1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông

Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông

Bài viết Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông được nghiên cứu nhằm mục đích làm sáng tỏ khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông (THPT) qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể. GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CÓ TÍNH KHÔNG THỂ CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Nghiên cứu

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 7

Ngày tạo 4/9/2023 12:18:29 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.31 M

Tên tệp

Tải Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CÓ TÍNH KHÔNG THỂ CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Nghiên cứu này nhằm mục đích làm sáng tỏ khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông (THPT) qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể. Từ đó, tìm kiếm và đề xuất một số phương án nhằm nâng cao khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh. Nghiên cứu được thực hiện trên 8 học sinh trường THPT Phan Đăng Lưu, Thừa Thiên Huế. Chúng tôi cũng đã đề xuất hai thang mức để đánh giá những khả năng nói trên của học sinh và nghiên cứu cho thấy những kết quả rất khả quan. Hơn nữa từ kết quả nghiên cứu, chúng ta cũng thấy được rằng khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể tạo điều kiện thuận lợi giúp học sinh chủ động trong việc tìm các phương án giải quyết vấn đề, đưa ra các phán đoán, lập luận để thuyết phục người khác. Từ khóa: Giả thuyết, chứng minh, khám phá tự nghiệm, chứng minh tính không thể. 1. GIỚI THIỆU Theo quan điểm của nhiều nhà giáo dục toán học hiện nay, giải quyết vấn đề là kỹ năng trọng tâm của việc học toán. Casti (2001) cho rằng: “Lý do tồn tại của toán học đơn giản là để giải quyết vấn đề”. Và Schoenfeld (1979) đã chỉ ra rằng việc giảng dạy giải quyết vấn đề thông qua “khám phá tự nghiệm” giúp nâng cao khả năng giải quyết vấn đề toán học. Khám phá tự nghiệm toán học được đặc trưng bởi phỏng đoán, đưa ra các giả thuyết, chứng minh và bác bỏ. Margolis (1987) cho rằng: “Mọi định lý đều xuất phát từ các giả thuyết”. Nhưng, một mệnh đề được coi là một sản phẩm toán học thì nó phải được chứng minh chặt chẽ bởi lập luận logic. Điều đó cho thấy việc đặt giả thuyết và chứng minh là cực kỳ quan trọng trong sự phát triển của toán học. Theo Laczkovich (2001), những chứng minh về tính không thể là những giới thiệu tốt nhất về “linh hồn của toán học”. Khi chúng ta chứng minh một điều gì đó là không thể xảy ra, một vấn đề nào đó là không thể giải quyết được hay một đối tượng nào đó là không tồn tại thì những lập luận của chúng ta luôn rất tổng quát, rõ ràng, dứt khoát. Việc sử dụng “tính không thể” trong toán học để học sinh khám phá tự nghiệm là rất cần thiết bởi: Bản thân các giả thuyết về “tính không thể” là những tình huống có vấn đề, nó khuyến khích học sinh tìm tòi, đặt giả thuyết, đưa ra các chứng minh, bác bỏ các giả thuyết, các bổ đề, đưa ra các phản ví dụ; trong quá trình đưa ra các bác bỏ, các giả thuyết mới cũng sẽ được hình thành. Và nó lại tiếp tục nảy sinh các tình huống có vấn đề. Các phản ví dụ đưa ra cũng có thể được phát triển thành một giả thuyết mới. Quá trình này cứ liên tục lặp lại, các tình huống có vấn đề liên tiếp được tạo ra một cách hết sức tự nhiên trong quá trình phát triển tri thức toán. Học sinh sẽ bị mê hoặc bởi các vấn đề do chính mình đặt ra. Từ đó các em có sự hứng thú hơn trong việc học kiến thức Toán đó nói riêng, cũng như Toán học nói chung. Các bài toán về “tính không thể” sẽ tạo cho các em sự tò mò trong khám phá tri thức, linh động hơn trong tư duy. 198
  2. KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu: Thứ nhất, khả năng đặt giả thuyết của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể là như thế nào? Thứ hai, khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh trung học phổ thông trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể như thế nào? Thứ ba, làm thế nào để giúp học sinh nâng cao khả năng đặt giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể? 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh THPT Phan Đăng Lưu, Thừa Thiên Huế, gồm 4 học sinh lớp 10giải quyết bài toán 1, 4 học sinh lớp 12 giải quyết bài toán 2. Các nhóm tiến hành thảo luận các bài toán trên các phiếu thực nghiệm và trình bày bài làm của nhóm lên phiếu học tập mà không có sự can thiệp của nhà nghiên cứu. Chúng tôi tiến hành quan sát, ghi âm, ghi chú những thảo luận liên quan đến việc các em đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh trong quá trình giải quyết bài toán. Tiến hành phỏng vấn học sinh để nắm rõ hơn những cơ sở mà các em dựa vào để đưa ra các giả thuyết, cũng như tìm con đường chứng minh cho các giả thuyết đó. 2.1. Thang mức đánh giá khả năng đặt giả thuyết Thang mức mà chúng tôi sử dụng là kiểu thang 4 mức, từ mức 0 đến mức 3 tăng dần theo khả năng đặt giả thuyết, như sau: Mức Yêu cầu Không đặt được giả thuyết hoặc đặt giả thuyết nhưng không dựa trên một chứng 0 cứ nào. Đặt giả thuyết nhưng chỉ dựa vào sự mường tượng về hình ảnh hoặc việc thử một vài 1 trường hợp cụ thể. Đặt giả thuyết dựa trên một số bằng chứng trong tập hợp các bằng chứng tổng quát cho 2 phép chứng minh giả thuyết (ví dụ như một vài ràng buộc để có được kết quả trong một định lý). 3 Đặt giả thuyết dựa trên đầy đủ các ràng buộc cho phép mường tượng một chứng minh. Ví dụ 1: Các em hãy đặt giả thuyết về vấn đề tổng các góc trong của một tứ giác. - Học sinh không đưa ra giả thuyết, học sinh đạt mức 0. - Học sinh đặt giả thuyết: Tổng các góc trong của một tứ giác bằng 3600 thông qua việc dùng thước đo góc đo và tính tổng các góc trong của một tứ giác (tổng các góc mà em đo được 199
  3. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 có thể không chính xác là 1800 ? 3600 mà nằm trong lân cận của 3600 ), học sinh đạt mức 1. - Học sinh dựa vào việc phát hiện một đường chéo có thể phân tứ giác thành 2 tam giác và kết quả đã biết về tổng số đo các góc trong một tam giác, đưa ra giả thuyết về tổng số đo các góc trong một tứ giác là 360 0 , học sinh đạt mức 2. Học sinh phát hiện cần chia tứ giác thành hai loại, tứ giác đơn và tứ giác phức, dựa vào kết quả đã biết về tổng số đo các góc trong của một tam giác, đưa ra giả thuyết: tổng các góc trong của một tứ giác đơn là 3600 , và là nhỏ hơn 3600 trong trường hợp tứ giác phức, học sinh đạt mức 3. 2.2. Thang mức đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh Để đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh, chúng tôi đề xuất kiểu thang có 5 mức, từ mức 0 đến mức 4 tăng dần theo khả năng tìm con đường chứng minh, như sau: Mức Yêu cầu Không biết điều cần chứng minh là gì (đâu là giả thiết, đâu là kết luận) hoặc không có 0 nhận thức về sự cần thiết phải có một chứng minh. Ý thức được sự cần thiết phải có một chứng minh, nhưng học sinh cho rằng việc xem 1 xét một hoặc một vài trường hợp cụ thể hay kết luận dựa vào hình ảnh là đủ. Ý thức được phải có một lập luận tổng quát nhưng không đề ra được một kế hoạch tìm 2 kiếm các bằng chứng cho việc lập luận chứng minh. Ý thức được phải có một lập luận tổng quát, lập luận để tìm kiếm các bằng chứng cho 3 việc thiết lập chứng minh, nhưng các bằng chứng tìm được là chưa đầy đủ. Ý thức được phải có một lập luận tổng quát, lập luận để tìm kiếm đầy đủ các bằng 4 chứng cho phép thiết lập một chứng minh chặt chẽ. Ví dụ 2: Khi tìm con đường chứng minh cho vấn đề: Cho n là một số tự nhiên chia hết cho 4. Viết các số tự nhiên từ 1 đến n lên bảng, ta tiến hành xóa hai số bất kỳ và thay bằng tổng của chúng. Làm như vậy cho đến khi còn lại một số trên bảng. Hỏi liệu có tồn tại một chiến lược thay thế nào mà số cuối cùng còn lại trên bảng là một số lẻ không? - Học sinh thử trong trường hợp n=4, thấy không có phương án thay thế nào và cho rằng không cần phải đưa ra một chứng minh, học sinh đạt mức 0. - Học sinh thử trong trường hợp n=4, thấy không có phương án thay thế nào, và xem đó chính là chứng minh cho vấn đề đang xem xét, học sinh đạt mức 1. - Học sinh thử trong trường hợp n=4, n=8, thấy không có phương án thay thế nào, ý thức được cần có một chứng minh tổng quát cho mọi trường hợp của n nhưng không phát hiện được 200
  4. KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 tính bất biến trong bài toán nên không đề xuất được kế hoạch tìm kiếm bằng chứng cho phép một chứng minh tổng quát, học sinh đạt mức 2. - Học sinh ý thức được cần có một chứng minh tổng quát, phát hiện được tính bất biến của bài toán, nhưng không tính được tổng trong trường hợp tổng quát, dẫn đến không giải quyết được trọn vẹn vấn đề, học sinh đạt mức 3. - Học sinh phát hiện được tính bất biến của bài toán, đưa ra đầy đủ các lập luận cho phép một chứng minh tổng quát, chặt chẽ, học sinh đạt mức 4. 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * Bài toán 1: Tồn tại hay không các số nguyên dương a1 , b1 , a2 , b2 sao cho: a12  b12  3(a22  b22 ) Các em đã bắt đầu khám phá bài toán bằng thực nghiệm, thông qua việc sử dụng máy tính 2 2 bỏ túi thử một số trường hợp cụ thể, đưa ra dự đoán về tính chia hết cho 3 của a1  b1 ; a1; b1 và đi tìm con đường chứng minh dự đoán đó, trong quá trình lập luận chứng minh, các em mắc những sai lầm về mặt luận cứ, do suy luận dựa vào một mệnh đề sai (tổng hai số chia hết cho 3 2 2 thì mỗi số chia hết cho 3); về mặt luận đề, thay thế mệnh đề cần chứng minh (nếu a1  b1 chia 2 2 hết cho 3 thì a1 , b1 chia hết cho 3) thành mệnh đề (nếu a1 , b1 chia hết cho 3 thì a1  b1 chia hết cho 3); về mặt luận chứng, phủ định sai mệnh đề: Trong quá trình chứng minh bằng phản chứng 2 2 (các em cho rằng phủ định của mệnh đề: nếu a1  b1 chia hết cho 3 thì a1 , b1 chia hết cho 3 là mệnh đề: có số nguyên a1 , b1 để a1  b1 3 nhưng a1 và b1 không chia hết cho 3). Các lập luận 2 2 đó bị bác bỏ thay bằng những lập luận khác hoặc được chỉnh sửa cho chặt chẽ hơn. Những giả thuyết các em đặt ra có cơ sở rõ ràng. Chứng minh mà các em trình bày ở phiếu học tập là rất chặt chẽ. Xét về tổng thể việc giải quyết vấn đề nhà nghiên cứu yêu cầu mà nhóm đã thực hiện, theo thang mức đánh giá về khả năng đặt giả thuyết và khả năng tìm con đường chứng minh đã được đề xuất, các em đạt các mức tương ứng là 2, 4. * Bài toán 2: Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB , SD . Liệu rằng hai mặt phẳng ( AHK ) và (SBD) có khả năng vuông góc với nhau hay không? Hãy chứng minh điều đó. 201
  5. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 Kết quả nghiên cứu cho thấy các em đã bắt đầu tiếp cận bài toán bằng việc đưa ra một giả thuyết mà cơ sở của nó là sự tưởng tượng về mặt hình ảnh rằng (AHK) vuông góc với (SBD), các em đưa ra các lập luận để chứng minh giả thuyết đó, những lập luận này không chính xác do mắc sai lầm về mặt luận cứ, suy luận dựa trên một mệnh đề sai: “Trong mặt phẳng này chứa hai đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc” và đã bị bác bỏ bằng một phản ví dụ thực nghiệm (sử dụng hình ảnh thực tế để minh họa). Tiếp sau đó, các em đưa ra một phương án hợp lý để tìm con đường chứng minh cho giả thuyết đặt ra bằng các giả thuyết con, các giả thuyết đó cũng đã bị bác bỏ bởi các lập luận suy diễn hết sức chặt chẽ. Và nhờ những kết quả có được trong quá trình tìm con đường chứng minh cho giả thuyết đặt ra ban đầu, các em đã bác bỏ giả thuyết ban đầu và đã hoàn thành được bài toán. Các giả thuyết các em đưa ra mặc dù đa phần không đúng, nhưng về mặt sư phạm thì đây là những giả thuyết được đưa ra hoàn toàn có cơ sở dựa trên các trực giác và kiến thức đã có của các em. Chứng minh các em trình bày trong phiếu học tập cũng được sắp xếp một cách logic và không thể chối cải. Xét về tổng thể việc giải quyết vấn đề mà nhà nghiên cứu đưa ra, khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của các em là tốt và đạt mức tối đa theo thang mức mà chúng tôi đề xuất ở trên. 4. THẢO LUẬN BA CÂU HỎI NGHIÊN CỨU 4.1. Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Qua các kết quả thực nghiệm, chúng tôi thấy khả năng đặt giả thuyết của học sinh trung học phổ thông thông qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể là tốt, đạt mức cao theo thang mức mà chúng tôi đã đề xuất. Các giả thuyết mà các em đưa ra không phải là những phán đoán ngẫu nhiên, không có cơ sở mà đã dựa vào việc quan sát hình ảnh, các tính chất, các quy luật có được từ việc thử một số trường hợp của bài toán, hay từ việc một hay một số giả thiết của một định lý cho phép kết luận vấn đề đang xem xét đã được thỏa mãn. 4.2. Câu hỏi nghiên cứu thứ hai Sau khi đưa ra các giả thuyết, các em bắt đầu mường tượng về con đường chứng minh giả thuyết đó, các em thường bắt đầu việc tìm con đường chứng minh bằng những lập luận có được từ quá trình thực nghiệm hay khái quát hóa từ một vài trường hợp cụ thể của bài toán, các em tìm kiếm các lập luận thích hợp giúp cho việc tạo ra một chứng minh suy diễn, các em cũng đã đưa ra các giả thuyết con, nhằm tạo cơ sở lập luận cho việc chứng minh các giả thuyết chính, đôi khi các em lại tự bác bỏ các giả thuyết mà mình đã đặt ra cũng như của người khác bằng những phản ví dụ hay những lập luận suy diễn chặt chẽ. Kết quả thực nghiệm cho ta thấy đa phần các em đã ý thức được cần phải đưa một chứng minh tổng quát chứ không phải chỉ chứng minh bất kỳ một trường hợp cụ thể nào, các em đã lập kế hoạch để tìm các bằng chứng cho phép tạo thành một chứng minh. Tuy nhiên, vẫn còn một số ít học sinh mặc dù hiểu được chứng minh của người khác nhưng chưa thể tự mình đưa ra được các lập luận để chứng minh hoặc có khả năng đưa ra những lập luận chứng minh nhưng chưa xét hết tất cả các trường hợp xảy ra hay lập luận dựa trên việc ngộ nhận định lý. 4.3. Câu hỏi nghiên cứu thứ 3 Qua thực nghiệm chúng tôi thấy môi trường học hợp tác tạo điều kiện thuận lợi giúp các em phát triển khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh nói chung và trong khám 202
  6. KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2016 11/2016 phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể nói riêng. Các em cùng nhau thảo luận để đưa ra các giả thuyết có giá trị, hỗ trợ lẫn nhau trong việc đưa ra các bằng chứng để chứng minh giả thuyết, đôi khi là đưa ra các lập luận để bác bỏ các giả thuyết đã đặt ra. Các bài toán có tính không thể ẩn chứa rất nhiều vấn đề lôi cuốn học sinh giải quyết. Tuy nhiên, số lượng các bài toán thuộc loại này trong sách giáo khoa không nhiều. Giáo viên cần tự mình tạo ra những bài toán đặc sắc để thông qua khám phá tự nghiệm các em học cách giải quyết vấn đề. Giáo viên cần tạo một môi trường học tập thân thiện, nơi mà các em được thoải mái nói lên những lập luận, suy đoán của mình, hay bảo vệ, bác bỏ các lập luận của người khác, nơi mà các em được phép mắc sai lầm thì môi trường đó sẽ giúp các em phát triển khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh phù hợp với kiến thức đang có của mình. Giáo viên cần chọn những bài toán hấp dẫn, lôi cuốn để các em khám phá tự nghiệm, có những nâng đỡ vừa sức khi các em gặp khó khăn trong việc đưa ra giả thuyết hay tìm con đường chứng minh. Giáo viên cần giúp học sinh ý thức được rằng cần phải có một chứng minh tổng quát cho vấn đề đang xem xét chứ không chỉ là kiểm chứng hay chứng minh cho chỉ một trường hợp cụ thể, đặc biệt nào đó. Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học sẽ hổ trợ các em trong việc thực nghiệm, mường tượng hình ảnh, từ đó giúp các em có thêm cơ sở để đưa ra các giả thuyết, định hướng chứng minh. 5. KẾT LUẬN Giải quyết vấn đề là một kĩ năng quan trọng trong việc học toán của học sinh. Để giải quyết vấn đề tốt thì khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh phải tốt. Do đó, giáo viên cần khuyến khích, thúc đẩy, phát triển khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh, theo sát quá trình tư duy của học sinh để kịp thời có những biện pháp nâng đỡ vừa sức giúp học sinh vượt qua những chướng ngại trong quá trình lập luận đưa ra giả thuyết và định hướng con đường chứng minh. Khi chứng minh rằng một điều gì đó là không thể xảy ra, không tồn tại thì những lập luận của chúng ta phải luôn luôn tổng quát, rõ ràng, dứt khoát. Do đó, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng hơn đến các bài toán có tính không thể. Từ các kết quả của nghiên cứu này, chúng ta có thể thấy được khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh của học sinh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể là rất khả quan. Thông qua việc đưa bài toán về một số trường hợp cụ thể, quan sát hình vẽ, liên kết các dữ liệu đã có, học sinh đưa ra giả thuyết, sau đó lập luận, tìm kiếm chứng cứ cho phép chứng minh giả thuyết. Trong quá trình tìm con đường chứng minh, đôi khi các em lại tiếp tục đưa ra các giả thuyết con, các giả thuyết này được các em chứng minh hoặc tìm các luận chứng để bác bỏ nếu các em nghi ngờ tính đúng đắn của nó. Và cứ như vậy, quá trình này cứ tiếp diễn cho đến khi giả thuyết chính đã được chứng minh. Các kết quả của nghiên cứu cũng cho thấy, khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể đã tạo điều kiện thuận lợi giúp các em chủ động trong việc tìm phương án giải quyết vấn đề, các em hăng hái thảo luận, đưa ra các phán đoán, những lập luận của bản thân để thuyết phục hay phản biện với người khác. Các em tự tin và hoàn toàn chủ động trong việc khám phá toán học của mình. Trong bài viết này, chúng tôi đã đề xuất thang mức đánh giá khả năng đặt giả thuyết và thang mức đánh giá khả năng tìm con đường chứng minh của học sinh thông qua khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể, và đã dùng nó làm cơ sở đánh giá các kết quả thu được từ thực nghiệm. Và theo chúng tôi, nó cũng sẽ phù hợp để đánh giá khả năng đặt giả thuyết và tìm con đường chứng minh toán học nói chung. 203
  7. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ CYS 2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Casti, J. L. (2001). Mathematical mountaintops: The five most famous problems of alltime. New York: Oxford University Press. [2] Laczkovich, M. (2001). Conjecture and proof. The Mathematical Association of America. [3] Margolis, H. (1987). Patterns, thinking, and cognition. Chicago: University of Chicago Press. [4] Schoenfeld, A. H. (1979). Explicit heuristic training as a variable in problemsolving performance. Journal of Research in Mathematical Education, 10,173–187. Title: CONJECTURES AND PROOFS IN HEURISTIC EXPLORING MATHEMATICS OF IMPOSSIBILITY OF THE SENIOR HIGH SCHOOL STUDENT Abstract: This study aims to clarify the ability to make conjectures and find ways to prove of the senior high school students through heuristic exploring mathematics of impossibility. From there, search and suggest some alternatives to improve the ability make conjectures and find ways to prove of the students. The study was performed on 8 students of Phan Dang Luu senior high school. We have also proposed two level scale to assess the ability of the students, and the study show that the results are very positive. From the results of the study, we also found that heuristic exploring mathematics of impossibility create favorable conditions to help students take the initiative in finding alternatives to solve the problem, make conjectures, arguments to convince others. Keywords: conjecture, proof, heuristic, proofs of impossibility. TRẦN ĐÌNH PHƯƠNG Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, khóa 23 (2014-2016), Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế 204
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học