- Trang Chủ
- Toán học
- Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 2 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCM
Xem mẫu
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
CHƯƠNG III
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
I. Nguyên hàm và tích phân bất định
1. Định nghĩa nguyên hàm
Hàm F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên
def
miền D ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D .
Chú ý: Họ hàm F ( x ) + C , ∀C = const cũng là nguyên hàm
của hàm f ( x ) trên miền D.
VÍ DỤ 1
x3
Cho hàm f ( x ) = x 2 , họ các nguyên hàm là F ( x ) = +C.
3
Định lý
Mọi hàm f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] thì có
nguyên hàm trên đoạn đó.
2. Định nghĩa tích phân bất định
()
Tích phân bất định của hàm f x trên D là
F ( x ) + C, ∀C = const với F ( x ) là một nguyên hàm của
hàm f ( x ) .
def
Ký hiệu là ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) .
3. Các tính chất của tích phân bất định
TC1: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) hay d ⎡⎣ ∫ f ( x )dx ⎤⎦ = f ( x )
TC 2 : ∫ dF ( x ) = F ( x ) vaø ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
73
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
TC 3 : ∫ Cf ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx
TC 4 : ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
TC 5 : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt
TC 6 : ∫ f ( u ) du = F (u) + c; vôùiu = u( x )
4. Bảng các tích phân cơ bản
1) ∫ adx = ax + c 1') ∫ adu = au + c ; u=u(x)
x α +1 uα +1
2)∫ x dx =
α
+c 2')∫ u du =
α
+c
(1 + α ) 1+α
1 1
3) ∫ dx = ln x + c 3') ∫ du = ln u + c
x u
4)∫ e x dx = e x + c 4 ') ∫ e u du = e u + c ;
5)∫ sin xdx = − cos x + c 5')∫ sin udu = − cos u + c
6) ∫ cos xdx = sin x + c 6') ∫ cos udu = sin u + c
1 1
7) ∫ dx = tgx + c 7') ∫ du = tgu + c
cos2 x cos2 u
dx du
8) ∫ = arcsin x + c 8') ∫ = arcsin u + c
1 − x2 1 − u2
dx du
9) ∫ = arctgx + c 9') ∫ = arctgu + c
1 + x2 1 + u2
dx x du u
10)∫ = ln tg + c 10')∫ = ln tg + c
sin x 2 sin u 2
dx x π du u π
11)∫ = ln tg( + ) + c 11')∫ = ln tg( + ) + c
cos x 2 4 cos u 2 4
74
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
dx 1 x
12) ∫ = arctg + c 12 ')∫ 2 du 2 = 1 arctg u + c
x +a2 2
a a u +a a a
dx du
13) ∫ 2 = − cot gx + c 13')∫ 2 = − cot gu + c
sin x sin u
cos ax
14)∫ eα x dx = α −1eα x + c 15) ∫ sin axdx = − +c
a
sin ax
16)∫ cos axdx = +c
a
dx 1 x−a
17) ∫ 2 = ln + C.
( x − a ) 2a x + a
2
II. Các phương pháp tính tích phân bất định
1) Phương pháp đổi biến số
* Neáu x = ϕ t , ( ) ϕ ( t ) laø haøm khaû vi ñôn ñieäu thì
∫ f ( x ) dx = ∫ f (ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) dt
* Neáu ñaët t = ψ ( x ) , ψ ( x ) laø haøm khaû vi, khi ñoù
∫ f (ψ ( x ) ) .ψ ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt.
sin 3 x
VÍ DỤ 2 Tính tích phân sau: I = ∫ dx
3
x2
BÀI GIẢI
Đặt t = 3
x ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt vaø 3
x2 = t2
sin 3 x 3t 2 .sin t
I =∫ dx = ∫ dt
3
x2 t2
= 3∫ sin tdt = −3cos t + C = −3cos 3 x + C
75
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
2) Phương pháp tích phân từng phần
Định lý
Nếu u ( x ) ; v ( x ) là các hàm khả vi thì khi đó
∫ udv = uv − ∫ vdu
Chú ý: Khi sử dụng tích phân từng phần chúng ta nên biến đổi
trực tiếp chọn u, v sao cho dễ tìm.
VÍ DỤ 3 Tính I = ∫ e sin 2 xdx
3x
⎧ du = 3e 3 x dx
⎧u = e3x
⎪
⎨ ⇒⎨ 1
⎩ dv = sin 2 xdx ⎪v = − cos 2 x
⎩ 2
1 3x
I = − ⎡⎣ e cos 2 x − ∫ 3e cos 2 xdx ⎤⎦
3x
2
1⎡ 3 ⎤
= − ⎢ e 3 x cos 2 x − ∫ e 3 x d sin 2 x ⎥
2⎣ 2 ⎦
1⎡ 3 ⎤
= − ⎢ e 3 x cos 2 x − ( e 3 x sin 2 x − 3∫ e 3 x sin 2 xdx ) ⎥
2⎣ 2 ⎦
1 3 9
= − e 3 x cos2 x + e 3 x sin 2 x − ∫ e 3 x .sin 2 xdx
2 4 4
I
⎛ 9⎞ 1 3x 3 3x
Vậy: ⎜ 1 + ⎟ I = − e cos2 x + e sin 2 x + C
⎝ 4⎠ 2 4
4
⇒ I = e 3 x ( −2 cos2 x + 3sin 2 x ) + C '
13
VÍ DỤ 4 Tính I = ∫ arctgxdx
76
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
I = ∫ arctgx dx = x.arctgx − ∫ xd ( arctgx )
dv
u
1 d (1 + x )
2
x
= x.arctgx − ∫ 2 dx = x.arctgx − ∫
x +1 2 1 + x2
1
= x.arctgx − ln (1 + x 2 ) + C.
2
Chú ý: Có các dạng để sử dụng công thức tích phân từng phần
sau
sin ( ax + b )
a) ∫ P ( x ) . cos ( ax + b ) . dx
u
e ax +b
dv
ln ( ax + b )
b) ∫ P ( x ) . arctgx; arc cot gx . dx
v' arcsin x; arccos x
u
trong ñoù P ( x ) laø haøm ña thöùc hoaëc haøm muõ.
VÍ DỤ 5 Tính trong trường hợp tổng quát
a) I = ∫ e sin bxdx vaø J = ∫ e ax cos bxdx
ax
b) I = ∫ sin ( ln x ) dx vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx
Đáp số
77
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
e ax
a) I = ∫ e sin bxdx = 2
ax
( a sin bx − b cos bx ) + C
a + b2
e ax
vaø J = ∫ e ax cos bxdx = 2 ( b sin bx + a cos bx ) + C
a + b2
x
b) I = ∫ sin ( ln x ) dx = ⎡sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ⎤⎦ + C
dv 2⎣
u
x
vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx = ⎡sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ⎤⎦ + C
2⎣
III. Tích phân một số hàm sơ cấp
1. Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ
Pn ( x )
Cho hàm phân thức f ( x ) = là hàm phân thức thực
Qm ( x )
sự nếu n < m, là hàm phân thức không thực sự nếu m ≥ n.
A
Dạng I: ∫ x − a dx = A ln x − a + C
DạngII:
A 1
dx = A ∫ ( x − a ) dx
−m
∫ dx = A ∫
( x − a) ( x − a)
m m
A ( x − a)
1− m
=
1− m
+C ( ∀m ≠ 1)
Mx + N
Dạng III Tính ∫x 2
+ px + q
dx (Δ = p 2
− 4q < 0 )
78
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
Ta bieán ñoåi nhö sau :
2
⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞
x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟
2
⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠
⎧ p p
⎪⎪t = x + 2 ⇒ x = t − 2 vaø dx = dt
Ñaët : ⎨
⎪a2 = q − p
2
⎪⎩ 4
⎛ p⎞ ⎛ Mp ⎞
M⎜t − ⎟ + N Mt + ⎜ N −
Mx + N ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
∫ x 2 + px + q dx = ∫ t 2 + a2 dt = ∫ dt
( ) t 2 + a2
Mt ⎛ Mp ⎞ dt M dt 2 ⎛ Mp ⎞ dt
=∫ dt + ⎜ N − ⎟ ∫ = ∫ +⎜ N − ⎟ ∫
t +a
2 2
⎝ 2 ⎠ t +a
2 2
2 t +a ⎝
2 2
2 ⎠ t + a2
2
M ⎛ Mp ⎞ 1 t
= ln ( t 2 + a 2 ) + ⎜ N − ⎟ .arctg + C
2 ⎝ 2 ⎠a a
Vậy
Mx + N
∫ (x dx
2
+ px + q )
M 2 N − Mp 2x + p
= ln ( x 2 + px + q ) + .arctg +C.
2 4q − p 2 4q − p 2
Vận dụng
3 3
3x + 1 (2 x + 1) − 3 d ( x 2 + x + 1) 3 dx
2 2
∫ x + x +1
2
dx = ∫
x + x +1
2
dx = ∫ 2
2 x + x +1
− ∫ 2
2 x + x +1
79
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
Định lý
Mọi đa thức bậc n với hệ số thực
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 +.......+ an-1xn-1 + anxn ( an ≠ 0) luôn
luôn phân tích được thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất
và tam thức bậc hai không có nghiệm thực (trong đó có thể có
những thừa số trùng nhau). Nghĩa là:
Pn ( x ) = an ( x − a ) ( x − b ) . . . ( x 2 + px + q ) . . .(α + β + . . . + θ = n )
α β θ
Khi đó mọi hàm phân thức Pn ( x ) có thể phân tích được thành
Qm ( x )
tổng của những phân thức tối giản.
Pn ( x ) A A1 Bx + C
= α + α −1 + . . . + θ + . ..
Qm ( x ) ( x − a ) ( x − a ) ( x 2
+ px + q )
Việc lấy tích phân ở vế trái thì ta đưa về việc lấy tổng các tích
phân của các phân thức tối giản ở vế phải.
1
VÍ DỤ 6 Tính I = ∫ dx
( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 3)
BÀI GIẢI
1 A B Cx + D
Ta có = + + 2
( x − 1)( x + 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 1) x + 3
2
=
(A + B + C)x 3
+ ( A − B + D ) x 2 + ( 3 A + 3 B − C ) x + ( 3 A − 3B − D )
( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 3)
Đồng nhất hệ số ta được
⎧A + B + C = 0 ⎧ 1 1
⎪A − B + D = 0
⎪ ⎪⎪ A = 8 B=−
8
⇒⎨ ⇒⎨
⎪3 A + 3B − C = 0 ⎪C = 0 D=−
1
⎪⎩3 A − 3B − D = 1 ⎩⎪ 4
80
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
Vậy
1 1 1 dx 1 dx
I= ∫ dx − ∫ − ∫ 2
8 x −1 8 x +1 4 x + 3
⎛ x ⎞
d⎜ ⎟
1 1 1 ⎝ 3⎠
= ln x − 1 − ln x + 1 − ∫
8 8 4 3 ⎛ x ⎞
2
⎜ ⎟ +1
⎝ 3⎠
1 x −1 1 x
= ln − arctg + C.
8 x +1 4 3 3
x2 + 1
VÍ DỤ 7 Tính I = ∫ dx
( x − 1) ( x + 3)
3
BÀI GIẢI
Ta có
x2 + 1 A B C D
= 3 + 2 + +
( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 3)
3
1 3 5 5
Đáp số A= B= C= D=−
2 8 32 32
Vậy
x2 + 1
I =∫ dx
( x − 1) ( x + 1)
3
1 dx 3 dx 5 dx 5 dx
= ∫ + ∫ + ∫ − ∫
2 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32 ( x − 1) 32 x + 3
3 2
1 3 5 x −1
=− 2 − + ln +C .
4 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32 x + 3
81
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
2. Tích phân các hàm lượng giác
Dạng I: Lấy tích phân của hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) là
hàm hữu tỷ theo sin và cos thì phương pháp chung đặt
x 2dt
t = tg ( −π < x < π ) ⇒ dx = d ( 2arctgt ) =
2 1 + t2
Các công thức lượng giác cần nhớ
2t 1 − t2
sin x = ; cos x = ;
1 + t2 1 + t2
dx dx
VÍ DỤ 8 Tính I = ∫ vaø J = ∫
sin x cos x
BÀI GIẢI
x
Đặt t = tg ( −π < x < π )
2
2dt 2t
⇒ dx = d ( 2arctgt ) = và sin x =
1 + t2 1 + t2
dx 1 + t2 2 du x
I =∫ =∫ . dt = ∫ = ln u + C = ln tg + C.
sin x 2t 1 + t 2
u 2
Tương tự
dx ⎛π x ⎞
J=∫ = ln tg ⎜ + ⎟ + C
cos x ⎝ 4 2⎠
dx
VÍ DỤ 9 Tính I = ∫
4sin x + 3cos x + 5
82
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
x
Ta đặt t = tg ( −π < x < π )
2
2dt
⇒ dx = d ( 2arctgt ) =
1 + t2
dx
I =∫
4sin x + 3cos x + 5
2
1 + t2 2
=∫ dt = ∫ dt
4.
2t
+ 3.
( ) +5
1 − t 2
2 t 2
+ 8t + 8
1+ t 2
1 + t2
dt 1 1
=∫ =− +C= − + C.
(t + 2)
2
t+2 x
tg + 2
2
Trường hợp đặc biệt
• Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) lẻ theo hàm cosx thì
đặt t = sin x
• Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) lẻ theo hàm sinx thì
đặt t = cos x
• Nếu hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) chẵn theo hàm sinx;
cosx thì đặt t = tgx hoaë c t = cot gx
VÍ DỤ 10 Tính I = ∫ sin x cos xdx .
2 3
BÀI GIẢI
Ta nhận thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx
nên ta đặt:
83
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
1
t = sin x ⇒ x = arcsin t ⇒ dx = dt
1 − t2
Suy ra
I = ∫ sin 2 x cos3 xdx = ∫ t 2 (1 − t 2 ) dt = ∫ ( t 2 − t 4 ) dt
t3 t5 sin3 x sin 5 x
= − +C = − +C
3 5 3 5
dx
VÍ DỤ 11 Tính I = ∫
sin x.cos2 x
Hướng dẫn giải
Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx (không phải là
hàm lẻ của cos2x) nên ta đặt
1
t = cos x ⇒ x = arccos t ⇒ dx = − dt
1 − t2
dx
VÍ DỤ 12 Tính I = ∫
sin x cos2 x
4
Hướng dẫn giải
Ta nhận thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx
và cosx nên ta đặt:
1
t = tgx ⇒ x = arc tgt ⇒ dx = dt
1 + t2
2 1
Đáp số I = tgx − − + C.
tgx 3tg3 x
Dạng 2 Tích phân dạng tích ta luôn phải đưa về dạng tổng
I = ∫ sin ax sin bxdx; J = ∫ sin ax cos bxdx; K = ∫ cos ax cos bxdx
Sử dụng công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng:
84
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
1
cosx.cos y = ⎡⎣ cos ( x − y ) + cos ( x + y ) ⎤⎦
2
1
sinx.sin y = ⎡⎣ cos ( x − y ) − cos ( x + y ) ⎤⎦
2
1
sinx.cos y = ⎡⎣sin ( x − y ) + sin ( x + y ) ⎤⎦
2
VÍ DỤ 13 Tính I = ∫ sin 2 x.cos5 xdx
BÀI GIẢI
1 1
sin 2 x cos5 x = [sin(2 x − 5 x ) + sin(2 x + 5x )] = [ − sin 3x + sin 7 x ]
2 2
1⎡ 1 1 1 1
I= − ∫ sin 3xdx + ∫ sin 7 xdx ⎤ = . cos 3x − . cos 7 x + c
2⎣ ⎦ 2 3 2 7
3. Tích phân các hàm vô tỷ
Các hàm vô tỷ có dạng
( )
I = ∫ R x , α 2 − x 2 dx hoaëc J = ∫ R x , x 2 − α 2 dx ( )
* Nếu ∫ R ( x, x 2 + α 2 dx ) thì đặt
α
x = α .tgt ⇒ dx = dt = α (1 + tg2t ) dt
cos t 2
* Nếu ∫ R ( x, x 2 − α 2 dx ) thì đặt
α α
x= hoaë c x =
cos t sin t
⎡ x = α sin t
∫ R ( x, α − x 2 dx )
2
* Nếu thì đặt ⎢ x = α cos t.
⎣
85
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
* Nếu ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx) a≠0
+ Nếu a > 0 đặt ax 2 + bx + c = t ± ax
+ Nếu c > 0 đặt ax + bx + c = tx ± c
2
+ Nếu ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm là:
2
a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0
thì ta đặt ax 2 + bx + c = t ( x − x1 )
a2 − x 2
VÍ DỤ 14 Tính I = ∫ dx ( a > 0)
x
BÀI GIẢI
π π
Đặt x = a sin t vôù i − ≤t≤
; ⇒ dx = a cos tdt
2 2
vaø a2 − x 2 = a2 − a2 sin 2 t = a cos t = a cos t
a2 − x 2 cos2 t 1 − sin 2 t
I =∫ dx = ∫ a. dt = a ∫ dt
x sin t sin t
⎡ dt ⎤ t
I = a ⎢∫ − ∫ sin tdt ⎥ = a ln tg + a cos t + C
⎣ sin t ⎦ 2
Ta trở lại biến x ta có
x x2 a2 − x 2
x = a sin t ⇒ sin t = ⇒ cos t = 1 − 2 =
a a a
và
a2 − x 2
1−
t 1 − cos t a a − a2 − x 2
tg = = = .
2 sin t x x
a
86
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
Vậy
a2 − x 2 a − a2 − x 2
I =∫ dx = a ln + a2 − x 2 + C .
x x
Các tích phân cần nhớ
dx x
a) ∫ = arcsin + C
a2 − x 2 a
x 2 a2 x
b) ∫ a − x dx =
2
a − x + arcsin + C .
2 2
2 2 a
dx
c) ∫ = ln x + x 2 ± a2 + C
x 2 ± a2
d)
x 2 a2
∫ x ± a dx =
2
x ± a + ln x + x 2 ± a2 + C
2 2
2 2
dx 1 ⎡ x 1 x⎤
e) ∫ = 2 ⎢ 2
+ arctg ⎥ + C.
(x + a2 ) 2a ⎣ x + a a a⎦
2 2
2
87
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. Định nghĩa tích phân xác định
1. Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm f ( x ) xác định, liên tục trên [ a, b] . Xét hình
thang cong aABb. Ta chia đoạn [ a, b ] thành n đoạn nhỏ bởi
các điểm chia:
x0 ≡ a < x1 < x2 < . . . < xi −1 < xi < . . . < xn ≡ b.
( xi tuyø choïn ) (phép chia này còn gọi là phép phân hoạch).
• Đặt: Δxi = xi − xi −1 ( ∀i = 1, n )
• Hàm f ( x ) xác định và liên tục trên [ a, b ] nên đạt giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ xi −1 , xi ] lần lượt là:
Mi = max { f ( x )} , mi = min { f ( x )}
x∈[ xi−1 , xi ] x∈[ xi−1 , xi ]
⇒ mi ≤ f (ξ i ) ≤ Mi , ∀ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]; ∀i = 1, n
⇒ mi Δxi ≤ f (ξi ) Δxi ≤ Mi Δxi , ∀ξi ∈ [ xi −1 , xi ]; ∀i = 1, n
n n n
⇒ ∑ m Δx ≤ ∑ f (ξ ) Δx ≤ ∑ M Δx
i i i i i i
, ∀ξi ∈ [ xi −1 , xi ]
i =1 i =1 i =1
S Sn S
Ta gọi S , S được gọi là tổng trên và tổng dưới
Ta sẽ lấy giới hạn cả 3 vế khi n → ∞ , và max Δxi → 0
n n
lim
n →∞
∑ m Δx
i =1
i i
:= S và lim
n →∞
∑ M Δx
i =1
i i
:= S
max Δxi → 0 max Δxi → 0
Do đó theo giới hạn kẹp ta có
n
lim
n →∞
∑ f (ξ ) Δx
i =1
i i
:= S ( S höõu haï n )
max Δxi → 0
88
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
S được gọi là diện tích của hình thang cong aABb.
n →∞
Chú ý Tổng Sn → S đồng thời kéo theo max Δxi → 0
Giới hạn trên không phụ thuộc vào cách phân hoạch (hay cách
chia đoạn [ a, b ] bởi các điểm chia xi ) và cách chọn điểm
ξi ∈ [ xi −1 , xi ] .
2. Định nghĩa
Cho hàm f ( x ) xác định, trên [ a, b] , chia đoạn [ a, b]
thành n đoạn nhỏ bởicác điểm chia:
x0 ≡ a < x1 < x2 < . . . < xi −1 < xi < . . . < xn ≡ b.
( xi tuyø choïn ) Phép chia này còn gọi là phép phân hoạch.
• Đặt: Δxi = xi − xi −1 ; lấy ξi ∈ [ xi −1 , xi ] ; (∀i = 1, n )
n
• Lập tổng tích phân I n = ∑ f (ξ ) Δx
i =1
i i
• Khi đó giới hạn lim I n = I , S được gọi là tích phân xác
n →∞
b
định của hàm f ( x ) trên [ a, b ] , và ta ký hiệu: I = ∫ f x dx ( )
a
và lúc đó ta nói hàm f ( x ) khả tích trên [ a, b ] .
3. Các tính chất của tích phân xác định
a) Hàm f ( x ) có một số hữu hạn các điểm gián đoạn loại I
trên đoạn [ a, b ] thì khả tích trên đoạn đó.
b) Nếu hàm f ( x ) và g ( x ) khả tích trên [ a, b] và
α, β ∈ R thì:
b b b
∫ ⎡⎣α f ( x ) + β g ( x ) ⎤⎦ dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx
a a a
89
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
b a
c) ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
a b
d) Nếu hàm f ( x ) và g ( x ) khả tích trên [ a, b ] và
b b
f ( x ) ≥ g ( x ) ; ∀x ∈ [ a, b ] thì: ∫ g ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx
a a
b c b
e) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, ∀c ∈ [ a, b ] .
a a c
4. Định lý giá trị trung bình
Nếu hàm f ( x ) liên tục, khả tích trên [ a, b] thì
b
∃c ∈ [ a, b ] sao cho: ∫ f ( x ) dx = f ' ( c )( b − a )
a
a
Chú ý *Nếu hàm số f ( x ) là hàm lẻ thì ∫ f ( x ) dx = 0
−a
a a
*Nếuhàmsố f ( x ) là hàm chẵn thì ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx
−a 0
II. Công thức Newton – Leibnitz)
Định lý
Nếu hàm f ( x ) liên tục, khả tích trên [ a, b ] và F ( x ) là
nguyên hàm của nó thì
b
∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
b
a
VÍ DỤ 1
2 2
⎛ x3 ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 16
∫1 ( x 2
+ 3 ) dx = ⎜ 3 + 3 x ⎟ = ⎜ 3 + 3.2 ⎟ − ⎜ 3 + 3.1⎟ = 3
⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
90
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
III. Các phương pháp tính tích phân xác định
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1 (Đổi biến x = ϕ ( t ) )
b
Xét tích phân ∫ f ( x ) dx với f ( x ) liên tục trên [ a, b ]
a
Giả sử thực hiện phép đổi biến x = ϕ ( t ) thoả mãn:
i) ϕ ( t ) coù ñaïo haøm lieân tuïc ⎡⎣α , β ⎤⎦
ii) ϕ ( a ) = α ; ϕ ( b ) = β
iii) Khi t bieán thieân ⎡⎣α , β ⎤⎦ thì x = ϕ ( t ) bieán thieân ⎡⎣ a, b ⎤⎦
b β
Khi ñoù : ∫ f ( x ) dx = α∫ f ⎡⎣ϕ ( t )⎤⎦ ϕ ' ( t ) dt
a
dx
VÍ DỤ 2 Cho
π π
2 2
I n = ∫ cos xdx vaø J n = ∫ sin n xdx ( ∀n ∈
n
)
0 0
Hãy chứng minh rằng: I n = Jn
Chứng minh
π
Thật vậy ta đặt x = − t ⇒ cos x = sin t vaø dx = −dt
2
π π
Đổi cận x = 0 → t = ; x= →t =0
2 2
Khi đó
π π
2
⎛π
0
⎞ 2
I n = ∫ cosn xdx = − ∫ cosn ⎜ − t ⎟ dt = ∫ sin n tdt = J n ; ( ∀n ∈ )
0 π ⎝2 ⎠ 0
2
91
- TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
3
VÍ DỤ 3 Tính I = ∫ 9 − x dx
2
0
BÀI GIẢI
Đặt x = 3sin t ⇒ dx = 3cos tdt
x =0⇒t =0
π
x = 3 ⇒ 3sin t = 3 ⇒ t =
2
π π
2 2
I= ∫ 9 − 9sin t .3cos tdt = 9 ∫ cos2 tdt
2
0 0
π π
1 + cos 2t ⎛ t sin 2t ⎞ 2 9π
2
I =9∫ dt =9 ⎜ + ⎟ =
0
2 ⎝2 4 ⎠0 4
Định lý 2 (Đổi biến t = ϕ ( x ) )
b
Xét tích phân ∫ f ( x ) dx với f ( x ) liên tục trên [ a, b ]
a
.
Giả sử thực hiện phép đổi biến t = ϕ ( x ) thỏa mãn:
i) ϕ ( t ) bieán thieân ñôn ñieäu ngaët vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc ⎡⎣α , β ⎤⎦
ii) f ( x ) dx trôû thaønh g ( t ) dt ; g ( t ) laø moät haøm soá lieân tuïc
trong khoaûng ñoùng ⎡⎣ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ⎤⎦ thì :
b ϕ (b)
∫ f ( x ) dx = ϕ ∫ g ( t ) dt
a ( a)
1
dx
VÍ DỤ 3 Tính I = ∫x 2
− 2 x cosα + 1
( ∀α ∈ ( 0,π ) )
−1
BÀI GIẢI
92
nguon tai.lieu . vn
