể nghiên cứu. Mặt khác chi phí chọn mẫu sẽ khá lớn b) Chọn mẫu phân nhóm Trong chọn mẫu phân nhóm, trƣớc hết ngàu ta phân chia tổng thể ra thành các nhóm có độ thuần nhất cao để chọn ra các phần tử đại diện cho từng nhóm. Việc phân nhóm có hiệu quả khi tổng thể nghiên cứu không thuần nhất theo dấu hiệu nghiên cứu. Sau khi đã phân nhóm thì kích thƣớc mẫu đƣợc phân bổ cho mỗi nhóm theo một quy tắc nào đó, chẳng hạn tỷ lệ thuận với kích thƣớc mỗi tổ c) Chọn mẫu chùm Trong một số trƣờng hợp, để tiện cho việc nghiên cứu ngƣời ta muốn quy diện nghiên cứu gọn về một khu vực nhất định chứ không để cho các phần tử của mẫu phân tán quá rộng, chẳng hạn tập trung nghiên cứu khách hàng tại một địa phƣơng nào đó. Lúc đó mẫu đƣợc chọn theo chùm. Chẳng hạn, chùm có thể là hộ gia đình có nhiều ngƣời, một làng có nhiều hộ gia đình . . . Theo phƣơng pháp này, trƣớc tiên tổng thể điều tra đƣợc phân chia ra thành nhiều chùm theo nguyên tắc:
  4. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 101 - Mỗi phần tử của tổng thể chỉ đƣợc phân vào một chùm. - Mỗi chùm cố gắng chứa nhiều phần tử khác nhau về dấu hiệu nghiên cứu, sao cho nó có độ phân tán cao nhƣ của tổng thể. - Phân chia sao cho các chùm tƣơng đối đồng đều nhau về quy mô. Các chùm đƣợc chọn một cách ngẫu nhiên và tất cả các phần tử của chùm đó đều đƣợc chọn vào mẫu. Phƣơng pháp này có thể tiết kiệm chi phí và thời gian, nhƣng sai số chọn mẫu cao hơn các phƣơng pháp trên. d) Chọn mẫu có suy luận Phƣơng pháp chọn mẫu này dựa trên ý kiến của các chuyên gia về đối tƣợng nghiên cứu. Nhƣợc điểm của phƣơng pháp này là khó đảm bảo tính khách quan. 3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm Giả sử từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc X rút ra một mẫu cụ thể kích thƣớc n, trong đó:  giá trị x1 xuất hiện n1 lần, x2 xuất hiện n2 lần, . . . , xk xuất hiện nk lần.  x1 < x2 < . . . < xk và n1 + n2 + . . . + nk = n Khi đó:  ni đƣợc gọi là tần số của xi ni  fi = n đƣợc gọi là tần suất xuất hiện của xi Các bảng mô tả số liệu sau đây đƣợc gọi là bảng phân phối thực nghiệm Bảng phân phối tần số thực nghiệm: xi x1 x2 ... xk ni n1 n2 ... nk với n 1 + n2 + . . . + n k = n Bảng phân phối tần suất thực nghiệm: xi x1 x2 ... xk fi f1 f2 ... fk ni với fi = , f1 + f2 + . . . + fk = 1 n
  5. 102 Giáo trình Xác suất thống kê Ví dụ 3: Điều tra thời gian đợi phục vụ của khách hàng tại một ngân hàng (đơn vị: phút), ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 10 ngƣời, kết quả thu đƣợc nhƣ sau: 9, 8, 10, 10, 12, 6, 11, 10, 12, 8. Khi đó: Bảng phân phối tần số thực nghiệm Bảng phân phối tần suất thực nghiệm xi 6 8 9 10 11 12 xi 6 8 9 10 11 12 ni 1 2 1 3 1 2 fi 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 Chú ý: Khi kích thƣớc của mẫu lớn, các giá trị của mẫu khá gần nhau, ngƣời ta chia các giá trị của mẫu thành các lớp và lập bảng phân phối thực nghiệm của mẫu lớp. Ví dụ 4: Đo chiều cao của 300 học sinh 12 tuổi, ta thu đƣợc bảng số liệu sau: Lớp Tần số ni Tần suất fi (chiều cao cm) 117,5 – 122,5 9 0,030 122,5 – 127,5 33 0,110 127,5 – 132,5 74 0,247 132,5 – 137,5 93 0,310 137,5 – 142,5 64 0,213 142,5 – 147,5 21 0,070 147,5 – 152,5 6 0,020 Chú ý: - Thông thƣờng ngƣời ta phân chia số liệu thành từ 5 đến 15 lớp. Nếu số liệu nhiều hơn có thể giúp phân tích tốt hơn, nhƣng sự cải thiện không nhiều, nếu số lớp quá ít các thông tin có thể bị mất khi xử lý. - Giữa 2 lớp liền nhau [ai-1– ai] và [ai – ai+1] thì chúng ta quy ƣớc phần tử ai đếm cho lớp [ai-1 – ai]. - Một bảng phân phối theo lớp có thể đƣa về bảng phân phối thực nghiệm bằng a i 1  a i phép lấy trung bình cộng của mỗi lớp, tức là xi = . 2 Chẳng hạn với bảng số liệu phân lớp ở ví dụ 4, ta có bảng phân phối tần số thực nghiệm tƣơng ứng:
  6. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 103 xi 120 125 130 135 140 145 150 ni 9 33 74 93 64 21 6 3.1.4. Các đặc trƣng mẫu Xét một mẫu ngẫu nhiên (X1, X2 , . . . , Xn) có bảng phân phối tần số thực nghiệm nhƣ sau: xi x1 x2 ... xk ni n1 n2 ... nk trong đó: n1 + n2 + . . . + nk = n 1 n * Trung bình mẫu (Kỳ vọng mẫu): X   Xi n i1 Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X của tổng thể có EX =  ; VX = 2. Do X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhƣ X, nên trung bình mẫu X cũng là một biến ngẫu nhiên và: 1 n 1 EX   n i1 EXi   n  EX   n 1 n 1 2 VX  2 n  VXi  n 2  n  VX  n i 1 Thực hiện phép thử đối với X sẽ thu đƣợc giá trị trung bình mẫu cụ thể, ký hiệu giá trị này là x , và đƣợc tính bằng công thức sau: 1 k x  xi ni n i1 Chú ý: Không gây hiểu nhầm về mặt ý nghĩa X là biến ngẫu nhiên còn x là giá trị mà biến ngẫu nhiên đó nhận, đôi khi ta vẫn dùng chung là X . Khi đó X cũng vẫn có thể hiểu là giá trị trung bình mẫu của X. * Phƣơng sai mẫu:   Xi  X  n 1 2 S2 = n i 1
  7. 104 Giáo trình Xác suất thống kê Phƣơng sai mẫu S2 cũng là biến ngẫu nhiên, ta có thể chỉ ra: n 1 n 1 2 ES2 = VX =  n n Thực hiện phép thử đối với S2 ta thu đƣợc giá trị phương sai mẫu cụ thể: k   xi  x  ni  x 2   x  1 2 2 S2 = n i 1 Chú ý: Độ lệch chuẩn mẫu là S  S2 . * Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh: - Vì giá trị trung bình của S2 không đúng bằng 2 do đó nhiều khi thay cho phƣơng sai mẫu, ta dùng phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh, ký hiệu s2 để có Es2 = VX = 2. 1 n   Xi  X  n 2 2 s2   S n  1 i1 n 1 - Thực hiện phép thử đối với s2 sẽ thu đƣợc một giá trị gọi là phương sai mẫu hiệu chỉnh cụ thể 1 k n 2 s2    xi  x  ni  2 S n  1 i1 n 1 - Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh phản ánh độ phân tán của các giá trị của mẫu xung quanh trung bình mẫu. - Chú ý: Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là s  s 2 1 n * Tỷ lệ mẫu: F  Xi n i1 trong đó Xi là ĐLNN có phân phối nhị thức: Xi nhận giá trị 1 nếu phần tử thứ i chọn vào mẫu có tính chất A và ngƣợc lại, nhận giá trị 0 nếu phần tử i chọn vào mẫu không có tính chất A. Nếu cho mẫu cụ thể ta sẽ tính đƣợc giá trị tỷ lệ mẫu cụ thể của F: m f n Vì các đại lƣợng ngẫu nhiên Xi ~ B(1,p), (i=1,2,...n) với p là xác suất xuất hiện A. Do đó dễ dàng suy ra: pq E(F) = p; V(F) = n Chú ý:
  8. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 105 1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(, 2) và (x1, x2, …, xn) là mẫu của X. Khi đó đại lƣợng thống kê: n 1 Z= s2  2 có phân phối  n21 2) Cho X tuân theo luật phân phối chuẩn N(μ, 2) và (x1, x2, …, xn) (n≥1) là mẫu của X. Khi đó đại lƣợng thống kê: X  t= n s có phân phối Student với n-1 bậc tự do 3.1.5. Cách tính các đặc trƣng mẫu a) Tính trực tiếp: 1 k 1 k 2 x  i i n i1 x n ; x 2   xi ni n i1   2 Suy ra: S2 = x 2  x n s2 = S2 n 1 Ví dụ 5: Cho bảng phân phối thực nghiệm: xi -2 1 2 3 4 5 ni 2 1 2 2 2 1 Tính trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu và phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh? Giải: Ta lập bảng: xi ni xini xi2ni -2 2 -4 8 1 1 1 1 2 2 4 8 3 2 6 18 4 2 8 32 5 1 5 25 Tổng n = 10 x n i i = 20 x 2 i n i = 92
  9. 106 Giáo trình Xác suất thống kê Suy ra: 1 k 20 x  n i1 xini = 10 =2 1 k 2 92 x2   n i1 xi ni = 10 = 9,2   2 S2 = x 2  x = 9,2 – 22 = 5,2 n 10 s2 = S2 = .5,2 = 5,7778 n 1 9 Chú ý: Nếu dữ liệu cho ở dạng mẫu lớp, ta chỉ có thể tính gần đúng các đặc trƣng mẫu a i 1  a i bằng cách thay lớp [ai-1 – ai] bằng một đại diện xi = 2 Ví dụ 6: Lƣợng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 30 lần chạy, kết quả thu đƣợc nhƣ sau: Lƣợng xăng hao phí (lít) 9,6 -9,8 9,8 -10 10-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6 Số lần tƣơng ứng 3 5 10 8 4 Giải: Ta lập bảng: Lớp xi ni xini xi2ni 9,6-9,8 9,7 3 29,1 282,27 9,8-10 9,9 5 49,5 490,05 10-10,2 10,1 10 101 1020,1 10,2-10,4 10,3 8 82,4 848,72 10,4-10,6 10,5 4 42 441 Tổng n = 30 x n i i = 304 x 2 i n i = 3082,14 Suy ra: 1 k 304 x  n i1 xi ni = 30 = 10,1333 1 k 2 3082,14 x2   n i1 xi ni = 30 = 102,738
  10. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 107 S2 = x 2   x  = 102,738 – (10,1333)2 = 0,05423 2 n 30 s2 = S2 = .0,05423 = 0,0561 n 1 29 b) Tính gián tiếp: Khi dữ liệu lớn phức tạp và cách đều nhau ta có thể biến đổi để giảm độ phức tạp tính toán nhƣ sau: Bước 1: Chọn giá trị x0 tuỳ ý thuộc vào mẫu (thƣờng ở giữa mẫu) xi  x0 Bước 2: Tính di= (trong đó h = xi – xi-1) h Bước 3: Tính n d i i ; n d i 2 i Bước 4: Tính: h x  x0  n  di n i h2  2   n i d i   n i d i   2 2 1 S = n  n  n s2 = S2 n 1 Ví dụ 7: Tính các đặc trƣng mẫu của ví dụ 6 bằng phƣơng biến đổi. Giải: Dễ thấy các dữ liệu của mẫu cách đều nhau một khoảng là h = 0,2 Chọn giá trị x0 = 10,1 Khi đó ta có bảng sau: Lớp xi di ni dini di2ni 9,6-9,8 9,7 -2 3 -6 12 9,8-10 9,9 -1 5 -5 5 10-10,2 10,1 0 10 0 0 10,2-10,4 10,3 1 8 8 8 10,4-10,6 10,5 2 4 8 16 Tổng n = 30 d n i i =5 d n 2 i i = 41 Suy ra:
  11. 108 Giáo trình Xác suất thống kê h  0,2 x  x0  di n i = 10,1 + .5 = 10,1333 n 30 h2  2 (0,2) 2   S2 = 2 1     nidi   nidi  =  41  5 2  = 0,05423 1 n  n  30  30  n s2 = S2 = 0,0561 n 1 c) Tính bằng máy tính điện tử Ví dụ 8: Kết quả thi môn Toán của 10 sinh viên lớp A nhƣ sau: Điểm 6 7 8 9 10 Số sinh viên 2 4 2 1 1 Tính kỳ vọng mẫu, phƣơng sai mẫu, phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh ? Giải: Bước 1: Chuyển số máy tính về chế độ thống kê  Trên Casio fx-500MS: ON MODE 2  Trên Casio fx-570MS: ON MODE MODE 1 Bước 2: Nhập số liệu (các thao tác trên 2 máy là nhƣ nhau) Sau khi bấm phím ON MODE 2 trên Casio fx-500MS và ON MODE MODE 1 trên Casio fx-570MS (vào chƣơng trình thống kê) và khai báo các số liệu cùng với tần số: Bấm phím: 6 SHIFT ; 2 DT 7 SHIFT ; 4 DT 8 SHIFT ; 2 DT 9 SHIFT ; 1 DT 10 SHIFT ; 1 DT Mỗi khi khai báo xong một số liệu cùng với tần số của nó, máy sẽ tự động đếm các số liệu đƣợc đƣa vào. Thí dụ, sau khi bấm phím 6 SHIFT ; 2 DT, màn hình sẽ hiện n = 2 , tức là đã có 2 số liệu đƣợc khai báo (cùng bằng 6); Sau khi bấm phím tiếp 7 SHIFT ; 4 DT, màn hình sẽ hiện n = 6 , tức là đã có 6 số liệu đƣợc khai báo (hai số liệu cùng bằng 6 và bốn số liệu cùng bằng 7). Sau khi khai báo xong toàn bộ các số liệu, màn hình sẽ hiện n = 10 , nghĩa là: Tập hợp các số liệu gồm 10 giá trị. Tính độ dài mẫu: Bấm phím: SHIFT S-SUM 3 = (kết quả: n = 10). Chứng tỏ kích thƣớc mẫu bằng 10 (số các giá trị của mẫu là 10)
  12. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 109 Tính tổng số liệu: Bấm phím: SHIFT S-SUM 2 = (kết quả: )  tổng số liệu bằng 75 Tính tổng bình phƣơng số liệu: Bấm phím: SHIFT S-SUM 1 = (kết quả: )  tổng bình phƣơng số liệu bằng 577 Tính giá trị trung bình: Bấm phím: SHIFT S-VAR 1 = (kết quả: )  x = 7,5 Tính độ lệch chuẩn: Bấm phím: SHIFT S-VAR 2 = (kết quả: )  S = 1,2041594598 Tính phƣơng sai: Bấm tiếp phím: x2 = (kết quả: )  S2 = 1,45 Tính độ lệch chuẩn hiệu chỉnh: Bấm phím: SHIFT S-VAR 3 = (kết quả: )  s = 1,269265518 Tính phƣơng sai hiệu chỉnh: Bấm tiếp phím: x2 = (kết quả: )  s2 = 1,611111111 Chú ý: - Khi khai báo 6 SHIFT ; 2 DT, nghĩa là khai báo giá trị x1 = 6 có tần số là 2. - Nếu bấm phím thì màn hình hiện ra Freq5 = 1, nghĩa là tần số của số liệu thứ 5 (x = 10) là 1. - Bấm tiếp phím: Màn hình hiện ra x5 = 10, nghĩa là số liệu thứ 5 có giá trị là 10. Tƣơng tự, sử dụng phím, ta có thể kiểm tra tất cả các dữ liệu đƣợc đƣa vào đã đúng hay chƣa và chúng có tần số là bao nhiêu. - Có thể tham khảo phụ lục 2 đối với các loại máy tính khác. 3.2. KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 3.2.1. Khái niệm ƣớc lƣợng Giả sử khi nghiên cứu ĐLNN X và biết đƣợc phân phối của X thuộc một họ phân phối nào đó (chẳng hạn biết X có phân phối chuẩn hoặc biết X có phân phối Poisson, ... nhƣng lại không biết các tham số). Muốn xác định hoàn toàn phân phối của X ta phải xác định đƣợc các giá trị tham số của phân phối đó. Trong trƣờng hợp chƣa biết gì về phân phối của ĐLNN X thì việc biết đƣợc các giá trị đặc trƣng của X cũng cho ta biết đƣợc nhiều thông tin. Chính vì vậy, việc đi tìm
  13. 110 Giáo trình Xác suất thống kê các ƣớc lƣợng cho các tham số của phân phối hoặc ƣớc lƣợng cho các giá trị đặc trƣng của X là rất cần thiết. Giả sử mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , . . . , Xn) có tập giá trị (mẫu quan sát hay mẫu cụ thể) là (x1 , x2 , . . . , xn). Định nghĩa: Một hàm của mẫu ngẫu nhiên: T = T(X1 , X2 , . . . , Xn) xác định trên tập các giá trị của mẫu ngẫu nhiên đƣợc gọi là một thống kê. Nhƣ vậy mỗi thống kê cũng là một đại lƣợng ngẫu nhiên. Khi cho mẫu cụ thể (x1 , x2 , . . . , xn) thì giá trị của T đƣợc xác định bởi: T = T(x1 , x2 , . . . , xn). Ví dụ 1: X , S2 , s2 là những thống kê. Trên thực tế các tham số của tổng thể nhƣ:  , 2, p là không biết, vì ta không thể nào đi khảo sát hết tất cả các phần tử của tổng thể. Tuy nhiên nhiều bài toán thực tế chúng ta cần phải ƣớc lƣợng chúng. Việc ƣớc lƣợng các tham số dựa trên một mẫu thống kê (X1 , X2 , . . . , Xn) đƣợc gọi là bài toán ước lượng tham số. 3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm Để xác định hoàn toàn phân phối của X, ta phải xác định đƣợc các giá trị của  mà phân phối đó nhận. Dựa vào các thông tin thu đƣợc từ một mẫu cụ thể (x1 , x2 , . . . , xn) của X, ta tìm một thống kê $(x1 , x2 , . . . , xn) "đủ tốt” để thay thế tham số  chƣa biết (hay ƣớc lƣợng  bằng $) đƣợc gọi là bài toán ước lượng điểm của . Ví dụ 2: X có phân phỗi chuẩn N( , 2) nhƣng , 2 bằng bao nhiêu chƣa biết. Ta cần ƣớc lƣợng tham số  = (,2). Do giá trị đúng của  chƣa biết nên ta không thể so sánh $ với  để đánh giá chất lƣợng của $. Vì vậy ngƣời ta đƣa ra các tiêu chuẩn sau: 3.2.3. Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng a) Ƣớc lƣợng không chệch: Định nghĩa: Thống kê $ đƣợc gọi là ƣớc lƣợng không chệch của  nếu E $ =  Ngƣợc lại, nếu E $   thì $ đƣợc gọi là ƣớc lƣợng chệch của .
  14. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 111 Ý nghĩa: Ta thấy E( $ -  ) = 0, tức là trung bình của độ lệch (sai số) giữa các ƣớc lƣợng với giá trị thật bằng 0. Ví dụ 3: - Vì E( X ) =  nên trung bình mẫu là ƣớc lƣợng không chệch của kỳ vọng (trung bình tổng thể) . - Vì E(s2) = 2 nên phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh là ƣớc lƣợng không chệch của phƣơng sai tổng thể 2. - Vì E(F) = p nên tỷ lệ mẫu là ƣớc lƣợng không chệch của tỷ lệ tổng thể p. 2 - S2 là ƣớc lƣợng chệch của VX với độ chệch là . n Nhƣ vậy để ƣớc lƣợng kỳ vọng, phƣơng sai, tỷ lệ của tổng thể, ta có thể dùng những đại lƣợng trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh, tỷ lệ mẫu của mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ 4: Cân 100 sản phẩm của xí nghiệp ta có bảng xi (gr) 498 502 506 510 ni 40 20 20 20 Ta có trung bình mẫu là: 498.40  502.20  506.20  510.20 x  502,8 (gr) 100 Theo nhận xét trên ta dự đoán (ƣớc lƣợng) trọng lƣợng trung bình của sản phẩm trong xí nghiệp là  = 502,8 (gr).
  15. 112 Giáo trình Xác suất thống kê b) Ƣớc lƣợng vững Định nghĩa: Thống kê $ (x1 , x2 , . . . , xn) đƣợc gọi là ƣớc lƣợng vững của  nếu $ hội tụ theo xác suất đến  khi n   , tức là    0 lim P | $  |   1 n  Ý nghĩa: Với n đủ lớn thì với xác suất gần bằng 1 ta có thể xấp xỉ: $ =  Ví dụ 5: - Trung bình mẫu X là ƣớc lƣợng vững của trung bình tổng thể . - Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh s2 là ƣớc lƣợng vững của phƣơng sai tổng thể 2. - Tỷ lệ mẫu F là ƣớc lƣợng vững của tỷ lệ tổng thể p. c) Ƣớc lƣợng hiệu quả Định nghĩa: Thống kê $ đƣợc gọi là ƣớc lƣợng hiệu quả của  nếu nó là ƣớc lƣợng không chệch của  và có phƣơng sai bé nhất trong tất cả các ƣớc lƣợng không chệch của . 3.3. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 3.3.1. Bài toán ƣớc lƣợng khoảng Giả sử cần ƣớc lƣợng tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X. Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n: W = (X1 , X2 , X3 , . . . , Xn) với mẫu cụ thể là: w = (x1 , x2 , . . . , xn) Với xác suất 1 –  cho trƣớc, ta cần tìm các thống kê 1 và 2 sao cho: P 1     2  = 1 –  trong đó:
  16. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 113  γ = 1 –  đƣợc gọi là độ tin cậy của ƣớc lƣợng.   đƣợc gọi là mức ý nghĩa, đánh giá mức độ sai lầm khi ƣớc lƣợng.  ( 1 , 2) đƣợc gọi là khoảng tin cậy của ƣớc lƣợng  2 = 2 - 1 đƣợc gọi là độ dài của ƣớc lƣợng.   đƣợc gọi là độ chính xác của ƣớc lƣợng. Bài toán ƣớc lƣợng khoảng với độ tin cậy 1 –  còn đƣợc gọi là bài toán tìm khoảng tin cậy với độ tin cậy 1 – . Để làm điều đó quy tắc chung nhƣ sau: Đầu tiên tìm một thống kê G  G(x1 , x 2 ,..., x n , ) sao cho phân phối của G xác định hoàn toàn (không chứa tham số  nữa). Khi đó với độ tin cậy 1    cho trƣớc, ta tìm cặp giá trị 1 và  2 sao cho 1  2   (để ý chúng đều dƣơng) và tƣơng ứng với chúng là các phân vị g 1 và g12 thỏa mãn điều kiện: P(G  g1 )  1 và P(G  g12 )  2 Suy ra: P(g1  G(x1 , x 2 ,..., x n )  g12 )  1  1  2  1   .  P(1    2 )  1   3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Trƣớc khi đi vào tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng tổng thể, ta nhắc lại kiến thức đã học. Cho X ~ N(0 , 1), và cho trƣớc độ tin cậy 1-, ta tìm đƣợc phân vị u  sao cho: 2 P(u   U  u  )  2(u  )  1  1   2 2 2   (u  )  1  2 2 Tƣơng tự ta tính đƣợc: (u  )  1   .
  17. 114 Giáo trình Xác suất thống kê Giả sử X ~ N( , 2) nhƣng chƣa biết tham số EX =  của nó. Muốn ƣớc lƣợng kỳ vọng EX = , ta lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , . . . , Xn) đƣợc sinh từ biến ngẫu nhiên gốc X, có tập giá trị là (x1 , x2 , . . . , xn) Để xác định đƣợc khoảng tin cậy cho kỳ vọng EX = , ta cần xác định thống kê 1 và 2 sao cho: P{θ1 < θ < θ2} = 1 –  ( ở đây  =  ) Ta xét 2 trƣờng hợp sau: a) Bài toán 1: Phương sai VX = 2 của biến X đã biết Để ƣớc lƣợng khoảng cho kỳ vọng EX =  với độ tin cậy 1 – , ta chọn thống kê: X  GU n  Khi đó ta có: U ~ N(0, 1) Chọn cặp 1 và  2 sao cho 1  2   . Do phân vị chuẩn u11 , u 2 có tính chất u11  u 2 nên ta có: P(u 1  U  u 2 )  1       P X  u 2    X  u 1   1     n n  Suy ra: với độ tin cậy 1 – α, khoảng tin cậy cho kỳ vọng là:   x u 2    x  u n n 1 Nhƣ vậy với độ tin cậy 1  cho trƣớc ta sẽ có vô số cặp 1 và  2 , tƣơng ứng với vô số khoảng tin cậy. Ta xét một số trƣờng hợp đặc biệt:  * Khoảng tin cậy đối xứng (ứng với 1   2  ) là: 2
  18. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 115 ( x -  ; x +  ) hoặc viết  = x ± 𝜀 trong đó:   = .u  (độ chính xác của ƣớc lƣợng). n 2 1 k  x   x i n i là trung bình mẫu hay kỳ vọng mẫu n i1     Tra bảng Laplace, tìm u  với   u    1  ; 2  â 2 hoặc dựng hàm trong Excel: u  = NORMSINV(1 - α/2) 2  * Khoảng tin cậy trái (ứng với 1  , 2  0 ) là: (  ; x + .u ) n trong đó:   u    1   , tra bảng Laplace  uα = ? hoặc dựng hàm trong Excel: uα = NORMSINV(1 - α)  * Khoảng tin cậy phải (ứng với 1  0, 2   ) là: ( x  .u ; +  ) n Quy tắc tìm khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng (2 đã biết) - Từ mẫu cụ thể tính x .  - Tính các phân vị u  từ công thức (u  )  1  (tra bảng Laplace) 2 2 2  - Tính độ chính xác của ƣớc lƣợng:   u . n 2 - Khoảng tin cậy cho kỳ vọng tổng thể: ( x -  ; x +  ). Tƣơng tự nhƣ vậy đối với quy tắc tìm khoảng tin cậy trái và khoảng tin cậy phải cho kỳ vọng. Ví dụ 1: Trọng lƣợng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 sản phẩm loại này, thu đƣợc kết quả sau: Trọng lƣợng (gam) 18 19 20 21 Số sản phẩm tƣơng ứng 3 5 15 2 Với độ tin cậy 95%, hãy ƣớc lƣợng khoảng:
  19. 116 Giáo trình Xác suất thống kê a) Trọng lƣợng trung bình của 1 sản phẩm; b) Trọng lƣợng trung bình tối thiểu của một sản phẩm. Giải: Gọi  là trọng lƣợng trung bình của sản phẩm, ta cần ƣớc lƣợng khoảng tin cậy của  . Trọng lƣợng trung bình của mẫu 25 sản phẩm: x = 19,64 a) Khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình sản phẩm. Với độ tin vậy 95% ta tìm đƣợc u  nhƣ sau: 2  0, 05 (u  )  1   1  0,975 2 2 2 Tra bảng 3 ta đƣợc u  = 1,96. 2  1 Độ chính xác của ƣớc lƣợng là:   u   *1,96  0,392 n 2 5 Khoảng tin cậy phải cho trọng lƣợng trung bình của sản phẩm: ( x -  ; x +  ) = (19,64 - 0,392; 19,64 + 0,392) = (19,248; 20,032) Vậy trọng lƣợng trung bình của một sản phẩm khoảng từ 19,248 đến 20,032 gam. b) Khoảng tin cậy phải cho trọng lượng trung bình sản phẩm. Với độ tin vậy 95% ta tìm đƣợc u  nhƣ sau: (u  )  1    1  0,05  0,95 Tra bảng 3 ta đƣợc u  = 1,645 Độ chính xác của ƣớc lƣợng:  1  u   *1,645  0,329 n 5 Khoảng tin cậy phải trọng lƣợng trung bình của sản phẩm: ( x -  ;  ) = (19,64 - 0,329;  ) = (19,311;  ) Vậy trọng lƣợng trung bình tối thiểu của một sản phẩm là 19,311gam. b) Bài toán 2: Phương sai VX = 2 của biến X chưa biết
  20. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 117 Đầu tiên ta phải ƣớc lƣợng 2 bằng phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh, sau đó chọn X  thống kê G  T  n . Khi đó T tuân theo luật Student với n -1 bậc tự do, mặt s khác hình dạng của mật độ phân phối này rất gần với phân phối chuẩn, nên cách ƣớc lƣợng rất giống với bài toán 1. Ta tìm phân vị t 1 , t12 ;(t11  t 1 ) thỏa mãn: P(t 1  T  t 2 )  1   Tƣơng tự nhƣ bài toán 1, ta xét một số khoảng tin cậy đặc biệt: * Khoảng tin cậy đối xứng là: ( x -  ; x +  ) hoặc viết  = x ± 𝜀 trong đó: s  = .t  là độ chính xác của ƣớc lƣợng; n 2 k  x  1  xi ni là trung bình mẫu; n i 1  s là độ lệch mẫu hiệu chỉnh;    Tra bảng Student (bảng 5), tìm t  với: t   t n 1 1   2 2  2 hoặc dùng hàm trong Excel: t = TINV(, n - 1)  2 s * Khoảng tin cậy trái là: (  ; x + .t  ) n trong đó: t = tn-1(1 – ) tra bảng Student (bảng 5) tìm đƣợc t  hoặc dùng hàm trong Excel: t  = TINV(, n - 1) s * Khoảng tin cậy phải là: ( x  .t  ;  ) n Chú ý: 1) Nếu X không có phân phối chuẩn, thì cỡ mẫu phải lớn hơn 30. 2) Nếu n > 30 thống kê T sẽ có phân phối tiệm cận chuẩn N(0; 1), do đó ta có thể thay thế: tα = uα , tα/2 = uα/2 Quy tắc tìm khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng (2 chƣa biết) - Từ mẫu cụ thể tính x , s
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học