Xem mẫu
- CHƯƠNG BẢY
TÍCH PHÂN
Mục lục
7.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§7.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
7.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÍNH
Định nghĩa 7.1. Hàm F pxq trong khoảng X đã cho là nguyên hàm của hàm f pxq, nếu x P X
ta có F 1 pxq f pxq.
Ví dụ 7.1. : sin x là một nguyên hàm của hàm cos x vì psin xq1 cos x.
: x3 x là một nguyên hàm của hàm 3x2 1 vì px3 xq1 3x2 1.
Nếu F pxq là một nguyên hàm của hàm f pxq trong X thì F pxq C với C là hằng số cũng
là nguyên hàm của f pxq. Ngược lại, như đã biết trong chương trước, nếu hai hàm F pxq và
Gpxq có cùng đạo hàm f pxq trong X thì hai hàm F pxq và Gpxq sai khác nhau một hằng số:
Gpxq F pxq C. Vậy nếu biết một nguyên hàm F pxq của hàm f pxq trong X thì mọi nguyên
hàm của f pxq phải có dạng F pxq C. Biểu thức này được gọi là tích phân bất định của
hàm f pxq trong X và ta ký hiệu:
»
f pxq dx F pxq C
Từ các tính chất của đạo hàm và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản trong chương trước, ta
có các tính chất của tích phân bất định và bảng các tích phân cơ bản sau:
Tính chất:
³ 1
1. f pxq dx f pxq
³ ³
2. Cf pxq dx C f pxq dx C là hằng số.
- 7.1 Tích phân bất định 89
rf pxq gpxqs dx f pxq dx gpxq dx
³ ³ ³
3.
Bảng các tích phân bất định cơ bản:
xn 1
xn dx C pn 1q, dx ln |x|
³ ³ 1
1. C
n 1 x
dx arctan x
³ 1
2. C
1 x2
dx
³ 1 1 1 x
3.
1 x2 2 1 x
ln C
4.
³
? 1
dx arcsin x C
1 x2
?
? 1
dx ln x x2 1
³
5. C
x2 1
ax
ax dx C, pa ¡ 0, a 1q; ex dx ex C
³ ³
6.
ln a
cos x dx sin x sin x dx cos x
³ ³
7. C, C
dx tan x dx cot x
³ 1 ³ 1
8. C, C
cos2 x sin2 x
sinh x dx cosh x cosh x dx sinh x
³ ³
9. C, C
Ví dụ 7.2. Sử dụng bảng các tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
x3
px 2 3q dx x2 dx dx
³ ³ ³ ³
( a) 2x 2 x dx 3 x2 3x C
3
tan2 x dx ptan2 x 1q dx dx dx dx tan x x
³ ³ ³ ³ 1 ³
( b) 2
C
cos x
³ sin2 x cos2 x
1
1 1
dx tan x cot x
³ ³ ³
(c) 2 dx 2 dx dx C
2
sin x cos x 2
sin x cos x cos 2x sin2 x
Bây giờ ta sẽ xét hai phương pháp cơ bản để tính tích phân bất định.
Phương pháp đổi biến: Giả sử f ptq là hàm liên tục, ω pxq là hàm có đạo hàm liên tục và
gptq dt Gptq
³
C. Khi đó ta có:
»
gpω pxqqω 1 pxq dx Gpω pxqq C
Ví dụ 7.3. Tính các tích phân sau:
4
t4
sin3 x cos x dx sin3 x dpsin xq Đặt t sin x t3 dt sin4 x
³ ³ ³
( a) C C
4
dt 1 ³ dt
dx Đặt t x2 , xdx 12 arctan t 12 arctanpx2 q
³ x
( b) C C
1 x4 2 2 1 t2
- 7.1 Tích phân bất định 90
Phương pháp tích phân từng phần: Giả sử upxq và v pxq là hai hàm của x có các đạo
hàm liên tục. Khi đó theo qui tắc lấy vi phân của tích, ta có công thức sau:
» »
u dv uv v du
Ví dụ 7.4. Tính các tích phân sau:
³ ³ ³
(a) ln x dx Đặt u ln x, v x
x ln x x dplnxq x ln x dx x ln x x C
³ 2 ³
(b) x cos x dx
Đặt u
x2 , v 2 x sin x dx
sin x x2 sin x
Đặt u x, v
cos x
³
2 x sin x 2 x cos x cos x dx x sin x 2x cos x 2 sin x C
2
Ví dụ 7.5. Chúng ta sẽ tìm công thức truy hồi để tính tích phân
»
px2 dxa2qn , pn 1, 2, 3, . . . q
Jn
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với u 2
1
, v x, du 2
2nxdx dx,
px a q 2 n px a2 qn 1
, dv
ta được:
»
x2
Jn px 2 x
a2 qn
2n
px2 a2 qn 1
dx
px2
x
a2 qn
2nJn 2na2 Jn 1
Và do đó ta có công thức truy hồi:
2n 1
Jn 1 2na
1
2 px2
x
q
a2 n 2na2
Jn
Đã biết J1 a1 arctan xa C nên ta có thể tính được:
J2 2a12 x2 x a2 a
1
3
arctan
x
a
C
J3 4a12 px2 x
a 2 q2
3
4a2
J2 4a12 px2 x
a2 q2
3 x
8a4 x2 a2
3
8a5
arctan
x
a
C, v.v...
Từ các công thức tích phân cơ bản và hai phương pháp trên ta có một số công thức
quan trọng sau:
³
1.
a2
dx
x2
a1 arctan xa C pa 0q
³ a x
2.
dx
a2 x 2
1
2a
ln
a x
C pa 0q
³
3. ? dx
arcsin xa pa ¡ 0q
a2 x2
³ ?
4. ? 2dx 2 ln x x2 a2 pa ¡ 0q
x a
³? x? 2 a2
a2 x2 dx a x2 C pa ¡ 0q
x
5. arcsin
2 2 a
³? x? 2 a2 ? 2 2
6. x2 a2 dx x a2 ln x x a C
2 2
- 7.1 Tích phân bất định 91
7.1.2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ
Hàm hữu tỉ (phân thức hữu tỉ) được hiểu là tỉ số của hai đa thức. Nếu bậc của tử số nhỏ
hơn bậc của mẫu số thì ta có hàm hữu tỉ thực sự. Vì mọi hàm hữu tỉ, bằng phép chia đa
thức, đều có thể phân tích thành tổng của một đa thức và một hàm hữu tỉ thực sự, nên
trong phép tính tích phân, ta chỉ cần xét các hàm hữu tỉ thực sự.
Trong số đó ta sẽ xét những phân thức được gọi là tối giản; đó là những phân thức
thuộc bốn loại sau đây:
pI q x A a , pII q px Aaqk , pIII q x2M xpx N q , pIV q px2M xpx Nqqk , pk 2, 3, . . . q
trong đó A, M, N, a, p, q là các số thực; ngoài ra đối với các phân thức dạng (III) và (IV) được
giả thiết là tam thức x2 px q không có nghiệm thực, nghĩa là p2 4q 0.
Các phân thức dạng (I) và (II) có thể dễ dàng lấy tích phân:
» »
pI q A dx
xa
A ln |x a| C, pII q A px dxaqk k A 1 px 1aqk1 C, pk 2, 3, . . . q
Đối với dạng (III) và (IV), trước tiên ta phân tích:
p 2
a
p2 p 2 4q p2
x 2
px q x 2
2 x
p
2 2
q
4
x
2
2
a , a
2
Đặt x
p
2
t, dx dt, x2 px q t2 a2 , M x N Mt N M2p , ta có:
» »
»
x
Mx N
2 px q
dx M
2 t 2
2tdt
a 2
1
a
N
Mp
2 t 2
dt
a2
M
2
lnpt2 a2 q
1
a
N
Mp
2
arctan
t
a
C
Trở về biến cũ x và thay a bằng giá trị của nó, ta có:
»
Mx N
dx
M
lnpx2 px qq
2N
a
M p arctan a2x p C
x2 px q 2 4q p2 4q p2
Đối với trường hợp (IV) ta được:
» »
»
px2 px qqk dx 2 M2p
Mx N M 2tdt dt
pt2 a2 qk N
pt 2 a2 qk
Tích phân thứ nhất được tính dễ dàng bằng phép thế u t2 a2 , còn tích phân thứ hai
được tính theo công thức truy hồi như trong ví dụ cuối của mục trước (ví dụ 7.5).
Như vậy ta đã biết cách lấy tích phân các phân thức tối giản. Còn với phân thức hữu tỉ
thực sự, thì việc lấy tích phân dựa trên định lý sau đây:
- 7.1 Tích phân bất định 92
Định lý 7.1. Mỗi phân thức thực sự đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng một số hữu hạn các
phân thức tối giản.
³ 2
Ví dụ 7.6. Tính tích phân: I px2x 2qp2x
x2
13
1q2
dx.
2x2 2x
Ta khai triển:
px 2qpx2
13
1q2
x A 2 Bx C
x2 1
Dx
px 2
E
1q2
. Hoá đồng mẫu số, ta đi đến đồng
nhất thức dùng để xác định A, B, C, D, E :
2x2 2x 13 Apx2 1q2
pBx C qpx 2qpx2 1q pDx E qpx 2q
Từ đây ta có: A 1, B 1, C 2, D 3, E 4; và:
» 2x2 2x
» » »
px 2qpx2
13
1q2
dx x2
dx x 2
x2 1
dx
px2 1q2 dx
3x 4
12 3x2 4x1 1 px 2q2
2
ln 2
x 1
4 arctan x C
Chú ý rằng tích phân của hàm hữu tỉ bất kỳ được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn
các hàm hữu tỉ, logarithm và arctan.
7.1.3 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VÔ TỈ
Trong phần này ta qui ước R luôn là hàm hữu tỉ theo các đối số của nó. Nguyên tắc chung
để tính tích phân là sử dụng phép đổibiến
thích hợp
để đưa tích phân về dạng hữu tỉ.
ax b
1. Tích phân các biểu thức dạng R x, m . Đặt:
cx d
dtm b
t ω px q ax , x ϕptq
m ax b m b
a ctm
, t
cx d cx d
³
Tích phân sẽ trở thành Rpϕptq, tq ϕ1 ptq dt và có dạng hữu tỉ.
³ ³
x
Ví dụ 7.7. Tính tích phân I a dx
3
1 dx
x1 x 1
. Ta đặt:
3
px 1qpx 1q 2
3 2
t ñ x tt3 11 , dx pt36tdt1q2
3 x 1
x1
Khi đó:
»
x » »
3 1 dx
x1 x 1
3dt
t3 1
t 1 1
t2
t 2
dt
?
t 1
1 t2 t 1
2
ln
pt 1q2 3 arctan
2t
? 1
C với t 3 x 1
x1
3
Có thể áp dụng phương pháp trên cho tích phân dạng tổng quát hơn:
»
r
s
ax b ax b
R x, , ,... dx
cx d cx d
với các số mũ r, s, . . . là số hữu tỉ. Gọi m là BSCNN của các mẫu số của các số r, s, . . . . Bằng
phép đổi biến tm
ax b
, ta sẽ đưa tích phân trên về dạng hữu tỉ.
cx d
- 7.1 Tích phân bất định 93
³
Ví dụ 7.8. Tính tích phân I ?x dx ?x . Đặt t6 x, dx 6t5 dt, ta được:
3
» » 6t5 6t3
» » »
?x ?x dx
2 3
dt dt 6 pt2 t 1q dt 6
dt
t t 1 t
? ? ? t 1
?
3
2t3 3t2 6t 6 ln |t 1| C 2 x 3 3 x 6 6 x 6 ln 6 x 1 C
2. Tích phân hàm vô tỉ dạng xm pa bxn qp với a, b là hằng số và m, n, p là các số hữu tỉ.
Chebysev chứng minh được rằng tích phân của hàm dạng như trên được hữu tỉ hoá chỉ
trong các trường hợp sau đây:
: Nếu p P Z thì đặt x tN với N là mẫu số chung của m và n.
: Nếu
m
n
1
P Z thì đặt a bxn tN với N là mẫu số của p.
: p P Z thì đặt axn b tN với N là mẫu số của p.
m 1
Nếu
n
³ ³
Ví dụ 7.9. Tính I ? dx 4 x0p1 x4q dx với m 0, n 4, p 14 , a 1, b 1. Do
4
1
4
1 x
p 0 P Z, nên ta đặt
m 1 1 1
n 4 4
a 4 ? 4
ñ x pt4 1q1{4 , dx t3pt4 1q5{4 dt
4
t x 1
1 x
4
x
?
Do đó
4
1 x4 tx tpt4 1q1{4 và
» » t2
»
»
?4 dx 4 dt
1 1
1
dt
1 dt
t 1 1 t1
4 t 4 2 t2 1
1 x
1 t 1 1
4 t 1 2
ln arctan t C
? ?
1 1 x 1
4 ln ?
4 4
x4 x4
2 arctan 1 x C
4
1 x4 x
?
3. Tích phân các biểu thức dạng Rpx, ax2 bx cq. Chúng ta sẽ sử dụng các phép thế
Euler sau đây:
? ?ax.
: Nếu a ¡ 0 thì đặt ax2 bx ct
? ?c.
: Nếu c ¡ 0 thì đặt ax2 bx c xt
?
: Nếu ax2 bx c apx λqpx µq thì đặt ax2 bx c tpx λq.
³
Ví dụ 7.10. Tính tích phân: ? dx . Đặt:
x x2 x 1
a t2 1 t2 t 1
x2 x 1txñx , dx 2
2t 1 p2t 1q2 dt
- 7.1 Tích phân bất định 94
Và
» » 2t2 2t 2
»
? dx tp2t 1q
dt
2
3 3
2t 1 p2t 1q2
dt
x x2 x 1 2 t
32 2t 1 1 2 ln |t| 32 ln |2t 1| C
a
32 ? 21 2 ln x x2 x 1
2x 2 x x 1 1
3 a
2
ln 2x 2 x2 x 1 1 C
7.1.4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Ở đây chúng ta xét các tích phân dạng
»
Rpsin x, cos xq dx (7.1)
Bằng phép thế:
pπ x πq ñ sin x 1 2tt2 , cos x 11 tt2 , x 2 arctan t, dx 1 2dtt2
2
t tan ,
x
2
ta đưa tích phân về dạng hữu tỉ:
» » 1 t2
Rpsin x, cos xq dx 1 2dtt2
2t
R ,
1 t2 1 t2
³
Ví dụ 7.11. Tính tích phân: I 2
dx
cos x
. Sử dụng phép thế t tan , ta được:
x
2
» »
dx
2 cos x
2dt
3 t2
?23 arctan ?t3 C ?23 arctan ?13 tan x2 C
Phép thế đã nêu, được gọi là vạn năng đối với tích phân dạng (7.1), đôi khi đẫn đến việc
tính toán rất phức tạp. Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng những phép thế đơn
giản hơn. Ta xét các trường hợp sau đây:
: Nếu Rp sin x, cos xq Rpsin x, cos xq thì đặt t cos x.
: Nếu Rpsin x, cos xq Rpsin x, cos xq thì đặt t sin x.
: Nếu Rp sin x, cos xq Rpsin x, cos xq thì đặt t tan x.
Ví dụ 7.12. Ta xét một số ví dụ sau:
³
1. Xét tích phân sin2 x cos3 x dx. Bằng phép thế t sin x, ta được:
» » t3 5 3 5
sin x cos x dx
2 3
t2 p1 t2 q dt t5 C sin3 x sin5 x C
3
- 7.2 Tích phân xác định 95
cos x đối với tích phân dx
³
2. Sử dụng phép thế t , ta được:
sin x cos 2x
» » »
dx
dx
sin xp2 cos2 x 1q
p1 t2 qpdt1 2t2 q
sin x cos 2x
?
1t
?1 ln 1 t?2 2 C
1
ln
1t 2
2
? 1 t
1 cos x
? ln ?
1 1 2 cos x 1
ln C
2 1 2 cos x 2
1 cos x
sin2 x
dx. Đặt t tan x:
³
3. Xét tích phân:
cos6 x
» » »
sin2 x sin2 x
cos6 x
dx 1
cos x cos x cos2 x
2 2
dx
t2p1 t2q dt
t3 t5 tan3 x tan5 x
3 5
C
3 5
C
§7.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
7.2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Định nghĩa 7.2. Cho hàm f pxq xác định trên ra, bs. Chia ra, bs thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
chia:
a x0 x1 x2 xn1 xn b (7.2)
Đặt ∆xi xi 1 xi, pi 0, 1, . . . , n 1q và gọi λ max ∆xi . Trên mỗi đoạn con rxi , xi 1 s ta
i 1,n 1
lấy điểm ci tuỳ ý và lập tổng:
n¸1
σn f pci q∆xi
i 0
Nếu tồn tại giới hạn I λlim σ không phụ thuộc vào cách chia (7.2) của đoạn ra, bs, thì I được
Ñ0 n
gọi là tích phân xác định của hàm f pxq trên đoạn ra, bs và ký hiệu:
»b
I f pxq dx (7.3)
a
Khi đó hàm f pxq được gọi là khả tích trên đoạn ra, bs, còn a, b tương ứng được gọi là cận dưới
và cận trên của tích phân.
Về lớp các hàm khả tích, ta có định lý sau:
Định lý 7.2. Ta có:
- 7.2 Tích phân xác định 96
1. Hàm liên tục trên một đoạn thì khả tích trên đoạn đó.
2. Hàm bị chặn trên một đoạn và có một số hữu hạn các điểm gián đoạn thì khả tích trên
đoạn đó.
3. Hàm đơn điệu bị chặn thì khả tích.
Chúng ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của tích phân xác định:
1. Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs thì nó cũng khả tích trên đoạn rb, as và:
»b »a
f pxq dx f pxq dx
a b
Hệ quả của tính chất này là nếu tích phân xác định có cận trên và cận dưới bằng
nhau thì tích phân bằng không.
2. Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân. Nghĩa là:
»b »b
f pxq dx f ptq dt
a a
3. Nếu hàm f pxq khả tích trong các đoạn ra, cs và rc, bs thì nó cũng khả tích trong đoạn
ra, bs và:
»b »c »b
f pxq dx f pxq dx f pxq dx
a a c
4. Các tính chất đại số của hàm khả tích. Giả sử f pxq, gpxq khả tích trên ra, bs và C là hằng
số. Khi đó:
»b »b
Cf pxq dx C f pxq dx
a a
»b »b »b
f pxq gpxq dx f pxq dx gpxq dx
a a a
5. Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs, không âm và a b, thì:
»b
f pxq dx ¥ 0
a
- 7.2 Tích phân xác định 97
6. Nếu hai hàm f pxq và gpxq khả tích trên ra, bs và x P ra, bs, f pxq ¤ gpxq, thì:
»b »b
f pxq dx ¤ gpxq dx
a a
7. Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs và a b, thì hàm |f pxq| cũng khả tích trên ra, bs và:
»b »b
f pxq dx ¤ |f pxq| dx
a a
8. Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs với a b và x P ra, bs, m ¤ f pxq ¤ M , thì
»b
mpb aq ¤ f pxq dx ¤ M pb aq
a
9. Định lý về giá trị trung bình. Giả sử hàm f pxq khả tích trên ra, bs với a b và x P
ra, bs, m ¤ f pxq ¤ M . Khi đó sẽ tồn tại số µ, pm ¤ µ ¤ M q sao cho:
»b
f pxq dx µpb aq
a
10. Định lý mở rộng về giá trị trung bình. Giả sử hai hàm f pxq, gpxq khả tích trên ra, bs với
a b và x P ra, bs, m ¤ f pxq ¤ M . Khi đó sẽ tồn tại số µ, pm ¤ µ ¤ M q sao cho:
»b »b
f pxq gpxq dx µ gpxq dx
a a
7.2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Tích phân xác định như là hàm của cận trên. Nếu hàm f pxq khả tích trên đoạn ra, bs,
thì nó cũng khả tích trên đoạn ra, xs với x là giá trị tuỳ ý thuộc đoạn ra, bs. Biểu thức:
»x
Φ px q f pxq dx (7.4)
a
sẽ là hàm của biến x. Hàm này có các tính chất sau:
(a) Nếu f pxq khả tích trên đoạn ra, bs thì Φpxq sẽ là hàm liên tục theo x trên đoạn đó.
(b) Nếu hàm f pxq liên tục tại điểm x x0 P ra, bs, thì tại điểm đó hàm Φpxq có đạo hàm và
Φ1 px0 q f px0 q.
- 7.2 Tích phân xác định 98
Do đó hàm Φpxq xác định theo (7.4) chính là một nguyên hàm của f pxq. Nếu F pxq là một
nguyên hàm của f pxq tìm được theo các phương pháp của tích phân bất định, thì ta có
Φpxq F pxq C. Hằng số C dễ dàng xác định từ điều kiện Φpaq F paq C 0 ñ C F paq.
Khi cho x b ta sẽ đi đến công thức Newton-Leibnitz:
»x b
f pxq dx F pbq F paq F pxq
(7.5)
a
a
³1
Ví dụ 7.13. Xét tích phân: I 1
2x cos α dx, p0 α π q. Ta có:
1 x2 1
»1 1
x cos α
I 1
px cos αq2 sin2 α
dx
1
sin α
arctan
sin α
1 1
1 cos α
1
sin α
arctan
sin α
arctan
1 cos α
sin α
2 sin
π
α
2. Phương pháp đổi biến. Giả sử f pxq liên tục trong đoạn ra, bs. Xét hàm x ϕptq thoả các
điều kiện sau:
(a) ϕ : rα, β s ÝÑ ra, bs là hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó.
(b) ϕpαq a, ϕpβ q b.
Khi đó ta sẽ có công thức đổi biến:
»b »β
f pxq dx f pϕptqq ϕ1 ptq dt (7.6)
a α
Chú ý rằng, khi tính tích phân xác định bằng công thức (7.6), chúng ta không cần quay
trở về biến cũ x như trong tích phân bất định vì tích phân xác định là một số.
Ví dụ 7.14. Tính tích phân
»π »{
π 2 »π
dx
x sin x x sin x x sin x
dx dx
1 cos2 x 1 cos2 x 1 cos2 x
0 0 {
π 2
Bằng phép thế x π t với t biến thiên từ π2 đến 0 trong tích phân cuối ta sẽ dẫn đến dạng:
»π »0 pπ tq sin t π»{2
x sin x
dx dt
pπ tq sin t dt
1 cos2 x 1 cos2 t 1 cos2 t
{
π 2 {
π 2 0
Do đó:
»π »{
π 2
π{2 2
dx π dx π arctanpcos xq π4
x sin x sin x
1 cos2 x 1 cos2 x 0
0 0
- 7.3 Tích phân suy rộng 99
3. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu các hàm upxq, v pxq liên tục cùng với các đạo
hàm của chúng, thì ta có công thức:
»b
b »b
upxq v 1 pxq dx upxq v pxq u1 pxq v pxq dx
a a a
Ví dụ 7.15. Bằng phép thế x t, ta dễ dàng chứng minh được rằng:
π
2
{
π» 2 {
π» 2
Jm sin x dx
m
cosm x dx, pm P Nq
0 0
Bằng cách lấy tích phân từng phần, ta tìm được:
{
π» 2 π
{2 {
π» 2
sin x dp cos xq sinm1 x cos x pm 1q sinm2 cos2 x dx
m 1
Jm
0 0 0
Thay cosx 1 sin2 x trong tích phân cuối ta đi đến công thức truy hồi:
m1
J J m m 2
m
Do J0 π2 , J1 1, ta thu được:
{
π» 2 π» 2{
$
'
'
pm 1q!! π , nếu m chẵn
&
sin x dx cos x dx
m!! 2
m m
(7.7)
' pm 1q!!
'
0 0 % , nếu m lẻ
m!!
Từ công thức (7.7) dễ dàng đưa ra công thức Valix nổi tiếng, được công bố năm 1655
dùng để tính gần đúng giá trị của số π thời bấy giờ. Với 0 x , ta có sin2n1 x sin2n x
π
2
sin2n 1 x. Lấy tích phân bất đẳng thức trên đoạn r0, s và áp dụng (7.7) ta được:
π
2
1q!! π p2n 2q!! 2n!!
p2n2n!!
2 2
2n!!
p2n 1q!! 2 p2n 1q!! p2n 1q!! 2n
1
1
π2 p2n2n!!
1q!!
1
2n
Vì hiệu của biểu thức hai bên:
2 2 2
2n!!
p2n 1q!!
1
2n
2n!!
p2n 1q!! 2n
1
1
1
2np2n 1q
2n!!
p2n 1q!! 2n
1 π
ÝÑ 0
2 n8
nên sử dụng định lý kẹp ta có công thức Valix:
2
π
2
nlim
Ñ8
2n!!
p2n 1q!! 2n
1
1
- 7.3 Tích phân suy rộng 100
§7.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Trong phần trước, ta xét tích phân xác định cho trường hợp đoạn ra, bs hữu hạn và hàm
f pxq bị chặn trong khoảng lấy tích phân. Phần này sẽ mở rộng cho trường hợp khoảng lấy
tích phân là vô hạn hoặc hàm không bị chặn.
7.3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN
Giả sử hàm f pxq xác định trong khoảng ra, 8q và khả tích trong một đoạn bất kỳ ra, As với
A
A ¡ a. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân f pxq dx khi A Ñ 8 thì giới hạn đó
³
a
được gọi là tích phân suy rộng của hàm f pxq trong khoảng ra, 8q và ký hiệu:
» 8 A
»
f pxq dx lim f pxq dx (7.8)
A Ñ 8
a a
Khi đó ta nói tích phân (7.8) hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn là vô hạn hoặc không tồn tại
thì tích phân được gọi là phân kỳ. Tương tự, ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng trong
các khoảng p8, as và p8, 8q như sau:
»a »a
f pxq dx lim f pxq dx
A1 Ñ8
8 A1
» 8 »a »A
f pxq dx lim f pxq dx lim f pxq dx
A1 Ñ8 A Ñ 8
8 A 1 a
Chú ý rằng nếu F pxq là nguyên hàm của hàm f pxq trong ra, 8q và tồn tại AÑlim8 F pAq thì ta
có thể viết lại (7.8) như sau (và tương tự cho các trường hợp khác):
» 8 A
»
8
f pxq dx lim f pxq dx lim F pAq F paq F p 8q F paq F pxq
A Ñ 8 A Ñ 8
a a a
Ví dụ 7.16. (a) Hàm
1
1
x2
khả tích trong đoạn hữu hạn tuỳ ý 0, A , A r s p ¡ 0q nên:
» 8 »A
dx
1 x2
AÑlim8 dx
1 x2
AÑlim8 arctan A π2
0 0
(b) Các hàm eax sin bx và eax cos bx khả tích trong 0, r 8q và:
» 8 8
b cos bx ax
eax sin bx dx a2 b b2
a sin bx
e
a2 b2
0 0
»8 8
b sin bx a cos bx ax
eax cos bx dx a2 a b2
e
a2 b2
0 0
- 7.3 Tích phân suy rộng 101
8 dx
trong khoảng ra, 8q, ¡
1 ³
Ví dụ 7.17. (Ví dụ cơ bản). Xét hàm a 0. Với α 1,
xα a x
8
ln |x| 8. Tích phân phân kỳ. Trường hợp α 1, ta có:
a
8 8 8
x1α
» »
dx
x dx
α
1 α
xα
a a a
Nếu α ¡ 1 thì 1 α 0 nên tích phân hội tụ. Còn α 1 tích phân phân kỳ. Vậy ta có:
8 #
»
dx
sẽ
hội tụ nếu α¡1 (7.9)
xα phân kỳ nếu α ¤ 1
a
Trong một số trường hợp chúng ta chỉ cần khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.
Các định lý sau đây cho phép chúng ta khảo sát điều đó.
Định lý 7.3 (Tiêu chuẩn so sánh 1). Giả sử x P ra, 8q, 0 ¤ f pxq ¤ gpxq. Khi đó:
8 8
gpxq dx hội tụ thì f pxq dx cũng hội tụ.
³ ³
(a) Nếu
a a
8 8
f pxq dx phân kỳ thì f pxq dx cũng phân kỳ.
³ ³
(b) Nếu
a a
8
ex dx. Ta có:
³
Ví dụ 7.18. Khảo sát sự hội tụ của tích phân:
2
0
» 8 »1 » 8
ex dx ex dx ex dx
2 2 2
0 0 1
Tích phân đầu tiên hội tụ vì hàm ex liên tục trên đoạn 0, 1 . Để khảo sát sự hội tụ của tích phân thứ
r s
2
hai, ta chú ý rằng:
x P r1, 8q, x ¤ x2 ñ x2 ¤ x ñ 0 ex ¤ ex 2
8
8
ex dx ex e1 hội tụ, nên tích phân thứ hai hội tụ. Do đó tích phân đang xét cũng
³
Do
1 1
hội tụ.
Định lý 7.4 (Tiêu chuẩn so sánh 2). Giả sử x P ra, 8q, 0 ¤ f pxq, 0 ¤ gpxq và tồn tại giới
f pxq ³8 ³8
hạn lim
xÑ 8 g pxq
k, p0 k 8q. Khi đó cả hai tích phân f pxq dx và g pxq dx cùng hội
a a
tụ hoặc cùng phân kỳ.
- 7.3 Tích phân suy rộng 102
Thông thường trong tiêu chuẩn so sánh 2, vai trò của tích phân cần so sánh là tích
phân được xét trong ví dụ cơ bản (7.9). Chú ý rằng, trong tiêu chuẩn so sánh 2 (định lý
³8 ³8
7.4), nếu k 0 thì từ sự hội tụ của tích phân gpxq dx ta suy ra tích phân f pxq dx
a a
³8
cũng hội tụ. Còn nếu k 8 thì từ sự phân kỳ của tích phân f pxq dx ta suy ra tích
a
³8
phân gpxq dx cũng phân kỳ.
a
³8
Ví dụ 7.19. Khảo sát sự hội tụ của tích phân: ?
3
dx
. Hàm f pxq ?
3
1
. Chọn
1 2x3 3x 1 2x 3 3x 1
f pxq ³8
g pxq 1
x
. Ta có lim
xÑ 8 g pxq
xÑlim8 ?
3
x
?31 . Do dx phân kỳ nên tích phân của
2x3 3x 1 2 1 x
chúng ta cũng phân kỳ.
³8 ³8
Trong trường hợp tổng quát, nếu tích phân f pxq dx hội tụ thì tích phân |f pxq| dx
a a
³8
chưa chắc hội tụ. Nhưng điều ngược lại là đúng. Nghĩa là nếu tích phân |f pxq| dx hội tụ
a
³8 ³8
thì tích phân f pxq dx chắc chắn hội tụ. Khi đó ta nói tích phân f pxq dx hội tụ tuyệt
a a
đối.
³8
Ví dụ 7.20. Xét tích phân
cos ax
k 2 x2
cos ax
dx. Bởi vì 2
k x2
¤ k2 1 x2 , x P r0, 8q và tích phân của
0
hàm ở vế phải hội tụ, nên tích phân của hàm ở vế trái cũng hội tụ. Do đó tích phân đang xét hội tụ
(tuyệt đối).
Định lý 7.5. Nếu:
³
x
(a) Hàm f pxq có nguyên hàm F pxq f ptq dt bị chặn trong ra, 8q.
a
(b) Hàm g pxq đơn điệu giảm, tiến về không khi x Ñ 8.
³8
Khi đó tích phân f pxq gpxq dx hội tụ.
a
Ví dụ thích hợp nhất để áp dụng định lý trên là các tích phân
³8 ³8 cos x
dx, pa ¡ 0q hội tụ với α ¡ 0.
sin x
dx,
a xα a xα
7.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN
Xét hàm f pxq xác định trong khoảng hữu hạn ra, bq thoả lim f pxq 8. Giả sử f pxq khả tích
x Ñb
trong đoạn bất kỳ ra, b εs với ε ¡ 0 bé tuỳ ý. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân
b³ ε
f pxq dx khi ε Ñ 0 thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm f pxq trong
a
- 7.3 Tích phân suy rộng 103
đoạn ra, bs và ký hiệu:
»b
b» ε
f pxq dx lim f pxq dx (7.10)
ε Ñ0
a a
Khi đó ta nói tích phân (7.10) hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn là vô hạn hoặc không tồn tại
thì tích phân được gọi là phân kỳ. Điểm b được gọi là điểm kỳ dị của tích phân. Tương tự,
ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng cho các điểm kỳ dị khác như sau:
»b »b
f pxq dx lim f pxq dx pđiểm kỳ dị là aq
ε Ñ0
a a ε
»b »b
b» δ
f pxq dx lim f pxq dx lim f pxq dx pđiểm kỳ dị là a và bq
ε Ñ0 δ Ñ0
a a ε a
Chú ý rằng nếu F pxq là nguyên hàm của hàm f pxq trong ra, bq và tồn tại lim F pxq thì ta có
x Ñb
thể viết lại (7.10) như sau (và tương tự cho các trường hợp khác):
»b »x
b
f pxq dx lim f ptq dt lim F pxq F paq F pbq F paq F pxq
x Ñb x Ñb
a a a
Ví dụ 7.21.
»1
1» ε 1
ε
? dx 2 εlim ? dx 2 εlim arcsin x
εlim arcsinp1 εq
π
1x Ñ0 1x Ñ0 Ñ0
2
0 0 0
Ví dụ 7.22. (Ví dụ cơ bản). Tương tự như ví dụ cơ bản trong phần trước, ta cũng có kết quả cơ bản
sau đây:
#
»b
dx
sẽ
hội tụ nếu α 1 (7.11)
a
pb x qα phân kỳ nếu α ¥ 1
Chú ý rằng các định lý so sánh 7.3 và 7.4 và định lý 7.5 cũng đúng trong trường hợp
này. Chúng ta sẽ không lặp lại các định lý đó nhưng sẽ nêu ra các tiêu chuẩn dựa trên các
định lý đó và ví dụ cơ bản 7.11.
Định lý 7.6. Nếu khi x Ñ b, hàm f pxq là vô cùng lớn bậc α ¡ 0 so sánh với hàm
1
, thì tích
bx
b
f pxq dx hội tụ nếu α 1 và phân kỳ nếu α ¥ 1
³
phân
a
Ví dụ 7.23. Xét các ví dụ sau đây:
- 7.4 Ứng dụng của tích phân 104
(a) Xét tích phân:
»1
? dx 4
4
1x
0
Hàm dưới dấu tích phân khi x Ñ 1 là vô cùng lớn bậc 14 . Do đó tích phân hội tụ.
(b) Xét tích phân:
{
π» 2
ptan xqp dx, pp 0q
0
Nếu p ¡ 0 thì điểm kỳ dị là π2 , với p 0 thì điểm kỳ dị là 0. Trong cả hai trường hợp, biểu thức dưới
dấu tích phân là vô cùng lớn bậc |p|. Như vậy tích phân hội tụ với |p| 1 và phân kỳ với |p| ¥ 1.
(c) Xét tích phân:
»1
xa1 p1 xqb1 dx
0
Với a 1 điểm kỳ dị là 0, với b 1 điểm kỳ dị là 1. Chia tích phân đó thành hai, chẳng hạn, như
³1 1³{2 ³1
sau: . Nếu a 1 hàm dưới dấu tích phân khi x Ñ 0 là vô cùng lớn bậc 1 a, nên tích
0 0 1{2
phân thứ nhất tồn tại chỉ với điều kiện a ¡ 0; tương tự, tích phân thứ hai tồn tại với b ¡ 0. Như vậy,
tích phân đang xét hội tụ trong và chỉ trong trường hợp nếu đồng thời a ¡ 0 và b ¡ 0.
§7.4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Trong phần này chúng ta chỉ nêu ra các công thức ứng dụng của tích phân xác định
mà không đi sâu vào việc trình bày và chứng minh chi tiết.
1. Tính diện tích hình phẳng.
Diện tích S của hình phẳng ABCD giới hạn
bởi các đường cong y f pxq, y gpxq và các
đường thẳng x a, x b được tính theo công
thức:
»b
S pf pxq gpxqq dx
a
- 7.4 Ứng dụng của tích phân 105
Giả sử đường cong kín C bao quanh diện tích
S được cho bởi phương trình tham số: x
xptq, y y ptq, pt0 ¤ t ¤ T q sao cho khi theo
chiều tăng của t, điểm px, y q chạy ngược chiều
kim đồng hồ và diện tích S luôn nằm bên trái.
Khi đó:
»
T »
T
S y ptqx ptq dt
1
y 1 ptqxptq dt
t0 t0
Bây giờ nếu diện tích S của hình phẳng bị
chặn bởi đường cong r r pϕq trong toạ độ
cực và các đường thẳng ϕ α và ϕ β. Khi
đó ta có công thức:
»
β
S 1
2
r 2 pϕq dϕ
α
2. Tính độ dài cung.
Độ dài cung đường cong y f pxq, pa ¤ x ¤ bq được tính theo công thức:
»a b
s 1 rf pxqs2 dx
1
a
Bây giờ nếu đường cong C được cho bởi phương trình tham số: x xptq, y yptq, pt0 ¤ t ¤
T q, thì:
»a T
s rx ptqs 1 2 ry ptqs2 dt
1
t0
Cuối cùng đường cong r rpϕq cho trong toạ độ cực bị chặn trong các đường thẳng ϕ α
và ϕ β. Khi đó ta có công thức:
»a β
s r pϕq 2 r 12 pϕq dϕ
α
3. Tính thể tích vật thể tròn xoay. Cho hình phẳng giới hạn bởi 0 ¤ y ¤ ypxq với a ¤ x ¤ b.
Thể tích vật thể thu được khi quay hình phẳng quanh trục Ox là
»
b
V π y 2 pxq dx
a
- Bài tập chương 7 106
Còn khi quay quanh trục Oy thì
»b
V 2π xy pxq dx
a
BÀI TẬP CHƯƠNG 7
Câu 1. Sử dụng phép đổi biến thích hợp, tính các tích
» phân sau:
» x
paq 4 x4 dx peq ? 2x dx
1
1 e
» »
pbq ? 1 2 dx pf q ? sin x cos x
dx
x 1 x a2 sinx b2 cos2 x
» » d lnpx ?1 x2 q
pcq a 1 dx pgq
xp1 xq
dx
1 x2
» ex »
pdq 2 ex
dx phq x2 1
dx
x4 1
Câu 2. Sử dụng phương pháptích phân từng phần, »tính các tích phân sau:
» ln x
2
paq dx pgq xparctan xq2 dx
x
» » 2
pbq x e2x dx
2 phq px2 x 1q2 dx
» » a
pcq x arctan x dx piq 2
x a2 x2 dx
» »
pdq 2
x arccos x dx pj q sinpln xq dx
» »
peq sin x lnptan xq dx pkq cospln xq dx
» »
pf q parcsin xq 2
dx plq pex cos xq2 dx
- Bài tập chương 7 107
»
Câu 3. Tính tích phân các hàm hữu tỷ sau: »
paq x3 x3x 2 dx pf q p1 xqp1
1
x2 qp1 x3 q
dx
» »x 2
pbq x2 1
pgq x
dx
px 1q2 px 1q dx x6 1
» »
pcq px 1
phq xp
1
2q
dx
1qpx2 1q
dx
x10
» » x2
pdq 2
x
px 1q px2 2x 2q
dx piq x4 x2
1
1
dx
» »x
peq 1 4
x4 1 dx pj q x6
1
1
dx
Câu 4. Với những điều kiện nào của các hệ số thì tích phân
» αx2 2βx γ
pax2 2bx cq2
dx
là một hàm hữu tỷ?
Câu 5. Tính tích phân các hàm vô tỉ sau:
» »
paq ?
1
?xq dx pgq ?x 2 dx
xp1 p 1q x2 x x1
2 x
»?2
3
» ?
phq x 2
pbq ?
x3x 2
dx x2 1
dx
»
3
x x 2
» ?x ?
1 x1 piq ? 1
pcq ?x ?
x1
dx x2
dx
»
x x 1
1
» pj q ? 12
pdq ?x ?x 1
dx p1 xq2
dx
»
x
1 1
» x2 pkq ? 1
peq ? 3
x3
dx
»
dx 1
x2
»
x 1
pf q ? 12 dx
plq
1 dx
px 1q x x 1 x3 5
1
1
x
nguon tai.lieu . vn
