Xem mẫu
- Chương 6
CHUYỂN ĐỘNG SÓNG
CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
6 .1 . C Á C P H Ư Ơ N G T R ÌN H c ơ B Ả N C Ủ A C H U Y Ê N đ ộ n g s ó n g
6.1.1. Định nghĩa
Chuyên đông dao động của các hạt lỏng riêng rẽ gọi là chuyên
độn g sóng. Ví dụ: sóng biển, sóng ờ sông, hổ... Sóng có thẻ là sóng
ngắn, sóng dài, sóng dịch chuyển ...
Nguyên nhân gây ra chuyển động sóng rất phức tạp. Nhữiìg
nguyên nhân chủ y ếu có thể là, chẳng hạn, đối với sóng ha'p dẫn
gây nên bởi trọng lực (khi hạt lỏng lệch khòi vị trí cân bằng thì
írọng lực có xu th ế !àm cho hạt lỏng trở lại vị trí cán bằng). Sóng
đàn hồi gây ra do sự dãn nở cùa chất lỏng nén được.
6.1.2. Phương trình sóng trọng lực
Xét chuyển đ ộ n g sóng phát sinh do trọng lực trong chất lỏng
đổng chất, lý tường, không nén được, được giới hạn bời một sđ mặt
c ố định (đáy, mặt tự do ...). Già sử tại thời điểm nào đó có môt kích
động trên bể mặt chất lòng. Giả thiết tại thời điểm ban đầu mật nằm
ngang, vận tốc trên bể mặt bằng không, áp suất góm áp s u it trên
mặt và áp suất phụ đo kích động và chỉ gây ra trong thời gian đủ bé r .
Tại thời điểm ban đầu các thành phần vận tốc có dạng
v = v y=\’ =fí. Tích phàn theo t hai vé phương trình Euler dưới dạng
hình chiếu, chẳng hạn đối với phương trình thứ nhất ta được:
110
- õ v õ , ♦ '[ i V + •— - + r . —
i, Iự ' ãỂ. * v' ô ỳ ổ:
(6 .1. 1)
J ịM - ‘ § .) „ * .
» p a >»
I ’ ./ I I . » '•
Khi r bc thì chỉ tích phân cuối của (6.1.1) là hữu hạn còn các
tích phãn còn lại bé, có thê’ bó qua. Gọi:
ĩ
n - ịpdt
0
là xung áp suất, khi đó xưng áp suất gây nên môt chuyển động có
vận tốc với các thành phần:
= í n \ . . _ _ ỡ
V ;V = ( 6 . 1. 2 )
at ôy dĩ
Vậy chuyển động gây ra do xung áp suất là chuyển động có
thê. Do đó tồn tại thế vận tốc sao cho V = gradỳt, và thế vận tốc
dó có (hể xem là do tác động cùa xung áp suất TI = -prt. Vì chất
lỏng thoà mãn các giả thiết về định lý Lagrange nẽn chuyển động
cúa chãi lỏng là không xoáy. Ký hiệu là thế vận tốc và do đó:
V = gradiỊ>. (6.1.3)
Từ phương trình liên tục divý = 0 , ta suy ra:
Aệ = 0 . (6.1.4)
Tích phân Cauchy:
£ =- Q - L v 2 - u + F(t) (6.1.5)
p Ot 2w
trong đó u là thế cùa lực ngoài. Nếu xem lực ngoài chỉlà trọng lực
u - Ị>: và chuyển động xáy đừ chậm để có thể bò qua đại lượng
—- , khi đó ( 6 .1.5) trờ thành:
111
- Đặt: , =- ịF ( t) d t%khi dó (6 .1. 6 ) có dạng :
0
(6.1.7)
p Of
đổng thời: ( 6 . 1 .8 )
và p = ỊỊradỳ/ . (6.1.9).
Các phương trình (6.1.7), (6.1.8), (6.1.9) xác định chuyển dộng
gây nên do xung áp suất. Ta cần thiết lập các điểu kiện đầu và điểu
kiện biên để nghiệm của bài toán là duy nhất.
Trên các mặt c ố định (đáy )ta đều có:
v „ = % = ớ. (6 . 1 . 1 0 ).
õìì
Trên mặt tự do áp suất là áp suất không khí p 0 vì thế:
Po = _
p. dí
Đặt: ệ , = , + — /
p
ta có: RZ-Pịl =- —ì l - g Z' (6.1.11).
p õt 5
G iả sừ tại t phương trình m ặt tự đo có dạng:
z = ị{x,y,t).
Vậy từ ( 6 .1.11) suy ra:
^ (* -ặ )+ * ỉ- 0 (6 . 1 . 1 2 )
- (6.1.13)
I Õỳ:ị.\.y .().r)
hoặc: (6.1.14)
X cV
f)ạo hàm hai vế (6.1.14) theo / ta đirợc:
(6.1.15)
ôt g ừ -
M
Có thế giá thiết rằng — khác V . rất ít. vì thế tai z=0 (thay cho
dt
r= £, ) ta có điều kiện biên gần đúng sau:
r:= Ẽ k =- i ^ . . (6. , . l6)
- õ= g õr
Điéu kiện đẩu: già sự kích động ban đáu cùa mặt tự do được
biểu diễn bời hàiT>4( v. v.O),từ (6.1.14) suy ra tại t=0 và := 0, ta có:
(6.1.17)
Xem vận tốc ban đầu sinh ra do xung áp suất Ji(.v. V',r), khi dó
thế vận tốc ban đầu sẽ là:
,(.v..y/>.0)= --n(.x.y.O ).
p
Vậy thè ,(x,y,z,tj trên mặt thoáng : - 0, tại thời điểm ban
đầu r = Of thoà mãn các điều kiện
ộ = - Lp Tự V. y,0), ôt
= - g Ụ i . V.0). (6.1.18).
113 *
- Để đơn gian dưới đây ta thay v .r.o b ờ i (\. v,-.r).Tóm
lại chuyển động sóng khống xoáy cùa chất lòng lý tường không nén
được xảy ra dưới tác dụng của trọng lực dược xác định theo các
công thức
p dt p
trong đó
- ỠO „
— = 0 (6.2.3)
on
Khi z = 0 thì:
- Thê vân tốc của chuyến động sóng phẳng trong chát lòng vó
c
hạn được xác định llìeo (6.2.10) với tuỳ ý. Do tính tuyên tính của
phương trình (6.2.2), (6.2.4) nên tổng cùa một sô' nghiệm riéng của
phưưng trình cũng là nghiệm của phương trình đó.
Xét trường hợp đơn gián khi a = £ = 0
Ta có: (Ị) = Cek' sinkx('OSơ / . (6.2-
Phương trình mặt tự do được xác định từ điểu kiên :
Cơsin kx sin at .
Ký hiệu a = —— , ta có:
s
iỈO I- . .
0 = — e ' sinkxi ơsor (6.2-13)
ơ
4 = a s in k x s in G ỉ. (6.2.14)
Vậy tại mỗi thời điểm xác định tiết diện của các mặt chất lỏng
cắt bỡi một mặt phảng song song với mật Ox- là đường hình sin.
Biẽn độ sóng là:
\A\ = \usin ơ/j < jí/|.
Piôíĩn sóng là đường hình sin với độ cao thay đổi theo quy luật
đicu hòa:
116
- A = asiti .. Ỉ Ỉ L - = _ JÍL . => + ///Ịroiitvl = I-. (6.2.17)
V, V. CO.VẲ.V sin k .
Đ ế nhận được họ đườiig dòng (6.2.17), ta chỉ cần vẽ một đường
ứng với một giá trị hằng sổ
- dx k: , _ ^ _ 1: • I.
V, = — = a o e ■■c o s k x . I o s a r , V. = — = ư ơ t ' s in k x . COS o f
' d t ° - (It
Suy ra:
•V =
- tự do dịch chuyên về mội phía xác định. Các đinh và chân sóng ờ
các điểm:
kx + a t - /m ịn = 0 ,± J,± 2 ...),
nghĩa là tại những thời điểm khác nhau thì những vị trí của chúng
khác nhau. Ta có:
ơ tm
k k
Vây toàn bộ sóng dịch chuyển về phía âm của trục ox với vận tốc:
k \k T 2n
(Hình dạng mặt thoáng thì dịch chuyển còn hạt lỏng vẫn chuyển
động quanh vị trí cân bằng). Các thành phần vận tốc:
vx= — = a o e >: co sịkx + o r ),
ô.x
= u a e h sinịkx + a t ) .
dz
Ta có hàm dòng:
ọ = — e L' í os(kx + ơ r).
ơ
Do vậv phương txình đường dòng phụ thuộc thời gian và đường
dòng sẽ khác quỹ đạo. Cũng lập luận như đối với (6..2.19) ta có:
,v= x 0 + a e k:" sin(Lx + ar),
: = z0 — a e k:“c o sịkx + lơ /)
Và do đó phương trìá h quỹ đạo:
(X - A „r +(z - Zof = a-V fc' . (6.2.25)
Nhu vây quỹ đạo gần đúng là các đường tròn với bán kính:
R = a e k'" vì th ế bán kính càng bé nếu hạt ờ càng sâu.
119
- Nếu tronc biếu thức (6.2.21) ta thay (Ẳ.V+ cr/) bới (fc\ - ar)
thì đư ợ c s ó n g tiến vể phía d ư ơ n g của trục o .x
6.2.3. Sóng tro n g c h ấ t lòng có độ sáu hữu han
Giả sứ chất lỏng có độ sâu hữu hạn //, trở lại nghiêm (6.2.7):
pịz)~ c tek: +c,e~k:,
Xem đáy nằm ngang, từ điều kiện biên :
— = 0 khi z= -h
õz
ta có: c,e ^ -C e^ O .
Nếu chọn: Ci= —Ceu',C , Ce~u' , thì nghiệm của bài toán
iưcmg ứng sẽ là:
p(7.)= C chk(: + h ). (6.3.1)
a) S ó n g đ ứ n g
T h ế vận tốc tương ứng:
4» = C c/ik(z + h )sin (x - Ị,)( o s (a t + e ) . (6.3.2)
Từ điều kiên:
^ = ~ k h i2 = 0
& X
ta có:
ksltk/ì= —- chkh - gkthkh . (6.3.3)
X
Phưong trình m ặt tự do:
4 = - —— (z = ()) = vhkhsin k ịx - 4)i7/;(ơ/ + e)
X St g
120
- Đật: - — f h k h = a và xct ậ = E = 0 , ta dược:
(JV rhk(z + h) . , , . .
d> = —- ——— - — sill k.\ cos a t.c = sill k.\ sit) Of (6.3.4)
Ơ ilikh
Các thành phán vận lốc:
u vk
- Biểu thúc (6.3.8) cũng ihu được nếu cho h 00 . Từ (6.3.8) ta
Ihấy rầng vận tốc truyển sóng phụ thuộc vào độ dài sóng. Các thành
phần vận tốc:
ưvh clỉk(z + It) (, _ V
V. = ~2— —— ——— (Oilfcv - ơ r )
ơ chkh v’
agh sh k(z + h ) . /, V. = - 5———— —— s im k x - ơ n
ơ ilikh
ch kị z0 + h)
X =x0 -a sin{ k x n - or).
cỉìkh
Quỹ đạo: (6.3.9)
sh kị z0 + lỉ)
2 = z0 +a i Os(kxn - o t).
shkli
Từ (6.3.9) suy ra:
(* - * 0 ? + (z - zo f
( cẩ
chk(z0 +h) )2 sh kị z0 + h )
ư
chkh shkh
Vậy quỹ đạo là họ êlíp.
122
- Chương 7
CHẤT LỎNG THỰC KHÔNG NÉN Được
7.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOCK
7.1.1. Tenxơ vận tốc biến dạng và tenxơ ứng suất
Ta đã xét chất lỏng lý tường, tức là chất lỏng mà lực mặt chỉ có
thành phẩn ứng suất pháp theo phương pháp tuyến cùa yếu tô' mảt
và hướng vào bên trong mặt.
Trong chất lỏng thực, do có tính nội m a sát nẽn lực mặt còn có
thành phần trong mặt phảng mật tiếp với yếu tô' mật mà ta gọi là
ứng suất tiếp.
Theo công thức (2.2.4) của Chương 2 ta có:
Pn = OPx + pPy + yp: (7-11)
trong đó p„ là véc tơ lực m ật tính trên m ột đơn vị diện tích của yếu
tồ mặt và phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến yếu tô' mặt, a ,p * y
là c á c C auchyn chỉ phương của véc tơ p h á p tuyến của yếu tố
m ặt, p x ,p y>pz là các véc tơ lực mặt dối với các yếu tố mặt mà
pháp tuyến ngoài của chiúng song song và cùng chiểu với các trục
ox.oy.oz . Gọi:
p X= [l> . p ,v •>.: ). P y = l/7,., - P y y • p y : )- P z = *P -.y - P - )
Nếu ký hiệu /, j . k tương ứng là X, y, z khi đó p„ gọi là ứng suất
pháp còn p,t gọi là ứng suất tiếp ( i * ị ).
Tenxơ:
123
- V , /»„
/\, /\, >,; = /3 (7.1.2)
/»:, >:» p,. )
được gọi là tenxơ ứng suất. Để xác định các thành phần cùa lenxcT
(7.1.2) người ta đưa vào các giả thiết sau:
A ) Khi không có tính nhớt thì tenxơ (7.1 ..2) trờ vé ten xo cùa
chất lỏng lý tướng, tức là các thành phần cùa nó thóa m ăn các
đ iều kiện:
P..--P i*j ■
Từ đó ta có rhể đặt:
/ \ v = - / > + 'y y .
Pn >v:='y.- (7 .1 . 3)
với tv chỉ khác không trong chất lỏng thực.
B) Các đại lượng ttỊ là các hàm tuyến tính thuần nhất cùa các
thành phẩn tenxơ vận tốc biến dạng, trong đó các hệ sô cùa hàm
này không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ vuông góc. Ta đã có
tenxơ vận tốc biến dạng theo (1.3.9) Chương 1:
V 2
V
e,
ĩ 6'
- 0,
2 '
với:
ỡv> ÔV’v Ỡr.
E/ =
ổv ,E- = ặ y *
0
ở\’
ỡv. ơ\\.
ch\. _ ỡr_ ỡ rd ỡr.
= ri£ + ! > , 0 = ^ + ^ , 0
d\'õ\'
= IJ L + r_L
ổy ổr ổv ổ: ổv ổy
124
- Giá thiết B vé lính tuyến tính cúa sự phụ thuộc là thòng thirờng
vi dó là sư phu thuộc đcm giàn nhất. Tính độc lập của hệ số cùa các
hàm tuyến tính đòi với việc chọn các hệ trục tọa độ vuông góc dựa
trẽn lính dẳng hướng cúa chất lỏng nhớt, tức là lính thuần nhát theo
các phương khác nhau.
Xéi mặt bậc hai:
ZịỰ + e:xỳ + z
- Hệ thức thứ hai cững nhận được bẳng cách xét tương tự. Xé! phép
biến đổi toa độ:
x = x . , z=- y .
Các trục toạ đô mới vẫn là các trục chính cùa tenxơ vận tốc
biến dạng và ta có các công thức sau:
V, = V, , Vv = V . , V. = - V y
* ỡv, to*
e/ = - i r = ~ Jr = eJ
Ôx ôx
* dv
e2 = - r r = eì
dy
e )= e 2
t.x x - t.x x ’
Theo giả thiết B ta có:
t xy = 1 1 ^ 1 + a2e* +aje*Ị = « /* / + a ìe ->- {xx = a iei + a2e2 + a ìí'.ì-
Từ đó suy ra: a 2-O ị
Ký hiệu: aỊ - X + 2\x,
cỉ2 — ci) —À.
ta viết lại các công thức (7.1. 6 ) và (7.1.7) dưới dạng:
r , v =*>(*/ + « í + e3)+2ịU!l
tyY = ^ { e , + e 2 + e s )+ 2 \ie 7 (7.1.8)
ếtV = x { e , + e ĩ + e ĩ )+ 2 ịx e 1,
Cũng theo giả thiết B, ta có chẳng hạn:
*, V = ia4el + a se2 + “(,«))■ (7.1.9)
Xét phép biến đổi toạ độ:
X = X . y = -ý, z - -Z.
126
- Các trục toạ độ mới cũng là các trục chính cúa tenxơ vận tốc
bicn dạna và ta có:
= 'V ->\ = ~ ' I. ’
e , = e ,,e ] = e2 ,e] = e , t
Cõng thức cuối cùng suy ra từ nhân xét sau: ỉ là hình chiếu
trên trục y cùa ứng suất tác dụng lên diện tích có pháp tuyến ngoài
trùng với phương trục X còn / là hình chiếu trẽn trục y của ứng
suất cũng tác dụng lên diộn tích đó nhưng do trục y và trục y ngược
hướng nhau nên ta có kết quả trên. Theo giả thiết B ta có:
1 IV - U4*1 + a Ả + a 6e ) = ~( u4 = a Ị = a 6 = 0
Do vậy I =0.
Chímg minh tương tự, ta có :
Như vậy các trục toạ độ mới X, y , z cũng là các trục chính của
tenxơ vận tốc biến dạng. Các thành phần của tenxơ ứng suất có dạng:
p y = —p + XdivV + 2ịiej
p = - Ị ) + XdivV + 2ịie2 (7.1.10)
p . . = - p + XdivV + 2ị.veỊ
p . = p = 0 .
‘ XV y - : .í
Ta thẩy các trục chính cùa tenxơ ứng suất trùng với các trục
chính của tenxơ vận tổc biến dạng. Tenxơ ứng suất trong hệ mới,
theo (7.1.10) sẽ là :
P = ( - p + h J ivV )ỉ + 2ịxỳ. (7.1.11)
Trong đó / là tenxơ đơn vị, còn:
127
- e, 0 0^
♦= 0 e2 0
0 0 e ,j
Nhưng do các thành phần tương ứng của hai tenxơ bâng nhau
trong một hộ toạ độ nào đó thì chúng cũng bằng nhau trong hệ toạ
độ bất kỳ khác. Vậy trong hệ toạ độ -V, y. 2 ta có:
-0, V
2 2 '
Pyx Pvy 0 0'
Ọ
py\ Pyy Py. = (—/> + XdivV) ° ỉ 0 + 2 ;/ z2 - 0,
? 2 '
!>:> P:: , {0 0 h
- 0, - 0 , C.
2 : 2 ' ■
Từ dó ta suy ra các hộ thức sau:
P.X.Ì ~ ~ p + + “2HE I
p = -Ị) + hJivV + 2ụ.e, (7.1.12)
p „ = - p + dìvV + 2ụZị
= Py,
l>y. = Ị)x: =ịíQ 2. (7.1.13)
!>y: = p-.y =M0/.-
Từ các hệ thức trên ta thấy tenxơ ứng suất là đối xứng. Đế xác
định hộ số À ta có thê đưa ra giả thiết: Xem áp lực trong chất lòng
thực luôn luôn bằng trung bình cộng với dấu ngược lại của ba ứng
suất tác dụng lên ba diện tích vuông góc vói nhau, tức là:
p = --(p.*.s +p„ + px ) ■ (7.1.14)
Từ (7.1.12), ta có:
(>„ +>vy + p .. ) = - 3 p + (3Ằ + 2 (ii lỉivV . (7.1.15)
128
- Với chài lóng khóng ncn được thì (7.1.15) trùng với (7.1 14).
Đẽ già Ihict Irén đúng cho trường hợp tống qiiíit ta cấn đật:
X= . (7.1.16)
Thay (7 .1.16) vào (7.1.12), ta có:
- nv
Ị) = - Ị) - - ụ d ivY +
" 3 õỵ
2 - ổi’v
p...
/ vv - ~p - V í H v V + 2*■*
li —
ÕY
y — c^v
p .. =- p - -yu li\-Y +
3 ô:
./ft-
ỉ’ụ = M
/ dv\ ÕV; >
Ị \ , =M
V ỉt ôÃ )
' dl ± Ẽ ỉl (7.1.17)
õ : ỡv
tro n g dó // gọi ià hộ sô' nội ma sát hay hệ số nhứt. Thứ nguyên của
// là: ML ' T 1, với ký hiệu M là thứ nguyên khối lượng, L là (hú
n g u yên độ dài, T là thứ nguyên thời gian và có thể tính theo các
cớ n g thức cuối của (7.1.17). Thông thường Iigirời ta còn dùng đại
lượrm : Ịị = ^ để thay c h o hệ số nhớt J.ivà được gọi là hộ sò nhớt
p
đ ộ n g học.
7.1.2. Hệ phưưng trình Navier - Stock
Theo Chương 2. ta đã thiết lập phương trình tống quát cùa
c h u y ển động cùa môi trường liên tục:
129
nguon tai.lieu . vn
