- Trang Chủ
- Hoá học
- Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p2
Xem mẫu
- h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD
PD
er
er
!
!
W
W
O
O
N
N
y
y
bu
bu
to
to
k
k
lic
lic
C
C
w
w
m
m
w w
w
w
o
o
.c .c
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D−
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k
∃ δ > 0 : ∀ n ≤ N , ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ | un(z) - un(a) | < ε / 3N
Suy ra
∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒
N
∑| u
| S(z) - S(a) | ≤ | S(z) - Sn(z) | + (z) − u n (a ) | + | S(a) - Sn(a)| < ε
n
k =0
VËy h m S(z) liªn tôc trªn miÒn D.
2. TÝch ph©n tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc,
+∞ D
∑ u n (z) = S(z) th× h m S(z) còng kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ.
n»m gän trong miÒn D v
n =0
+∞
+∞
∑ u n (z ) dz = ∑ ∫ u n (z)dz
∫ n =0 (4.1.3)
Γ n =0 Γ
Chøng minh
Theo tÝnh chÊt 1. h m S(z) liªn tôc v Γ tr¬n tõng khóc nªn kh¶ tÝch trªn Γ.
b
KÝ hiÖu s(Γ) = ∫ | γ ′(t ) | dt . Do tÝnh héi tô ®Òu
a
∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / s(Γ)
Suy ra
n
∫ S(z)dz − ∑ ∫ u n (z)dz ≤ ∫ S(z) − S (z) dz < ε
n
k =0 Γ
Γ Γ
+∞ D
∑u
3. §¹o h m tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v (z) = S (z) th×
n
n =0
h m S(z) còng gi¶i tÝch trong miÒn D.
+∞ D
∑ u (nk ) (z) = S ( k ) (z)
∀ k ∈ ∠, (4.1.4)
n =0
Chøng minh
Víi mäi z ∈ D, ∃ B(z, R) ⊂ D. KÝ hiÖu Γ = ∂B+ v G = D - B(z, R/2) khi ®ã
u (ζ ) u (ζ ) G S (ζ )
+∞
gi¶i tÝch trong G v ∑ n
∀ n ∈ ∠, n =
ζ−z n =0 ζ − z ζ−z
Sö dông c«ng thøc (3.4.3) v c«ng thøc (4.1.3)
1 +∞ u n (ζ ) 1 S (ζ )
+∞
∑ ∫ ζ − z dζ = 2πi ∫ ζ − z dζ
S(z) = ∑ u n (z) =
2πi n =0 Γ
n =0 Γ
Theo ®Þnh lý vÒ tÝch ph©n Cauchy h m S(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v do ®ã cã ®¹o h m
mäi cÊp trªn miÒn D. KÕt hîp c«ng thøc (3.5.3) v c«ng thøc (4.1.3)
u n (ζ )
S (ζ ) +∞ +∞
k!
k!
dζ = ∑ dζ = ∑ u (nk ) (z)
∫
2 πi ∫ (ζ − z) k +1
∀ k ∈ ∠, S(k)(z) =
n = 0 2 πi Γ (ζ − z )
k +1
n =0
Γ
.
Trang 60 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD
PD
er
er
!
!
W
W
O
O
N
N
y
y
bu
bu
to
to
k
k
lic
lic
C
C
w
w
m
m
w w
w
w
o
o
.c .c
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D−
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k
4. X¸c ®Þnh trªn biªn NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D , gi¶i tÝch trong miÒn D
+∞ +∞
∂D D
∑ u n (z) = S(z) th× ∑u (z ) = S(z) .
v n
n =0 n =0
Chøng minh
Theo nguyªn lý cùc ®¹i
n n
∑u ∑u
∀ z ∈ D, ∃ a ∈ ∂D : | S(z) - (z) | ≤ | S(a) - (a ) | < ε
k k
k =0 k =0
§2. Chuçi luü thõa phøc
• Chuçi h m phøc
+∞
∑c (z − a ) n = c0 + c1(z - a) + ... + cn(z - a)n + ... (4.2.1)
n
n =0
gäi l chuçi luü thõa t©m t¹i ®iÓm a.
§Þnh lý Abel NÕu chuçi luü thõa héi tô t¹i ®iÓm z0 ≠ a th× nã héi tô tuyÖt ®èi v ®Òu
trong mäi h×nh trßn B(a, ρ) víi ρ < | z0 - a |.
Chøng minh
+∞
Do chuçi sè phøc ∑ c n (z 0 − a ) n héi tô nªn lim cn(z0 - a)n = 0. Suy ra
n → +∞
n =0
∃ M > 0 sao cho ∀ n ∈ ∠, | cn(z0 - a)n | ≤ M
Víi mäi z ∈ B(a, ρ) ®Æt q = | z - a | / | z0 - a | < 1 ta cã
n
z−a
∀ n ∈ ∠, ∀ z ∈ B(a, ρ), | cn(z - a) | = | cn(z0 - a) | ≤ M qn
n n
z0 − a
+∞
∑q n
Do chuçi sè d−¬ng héi tô, theo tiªu chuÈn Weierstrass suy ra chuçi luü thõa héi tô
n =0
tuyÖt ®èi v ®Òu.
Hª qu¶ 1 NÕu chuçi luü thõa ph©n kú t¹i z1 th× nã ph©n kú trªn miÒn | z - a | > | z1 - a |
Chøng minh
Gi¶ sö tr¸i l¹i chuçi luü thõa héi tô t¹i z : | z - a | > | z1 - a |. Tõ ®Þnh lý suy ra chuçi luü
thõa héi tô t¹i z1. M©u thuÉn víi gi¶ thiÕt.
HÖ qu¶ 2 Tån t¹i sè R ≥ 0 sao cho chuçi luü thõa héi tô trong ®−êng trßn | z - a | = R v
.
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 61
- h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD
PD
er
er
!
!
W
W
O
O
N
N
y
y
bu
bu
to
to
k
k
lic
lic
C
C
w
w
m
m
w w
w
w
o
o
.c .c
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D−
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k
ph©n kú ngo i ®−êng trßn | z - a | = R.
Chøng minh
Râ r ng chuçi luü thõa lu«n héi tô t¹i z = 0 v ph©n kú t¹i z = ∞. KÝ hiÖu
R1 = Max{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa héi tô trong | z - a | < ρ}
R2 = Min{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa ph©n kú ngo i | z - a | < ρ}
Ta cã R1 = R2 = R
• Sè R gäi l b¸n kÝnh héi tô cßn h×nh trßn B(a, R) gäi l h×nh trßn héi tô cña chuçi luü
thõa. NÕu D l miÒn héi tô cña chuçi luü thõa th× ta lu«n cã
B(a, R) ⊂ D ⊂ B (a, R)
HÖ qu¶ 3 B¸n kÝnh héi tô ®−îc tÝnh theo mét trong c¸c c«ng thøc sau ®©y
cn 1
R = lim = lim (4.2.2)
c n +1 n → +∞
n → +∞
| cn |
n
Chøng minh
LËp luËn t−¬ng tù chuçi luü thõa thùc.
• KÝ hiÖu
+∞
∑c (z − a ) n víi z ∈ B(a, R)
S(z) = (4.2.3)
n
n =0
KÕt hîp c¸c tÝnh chÊt cña h m luü thõa víi c¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô ®Òu ta cã c¸c
hÖ qu¶ sau ®©y.
HÖ qu¶ 4 H m S(z) liªn tôc trong h×nh trßn B(a, R)
Chøng minh
Suy ra tõ tÝnh liªn tôc cña h m luü thõa v chuçi héi tô ®Òu.
HÖ qu¶ 5 H m S(z) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, n»m gän trong B(a, R)
+∞
∑ c ∫ (z − a )
∫ S(z)dz =
n
dz (4.2.4)
n
n =0
Γ Γ
Chøng minh
Suy ra tõ tÝnh kh¶ tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc tÝch ph©n tõng tõ.
HÖ qu¶ 6 H m S(z) gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R)
+∞
∑ n(n − 1)...(n − k + 1)c (z − a ) n − k
∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = (4.2.5)
n
n=k
Chøng minh
Suy ra tõ tÝnh gi¶i tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc ®¹o h m tõng tõ.
.
Trang 62 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD
PD
er
er
!
!
W
W
O
O
N
N
y
y
bu
bu
to
to
k
k
lic
lic
C
C
w
w
m
m
w w
w
w
o
o
.c .c
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D−
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k
1 (k)
HÖ qu¶ 7 ∀ k ∈ ∠, ck = S (a) (4.2.6)
k!
Chøng minh
Suy ra tõ c«ng thøc (4.2.5) víi z = a.
+∞
1
∑z n
VÝ dô Chuçi luü thõa héi tô ®Òu trong h×nh trßn B(0, 1) ®Õn h m S(z) = .
1− z
n =0
Suy ra
dζ
+∞ z z
+∞
1
∑ ∫ ζ n dζ = ∑ n + 1 z n +1 = ∫ 1 − ζ = - ln(1 - z)
∀ z ∈ B(0, 1),
n =0 0 n =0 0
(k)
+∞
1 k!
∑ n(n − 1)...(n − k + 1)z n−k
∀ k ∈ ∠, = = , ...
1 − z (1 − z) k +1
n=k
§3. Chuçi Taylor
§Þnh lý Cho D = B(a, R), Γ = ∂D+ v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D.
f (ζ )
+∞
1
∑c ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ , n ∈ ∠
∀ z ∈ D, f(z) = (z − a ) n víi cn = (4.3.1)
n
2 πi Γ
n =0
C«ng thøc (4.3.1) gäi l khai triÓn Taylor cña h m f t¹i ®iÓm a.
Chøng minh
Víi mäi z ∈ D cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy
f (ζ )
1
∫ ζ − z dζ
f(z) = (1)
2 πi Γ
Víi ζ ∈ Γ ta cã q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triÓn
n n
1 z−a f (ζ ) f (ζ ) z − a
+∞ +∞
1 1
1
∑ζ −a ζ −a v ζ −z = ∑ ζ − a ζ − a (2)
=
=
z−a
ζ−a
ζ−z
1− n =0 n =0
ζ−a
Do h m f liªn tôc nªn cã module bÞ chÆn trªn miÒn D suy ra
n
f (ζ ) z − a Mn
∃ M > 0 : ∀ ζ ∈ Γ, ≤
q
ζ −a ζ −a R
Theo tiªu chuÈn Weierstrass chuçi (2) héi tô ®Òu trªn Γ, do ®ã cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ
däc theo ®−êng cong Γ. TÝch ph©n tõng tõ c«ng thøc (1) suy ra c«ng thøc (4.3.1)
.
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 63
- h a n g e Vi h a n g e Vi
XC XC
e e
F- F-
w w
PD
PD
er
er
!
!
W
W
O
O
N
N
y
y
bu
bu
to
to
k
k
lic
lic
C
C
w
w
m
m
w w
w
w
o
o
.c .c
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D−
.d o .d o
c u -tr a c k c u -tr a c k
HÖ qu¶ KÕt hîp c«ng thøc (4.2.6) v (4.3.1) ta cã
1 (k)
∀ k ∈ ∠, ck = f (a) (4.3.2)
k!
NhËn xÐt Theo ®Þnh lý Cauchy cã thÓ lÊy Γ l ®−êng cong bÊt k× ®¬n, kÝn, tr¬n tõng
khóc bao a v z, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong B(a, R). Th«ng th−êng, chóng ta
khai triÓn h m f(z) trong h×nh trßn B(0, R) chuçi nhËn ®−îc gäi l chuçi Maclorinh
t−¬ng tù nh− h m thùc.
VÝ dô
+∞
zn
zn +∞
zn
1
∑ (−1) n
∑ n! v e-z =
1. ez = 1 + z+…+ +… =
n!
1! n! n =0
n =0
(−1) n 2 n
+∞
( −i ) n n
1 i
1 1 1
∑ (2n)! z
2. cos z = (eiz + e-iz) = ∑ ( + )z n = 1 - z2 + z4 + ... =
2 n! n!
2 2! 4! n =0
T−¬ng tù khai triÓn
1 iz -iz 1 1
(e - e ), ch z = (ez + e-z), sh z = (ez - e-z)
sin z =
2i 2 2
m(m − 1)...( m − n + 1) n
m ( m − 1) 2 +∞
z +… = ∑
3. (1 + z)m = 1 + mz + z
n!
2! n =0
Víi m = 1
1 +∞
∑ (−1)
= 1 - z + z2 - … = nn
z
1+ z n =0
Thay z b»ng z2
+∞
1
= 1 - z2 + z4 - … = ∑ ( −1) n z 2 n
1 + z2 n =0
Suy ra
dζ
z
(−1) n n +1
+∞
z
+∞
∑ n + 1z
∑ (−1) n ∫ ζ n dζ =
∫1+ ζ =
ln(1 + z) =
n =0 n =0
0 0
(−1) n 2 n +1
z
+∞ +∞
dζ
z
= ∑ (−1) n ∫ ζ 2 n dζ = ∑ 2n + 1z
∫ 1 + ζ 2 n =0
arctanz =
n =0
0
0
§4. Kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch
§Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm
a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = 0 th× ∃ R > 0 sao cho ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0.
.
Trang 64 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
nguon tai.lieu . vn
