1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giải tích tổ hợp, phép thử và biến cố, xác suất, khái niệm về biến ngẫu nhiên, các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, các đặc trưng số của biến cố ngẫu nhiên;... BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ NAM ĐỊNH, 2011 BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ============

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 101

Ngày tạo 10/2/2021 12:25:04 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.49 M

Tên tệp

Tải Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - ĐH Sư phạm ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ NAM ĐỊNH, 2011
  2. BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH ======================== Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Mã số: GT 2010-04-03) NAM ĐỊNH, 2011
  3. GIỚI THIỆU Lý thuyết Xác suất - Thố ng kê toán học đƣợc đƣa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trƣờng Đại học và Cao đẳng trên thế giới và trong nƣớc . Nó đang là một trong những ngành khoa học phát triển cả về lý thuyết cũng nhƣ ứng dụng. Nó đƣợc ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v... Để giúp sinh viên trƣờng Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn Xác suất thống kê, chúng tôi đã biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với chƣơng trình đào tạo của Nhà trƣờng. Giáo trình gồm 4 chƣơng: Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản về xác suất Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên không phải ngành Toán, nên chúng tôi không đi sâu vào viê ̣c chƣ́ng minh nhƣ̃ng lý thuyế t toán ho ̣c phƣ́c ta ̣p mà trình bày các kiến thức cơ bản nhƣ là công cụ giải toán và tập trung ch o viê ̣c đƣa ra các ví du ̣ minh ho ̣a cho các kiến thức đã học. Do giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp kiến của bạn đọc để giáo trình đƣợc hoàn thiện hơn. Mọi đóng góp xin gửi về Khoa Khoa học cơ bản, trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, Phƣờng Lộc Hạ, TP Nam Định. Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ
  4. Mục lục GIỚI THIỆU Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ............................................. 3 1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP ............................................................................................ 3 1.1.1 Quy tắc đếm .................................................................................................. 3 1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị ....................................................................................... 5 1.1.3 Tổ hợp ........................................................................................................... 8 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ .................................................................................. 9 1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố...................................................................... 9 1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. ........................................ 11 1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố ............................................................................ 14 1.3. XÁC SUẤT ........................................................................................................ 16 1.3.1. Khái niệm xác suất ...................................................................................... 16 1.3.2. Các định nghĩa xác suất ............................................................................... 17 1.3.3. Tính chất của xác suất ................................................................................. 20 1.3.4. Các công thức tính xác suất......................................................................... 20 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 .................................................................................................. 38 Chƣơng 2: BIẾN NGẪU NHIÊN ................................................................................. 52 2.1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN ........................................................... 52 2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 52 2.1.2. Phân loại ..................................................................................................... 52 2.2. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN .......................... 53 2.2.1. Bảng phân phối xác suất............................................................................. 53 2.2.2. Hàm phân phối xác suất ............................................................................. 58 2.2.3. Hàm mật độ xác suất .................................................................................. 61 2.3. CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ................................ 65 2.3.1. Kỳ vọng (Expectation) ............................................................................... 65 2.3.2. Phƣơng sai (Variance) ................................................................................ 66 Tìm kì vọng, phƣơng sai, độ lệch của X. .............................................................. 68 2.3.3. Mod (giá trị chắc chắn nhất): ..................................................................... 72
  5. 2.3.4. Med (Trung vị): ..........................................................................................72 2.4. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG DÙNG .........................................72 2.4.1. Phân phối nhị thức .......................................................................................72 2.4.2. Phân phối Poisson.......................................................................................74 2.4.3. Phân phối chuẩn ..........................................................................................78 2.4.4. Phân phối “khi bình phƣơng” .....................................................................87 2.4.5. Phân phối Student .......................................................................................88 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ..................................................................................................90 Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG ......................................................................98 3.1. LÝ THUYẾT MẪU ...........................................................................................98 3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả ..........................................98 3.1.2. Các phƣơng pháp lấy mẫu .........................................................................100 3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm .....................................................................101 3.1.4. Các đặc trƣng mẫu .....................................................................................103 3.1.5. Cách tính các đặc trƣng mẫu .....................................................................105 3.2. KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM .................................................................109 3.2.1. Khái niệm ƣớc lƣợng .................................................................................109 3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm ..........................................................................................110 3.2.3. Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng ..........................................................................110 3.3. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG ................................................................................112 3.3.1. Bài toán ƣớc lƣợng khoảng .......................................................................112 3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ......................................................................113 3.3.3. Khoảng tin cậy cho phƣơng sai ................................................................123 3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ ............................................................................128 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ................................................................................................136 Ch-¬ng 4: KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª ................................................145 4.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ...............................145 4.1.1. Bài toán kiểm định.....................................................................................145 4.1.2. Các loại sai lầm, mức ý nghĩa ...................................................................146 4.2. KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG ...........................................................................147 4.2.1. Bài toán 1: Phƣơng sai VX = σ2 đã biết ....................................................147
  6. 4.2.2. Bài toán 2: Phƣơng sai VX = σ2 chƣa biết ................................................ 151 4.3. KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ .................................................................................. 156 4.3.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 156 4.3.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 157 4.3.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 158 4.4. KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG .......................... 163 4.4.1 Bài toán 1: Trƣờng hợp đã biết VX =  12 và VY =  22 .............................. 163 4.4.2. Bài toán 2: Trƣờng hợp chƣa biết VX =  12 và VY =  22 ........................ 165 4.4. KiÓm ®Þnh vÒ sù b»ng nhau cña hai tû lÖ .................................. 169 4.4.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 169 4.4.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 170 4.4.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 170 BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ................................................................................................ 173 CÁC BẢNG SỐ .......................................................................................................... 178 PHỤ LỤC 1. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL ............ 185 PHỤ LỤC 2. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TOÁN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH ........................................................................................................................... 188
  7. Giáo trình Xác xuất - Thống kê 3 Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP Trong thực tế, ta cần phải chia một tập hợp các phần tử thành những nhóm theo một số tính chất nào đó, và tính số nhóm tạo thành. Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng là khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm có phân biệt thứ tự (gọi tắt là nhóm có thứ tự). Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau, còn cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng có thể là khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm không phân biệt thứ tự (gọi tắt là nhóm không có thứ tự). 1.1.1 Quy tắc đếm Quy tắc cộng Để hoàn thành công việc A, ta có k khả năng (KN). Trong đó: KN 1: có n1 cách hoàn thành công việc A. KN 2: có n2 cách hoàn thành công việc A. KN 3: có n3 cách hoàn thành công việc A. .................................................................. KN k: có nk cách hoàn thành công việc A. Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 + n2 + n3 + . . . + nk ) cách Lƣu ý: Chỉ cần thực hiện 1 trong các khả năng trên thì công việc A đã đƣợc hoàn thành. Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra một sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
  8. 4 Giáo trình Xác suất thống kê Giải: Công việc của ta là chọn 1 sinh viên, công việc này có 2 khả năng để hoàn thành: - KN 1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn. - KN 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn. Rõ ràng, công việc chính của ta là chọn ra 1 sinh viên, do đó chỉ cần 1 trong 2 khả năng trên xảy ra thì công việc của ta đã hoàn thành. Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng: Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 + 10 = 25 cách Quy tắc nhân Để hoàn thành công việc A, ta phải trải qua k bƣớc ( k giai đoạn). Trong đó: Bƣớc 1: có n1 cách hoàn thành bƣớc 1. Bƣớc 2: có n2 cách hoàn thành bƣớc 2. Bƣớc 3: có n3 cách hoàn thành bƣớc 3. .................................................................. Bƣớc k: có nk cách hoàn thành bƣớc thứ k. Suy ra: Số cách để hoàn thành công việc A là (n1 . n2 . n3 . . . nk ) cách Lƣu ý: Để hoàn thành công việc A, ở đây ta phải thực hiện tất cả các bƣớc trên thì công việc A mới hoàn thành. Ví dụ 2: Để đi từ A tới C, bắt buộc ta phải đi qua B. Có 2 cách đi từ A đến B và có 3 cách đi từ B tới C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C ? A B C Nhƣ vậy, công việc cần hoàn thành là đi từ A tới C, công việc này có thể chia làm 2 bƣớc: - Bƣớc 1: đi từ A tới B, có 2 cách đi. - Bƣớc 2: đi từ B tới C, có 3 cách đi.
  9. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 5 Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên xảy ra thì công việc chƣa hoàn thành, mà chỉ hoàn thành một phần của công việc thôi. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách đi từ A đến B là n = 2 * 3 = 6 cách Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm đó ra 2 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 2 sinh viên đƣợc chọn có 1 sinh viên nam và 1 sinh viên nữ ? Giải Công việc của ta là chọn 1 sinh viên và 1 sinh viên nữ, công việc này đƣợc chia làm 2 bƣớc: - Bƣớc1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn. - Bƣớc 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn. Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên hoàn thành thì công việc của ta vẫn chƣa hoàn thành, mới chỉ hoàn thành 1 phần công việc. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân: Số cách để hoàn thành công việc trên là: n = 15 * 10 = 150 cách 1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị a) Chỉnh hợp Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là Ank : n! Ank = n.(n – 1).(n – 2). . .(n – k +1) = (n  k )! Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Akn = PERMUT(n;k) Lƣu ý: n! = n.(n-1).(n-2). . . 3.2.1 và 1! = 0! = 1 Ví dụ 4: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày. Giải:
  10. 6 Giáo trình Xác suất thống kê Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trƣớc sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử. 6! Do đó có tất cả: A62   30 cách  6  2 ! Sử dụng hàm trong MS Excel là: A26 = PERMUT(6;2) = 30 b) Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho (trong đó có thể có một số phần tử được lặp lại nhiều lần). ~ k Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là a (hoặc là A n ): k n ~ k a = A n = nk k n Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: akn = POWER(n;k) Ví dụ 5: Có 8 sinh viên vào phòng thực hành máy tính gồm 4 dãy, mỗi dãy có 8 máy tính. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính. b) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính mà dãy thứ nhất có 1 sinh viên. c) Có bao nhiêu cách sắp xếp sinh viên ngồi các vị trí khác nhau trong phòng. Giải: a) Mỗi sinh viên có 4 cách sắp xếp vào 4 dãy nên số cách sắp xếp vào các dãy là chỉnh hợp lặp chập 8 của 4. Ta có: a84 = 48 = 65536 Sử dụng hàm trong MS Excel là: a84 = POWER(4;8) = 65536
  11. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 7 b) Dãy thứ nhất có 1 sinh viên nên có 8 cách sắp xếp, còn lại 7 sinh viên mỗi sinh viên có 3 cách sắp xếp vào 3 dãy nên số cách sắp xếp 7 sinh viên vào 3 dãy là chỉnh hợp lặp chập 7 của 3. Ta có: 8 * a73 = 8 * 37 = 17496 Sử dụng hàm trong MS Excel là: 8 * a73 = 8 * POWER(3;7) = 17496 c) Tổng số chỗ ngồi khác nhau trong phòng là: 8 x 4 = 32, Số cách sắp xếp chỗ ngồi khác nhau là chỉnh hợp không có lặp chập 8 của 32. Ta có: A832 = 32! / 24! = 424097856000 Sử dụng hàm trong MS Excel là: A832 = PERMUT(32;8) = 424097856000 Ví dụ 6: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết đƣợc bao nhiêu số có 3 chữ số thỏa mãn: a) Các chữ số tuỳ ý b) Các chữ số khác nhau. Giải: a) Số các số có 3 chữ số tuỳ ý là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4. Ta có: a34 = 43 = 64 b) Số các số có 3 chữ số khác nhau là chỉnh hợp không lặp chập 3 của 4. Ta có: A34 = 4! / 3! = 24 c) Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là Pn : Pn = n! = n.(n-1).(n-2). . .3.2.1 Chú ý: Một hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Pn = FACT(n) hoặc Pn = PERMUT(n;n)
  12. 8 Giáo trình Xác suất thống kê Ví dụ 7: Có 5 bông hoa khác nhau tặng cho 5 ngƣời, hỏi có thể có mấy cách tặng hoa. Giải: Số cách tặng hoa cho 5 ngƣời là hoán vị của 5 phần tử: P5 = 5! = 120 Sử dụng hàm trong Excel: P5 = FACT(5) = 120 hoặc P5 = PERMUT(5;5) = 120 Ví dụ 8: Một hội đồng có 7 thành viên đƣợc phân công 7 nhiệm vụ khác nhau. Hỏi có thể có bao nhiêu cách phân công ? Giải: Số cách phân công cho 7 ngƣời là hoán vị của 7 phần tử: P7 = 7! = 5040 Sử dụng hàm: P7 = FACT(7) = 5040 hoặc P7 = PERMUT(7;7) = 5040 Ví dụ 9: Có bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số khác nhau và đƣợc lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3 Giải: Giả sử số có 4 chữ số là abcd . Để xếp đƣợc số abcd , chia làm 2 bƣớc: Bƣớc 1: Chọn 1 số khác không xếp ở vị trí a, có 3 cách. Bƣớc 2: Hoán vị 3 số còn lại vào các vị trí còn lại, có 3! = 6 cách Số các số có 4 chữ số là: 3 * 6 = 18 cách 1.1.3 Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là C kn : a kn n! C kn =  k! k!(n  k )! Chú ý:  C 0n = C nn = 1
  13. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 9  C kn = C nn  k  C kn 11 + C kn 1 = C kn  Hàm thƣờng dùng trong Excel là Cnk = COMBIN(n,k) Ví dụ 10: Có mƣời đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lƣợt (tức hai đội bất kỳ trong mƣời đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu. Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cần tổ chức là: C210 = 45 trận đấu. 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tƣợng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản, và các hiện tƣợng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó đƣợc thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tƣợng, ta cần thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản ấy. Chẳng hạn: nếu muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa của một đồng xu, ta phải tung đồng xu xuống đất; còn để xét xem viên đạn có trúng bia hay trƣợt, ta phải bắn các viên đạn; khi muốn nghiên cứu chất lƣợng của một lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó . . . Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện). Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây: * Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn đƣợc ký hiệu là U hoặc 
  14. 10 Giáo trình Xác suất thống kê * Biến cố không thể có: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không thể có đƣợc ký hiệu là V hoặc . * Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Các biến cố ngẫu nhiên thƣờng đƣợc ký hiệu là A, B, C . . . hoặc là A1, A2, A3, . . . * Biến cố sơ cấp: cũng là một biến ngẫu nhiên, là kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra của phép thử. Ví dụ 1: 1) Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố. 2) Đo nhiệt độ ngoài trời: đó là một phép thử. “Nhiệt độ ngoài trời là to C” đó là một biến cố 3) Quan sát ghi nhận tuổi thọ của một chi tiết máy, hay của một loại bóng đèn, là một phép thử. Sự kiện của nó có thể là giá trị bất kỳ trong khoảng [0,+∞), hoặc một khoảng (a,b)  [0,+∞) nào đó mà tuổi thọ rơi vào. Ví dụ 2: 1) Khi thực hiện phép thử: tung một con xúc xắc, gọi U là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì U là biến cố chắc chắn. 2) Gọi U là biến cố “ nước sôi ở nhiệt độ 1000C, dưới áp suất 1 atm” thì U là một biến cố chắc chắn. 3) Khi tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” V là biến cố không thể có. 4) Biến cố nƣớc sôi ở nhiệt độ 500C, với 1 atm là biến cố không thể có. 5) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử.  Gọi Ak = “Xuất hiện mặt k chấm”. Khi đó: A1, A2, . . . A6 là các biến cố sơ cấp.
  15. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 11  Gọi A = “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”. Khi đó: A là biến cố ngẫu nhiên. Tất cả các biến cố ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong bốn loại biến cố trên. Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thƣờng gặp hơn cả. 1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. a) Tổng của các biến cố A1 + A2 + . . . + An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố đó xảy ra. Chú ý: * Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích thành tổng của các biến cố khác. * Mọi biến cố ngẫu nhiên A đều có thể biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp. Các biến cố sơ cấp trong tổng này đƣợc gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố A. * Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nghĩa là mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố . Do đó  còn đƣợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Ví dụ 3: 1) Chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp Tin A, B mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “bạn chọn từ lớp A là nam”, B là biến cố “ bạn chọn từ lớp B là nam” và C là biến cố “ chọn được sinh viên nam”. Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Vậy: C = A + B. 2) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử. Gọi Ak biến cố “Xuất hiện mặt k chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, C là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7” Rõ ràng: A1, A2, . . . A6 là các biến cố sơ cấp; B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn. Khi đó: B = A2 + A4 + A6 ; C = A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6
  16. 12 Giáo trình Xác suất thống kê b) Tích của các biến cố A1. A2 . . . An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố đó đồng thời xảy ra. Ví dụ 4: Hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Nam Định. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp A”, B là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp B”, C là biến cố “cả hai sinh viên sống ở Nam Định”. Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Vậy: C = A.B Ví dụ 5: Cho sơ đồ mạch điện trên hình 1.1, gồm 3 bóng đèn. Gọi A là biến cố mạng mất điện, Ai là các biến cố đèn thứ i bị cháy. Hãy biểu diễn A theo các Ai 1 2 3 Hình 1.1 Ta thấy, mạng mất điện khi và chỉ khi cả 2 nhánh đều có ít nhất một bóng đèn bị cháy. Do đó: A = A3(A1 + A2) c) Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra, tức là: A.B =  Nhóm n biến cố A1, A2, . . . An đƣợc gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này xung khắc với nhau Ví dụ 6: 1) Hai sinh viên A và B cùng giải một bài toán và cho 2 kết quả khác nhau. Gọi A là biến cố “Sinh viên A giải đúng”, B là biến cố “Sinh viên B giải đúng” Rõ ràng, nếu sinh viên A giải đúng thì sinh viên B giải sai, hoặc nếu sinh viên B giải đúng thì sinh viên A giải sai, hoặc cả 2 sinh viên đều giải sai. Vì vậy, hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra hay chúng xung khắc với nhau. 2) Tung một con xúc xắc. Gọi Ai (i = 1..6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i chấm“. Nhóm 6 biến cố A1, A2, . . . A6 là xung khắc từng đôi.
  17. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 13 d) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng tới sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia và ngƣợc lại. Ví dụ 7: Một cơ quan có 3 ô tô, gọi Ai là biến cố “Ô tô thứ i bị hỏng” (i = 1..2). Rõ ràng, ô tô này bị hỏng không ảnh hƣởng gì tới ô tô khác và ngƣợc lại Vậy: A1, A2, A3 là các biến cố độc lập. Ví dụ 8: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình lần lƣợt ra 2 quả cầu. Lấy có hoàn lại, tức là quả cầu lấy ra lần 1 đƣợc ghi kết quả lại, rồi đƣợc bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu ở lần thứ 2. Gọi A là biến cố “lấy đƣợc quả cầu xanh ở lần 1”; B là biến cố “lần thứ 2 lấy đƣợc quả cầu xanh” Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngƣợc lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau. e) Biến cố đối: Biến cố A đƣợc gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra và ngƣợc lại. Ví dụ 9: 1) Khi tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,” B là biến cố “xuất hiện mặt lẻ“. Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau. 2) Tung một đồng tiền xu. Khi đó: A = “Xuất hiện mặt sấp” A = “Xuất hiện mặt ngửa” Chú ý: 1) A + A =  2) Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau. f) Quy tắc đối ngẫu De Morgan: A  B  C  A . B.C A.B.C  A  B  C
  18. 14 Giáo trình Xác suất thống kê 1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố Nhóm các biến cố A1 , A2 , . . . , An (n  2) của một phép thử gọi là nhóm đầy đủ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: (i) Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, tức là: Ai . Aj =  (ii) Tổng A1 + A2 + . . . + An là một biến cố chắc chắn. Ví dụ 10: Gieo một con xúc xắc. a) Ai = “Xuất hiện mặt i chấm” , i = 1,6  {A1 , A2, A3 , A4 , A5 , A6 } là một hệ đầy đủ. b) A = “Xuất hiện mặt 3 chấm”  A , A là một hệ đầy đủ. c) A = “Xuất hiện mặt chẵn” ; B = “Xuất hiện mặt lẻ”  {A, B} là một hệ đầy đủ. Ví dụ 11: Một sinh viên phải thi hai môn: Toán và Lý. Gọi T, L lần lƣợt là các biến cố sinh viên đó đậu Toán, Lý. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua T và L. a) Sinh viên đó rớt Toán. b) Sinh viên đó chỉ đậu Toán. c) Sinh viên đó đậu cả hai môn. d) Sinh viên đó rớt cả hai môn. e) Sinh viên đó chỉ đậu một môn. f) Sinh viên đó đậu không quá một môn. g) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn. h) Sinh viên đó rớt ít nhất một môn. i) Sinh viên đó rớt nhiều nhất một môn.
  19. Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 15 Giải a) Ta có biến cố rớt Toán đối lập với biến cố đậu Toán nên, nếu gọi A là biến cố sinh viên đó rớt Toán, thì A = T . b) Gọi B là biến cố sinh viên đó chỉ đậu Toán, thì B xảy ra khi T xảy ra và L không xảy ra. Vậy B = T L . c) Gọi C là biến cố sinh viên đó đậu cả 2 môn. Ta có C xảy ra khi T và L cùng xảy ra. Vậy C = TL. d) Tƣơng tự, biến cố sinh viên đó rớt cả 2 môn là D = T L . e) Gọi E là biến cố sinh viên đó chỉ đậu 1 môn. Ta có E xảy ra khi sinh viên đó chỉ đậu Toán (biến cố B) hoặc sinh viên đó chỉ đậu Lý (biến cố B’ = T L). Vậy E = B + B’ hay E = T L + T L. f) Gọi F là biến cố sinh viên đó đậu không quá một môn. - Cách 1: Ta có F xảy ra khi sinh viên đó rớt cả 2 môn (biến cố D) hoặc chỉ đậu một môn (biến cố E). Do đó F = D + E hay F = T L + T L + T L. - Cách 2: Ta có biến cố đối lập của F là sinh viên đó đậu quá 1 môn, tức là đậu cả hai môn (biến cố C). Vậy F = C hay F = TL . - Cách 3: Biến cố F xảy ra khi sinh viên đó rớt Toán hoặc rớt Lý. Vậy F = T + L . g) Gọi G là biến cố sinh viên đó đậu ít nhất 1 môn. Tƣơng tự, ta có ba cách biểu diễn G. - Cách 1: G = E + C = T L + T L + TL - Cách 2: G = D = ( T L ). - Cách 3: G = T + L h) Gọi H là biến cố sinh viên đó rớt ít nhất 1 môn. Ta có H = F. Vậy :
  20. 16 Giáo trình Xác suất thống kê H = T + L, H = C = TL , H = T L + TL + TL i) Gọi I là biến cố sinh viên đó rớt nhiều nhất 1 môn. Ta có I = G. Vậy I = T L + T L + TL, I = ( T L ), I = T + L. 1.3. XÁC SUẤT 1.3.1. Khái niệm xác suất Nhƣ ta đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điều không thể đoán trƣớc đƣợc. Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau. Chẳng hạn: biến cố “Xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “ Xuất hiện mặt có 2 chấm” khi tung một con xúc xắc. Hơn nữa, khi ta lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện nhƣ nhau, ngƣời ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ đƣợc thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó, ta thấy khả năng định lƣợng (đo lƣờng), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó. Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử. Ta chú ý rằng đây là khả năng khách quan, do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định chứ không tuỳ thuộc vào ý muốn chủ quan của con ngƣời. Nhƣ vậy, bản chất xác suất của một biến cố là một con số xác định. Để tính xác suất của một biến cố, ngƣời ta xây dựng các định nghĩa và định lí sau đây:
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học