Xem mẫu
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
TOÁN CAO C P C2 CAO Đ NG 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 2 (dùng cho
C2
SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục.
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH
PHÂN CH 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2
S ti t: 30
ti – ĐH Kinh tế TP. HCM.
----- 4. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3
Chương 1. Hàm số nhiều biến số –NXB ĐHQG TP. HCM.
Chương 2. Phương trình vi phân
Chương 3. Lý thuyết chuỗi
Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Chương 4. Một số bài toán kinh tế
Download Slide bài gi ng Toán C2CĐ t i
Download ng
Tài liệu tham khảo
dvntailieu.wordpress.com
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
§1. Khái niệm cơ bản • Miền phẳng D kể cả biên ∂D được gọi là miền đóng,
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không kể biên ∂D là miền mở.
§3. Cực trị của hàm hai biến số
• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1
……………………….
đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
1.1. Các định nghĩa là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong
a) Miền phẳng kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các
đường cong kín được gọi là miền phẳng.
Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là
biên của D , ký hiệu ∂D hay Γ .
b) Lân cận của một điểm
Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với
• Khoảng cách giữa 2 điểm M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) là:
biên ở vô cùng.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
• Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm
( ) (x1 − x 2 ) + (y1 − y2 ) .
2 2
d M 1 , M 2 = M 1M 2 =
số, ký hiệu Df . Miền giá trị của hàm số là:
• Hình tròn S (M , ε ) mở có tâm
{ }
G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df .
ε
M (x , y ) , bán kính ε > 0 được •
M
gọi là một lân cận của điểm M . Chú ý
Nghĩa là: • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì
(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < ε .
M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε ) ⇔ thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa.
c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.
Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình)
với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là
1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình)
hàm số hai biến số x , y .
Toán cao c p C2 Cao đ ng 1
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là:
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN
2.1. Đạo hàm riêng f (x 0 , y ) − f (x 0 , y 0 )
fy/ (x 0 , y 0 ) = lim .
a) Đạo hàm riêng cấp 1
y − y0
y →y0
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2
Chú ý
chứa điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y0 ) ∂f df
• Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = = .
∂x
có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng dx
• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.
theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y0 ).
∂f VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ).
f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy tại (−1; 2).
∂x 0 0
f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 )
/
Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim .
x − x0
x →x 0
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
2 Ký hiệu:
x +1
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z = ln .
∂ ∂f ∂ 2 f
f // = fxx = ( fx ) =
x 2 + y2 + 1 = ,
∂x ∂ x 2
∂x
2
x x
x
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π; 4). ∂ ∂f ∂ 2 f
( )y
f // = fyy = fy = = 2,
y
∂y ∂ y ∂y
2
y
∂ ∂f
2
∂2 f
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z ) = e x y sin z .
fxy = fxy = ( fx ) =
//
= ,
∂y ∂ x
∂y ∂x
y
∂2 f
∂ ∂f
( )x
//
fyx = fyx = fy = = .
b) Đạo hàm riêng cấp cao
∂x
∂y ∂x ∂y
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y )
• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ).
2 có định nghĩa tương tự.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
+)
(m ≥ 2) của z = e 2x −y là:
VD 7. Đạo hàm riêng z (m−2n n
VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
y x2
m
x
f (x , y ) = x 3e y + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1).
A. (−1)n 2m +n e 2x −y ; B. (−1)m 2m +n e 2x −y ;
5 4 45
VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x + y − x y . C. (−1)m 2m e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y .
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5)2 (1; −1) là: 2.2. Vi phân
3
xy
f (5)2 (1; −1) = (5)
f 3 2 (1; −1) = −480 ;
480 ; 2.2.1. Vi phân cấp 1
A. B.
x 3y xy
a) Số gia của hàm số
(5) (5)
(1; −1) = 120 ; (1; −1) = −120 .
C. f D. f • Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ε)
x 3y 2 x 3y 2
của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cho x một số gia ∆x và y một
• Định lý Schwarz
số gia ∆y , khi đó hàm f (x , y ) có tương ứng số gia:
Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy/ , fyx liên
/ //
∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ).
tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy/ = fyx .
/ //
Toán cao c p C2 Cao đ ng 2
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Nhận xét
b) Định nghĩa
• Xét những điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) dịch chuyển
• Nếu trong lân cận S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số trên đường đi qua M 0 song song O x . Khi đó ∆ y = 0 :
gia ∆f tương ứng có thể viết được dưới dạng ∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x )
∆f = A.∆x + B .∆y + O (r ) , r = (∆x )2 + (∆y )2 ∆f
= A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) .
⇒ lim
∆x → 0 ∆ x
trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm ∆f
= B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) .
Tương tự, lim
M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y ∆y → 0 ∆ y
Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y .
thì đại lượng A.∆x + B .∆y được gọi là vi phân của hàm
số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Khi đó, f (x , y ) được • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x .
Tương tự, dy = ∆y . Vậy:
gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ).
Ký hiệu df = A.∆x + B .∆y. df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
2.2.2. Vi phân cấp 2
c) Định lý
• Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc
• Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận
lập. Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với
nào đó của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục
x , y nên được xem là hằng số đối với x, y . Vi phân của
tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ).
df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của f (x , y ).
Ký hiệu và công thức:
d 2 f = d (df ) = f //dx 2 + 2 fxy dxdy + f //dy 2 .
//
2 x −y 5
− y . Tính df (1; −1).
VD 8. Cho hàm f (x , y ) = x e 2 2
x y
Chú ý
• Nếu x , y là các biến không độc lập (biến trung gian)
x 2 −y 2
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e sin(xy ).
x = x (ϕ, ψ), y = y(ϕ, ψ) thì công thức trên không còn
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
23 2 35
VD 10. Cho hàm số f (x , y ) = x y + xy − 3x y . Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:
Fx/ + Fz/ .z x = 0, Fy/ + Fz/ .zy = 0 .
/ /
Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1).
Fy/
Fx/
(F )
/ / /
=− =− ≠0 .
,
zx zy
Vậy
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ). z
Fz/ Fz/
VD 12. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình:
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) / /
xyz = cos(x + y + z ). Tính z x , zy .
• Hàm z (x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ 2 thỏa phương trình
F (x , y, z(x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được gọi là VD 13. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu:
hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*). x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy .
/
Toán cao c p C2 Cao đ ng 3
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
3.2. Định lý
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
a) Điều kiện cần
3.1. Định nghĩa
• Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) và
• Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị thực sự tại M 0 (x 0 , y 0 )
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
nếu với mọi điểm M (x , y ) khá gần nhưng khác M 0 thì
fx/ (x 0 , y 0 ) = fy/ (x 0 , y 0 ) = 0.
hiệu ∆f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 ) có dấu không đổi.
Điểm M 0 (x 0 , y 0 ) thỏa fx/(x 0 , y 0 ) = fy/(x 0 , y 0 ) = 0 được
• Nếu ∆f > 0 thì f (x 0 , y 0 ) là giá trị cực tiểu và M 0 là
điểm cực tiểu của z = f (x , y ). gọi là điểm dừng, M 0 có thể không là điểm cực trị.
• Nếu ∆f < 0 thì f (x 0 , y0 ) là giá trị cực đại và M 0 là b) Điều kiện đủ
Giả sử z = f (x , y ) có điểm dừng là M 0 và có đạo hàm
điểm cực đại của z = f (x , y ). 2
y 3y 2
VD 1. Hàm số f ( x , y ) = x 2 + y 2 − xy = x − + riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0 .
2
4
Đặt A = f // (M 0 ), B = fxy (M 0 ), C = f // (M 0 ).
//
⇒ f ( x , y ) ≥ 0, ∀ ( x , y ) ∈ ℝ 2 nên đạt cực tiểu tại O ( 0; 0) . 2 2
x y
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
Khi đó: Khi đó, điểm P1 ∈ S là
AC − B 2 > 0
• Nếu điểm cao nhất (hay thấp
⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .
A>0 nhất) so với các điểm ở
trong lân cận của nó và
AC − B 2 > 0
hình chiếu M1 ∈ D là
⇒ f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .
• Nếu
A 0, y > 0).
f (x , y ) = 0.
y 0 0 x y
Khẳng định đúng là:
• Bước 2. Tính A = f // (x 0 , y 0 ), B = fxy (x 0 , y 0 ),
//
A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z = 39 .
2
x
B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z = 30 .
C = f // (x 0 , y 0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 .
2
y
C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z = 39 .
• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.
D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z = 30 .
VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 − x − y ).
Toán cao c p C2 Cao đ ng 4
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z = x 2y thỏa điều kiện:
3.5. Cực trị có điều kiện
x − y + 3 = 0.
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên lân cận của điểm
M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = 0 . b) Phương pháp nhân tử Lagrange
fy/
Nếu tại M 0 hàm f (x , y ) đạt cực trị thì ta nói M 0 là fx/
Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi λ = − =− là
điểm cực trị có điều kiện của f (x , y ) với điều kiện ϕ/ /
ϕy
x
ϕ(x , y ) = 0 . nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng
• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):
phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ).
a) Phương pháp khử
• Bước 2. Giải hệ: L/ = 0, L/ = 0, L/ = 0
• Từ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y thế vào λ
x y
⇒ điểm dừng M 0 (x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 .
f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến.
Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s
Ch 1. nhi Ch 1. nhi
• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y0 ) ứng với λ 0 : VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y ) = 2x + y
// //
2 2
2L//dxdy 2
d L(M 0 ) = L 2 dx + + L 2 dy . với điều kiện x 2 + y 2 = 5 .
xy
x y
Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện
d ϕ(x , y ) = ϕ/ (x , y )dx + ϕ/ (x , y )dy = 0 (1)
x 2 y2
00 x00 y00
+ = 1.
(dx )2 + (dy )2 > 0 (2).
8 2
• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: ……………………………………….
Nếu d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 .
Nếu d 2L(M 0 ) < 0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .
Nếu d 2L(M 0 ) = 0 thì M 0 không là điểm cực trị.
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
VD 1. Cho phương trình vi phân y ′ − x = 0 (*).
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2
x2
……………………………
Xét hàm số y = + C , ta có:
2
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
y ′ − x = 0 thỏa phương trình (*).
1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
x2
Suy ra y = + C là nghiệm tổng quát của (*).
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát F (x , y, y ′) = 0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2
x2
theo y ′ thì (*) trở thành y ′ = f (x , y ).
Thế x = 2, y = 1 vào y = + C , ta được:
• Nghiệm của (*) có dạng y = y(x ) chứa hằng số C được 2
gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y0 = y(x 0 ) x2
C = −1 ⇒ y = − 1 là nghiệm riêng của (*) ứng với
cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm 2
tổng quát ta được giá trị C 0 cụ thể và nghiệm lúc này điều kiện đầu y(2) = 1.
được gọi là nghiệm riêng của (*).
Toán cao c p C2 Cao đ ng 5
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
VD 3. Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2).
1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
f (x )dx + g(y )dy = 0 (1).
VD 4. Giải ptvp x 2 (y + 1)dx + (x 3 − 1)(y − 1)dy = 0 .
Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:
∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C .
1
VD 5. Giải ptvp xy ′ + y = y 2 thỏa điều kiện y(1) = .
xdx ydy
+ = 0.
VD 2. Giải phương trình vi phân 2
1 + x2 1 + y2
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp
1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:
a) Hàm đẳng cấp hai biến số
y ′ = f (x , y ) (2).
• Hàm hai biến f (x , y ) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu
với mọi k > 0 thì f (kx , ky ) = k n f (x , y ).
Trong đó, f (x , y ) là hàm số đẳng cấp bậc 0.
Phương pháp giải
Chẳng hạn, hàm số:
y
x −y
Bước 1. Biến đổi (2) ⇔ y ′ = ϕ .
f (x , y ) =
là đẳng cấp bậc 0,
x
2x + 3y
y
Bước 2. Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ .
4x 2 + 3xy
f (x , y ) = là đẳng cấp bậc 1, x
5x − y du dx
Bước 3. (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ =
ϕ(u ) − u
f (x , y ) = 3x 2 − 2xy là đẳng cấp bậc 2. x
(ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) (đây là ptvp có biến phân ly).
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
2 2
x − xy + y
VD 6. Giải phương trình vi phân y ′ = • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng
.
xy
của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện
Qx = Py/ , ∀(x , y ) ∈ D . Nếu tồn tại hàm u(x , y ) sao cho
/
du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy
thì phương trình vi phân có dạng:
x +y P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 (3)
VD 7. Giải phương trình vi phân y ′ =
x −y
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
với điều kiện đầu y(1) = 0 .
• Nghiệm tổng quát của (3) là u(x , y ) = C .
Nhận xét
/ /
ux (x , y ) = P(x , y ), uy (x , y ) = Q(x , y ).
Toán cao c p C2 Cao đ ng 6
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
Phương pháp giải
VD 8. Cho phương trình vi phân:
/
/
Bước 1. Từ (3) ta có ux = P (3a) và uy = Q (3b).
(3y 2 + 2xy + 2x )dx + (x 2 + 6xy + 3)dy = 0 (*).
1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:
2) Giải phương trình (*).
u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c).
Trong đó, C (y ) là hàm theo biến y .
Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được:
uy = ϕy + C ′(y ) (3d).
/ /
VD 9. Giải ptvp (x + y − 1)dx + (ey + x )dy = 0 .
Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C (y ).
Thay C (y ) vào (3c) ta được u(x , y ).
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
∫ p(x )dx dx = q(x )
∫ q(x ).e ∫
1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Nhận xét. B(x ) = dx .
A(x )
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
Chú ý
y ′ + p(x )y = q (x ) (4).
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Khi q(x ) = 0 thì (4) được gọi là phương trình vi phân • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
−∫ p(x )dx
tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
tổng quát của (4) dưới dạng: y = C (x )e .
Phương pháp giải
VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
y
nghiệm tổng quát của y ′ + 2 = 4x ln x dưới dạng:
Bước 1. Tìm biểu thức A(x ) = e ∫
− p(x )dx
. x
C (x ) C (x )
∫ p(x )dxdx . A. y = B. y =
∫ q(x ).e
Bước 2. Tìm biểu thức B(x ) = ; ;
2
x3
x
Bước 3. Nghiệm tổng quát là y = A(x ) B(x ) + C . C (x ) C (x )
C. y = D. y = −
; .
x x
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
VD 11. Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = 0 • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
= −e 9 . y ′ + p(x )y = q(x )y α (5).
thỏa điều kiện y
x =3
• Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi p(x ) = q(x ) = 1 thì (5) là pt có biến phân ly.
Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)
Bước 1. Với y ≠ 0 , ta chia hai vế cho y α :
VD 12. Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x .
y′ y
(5) ⇒ + p(x ) = q(x )
α
yα
y
⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ).
Toán cao c p C2 Cao đ ng 7
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
1−α
⇒ z ′ = (1 − α )y ′y −α , ta được:
Bước 2. Đặt z = y §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
(5) ⇒ z ′ + (1 − α)p(x )z = (1 − α)q(x ) 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết
(đây là phương trình tuyến tính cấp 1).
2.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng:
y
VD 13. Giải phương trình vi phân y ′ + y ′′ = f (x ) (1).
= xy 2
x
với điều kiện đầu x = 1, y = 1. Phương pháp giải
• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
y ′′ = f (x ) ⇒ y ′ = ∫ f (x )dx = ϕ(x ) + C 1
VD 14. Giải phương trình vi phân y ′ − 2xy = x 3y 4 .
∫ ϕ(x )dx + C1x = ψ(x ) + C1x + C 2 .
⇒y =
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
2.1.2. Phương trình khuyết y
VD 1. Giải phương trình vi phân y ′′ = x 2 . • Phương trình vi phân khuyết y có dạng:
y ′′ = f (x , y ′) (2).
Phương pháp giải
• Đặt z = y ′ đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
7 3 y′
VD 2. Giải ptvp y ′′ = e 2x với y(0) = − , y ′(0) = . VD 3. Giải phương trình vi phân y ′′ = x − .
4 2 x
y′
VD 4. Giải pt vi phân y ′′ − − x (x − 1) = 0
x −1
với điều kiện y(2) = 1, y ′(2) = −1.
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
2.1.3. Phương trình khuyết x 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
với hệ số hằng
• Phương trình vi phân khuyết x có dạng:
y ′′ = f (y, y ′) (3). 2.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:
Phương pháp giải
y ′′ + a1y ′ + a2y = 0, (a1 , a 2 ∈ ℝ ) (4).
• Đặt z = y ′ ta có:
dz dz dy dz
y ′′ = z ′ = = =z . Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):
.
dx dy dx dy
k 2 + a1k + a 2 = 0 (5).
Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
Trường hợp 1
VD 5. Giải phương trình vi phân (1 − y )y ′′ + 2(y ′)2 = 0 . Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 .
VD 6. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = 0 k1x k2x
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e , y2 = e
1 k1x k 2x
với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = . và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2e .
2
Toán cao c p C2 Cao đ ng 8
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
VD 7. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 .
Trường hợp 2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực k .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e kx , y2 = xe kx
VD 8. Giải phương trình vi phân y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 .
và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2xe .
kx kx
Trường hợp 3 VD 9. Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = 0 .
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
k = α ± iβ.
VD 10. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = 0 .
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx
và nghiệm tổng quát là:
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) .
y ′′ − y ′ + y = 0 .
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
1
2.2.2. Phương trình không thuần nhất VD 12. Giải phương trình vi phân y ′′ + y = (a).
cos x
• Phương trình không thuần nhất có dạng:
y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ), (a1 , a2 ∈ ℝ ) (6). Giải. Xét phương trình thuần nhất y ′′ + y = 0 (b) ta có:
k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i ⇒ α = 0, β = 1
a) Phương pháp giải tổng quát
⇒ y1 = cos x , y2 = sin x là 2 nghiệm riêng của (b).
• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) thì (6) có
Nghiệm tổng quát của (a) có dạng:
nghiệm tổng quát là y = C 1(x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ). y = C 1(x ).cos x + C 2 (x ).sin x .
• Để tìm C 1 (x ) và C 2 (x ), ta giải hệ Wronsky: Ta có hệ Wronsky:
cos x .C ′(x ) + sin x .C ′ (x ) = 0
C ′(x )y (x ) + C ′ (x )y (x ) = 0
1
1 2
1 2 2
′
′ ′ ′
C 1 (x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ) = f (x ). − sin x .C ′(x ) + cos x .C ′ (x ) = 1
1 2
cos x
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
sin x cos x .C ′(x ) + sin2 x .C ′ (x ) = 0 b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT
1 2
⇒ Phương pháp cộng nghiệm
− sin x cos x .C ′(x ) + cos2 x .C ′ (x ) = 1
• Định lý
1 2
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất
C ′(x ) = − sin x (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần
⇒ 1
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
cos x
C ′ (x ) = 1
2
VD 13. Cho phương trình vi phân:
y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x 2 )e x (*).
C (x ) = ln cos x + C
⇒ 1 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y = x 2e x .
1
C 2 (x ) = x + C 2 .
2) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:
y ′′ + y ′ = 2 sin 2x + 4 cos 2x ,
( )
y = ln cos x + C 1 cos x + (x + C 2 ) sin x .
biết 1 nghiệm riêng là y = − cos 2x .
Toán cao c p C2 Cao đ ng 9
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
Phương pháp chồng chất nghiệm Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình
• Định lý vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Cho phương trình vi phân:
Xét phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6)
y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ) + f2 (x ) (7).
và y ′′ + a1y ′ + a2y = 0 (4).
Nếu y1(x ) và y2 (x ) lần lượt là nghiệm riêng của
y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x ) • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x)
thì nghiệm riêng của (7) là: ( Pn (x ) là đa thức bậc n ).
y = y1(x ) + y2 (x ).
Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:
VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của y ′′ − y ′ = 2 cos2 x (*).
y = x me αxQn (x )
Cho biết y ′′ − y ′ = 1 và y ′′ − y ′ = cos 2x lần lượt có
2 1 (Qn (x ) là đa thức đầy đủ bậc n ).
nghiệm riêng y1 = −x , y2 = − cos 2x − sin 2x .
10 10
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
Bước 2. Xác định m : VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:
y ′′ − 2y ′ − 3y = e 3x (x 2 + 1).
1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì m = 0 .
Giải. Ta có f (x ) = e 3x (x 2 + 1), α = 3, P2 (x ) = x 2 + 1.
2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
của (4) thì m = 1. Suy ra nghiệm riêng có dạng:
y = x me 3x (Ax 2 + Bx + C ).
3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
của (4) thì m = 2 .
Do α = 3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
k 2 − 2k − 3 = 0 nên m = 1.
Bước 3. Thế y = x .e Qn (x ) vào (6) và đồng nhất thức
m αx
Suy ra nghiệm riêng có dạng y = xe 3x (Ax 2 + Bx + C ).
ta được nghiệm riêng cần tìm.
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
• Trường hợp 2
Thế y = xe (Ax + Bx + C ) vào phương trình đã cho,
3x 2
f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]
đồng nhất thức ta được:
( Pn (x ) là đa thức bậc n , Qm (x ) là đa thức bậc m ).
1 1 9
A= , B =− ,C = .
Bước 1. Nghiệm riêng có dạng:
12 16 32
y = x se αx [Rk (x )cos βx + H k (x )sin βx ]
1 9
1
Vậy nghiệm riêng là y = xe 3x x 2 − x + . ( Rk (x ), H k (x ) là đa thức đầy đủ bậc k = max{n, m} ).
32
12
16
Bước 2. Xác định s :
1) Nếu α ± i β không là nghiệm của phương trình đặc
VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
trưng của (4) thì s = 0 .
y ′′ + 2y ′ + y = xe x + 2e −x . 2) Nếu α ± i β là nghiệm của phương trình đặc trưng
của (4) thì s = 1.
Toán cao c p C2 Cao đ ng 10
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 2. Phương trình vi phân Chương 2. Phương trình vi phân
Ch 2. Ph vi phân Ch 2. Ph vi phân
Bước 3. Thế y = x se αx [Rk (x )cos β x + H k (x ) sin βx ] y = C 1 cos x + C 2 sin x (1).
vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.
Mặt khác: α = 0, β = 1 ⇒ s = 1, k = 0 .
VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
Dạng nghiệm riêng của (*) là y = x (A cos x + B sin x ).
y ′′ + 2y ′ − 3y = e x cos x + 3xe x sin x .
Thế y = x (A cos x + B sin x ) vào (*), ta được:
VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:
3 3x
y ′′ − 2y ′ + 2y = e x [(x 2 + 1)cos x + x sin x ]. A = − , B = 0 ⇒ y = − cos x (2).
2 2
VD 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Từ (1) và (2), ta có nghiệm tổng quát là:
y ′′ + y = 3 sin x (*). 3x
y = C 1 cos x + C 2 sin x − cos x .
Giải. Ta có k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i . 2
Nghiệm tổng quát của y ′′ + y = 0 là: ………………………………
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
• Tổng n số hạng đầu tiên Sn = u1 + u2 + ... + un được
§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
• Nếu dãy {Sn }
……………………………
hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói
n ∈ℕ ∞
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
∑ un = S .
chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là
1.1. Định nghĩa n =1
Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ.
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng u1, u2 ,..., un ,... ∞
∑ aq n−1 với a ≠ 0 .
∞ VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
Biểu thức
u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un n =1
Giải
n =1
• q = 1: Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ.
được gọi là chuỗi số.
1 − qn 1 − qn
• Các số u1, u2 ,..., un ,... là các số hạng và un được gọi là
• q ≠ 1: Sn = u1 . = a.
1−q 1 −q
số hạng tổng quát của chuỗi số.
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
a
Với q < 1 thì Sn → ⇒ chuỗi hội tụ. 1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
1 −q ∞
∑ un
Với q > 1 thì Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ. hội tụ thì lim un = 0 ,
• Nếu chuỗi
n →∞
n =1
∞
∑ aq n −1 ∞
hội tụ ⇔ q < 1 .
Vậy
∑ un phân kỳ.
ngược lại nếu lim un ≠ 0 thì
n =1 n →∞
∞ n =1
1
∑ n(n + 1) .
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số
n =1 ∞
n4
∑ 3n 4 + n + 2 .
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
∞
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ ln 1 + .
n =1
n
n =1
∞
n5
∞
∑ n4 + 1 .
1
∑ VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
n =1
n
n =1
Toán cao c p C2 Cao đ ng 11
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
1.3. Tính chất 2.1. Định nghĩa
∞ ∞ ∞
∑un , ∑ vn hội tụ thì: ∑ un được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0,
• Nếu ∀n .
•
n =1 n =1 n =1
∞ ∞ ∞
Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự.
∑(un + vn ) = ∑ un + ∑vn . 2.2. Các định lý so sánh
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞
∑ u n , ∑ vn thỏa:
∞ ∞ ∞ Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương
∑un hội tụ thì: ∑ αun = α∑un .
• Nếu n =1 n =1
0 ≤ u n ≤ vn , ∀ n ≥ n 0 .
n =1 n =1 n =1
∞ ∞
• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi
∑ vn ∑ un
• N ếu hội tụ thì hội tụ.
nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng. n =1 n =1
∞ ∞
∑ un ∑ vn
• N ếu phân kỳ thì phân kỳ.
n =1 n =1
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
∞ Định lý 2
1
∑ n.2n .
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∞ ∞
∑ un , ∑ vn
n =1 Cho hai chuỗi số thỏa:
n =1 n =1
un
= k.
un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim
n →∞ vn
∞ ∞ ∞
1
∑n ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ vn
• Nếu k = 0 thì
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa bằng cách phân kỳ.
n =1 n =1 n =1
1
∞ ∞ ∞
∑ ln 1 + n . ∑ un hội tụ ⇒ ∑ vn hội tụ.
• Nếu k = +∞ thì
so sánh với
n =1 n =1 n =1
∞ ∞
∑ un , ∑ vn cùng tính chất.
• Nếu 0 < k < +∞ thì
n =1 n =1
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
∞
2n (n + 1) 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
∑
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng cách
n.3n +1 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
n =1
∞ un +1
2 n
∞
∑ un
∑ 3 = D.
và lim
Cho chuỗi số dương
so sánh với .
n →∞ un
n =1
n =1
• Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ.
• Nếu D > 1 thì chuỗi phân kỳ.
Chú ý
• Nếu D = 1 thì chưa thể kết luận.
∞
1
∑ nα hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.
Chuỗi
n
1
∞
1 + 1 .
n =1
∑ n n
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
n =1 3
∞
n +1
∑
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số . ∞
5n (n !)2
∑
2n 5 + 3 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
n =1
n =1 (2n )!
Toán cao c p C2 Cao đ ng 12
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy 2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
∞ Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm và giảm trên nửa
∑ un và nl→∞ n un =C .
im
Cho chuỗi số dương khoảng [k ; +∞), k ∈ ℕ . Khi đó:
n =1
+∞
∞
• Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ.
∑ f (n ) hoäi tuï ⇔ ∫ f (x )dx hoäi tuï.
• Nếu C > 1 thì chuỗi phân kỳ.
n =k
• Nếu C = 1 thì chưa thể kết luận. k
n2 ∞
1 1
∞
∑3
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
n2
n =1 2
n =1
∞
∞
nn 1
∑ n ln3 n .
∑ 3n VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số
VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
n =2
n =1
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
∞
§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý (−1)n
∑
VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
n
3.1. Chuỗi đan dấu n =1
∞
∑ (−1)n un
a) Định nghĩa. Chuỗi số được gọi là
n =1
∞
chuỗi số đan dấu nếu un > 0, ∀n . 2n + 1
∑ (−1)n
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
2n +1
∞
(−1)n ∞ 2n + 1 n =1
VD 1. ∑ , ∑ (−1)n +1 là các chuỗi đan dấu.
2n +1
n =1 n n =1
b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm nghiêm ngặt và un → 0 thì chuỗi ∞
(−1)n
∑
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
∞
∑ (−1)n un n + (−1)n
n =2
hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.
n =1
Chương 3. Lý thuy t chu i Chương 3. Lý thuy t chu i
Ch 3. Lý Ch 3. Lý
3.2. Chuỗi có dấu tùy ý b) Định lý
a) Định nghĩa ∞ ∞
∑ un ∑ un hội tụ.
∞ N ếu hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
∑ un , un ∈ ℝ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
• Chuỗi n =1 n =1
n =1
∞ ∞
∑ un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑ un hội tụ.
•
n =1 n =1 ∞
cos(n n )
∑
∞ ∞
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
∑ un được gọi là bán hội tụ nếu ∑ un hội tụ và
• n2
n =1
n =1 n =1
∞
∑ un phân kỳ.
(−1)n + (−2)n +1
∞
n =1
∑
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số .
∞
(−1)n 3n
VD 5. Chuỗi số ∑ n =1
là bán hội tụ.
n
n =1
Toán cao c p C2 Cao đ ng 13
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
• Biên tế
CÁC KHÁI NIỆM – KÝ HIỆU TRONG KINH TẾ
Biên tế của hàm H ( ) theo biến V tại V0 là đại lượng
• Trung bình của hàm V
H (V ) − H (V0 )
Xét hai đại lượng kinh tế H , V có mối quan hệ hàm với
= H ′( 0 ). Ký hiệu là MHV ( 0 ).
lim V V
nhau: H = H ( ). V −V0
V V →V0
H( )
V
được gọi là hàm trung bình của H . Chẳng hạn, biên tế của doanh thu R theo sản lượng Q
Tỉ số
V tại Q0 là đại lượng mô tả độ tăng của doanh thu khi Q
Ký hiệu là AH ( ).
V
tăng thêm 1 đơn vị tại Q0 . Ta có: MRQ (Q0 ) = R ′(Q0 ).
VD. Một doanh nghiệp sản xuất lượng hàng Q và bán
hết với đơn giá là P thì tổng doanh thu sẽ là R = PQ . VD. Giả sử chi phí C của 1 doanh nghiệp để sản xuất ra
PQ Q sản phẩm là:
Vậy AR = = P.
1
Q
C = Q 3 − 10Q 2 + 1000Q + 70 (đơn vị tiền tệ).
3
Trong kinh tế, đơn giá là trung bình của doanh thu.
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
§1. BÀI TOÁN LÃI KÉP
Sử dụng biên tế, ta ước lượng chi phí để doanh nghiệp
BÀI TOÁN ĐÁNH THUẾ DOANH THU
sản xuất ra sản phẩm thứ 50 là:
C ′(50) = 2500 (đơn vị tiền tệ). 1.1. Bài toán lãi kép
• Giả sử một người gửi số tiền P0 vào một ngân hàng với
• Bảng ký hiệu
lãi suất s(%) trong thời gian t . Sau thời gian t thì người
Ký hiệu Ý nghĩa
đó có tổng số tiền là: P = P0 + sP0 = P0 (1 + s ).
Đơn giá (Price)
P
Q Số lượng (Quantity)
• Nếu chia khoảng thời gian t ra làm n khoảng bằng nhau
Doanh thu (Revenue)
R
s
Π Lợi nhuận (Profit) thì lãi suất mỗi khoảng là (%).
n
Chi phí (Cost)
C
Tổng số tiền cuối khoảng thời gian thứ nhất người đó có
Cầu (Demand)
D
s
s
được là: P = P0 + P0 = P0 1 + .
Cung (Supply)
S
Thuế (Tax) n
T n
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
• Người đó lại gửi tiếp số tiền có được vào ngân hàng thì VD 1. Đầu tháng 1 năm 2010, một người gửi 100 triệu
cuối khoảng thứ hai số tiền có được là: đồng ở 1 ngân hàng với lãi suất 8% trên một năm và
2
s s s s cuối năm 2010 tới nhận. Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi
P = P0 1 + + P0 1 + = P0 1 + .
n n n n
người đó nhận được trong các trường hợp sau:
1) Đầu năm gửi đến cuối năm đến nhận;
2) Mỗi tháng đến rút tiền và gửi lại;
Tiếp tục như vậy cho đến cuối kỳ thì tổng số tiền người
3) Mỗi ngày đến rút tiền và gửi lại;
n
s
P0 1 + .
4) Lãi kép liên tục.
đó có được là:
n Giải
• Nếu tăng số lần rút và gửi lên vô hạn lần thì sau khoảng 1) Lãi suất tiền gửi là s = 8% nên tổng số tiền người đó
thời gian t , tổng số tiền người đó có, được tính theo nhận được vào cuối năm là:
P = P0 (1 + s ) = 100(1 + 8%) = 108 (triệu đồng).
công thức lãi kép liên tục là:
P = P0es .
Toán cao c p C2 Cao đ ng 14
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
• Bài toán 2
1.2. Bài toán đánh thuế doanh thu
Tìm t để khi doanh nghiệp đạt mức lợi nhuận tối đa thì
Giả một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản
thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất.
phẩm. Gọi Q là sản lượng và P là giá bán 1 đơn vị sản
• Bài toán 3
phẩm. Biết hàm cầu của thị trường về loại sản phẩm
Tìm t để sản lượng hợp lý nhất của doanh nghiệp đạt
trên trong 1 đơn vị thời gian là QD (P ) = D(P ), tổng chi một mức tối thiểu hay tối đa.
phí là C = C (Q ) và tổng số thuế là T = T (t ) (với t là
Cách giải
mức thuế doanh thu định trên một đơn vị sản phẩm).
Bước 1. Từ hàm cầu ta tìm P theo Q .
Ta có 3 bài toán sau đây: Bước 2. Lập các hàm:
• Tổng thuế doanh nghiệp phải đóng là T = Qt ,
• Bài toán 1
Tìm mức sản lượng Q theo t để doanh nghiệp đạt mức doanh thu của doanh nghiệp là R = R(Q ) = PQ .
lợi nhuận tối đa sau thuế. Mức sản lượng này được gọi • Lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là:
là sản lượng hợp lý nhất của doanh nghiệp. Π = R − C − T (doanh thu “–” chi phí “–” thuế).
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
VD 2. Một doanh nghiệp (DN) sản xuất độc quyền 1 loại
Bước 3
sản phẩm. Biết hàm cầu của loại sản phẩm này và và
• Tìm mức sản lượng Q0 (t ) theo t để hàm Π đạt giá trị
hàm tổng chi phí sản xuất lần lượt là QD (P ) = 800 − P
lớn nhất (Bài toán 1).
và C = Q 2 + 200Q + 100 .
• Từ Q0 (t ) tìm được, ta tìm t để hàm T đạt giá trị lớn 1) Nếu biết mức thuế doanh thu định trên một đơn vị sản
phẩm là t thì DN sẽ ấn định sản lượng như thế nào để
nhất (Bài toán 2).
lợi nhuận sau thuế là lớn nhất ?
• Giải Q0 (t ) ≥ Q hay Q0 (t ) ≤ Q với Q là mức sản lượng 2) Khi DN đạt lợi nhuận sau thuế lớn nhất, hãy tìm mức
thuế doanh thu t áp trên một đơn vị sản phẩm để tổng
tối thiểu hay tối đa (Bài toán 3).
thuế thu được từ DN này là lớn nhất ?
3) Nhu cầu xã hội cần có tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm
của DN này. Vậy mức thuế doanh thu chỉ được áp tối
đa là bao nhiêu ?
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
VD 1. Một DN sản xuất một loại sản phẩm trong điều
§2. BÀI TOÁN TÌM MỨC SẢN LƯỢNG ĐỂ
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá của sản phẩm trên thị
DOANH NGHIỆP ĐẠT LỢI NHUẬN TỐI ĐA
trường là P = 130 (đơn vị tiền) và tổng chi phí để sản
(Cực đại hóa lợi nhuận theo sản lượng)
xuất ra Q (Q > 1) đơn vị sản phẩm là:
1
2.1. Sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
C = Q 3 − Q 2 + 10Q + 20 .
3
a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận DN đạt cực đại ?
Trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo thì giá bán do thị
trường quyết định và không phụ thuộc vào mức sản b) Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm
lượng của DN. Khi đó, tổng doanh thu là R = PQ và
Giả sử một DN sản xuất hai loại sản phẩm trong điều
hàm lợi nhuận là Π = R − C . kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá bán của các sản phẩm
Ta tìm mức sản lượng Q để hàm Π đạt cực đại.
là P1 , P2 ; hàm tổng chi phí phụ thuộc vào mức sản lượng
Q1 , Q2 là C = C (Q1 ,Q2 ).
Toán cao c p C2 Cao đ ng 15
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
Tìm mức sản lượng tương ứng của từng sản phẩm mà Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm mà DN cần
DN cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa. sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?
Cách giải
2.2. Sản xuất trong điều kiện độc quyền
Bước 1. Lập các hàm doanh thu và lợi nhuận của DN:
a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
R = PQ1 + P2Q2 và Π = R − C .
1
• Trong điều kiện sản xuất độc quyền thì giá P của sản
* *
Bước 2. Tìm mức sản lượng dương Q1 , Q2 để hàm lợi
phẩm do DN quyết định. Lượng cầu QD do người tiêu
nhuận Π đạt cực đại.
dùng quyết định lại phụ thuộc vào P .
VD 2. Một DN sản xuất hai loại sản phẩm trong điều
Ta có quan hệ hàm QD = QD (P ).
kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai sản phẩm này trên
thị trường là P1 = 450 , P2 = 630 (đơn vị tiền).
• Muốn tiêu thụ hết sản phẩm, nghĩa là Q = QD (P ), thì
Biết hàm tổng chi phí là:
−
DN phải ấn định mức giá P = QD 1(Q ) = P (Q ).
2 2
C (Q1,Q2 ) = Q1 + Q1Q2 + Q2 + 210Q1 + 360Q2 + 100 .
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
b) Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm
Hàm tổng doanh thu và lợi nhuận của DN lúc này là:
Giả sử một DN sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với
R(Q ) = P (Q ).Q và Π = R(Q ) − C (Q ).
sản lượng Q1 , Q2 . Biết hàm cầu của thị trường về hai loại
• Từ Π = R(Q ) − C (Q ), ta tìm được mức sản lượng cần sản phẩm này là QD = D1(P1, P2 ), QD = D2 (P1, P2 ) và
sản xuất và giá bán để DN có được lợi nhuận tối đa. 1 2
hàm tổng chi phí là C = C (Q1,Q2 ).
Tìm mức sản lượng của hai loại sản phẩm trên mà DN
VD 3. Một DN sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm. cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa ?
Biết hàm cầu về loại sản phẩm này là QD = 1200 − P và Cách giải
hàm tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là: Bước 1. Khi DN định giá bán để bán hết sản phẩm thì:
D1(P1, P2 ) = Q1 , D2(P1, P2 ) = Q2 (*).
C = 0,25Q 3 − 30, 625Q 2 + 1528, 5Q + 20000 .
Tìm mức sản lượng và giá bán để DN có Π cực đại ? Giải hệ (*) ta được:
P1 = P1(Q1,Q2 ), P2 = P2(Q1,Q2 ).
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
Chú ý
Bước 2. Lập các hàm doanh thu và lợi nhuận của DN:
R = P1(Q1,Q2 ).Q1 + P2 (Q1,Q2 ).Q2 và Π = R − C . Trường hợp DN sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm
nhưng được tiêu thụ ở 2 thị trường tách biệt. Biết hàm
Bước 3. Từ hàm Π = R − C , ta tìm các giá trị dương Q1* cầu của từng thị trường là QD = D1(P1 ), QD = D2 (P2 )
và Q2 để Π đạt cực đại.
* 1 2
thì ta vẫn giải như trên với Q = Q1 + Q2 .
VD 4. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản VD 5. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản
phẩm. Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm này là: phẩm và có 2 thị trường tiêu thụ tách biệt. Biết hàm cầu
QD = 1200 − 2P1 + P2 , QD = 1440 + P1 − P2 về loại sản phẩm này trên 2 thị trường lần lượt là:
1 2
QD = 310 − P1, QD = 350 − P2
và hàm tổng chi phí sản xuất là: 1 2
C = C (Q1,Q2 ) = 480Q1 + 720Q2 + 400 .
và hàm tổng chi phí là C = C (Q ) = 20 + 30Q + Q 2 .
Tìm mức sản lượng và giá bán tương ứng mà DN cần Tìm mức sản lượng và giá bán tương ứng trên mỗi thị
sản xuất để có lợi nhuận tối đa ? trường để DN có lợi nhuận tối đa ?
Toán cao c p C2 Cao đ ng 16
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010
dvntailieu.wordpress.com
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
VD 1. Một người tiêu dùng dùng số tiền là B = 178 để
§3. BÀI TOÁN NGƯỜI TIÊU DÙNG
TÌM ĐẦU VÀO SAO CHO CHI PHÍ SẢN XUẤT NHỎ NHẤT mua sắm 2 loại hàng có giá là P1 = 4, P2 = 6.
3.1. Bài toán người tiêu dùng
Hàm lợi ích cho 2 loại hàng là U = (x + 2)(y + 1).
• Giả sử một người tiêu dùng dự định dùng số tiền là B
Tìm số lượng x , y của hai loại hàng trên mà người tiêu
để mua sắm 2 loại hàng có giá là P1 , P2 với số lượng
dùng sẽ mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất ?
hàng sẽ mua lần lượt là x và y .
Giải. Ta có: P1x + P2y = B ⇒ ϕ(x , y ) = 4x + 6y − 178
• Người tiêu dùng sẽ nhận được lợi ích từ số hàng đã
⇒ L = (x + 2)(y + 1) + λ(4x + 6y − 178).
mua. Lợi ích này là một hàm phụ thuộc vào lượng hàng
người đó mua và được gọi là hàm lợi ích hay hữu dụng
L ′ = y + 1 + 4λ = 0 x = 22
(utility function), ký hiệu là U = U (x, y ). x
L ′ = x + 2 + 6λ = 0
⇔ y = 15 .
Điểm dừng: y
• Tìm số lượng các loại hàng trên mà người tiêu dùng sẽ
L ′ = 4x + 6y − 178 = 0 λ = −4
mua sao cho giá trị sử dụng lớn nhất là tìm điểm cực đại λ
của hàm U (x , y ) với điều kiện P1x + P2y = B .
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
3.2. Bài toán tìm đầu vào để chi phí sản xuất nhỏ nhất
Vi phân cấp 2:
′′ ′′ ′′
Lx 2 = 0, Lxy = 1, Ly 2 = 0 ⇒ d 2L(22; 15) = 2dxdy . • Giả sử một DN sản xuất một loại sản phẩm cần 2 đầu
vào với đơn giá tương ứng là P1 , P2 cố định.
Điều kiện: d ϕ(x , y ) = 4dx + 6dy
⇒ d ϕ(22; 15) = 0 ⇔ 4dx + 6dy = 0 • Để có được mức sản lượng Q thì DN cần số lượng đầu
vào tương ứng là x và y . Ta có hàm sản xuất
⇔ 2dx = −3dy ≠ 0
Q = Q(x , y ) và chi phí là C (x , y ) = P1x + P2y .
⇒ d 2L(22; 15) = −3dy 2 < 0
• Tìm số lượng đầu vào (x , y ) để DN sản xuất Q sản
⇒ (22; 15) là điểm cực đại.
phẩm với tổng chi phí bé nhất là tìm điểm cực tiểu của
hàm C (x , y ) = P1x + P2y với điều kiện Q(x , y ) = Q .
Vậy x = 22 và y = 15 đơn vị hàng hóa.
Chương 4. M t s bài toán Kinh t Chương 4. M t s bài toán Kinh t
Ch 4. Ch 4.
′′ ′′ ′′
Vi phân cấp 2: Lx 2 = 0; Lxy = −1; Ly 2 = 0
VD 2. Một DN sản xuất một loại sản phẩm cần lượng
đầu vào (x , y ) với đơn giá là P1 = 10 , P2 = 40 . Biết
( )
⇒ d 2L 40; 10 = −2dxdy .
hàm sản xuất Q(x , y ) = 10 xy . Tìm số lượng đầu vào
Điều kiện: d ϕ(x , y ) = ydx + xdy
để DN sản xuất 200 sản phẩm với tổng chi phí bé nhất ?
( )
⇒ d ϕ 40; 10 = 0 ⇔ dx = −4dy ≠ 0
Giải. Hàm sản xuất: 10 xy = 200
⇒ xy = 400 ⇒ ϕ(x , y ) = xy − 400 .
( )
⇒ d 2L 40; 10 = 8dy 2 > 0
Hàm chi phí: C (x , y ) = P1x + P2y = 10x + 40y .
( )
⇒ 40; 10 là điểm cực tiểu.
⇒ L = 10x + 40y + λ(xy − 400).
L ′ = 10 + λy = 0 x = 40
x Vậy x = 40 và y = 10 đơn vị đầu vào.
L ′ = 40 + λx = 0 ⇔ y = 10 .
Điểm dừng: y
…………………………………………………
′
Lλ = xy − 400 = 0 λ = −1
Toán cao c p C2 Cao đ ng 17
nguon tai.lieu . vn
