Xem mẫu
- LÊ THÁI THANH
GIÁO TRÌNH TOÁN I
(Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp)
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
- 51
89/176-05 Mã số: 8I092M5
GD-05
- Lời nói đầu
Tập bài giảng Toán I này được biên soạn dành cho sinh viên trong chương trình Chất
lượng cao Việt-Pháp. Tổng số giờ lí thuyết và bài tập của môn học khoảng 180 tiết kéo dài
trong 15 tuần. Nội dung của môn học bao gồm các vấn đề cơ bản của Đại số đại cương,
Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một biến.
Nội dung của giáo trình dựa theo các tài liệu [1], [2], [3] trong toàn bộ bảy tập của tác giả
Jean-Marie Monier. Đây là tài liệu chính dành cho sinh viên của chương trình Việt-Pháp.
Chúng tôi cố gắng biên soạn lại cho dễ hiểu hơn đối với sinh viên Việt Nam và cũng tham
khảo thêm một số sách khác như [6], [7]. Các bài tập được tuyển chọn trong các sách kể
trên và trong các cuốn sách [4], [5], [8].
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Thư từ góp ý xin
gửi về:
Bộ môn Toán ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP. HCM,
104 Nhà B4, 268 Lý Thường Kiệt, P.14, Q.10, TP. HCM.
Điện thoại: 08-8647256 (ext. 5305)
E-mail: tlethai@hcmut.edu.vn
TP. HCM, ngày 22 tháng 4 năm 2010
Tác giả
- Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 8
1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 17
2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 CÁC TẬP HỢP SỐ 28
3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 DÃY SỐ 38
4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
- MỤC LỤC 5
4.2 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Một số loại dãy thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Dãy trung bình Césaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 50
5.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 66
6.1 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Sự biến thiên của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y f pxq . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.3 Đường cong trong toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 TÍCH PHÂN 88
7.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
- MỤC LỤC 6
7.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 111
8.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.2 Các ví dụ tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bài tập chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 KHÔNG GIAN VECTƠ 126
9.1 Khái niệm về không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2 Không gian vectơ con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Không gian Euclide thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bài tập chương 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 144
10.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.2 Hệ thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bài tập chương 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI 151
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
- MỤC LỤC 7
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
- CHƯƠNG MỘT
TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ
Mục lục
1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§1.1 MỆNH ĐỀ
Mệnh đề hay mệnh đề toán học là những khẳng định có giá trị xác định (đúng hoặc
sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai). Các giá trị đúng hoặc sai được gọi là chân trị của
mệnh đề.
Ví dụ 1.1. : "1 1 2" là mệnh đề có giá trị chân trị đúng.
: "4 là số nguyên tố" là mệnh đề có giá trị chân trị sai.
: Khẳng định "n là số nguyên tố" không phải là mệnh đề toán học. Tuy nhiên, nếu thay n bởi một số
tự nhiên nào đó thì nó trở thành mệnh đề và tùy theo n, giá trị chân trị của mệnh đề có thể đúng
hoặc sai.
Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ các in hoa: P, Q, R, . . . ; chân trị đúng là 1 (hoặc
T ), chân trị sai là 0 (hoặc F ). Để kiểm tra một mệnh đề là đúng hay sai ta thường lập bảng
chân trị cho mệnh đề đó. Cho P và Q là hai mệnh đề. Xét các phép toán sau: phép phủ
định ( P ), phép tuyển (P ^ Q), phép hợp (P _ Q), phép kéo theo (P ñ Q), phép tương đương
(P Q). Giá trị của các phép toán được cho bởi bảng chân trị sau:
P Q P P ^Q P _Q P ñ Q P Q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1
- 1.1 Mệnh đề 9
Chú ý: Mệnh đề P ñ Q có thể đọc theo nhiều cách như sau: P là điều kiện đủ của Q hoặc
Q là điều kiện cần của P . Còn mệnh đề P Q có thể đọc như sau: P là điều kiện cần và
đủ để có Q hoặc P nếu và chỉ nếu Q hoặc P khi và chỉ khi Q.
Các tính chất sau đây của các phép toán trên mệnh đề có thể dễ dàng chứng minh bằng
các lập bảng chân trị và xem như bài tập.
1. p P q P 4. pP ñ Qq p P _ Qq
2. pP ñ Qq pP ^ p Qqq 5. pP ñ Q q p Q ñ P q
3. pP ^ pP ñ Qqq ñ Q 6. ppP ñ Qq ^ pQ ñ Rqq ñ pP ñ Rq
Vị từ là một khẳng định P px, y, . . . q trong đó có chứa một số biến x, y, . . . lấy giá trị trong
những tập hợp cho trước X, Y, . . . sao cho bản thân P px, y, . . . q không phải là mệnh đề và
nếu thay x, y, . . . bởi những phần tử cố định x a P X, y b P Y, . . . ta được môt mệnh đề
P pa, b, . . . q
Ví dụ 1.2. : P pnq = "n là một số nguyên tố" là một vị từ theo một biến n P N
: Qpx, yq = "y 2, x y, x 2y là các số chẵn" là một vị từ với hai biến tự do x, y P Z. Chẳng hạn,
Qp4, 2q là mệnh đề đúng. Trong khi Qp5, 2q, Qp4, 7q là những mệnh đề sai.
Cho hai vị từ P pxq, Qpxq theo một biến x P X. Khi đó:
: Phủ định của P pxq, ký hiệu là P pxq, là vị từ mà khi thay x bởi một phần tử a cố định
của X thì ta được mệnh đề P paq.
: Các phép toán (^, _, ñ, ) trên các vị từ P pxq, Qpxq là những vị từ theo biến x mà khi
thay x bởi phần tử cố định a P X ta được các mệnh đề tương ứng.
Giả sử P pxq là một vị từ theo biến x P X. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khi thay x bởi một phần tử tùy ý trong a P X, ta luôn được một mệnh đề
đúng P paq. Như vậy mệnh đề "với mọi x P X, P pxq" là mệnh đề luôn luôn đúng và ký
hiệu bởi "x P X, P pxq"
Trường hợp 2: Với một số giá trị a P X thì P paq là mệnh đề đúng, và với một số giá trị b P X
thì P pbq là mệnh đề sai. Như vậy, mệnh đề "tồn tại x P X, P pxq" là mệnh đề đúng và ký
hiệu bởi "Dx P X, P pxq".
Các ký hiệu và D được gọi là các lượng từ với mọi và lượng từ tồn tại. Ngoài ra ta còn dùng
ký hiệu D! với ý nghĩa là tồn tại duy nhất. Chú ý rằng ký tự tác động bởi lượng từ là câm
(nghĩa là có thể thay thế bởi các ký tự khác). Ví dụ:
px P X, ppxqq py P X, ppyqq hoặc pDx P X, ppxqq pDy P X, ppyqq
- 1.2 Tập hợp 10
Ta cũng có thể dùng phép toán phủ định đối với một câu lượng hóa.
px P X, ppxqq pDx P X, ppxqq hoặc pDx P X, ppxqq px P X, ppxqq
Chú ý rằng nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu lượng hóa.
Ví dụ, x P N, Dy P N, x ¤ y là mệnh đề đúng, nhưng Dy P N, x P N, x ¤ y là mệnh đề sai.
§1.2 TẬP HỢP
Tập hợp là một khái niệm toán học không được định nghĩa. Nó được hiểu như một tụ
tập các đối tượng do một tính chất chung nào đó hợp thành. Ta ký hiệu tập hợp bởi các
chữ cái in hoa như A, B, C, X, Y, ... Nếu x là một thành phần tạo nên tập hợp X thì ta nói x
là phần tử của X và viết x P X. Nếu y không phải là phần tử của X thì ta viết y
R X.
Ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B, ký hiệu là A B, nếu x P A ñ x P B. Phủ
định của A B được viết là A B. Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, A B, khi
và chỉ khi A B và B A.
Để xác định một tập hợp, ta có thể liệt kê các phần tử của tập hợp đó X tx, y, z, . . . u
hoặc chỉ ra tính chất mà các phần tử của nó có X tx | ppxqu. Tập hợp không chứa phần
tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu H. Ta có với mọi tập X: H X.
Một tập hợp có hữu hạn các phần tử được gọi là tập hợp hữu hạn. Ngược lại được gọi là
tập hợp vô hạn. Số lượng các phần tử của một tập hợp A được ký hiệu là CardpAq hay #A.
Tập tất cả các tập con của tập X cho trước được ký hiệu là BpX q. Nếu X là một tập hữu
hạn có n phần tử thì tập BpX q có 2n phần tử.
Giả sử X là một tập hợp, A, B P BpX q. Ta định nghĩa các phép toán trên các tập hợp con
của X như sau:
Phần bù của tập A trong X: CX pAq tx P X | x R Au
Hợp của hai tập hợp A và B: A Y B tx P X | x P A _ x P B u
Giao của hai tập hợp A và B: A X B tx P X | x P A ^ x P B u
Hiệu của hai tập hợp A và B: AzB A B tx P X | x P A ^ x R B u
Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau nếu A X B H. Đối với phép toán phần bù, nếu
không có gì nhầm lẫn ta ký hiệu CX pAq C pAq A.
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau (xem như bài tập, sinh viên tự chứng
minh).
1. CX pHq X, CX pX q H, CX pCX pAqq A
- 1.3 Ánh xạ 11
2. A Y B B Y A, pA Y B q Y C A Y pB Y C q, A Y B B A B
3. A X B B X A, pA X B q X C A X pB X C q, A X B B B A
4. CX pA Y B q CX pAq X CX pB q, CX pA X B q CX pAq Y CX pB q
5. A Y pB X C q pA Y B q X pA Y C q, A X pB Y C q pA X B q Y pA X C q
6. AzB A X CX pB q AzpA X B q, AzB H A B
Giả sử x, y là hai phần tử tương ứng của hai tập hợp X, Y . Ta thành lập một phần tử mới
px, yq gọi là cặp px, yq. Hai cặp px, yq và pu, vq được gọi là bằng nhau nếu x u và y v. Nói
chung px, y q py, xq. Do đó thứ tự các phần tử trong cặp là quan trọng. Bây giờ cho hai tập
X và Y . Tập tất cả các cặp px, y q với x P X và y P Y được gọi là tích Decartes của X và Y
và ký hiệu là X Y . Ta có thể mở rộng khái niêm tích Decartes ra cho nhiều tập hợp. Nếu
X Y thì tích Decartes X Y được ký hiệu là X 2 .
§1.3 Á NH XẠ
Cho X và Y là hai tập hợp. Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho tương ứng với
mỗi phần tử x của X một phần tử xác định duy nhất, ký hiệu là y f pxq của Y . Ta viết
f: X ÝÑ Y
x ÞÝÑ y f pxq
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay miền xác định và tập hợp Y được gọi là tập đích
hay miền giá trị của ánh xạ f . Phần tử y f pxq được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f , khi
đó x được gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp tất cả các ánh xạ đi từ X đến Y được ký hiệu là
Y X.
Ví dụ 1.3. Xét ánh xạ f : X ÝÑ X sao cho x ÞÝÑ f pxq x là ánh xạ đồng nhất trên X và ký hiệu là
IdX .
Hai ánh xạ f : X ÝÑ Y và g : X ÝÑ Y được gọi là bằng nhau nếu với mọi x P X ta luôn
có f pxq gpxq.
Xét ánh xạ f : X ÝÑ Y . Một tập con Γ của tích Descartes X Y gồm các cặp px, f pxqq với
x P X được gọi là đồ thị của ánh xạ f .
Cho f : X ÝÑ Y, x P X, A X, B Y . Ta có:
: f pAq ty P Y | Dx P A : f pxq yu là ảnh của A bởi f .
: f 1 pB q tx P X | f pxq P B u được gọi là tạo ảnh toàn phần của B bởi f .
- 1.3 Ánh xạ 12
: f là đơn ánh nếu x, x1 P X, f pxq f px1 q ñ x x1 .
: f là toàn ánh nếu f pX q Y , nghĩa là y P Y, Dx P X : f pxq y.
: f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Cho hai ánh xạ f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z. Một ánh xạ h : X ÝÑ Z được xác định sao cho
x P X, hpxq g pf pxqq được gọi là tích của hai ánh xạ f và g và ký hiệu là g f . Nói chung
tích các ánh xạ không có tính giao hoán. Ta có các định lý sau.
Định lý 1.1. Tích của hai ánh xạ có tính kết hợp.
Chứng minh. Giả sử f : X ÝÑ Y , g : Y ÝÑ Z và h : Z ÝÑ T . Ta có x P X, ph pg f qqpxq
hppg f qpxqq hpgpf pxqqq ph gqpf pxqq pph gq f qpxq.
Định lý 1.2. Tích của hai đơn ánh (toàn ánh, song ánh) là một đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Chứng minh. Cho f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là hai ánh xạ. Nếu f và g là các đơn ánh thì x, x1 P X ta
có: pg f qpxq pg f qpx1 q g pf pxqq g pf px1 qq ñ f pxq f px1 q ñ x x1 . Do đó g f là đơn ánh.
Giả sử f và g là các toàn ánh. Lấy z P Z . Vì g là toàn ánh nên có một y P Y : g py q z . Tương tự vì f là
toàn ánh nên có x P X : f pxq y . Vậy có z P Z, Dx P X : z g py q g pf pxqq pg f qpxq. Vậy g f
là toàn ánh. Còn nếu f và g là các song ánh thì từ hai kết quả trên ta được g f cũng là song ánh.
Định lý 1.3. Cho f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là hai ánh xạ. Nếu g f là đơn ánh thì f là đơn
ánh, còn nếu g f là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Chứng minh. Giả sử g f là đơn ánh. Khi đó x, x1 P X ta có f pxq f px1 q ñ gpf pxqq gpf px1 qq
pg f qpxq pg f qpx1 q ñ x x1 . Do vậy f là đơn ánh. Cho g f là toàn ánh. Lấy z P Z , khi đó có
x P X : pg f qpxq gpf pxqq z . Nghĩa là có phần tử y f pxq P Y : f py q z . Vậy g là toàn ánh.
Cho f : X ÝÑ Y . Ta nói ánh xạ g : Y ÝÑ X là ánh xạ ngược của f nếu g f IdX và
f g IdY .
Định lý 1.4. Ánh xạ ngược nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử có hai ánh xạ ngược của f là g và h. Khi đó g f IdX và f h IdY . Từ đó:
g g IdY g pf hq pg f q h IdX h h.
Ta ký hiệu ánh xạ ngược của f là f 1 . Ta có mệnh đề quan trọng sau đây.
Định lý 1.5. Ánh xạ f : X ÝÑ Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Chứng minh. Giả sử f có ánh xạ ngược là f 1 . Khi đó f 1 f IdX và f f 1 IdY . Lấy x và x1 tùy ý
thuộc X và giả sử f pxq f px1 q. Ta có x f 1 pf pxqq f 1 pf px1 qq x1 . Vậy f là đơn ánh. Bây giờ xét
- 1.4 Quan hệ hai ngôi 13
y là phần tử tùy ý của Y . Ta có f pf 1 py qq y . Do đó có phần tử x f 1 py q P X để cho f pxq y , nên
f là toàn ánh. Vậy f là song ánh.
Đảo lại, nếu f là song ánh thì qui tắc cho ứng với mỗi phần tử y P Y một phần tử duy nhất x f 1pyq P X
là ánh xạ g : Y ÝÑ X . Dễ thấy rằng g f IdX và f g IdY , và g là ánh xạ ngược của f .
Định lý 1.6. Giả sử f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là các song ánh. Khi đó pg f q1 f 1 g1 .
Chứng minh. Ta có g g IdY g pf f 1 q pg f qf 1 . Do đó IdZ g g1 ppg f qf 1 qg1
pg f q pf 1 g1 . Điều này chứng tỏ pg f q1 f 1 g1 .
Cho I tα, β, γ, . . . u là tập khác rỗng và X là một tập tùy ý. Xét ánh xạ f : I ÝÑ X cho
ứng với mỗi phần tử của I, là α chẳng hạn, với một phần tử x P X, ký hiệu là f pαq xα .
Khi ấy ta nói tập hợp X được đánh số bởi tập hợp I và tập I được gọi là tập các chỉ số. Ta
cũng có thể viết X pxα qαPI . Nếu các phần tử của X là các tập hợp thì ta nói X là một họ
các tập hợp.
Cho một họ các tập hợp X pXα qαPI . Khi ấy ta có thể định nghĩa các phép toán hợp và
giao của một họ các tập hợp như sau:
: Phép hợp:
X tx | Dα P I, x P X u
α α
αPI
: Phép giao: X tx | α P I, x P X u
α α
P
α I
§1.4 Q UAN HỆ HAI NGÔI
Cho X và Y là hai tập hợp. Ta gọi một quan hệ hai ngôi R của X và Y là một bộ ba
R pX, Γ, Y q với Γ là một tập con của tích Descartes X Y . Hai phần tử x P X và y P Y là
có quan hệ với nhau theo quan hệ R nếu px, y q P Γ và ta viết xRy. Trường hợp X Y thì ta
gọi R là một quan hệ hai ngôi trong X. Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét quan hệ hai
ngôi trong tập hợp X. Quan hệ hai ngôi R trong tập hợp X có các tính chất sau:
: Tính phản xạ: x P X, xRx.
: Tính đối xứng: x, y P X, pxRy ñ yRx.
: Tính phản đối xứng: x, y P X, pxRy ^ yRx ñ x yq.
: Tính bắt cầu: x, y, z P X, pxRy ^ yRz ñ xRzq.
Ví dụ 1.4. : Xét tập X t1, 2, 3u và quan hệ R được xác định bởi tập Γ
tp1, 2q, p2, 1q, p1, 3q, p3, 1q, p2, 3q, p3, 2qu. Quan hệ R có tính đối xứng nhưng không có tính phản
xạ, phản đối xứng và bắt cầu.
- 1.4 Quan hệ hai ngôi 14
: Cũng xét tập X t1, 2, 3u và quan hệ R bây giờ được xác định bởi Γ
tp1, 1q, p2, 2q, p3, 3q, p1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu. Quan hệ R có tính phản xạ và bắt cầu, không có tính đối
xứng và phản đối xứng.
: Xét X là tập tất cả các học sinh trong một trường phổ thông trung học và R là quan hệ "học chung
lớp". Quan hệ R có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu nhưng không có tính phản đối xứng.
Cho R là một quan hệ hai ngôi trên X. Ta nói R là một quan hệ tương đương trên X nếu
nó có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu.
Với mọi x P X, ta gọi lớp tương đương của x theo quan hệ R là tập con của X, ký hiệu
là Clpxq, được xác định như sau:
Clpxq ty P X | xRyu
Đương nhiên x P Clpxq. Dễ thấy rằng nếu R là một quan hệ tương đương trên X thì
x, y P X ta có xRy Clpxq Clpyq x P Clpyq y P Clpxq.
Ta gọi tập thương của X theo quan hệ tương đương R, ký hiệu X {R, là tập tất cả các
lớp tương đương theo quan hệ tương đương R. Như vậy:
X {R tClpxq, x P X u
Ví dụ 1.5. : Quan hệ bằng nhau pq trên một tập bất kỳ là một quan hệ tương đương. Với mọi
x P X, Clpxq txu, và E { là tập ttxu, x P X u.
:
Với mọi n nguyên dương, quan hệ đồng dư modul n ( ) được định nghĩa như sau:
x, y P Z, px y n | px yqq
là một quan hệ tương đương trên Z. Với mỗi x P Z, lớp tương đương của x là lớp đồng dư modulo n
p
và thường được ký hiệu là x tx kn, k P Zu. Tập thương theo quan hệ tương đương này được ký
hiệu là Z{nZ tp
0, p 1u.
1, . . . , nz
: Xét tập hợp D các đường thẳng trong mặt phẳng. Quan hệ song song của các đường thẳng là quan
hệ tương đương. Với mọi đường thẳng d của D , lớp tương đương của d theo modulo song song xác
định phương của d.
Cho R là một quan hệ hai ngôi trong X. Ta nói R là một quan hệ thứ tự trong X nếu
nó có tính phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu. Quan hệ thứ tự thường được ký hiệu là .
Nếu trong X có một quan hệ thứ tự thì ta nói X là tập được sắp thứ tự.
Ví dụ 1.6. : Quan hệ ¤ trong tập các số tự nhiên N là một quan hệ thứ tự.
- Bài tập chương 1 15
: |
Quan hệ chia chẵn trong N (m chia chẵn cho n được ký hiệu là n m) cũng là một quan hệ thứ tự.
: Quan hệ bao hàm trong tập BpX q cũng là một quan hệ thứ tự.
Cho X là tập được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự . Hai phần tử x và y của X được gọi
là so sánh được với nhau nếu hoặc x y hoặc y x. Nếu mọi cặp phần tử của X đều có
thể so sánh được với nhau, thì ta nói là một quan hệ thứ tự toàn phần và tập X là tập
được sắp thứ tự toàn phần. Trong ba ví dụ vừa nêu, quan hệ ¤ trong N là quan hệ thứ tự
toàn phần. Còn quan hệ chia chẵn trong N và quan hệ bao hàm trong BpX q không phải là
các quan hệ thứ tự toàn phần.
Cho là một quan hệ thứ tự trong X, A P BpX q và x P X. Phần tử x được gọi là cận
trên (cận dưới) của A trong X nếu a P A, a x pa P A, x aq. Nếu A X có một cận
trên (cận dưới) thì ta nói nó bị chặn trên (bị chặn dưới) trong X. Tập hợp vừa bị chặn trên
vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn. Phần tử x P A được gọi là phần tử lớn nhất (nhỏ
nhất) của A nếu a P A, a x pa P A, x aq. Phần tử x P A được gọi là phần tử cực đại
(cực tiểu) của A nếu a P A, x a ñ x a pa P A, a x ñ x aq.
Một số nhận xét:
: Ký hiệu M ajX pAq - tập các cận trên của A trong X và M inX pAq - tập các cận dưới của
A trong X.
: Nếu x và y là hai phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A trong X thì x y. Một tập hợp có
thể có hoặc không có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất).
: Một tập hợp có thể không có, có một hoặc có nhiều phần tử cực đại.
: Nếu là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X và A X có phần tử cực đại thì nó là
duy nhất. Phần tử này cũng chính là phần tử lớn nhất của A.
Nếu tập M ajX pAq có phần tử nhỏ nhất thì nó được gọi là cận trên bé nhất của A và
ký hiệu là suppAq. Còn nếu tập M inX pAq có phần tử lớn nhất thì nó được gọi là cận dưới
lớn nhất của A và ký hiệu là inf pAq. Cho A là tập khác rỗng và tồn tại inf pAq, suppAq, khi đó
inf pAq suppAq.
BÀI TẬP
Câu 1. Giả sử X là một tập hợp và A, B, C, D là các tập con của X. Hãy chứng minh:
(a) pA X B q pA X C q Y pB X CX pC qq
(b) pA Y B A X C q pB A C q
- Bài tập chương 1 16
(c) ppA X B A X C q ^ pA Y B A Y C qq pB C q
(d) pA B q Y pA C q A pB X C q
(e) pA X B C X D, C Y D X, C A, D B q ñ pA C, B Dq
Câu 2. Giả sử X là một tập hợp và A, B P BpX q. Hãy giải trong BpX q các phương trình sau:
(a) Y YAB (b) Y X A B
Câu 3. Cho f : X ÝÑ Y là một ánh xạ, A X, B X, C Y, D Y . Chứng minh:
(a) A B ñ f pAq f pB q (e) f 1 pC Y D q f 1 pC q Y f 1 pD q
(b) f pA Y B q f pAq Y f pB q (f ) f 1 pC X D q f 1 pC q X f 1 pD q
(c) f pA X B q f pAq X f pB q (g) A f 1 pf pAqq
(d) C D ñ f 1 pC q f 1 pD q (h) f pf 1 pC qq C
Câu 4. Cho X, Y là hai tập hợp, f : X ÝÑ Y, g : Y ÝÑ X là hai ánh xạ. Giả sử g f g f là
toàn ánh và f g f g là đơn ánh. Chứng minh f và g là các song ánh.
Câu 5. Cho X là tập hợp và f : X ÝÑ X là ánh xạ sao cho f f f f . Chứng minh rằng f
là đơn ánh khi và chỉ khi f là toàn ánh.
Câu 6. Cho X là tập hợp, A X. Ta định nghĩa
A tB X | B Au, A tC X | A C u, A A A
Ánh xạ f : BpX q ÝÑ A xác định bởi Y P BpX q, f pY q pY X A, Y Y Aq. Chứng tỏ rằng f là
song ánh.
Câu 7. Cho X là tập hợp khác rỗng, A, B P BpX q. Xét ánh xạ f : BpX q ÝÑ BpX q BpX q xác
định bởi Y P BpX q, f pY q pY Y A, Y Y B q.
(a) Chứng tỏ rằng f không là toàn ánh.
(b) Chứng tỏ rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi A X B H.
Câu 8. Cho X là một tập hợp và R là một quan hệ phản xạ trong X sao cho:
px, y, zq P X 3 , ppxRyq ^ pyRzqq ñ pzRxq
Chứng tỏ rằng R là một quan hệ tương đương.
Câu 9. Trên R, xét quan hệ R xác định như sau: xRy px2 y2 x yq. Chứng tỏ rằng R
là quan hệ tương đương. Với mọi x P R, tìm Clpxq.
- CHƯƠNG HAI
CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
Mục lục
2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§2.1 PHÉP TOÁN HAI NGÔI
Ta gọi phép toán hai ngôi trong một tập hợp E là ánh xạ f đi từ E 2 vào E. Phần tử
f px, y q được gọi là cái hợp thành của hai phần tử x và y của E. Thông thường một phép
toán hai ngôi trong E được ký hiệu bởi các dấu , , K, J, , , , . . . . Trong trường hợp tổng
quát ta sẽ dùng dấu . Khi đó f px, y q x y. Một tập hợp E mà trên đó có xác định một
phép toán được ký hiệu là pE, q và gọi là một phỏng nhóm.
Ví dụ 2.1. : Phép cộng và phép nhân thông thường là các phép toán hai ngôi trong N.
: Với tập hợp X bất kỳ, phép hợp và phép giao là các phép toán hai ngôi trong B X . p q
Cho E là một phỏng nhóm với phép toán . Ta đưa ra một số tính chất của phép toán :
Định nghĩa 2.1. Phép toán có tính chất kết hợp nếu: px, y, zq P E 3 , px yq z x py zq.
Khi đó ta có thể bỏ các dấu ngoặc đơn và viết x y z. Trường hợp cụ thể đối với các
phép toán , có tính kết hợp, ta ký hiệu:
°n x x x x °n x x x x nx
k 1 2 n
k 1 k 1
±n x x x x ±n x x x x xn
k 1 2 n
k 1 k 1
Ví dụ 2.2. : Phép cộng và phép nhân thông thường trong N có tính kết hợp.
: Xét phép toán hai ngôi trong Q như sau: x y x 2 y , x, y P Q. Phép toán không có tính kết
hợp vì p4 0q 4 1 4 p0 4q 1.
- 2.1 Phép toán hai ngôi 18
Định nghĩa 2.2. Phép toán có tính chất giao hoán nếu: px, yq P E 2 , xy y x.
Ví dụ 2.3. : Phép cộng và phép nhân thông thường trong N có tính giao hoán.
: Xét phép toán hai ngôi trong Q như sau: x y xy2, x, y P Q. Phép toán không có tính giao
hoán vì 1 2 5 2 1 2.
Định lý 2.1. Cho E là một tập hợp với phép toán có tính giao hoán và kết hợp. Thế thì:
1. n P N, px1 , x2 , . . . , xn q P E n , py1, y2, . . . , ynq P E n, ta có:
¸
n ¸
n ¸
n
pxk yk q xk yk
k 1 k 1 k 1
°n °p °p °n
2. pn, pq P p q pxij q P
N 2 , E np , ta có: xij xij .
i1 j 1 j 1 i1
Định nghĩa 2.3. Phần tử a P E là chính qui trái (giản ước được bên trái) đối với nếu
px, yq P E 2, pa x a y ñ x yq. Phần tử a P E là chính qui phải (giản ước được bên phải)
đối với nếu px, y q P E 2 , px a y a ñ x y q. Phần tử a P E là chính qui (giản ước được)
đối với nếu nó vừa là chính qui trái vừa là chính qui phải.
Ví dụ 2.4. Trong Z mọi phần tử đều chính qui đối với phép cộng thông thường và mọi phần tử khác
không đều chính qui đối với phép nhân thông thường.
Định nghĩa 2.4. Phần tử e P E là trung hòa trái đối với nếu x P E, e x x. Phần tử
e P E là trung hòa phải đối với nếu x P E, x e x. Phần tử e P E là phần tử trung hòa
đối với nếu nó vừa là trung hòa trái vừa là trung hòa phải. Nghĩa là x P E, e x x e x.
Ví dụ 2.5. : 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng trong Z.
: p q với phép toán : N2 ÝÑ N sao cho px, yq P N2, x y y. Ta thấy mọi phần tử của N
Xét N,
đều là trung hòa trái và không có phần tử nào là trung hòa phải.
Định lý 2.2. Cho pE, q là một phỏng nhóm với e là trung hòa trái và e1 là trung hòa phải của
phép toán . Thế thì e e1 .
Hệ quả 2.1. Cho pE, q. Nếu phép toán có phần tử trung hòa thì nó là duy nhất.
Một phỏng nhóm pE, q với phép toán có tính kết hợp và E có phần tử trung hòa e được
gọi là một vị nhóm.
Ví dụ 2.6. : pN, q và pN, q là những vị nhóm.
: p p q Xq, pBpX q, Yq là những vị nhóm.
Với mọi tập X , B X ,
- 2.2 Nhóm 19
: p
q là một vị nhóm.
Với mọi tập X , X X ,
Định nghĩa 2.5. Cho pE, q là một vị nhóm với phần tử trung hòa là e. Phần tử x P E là khả
nghịch (hay khả đối xứng) nếu tồn tại một phần tử y P E sao cho x y y x e.
Phần tử y như thế nếu tồn tại được gọi là phần tử nghịch đảo của x đối với và ký hiệu
là x1 (đối với phép cộng, ta gọi là phần tử đối xứng và ký hiệu là x).
Định lý 2.3. Trong một vị nhóm, phần tử nghịch đảo, nếu tồn tại, là duy nhất.
Chứng minh. Cho pE, q là một vị nhóm, x P E là khả nghịch và tồn tại hai phần tử nghịch đảo của x là y và
z . Ta có x y
y x e và x z z x e. Khi đó y y e y px zq py xq z e z z.
Định lý 2.4. Cho pE, q là một vị nhóm và x, y P E. Nếu x và y là khả nghịch đối với , thì x y
cũng khả nghịch và px y q1 y 1 x1 .
Chứng minh. py 1 x1 q px y q py 1 px1 xqq y y1 y e. Tương tự px yq py1 x1 q
x py y 1 q x1 x x1 e.
Định nghĩa 2.6. Cho E là một tập hợp, và K là hai phép toán trong E. Phép toán là phân
phối trái đối với phép toán K nếu px, y, zq P E, x pyKzq px yqKpx zq. Phép toán là
phân phối phải đối với phép toán K nếu px, y, z q P E, py Kz q x py xqKpz xq. Phép toán
là phân phối đối với phép toán K nếu vừa phân phối trái vừa phân phối phải đối với phép
toán K.
Ví dụ 2.7. : Trong R, phép nhân phân phối đối với phép cộng.
: p q
Cho X là một tập bất kỳ. Khi đó,trong B X , các phép toán Y và X là phân phối lẫn nhau.
Cho hai phỏng nhóm pE, q và pF, Kq. Một đồng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào pF, Kq là
một ánh xạ f : E ÝÑ F px, yq P E 2, f px yq f pxqKf pyq. Một tự đồng cấu phỏng
sao cho:
nhóm của pE, q là một đồng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào pE, q. Một đẳng cấu phỏng
nhóm từ pE, q vào pF, Kq là một đồng cấu song ánh từ pE, q vào pF, Kq. Một tự đẳng cấu
phỏng nhóm của pE, q là một tự đồng cấu song ánh của pE, q.
Ví dụ 2.8. Ánh xạ ln : R ÝÑ R là một đẳng cấu từ phỏng nhóm pR , q lên phỏng nhóm pR, q.
Định lý 2.5. 1. Nếu f : pE, q Ñ pF, Kq và g : pF, Kq Ñ pG, Jq là hai đồng cấu phỏng nhóm,
thì g f : E Ñ G là đồng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào pG, Jq.
2. Với mọi phỏng nhóm pE, q, ánh xạ đồng nhất IdE là một tự đẳng cấu phỏng nhóm.
3. Nếu f : pE, q Ñ pF, Kq là một đẳng cấu phỏng nhóm, thì f 1 : pF, Kq Ñ pE, q cũng là một
đẳng cấu phỏng nhóm.
- 2.2 Nhóm 20
§2.2 NHÓM
Tập hợp G với một phép toán hai ngôi trong G được gọi là một nhóm nếu phép toán
có tính kết hợp, G có phần tử trung hòa đối với và mọi phần tử của G đều có phần tử
nghịch đảo đối với . Nếu có tính giáo hoán thì ta nói G là nhóm giao hoán hay nhóm
Abel. Nếu tập hợp G là hữu hạn thì ta nói G là nhóm hữu hạn và số phần tử của G
(CardpGq hoặc #G) được gọi là cấp của nhóm. Phần tử trung hòa của nhóm G thường được
ký hiệu là e.
Ví dụ 2.9. : pZ, q, pQ, q và pR, q là những nhóm giao hoán.
: pQzt0u, q là nhóm giao hoán.
Định lý 2.6. Trong một nhóm mọi phần tử đều chính qui.
Chứng minh. Lấy x, y, z tùy ý thuộc G. Ta có x y x z ñ x1 px yq x1 px zq px1 xq y
px1 xq z ñ y z. Lập luận tương tự với phép nhân bên phải.
Cho pG, q là một nhóm với phần tử trung hòa e và H G. Ta nói H là một nhóm con
của G nếu
(a) px, yq P H 2, x y P H. (b) e P H.
(c) Nếu x P H thì x1 P H.
Ví dụ 2.10. Với mọi n P N , tập nZ tna | a P Zu là một nhóm con của nhóm cộng Z.
Định lý 2.7. Cho pG, q là một nhóm và H G, H H. H là một nhóm con của G khi và chỉ
khi px, yq P H 2, x y1 P H.
Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G. Với mọi px, y q P H 2 ñ y1 P H , do đó x y1 P H . Ngược
lại, xét H H và giả sử px, y q P H 2 , x y 1 P H . Do đó: e x x1 P H, x1 e x1 P H và cuối
cùng x y x py 1 q1 P H .
Định lý 2.8. Cho pG, q là một nhóm và pHα qαPI là một họ những nhóm con của G. Thế thì
H là một nhóm con của G.
α
P
α I
Chứng minh. Ký hiệu H Hα. Rõ ràng H H vì e P Hα với mọi α P I , do đó e P H . Lấy x, y
αPI
tùy ý thuộc H, ñ x P Hα , y P Hα , α P I . Vì Hα là một nhóm, nên x y 1 P Hα với mọi α. Ta được
x y 1 P H , và do đó, H là một nhóm con của G.
Cho pG, q là một nhóm và A G. Giao của tất cả các nhóm con của G có chứa A là một
nhóm con của G và được gọi là nhóm con sinh bởi A, ký hiệu là A ¡. Với mọi a P G, ta ký
hiệu a ¡ thay cho tau ¡. Chú ý rằng A ¡ là nhóm con bé nhất của G có chứa A (theo
nguon tai.lieu . vn
