Xem mẫu
- KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019
ĐƯỜNG CONG BẬC 2
TS. Nguyễn Tư Đôn (*)
Đường cong bậc 2 là đường cong đại số được phổ biến trong các môn hình học phẳng,
hình học giải tích, hình học họa hình, vẽ kỹ thuật và nhiều môn hình học khác trong chương
trình trung học và đại học.
Có ba đường bậc 2: elip, parabol và hypebol.
1. Định nghĩa thông thường - Trong mặt phẳng, parabol là quỹ tích
1.1. Elip (Hình.1) các điểm M cách đều một điểm F và một
- Trong mặt phẳng, elip là quỹ tích các đường thẳng d cố định.
điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến MF = MH
hai điểm cố định F, F’ bằng hằng số. F là tiêu điểm và d là đường chuẩn.
MF + MF’ = 2a - Nếu chọn các trục X, Y như hình vẽ,
F và F’ là hai tiêu điểm. phương trình của parabol là Y2 = 2pX trong
O là điểm giữa của FF’ nên OF = OF’ = đó p là khoảng cách từ F đến d và được gọi
c là tham số của parabol.
- Nếu đặt trục X ≡ FF’ và trục Y ⊥ X 1.3. Hypebol (Hình.3)
tại O, ta có phương trình của elip là: - Trong mặt phẳng, hypebol là quỹ tích
X2 Y2 2 2
+ 2 = 1 với b = a = c .2
các điểm M sao cho hiệu các khoảng cách từ
a2 b
Đoạn thẳng AB = 2a, CD = 2b M đến hai điểm cố định F, F’ bằng hằng số.
Vì a > b nên AB được gọi là trục dài, (hằng này bé hơn đoạn FF’)
CD được gọi là trục ngắn. |MF − MF ′ | = 2a
- Đường kính liên hiệp. O, điểm giữa của FF’, đặt OF = OF’ =
Hai đường kính của elip gọi là hai c.
đường kính liên hiệp nếu mọi dây cung song - Nếu lấy O làm gốc tọa độ như hình
song với kính này thì bị đường kính kia chia vẽ, ta có phương trình của hypebol là:
X2 Y2
đôi. − = 1 với a2 = c2 - b2.
a2 b2
Trục dài AB và trục ngắn CD là hai Trục X F, F’ gọi là trục tiêu điểm
đường kính liên hiệp đặc biệt, vuông thực của hypebol.
góc nhau. Hai đường thẳng ứng với hai phương
b b
1.2. Parabol (Hình.2) trình Y = a X và Y = − a X là hai đường
tiệm cận của hypebol.
Y
d Y
Y M
C M H
M
A F O F’ B O F x F F’ x
x
O
H.1 D H.2 H.3
21
- 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG
2. Định lý DANDELIN 1- Rõ ràng rằng, giao tuyến của mặt
Cho mặt nón bậc 2 (elip hoặc tròn phẳng với mặt bậc 2 là đường bậc 2.
xoay) Giao tuyến là elip, parabol, hypebol tùy
- Nếu mặt phẳng cắt tất cả đường sinh theo số điểm vô tận của giao tuyến là không,
của mặt nón, giao tuyến là elip. Trường hợp một và hai.
suy biến là đỉnh nón. - Mặt phẳng cắt mặt nón ra ba loại
- Nếu mặt phẳng cắt mặt nón và song đường bậc 2 như định lý trên.
song với một đường sinh, giao tuyến là - Mặt phẳng cắt mặt trụ (eliptic, tròn
parabol. Trường hợp suy biến là đường sinh xoay) ra elip.
tiếp xúc, ứng với mặt phẳng tiếp xúc mặt - Mặt phẳng cắt mặt paraboloit (eliptic,
nón. Đường sinh nói trên cho hướng trục tròn xoay) ra elip, parabol.
của parabol. - Mặt phẳng cắt mặt hypeboloit một
- Nếu mặt phẳng cắt mặt nón và song tầng ra ba loại đường bậc 2.
song với hai đường sinh, giao tuyến là - Mặt phẳng cắt mặt paraboloit
hypebol. Trường hợp suy biến là hai đường hypeboloit ra parabol, hypebol.
sinh. Hai đường sinh nói trên cho hướng - Mặt phẳng cắt mặt elipxoloit cho elip.
tiệm cận của hypebol. Hình 4: sơ đồ minh họa giao tuyến
Elip, parabol, hypebol đều có mặt trên phẳng trên mặt nón.
mặt nón, nên chúng thường được gọi là Hình 5: sơ đồ minh họa giao tuyến
ba đường conic. phẳng trên mặt paraboloit hypeboloic. (mặt
3. Sự có mặt của ba đường conic phẳng P vuông góc với mặt phẳng hình
Trong hình học họa hình, chúng chiếu đứng)
thường có mặt trong các trường hợp sau:
S2 S2 Hypebol
P2 P2 P’2
Parabol
Parabol
P’2 P2
a/ b/ H.5
H.4 Hypebol
2- Nói chung giao tuyến của hai mặt xứng chung song song với mặt phẳng hình
bậc 2 là đường cong ghềnh bậc 4. Nếu hai chiếu đứng là hypebol.
mặt có mặt phẳng đối xứng chung thì hình Hình 7: hình chiếu đứng g2 của giao
chiếu của giao tuyến lên mặt phẳng đối tuyến mặt nón và mặt cầu có mặt phẳng
xứng đó là đường bậc 2. đối xứng chung song song với mặt phẳng
Hình 6: hình chiếu đứng g2 của giao hình chiếu đứng là parabol.
tuyến mặt nón và mặt trụ có mặt phẳng đối
22
- KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019
S2 S2
g2
O2
g2
H.6 H.7
3- Trường hợp đặc biệt, giao tuyến bậc Định lý 2: Nếu hai mặt bậc 2 đã tiếp
4 của hai mặt bậc 2 nói trên đuôi tách ra xúc nhau ở hai điểm và các mặt phẳng tiếp
thành hai đường bậc 2 nếu chúng thỏa mãn xúc chung tại hai điểm đó không trùng nhau
các định lý 1, 2, 3 về giao tuyến suy biến thì hai mặt bậc 2 sẽ giao nhau theo hai
của hai mặt bậc 2 (trong giáo trình hình học đường bậc 2 đi qua hai điểm tiếp xúc đó.
họa hình). Định lý 3: Nếu hai mặt bậc 2 cùng nội
Định lý 1: Nếu hai mặt bậc 2 đã cắt tiếp hai cùng ngoại tiếp một mặt bậc 2 thứ 3
nhau theo một đường bậc 2 thì chúng còn thì hai mặt bậc 2 sẽ giao nhau theo hai
cắt nhau theo một đường bậc 2 nữa. đường bậc 2 đi qua hai giao điểm của hai
đường tiếp xúc.
S2 S’2
S2
e’2
e2 e2 e2
c2 A2B2
p2 O2
B1
c1 S1 c1 S1 S’1
H.8 H.9 H.10
A1
Hình 8. Giao tuyến của mặt trụ và mặt Hình 9. Giao tuyến của hai mặt trụ là
nón là đường tròn c và elip e. hai elip e, e’ đi qua hai tiếp điểm A, B.
23
- 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG
Hình 10: giao tuyến của hai mặt nón có 4.3. Định lý Pascal
mặt cầu nội tiếp chung là elip e và parabol p Nếu một lục giác nội tiếp trong một
đi qua hai giao điểm của hai đường tròn tiếp đường bậc 2 thì ba cặp cạnh đối diện sẽ
xúc. giao nhau theo ba điểm thẳng hàng.
4. Đường bậc 2 trong hình học xạ ảnh, 4.4. Định lý Desargues 2
aphin Một đường cong bậc 2 biến thiên trong
4.1. Cách xác định một đường cong một chùm đường cong bậc 2 thì vạch lên
bậc 2 trên bất cứ đường thẳng nào hai hàng điểm
Định lý: Cho hai chùm liên hệ xạ ảnh liên hệ xạ ảnh đối hợp với nhau.
sao cho đường nối hai tâm O,O’ không tự 4.5. Nếu đường cong bậc 2 có tâm
ứng. thì tâm đó là cực của đường thẳng vô tận
Quỹ đạo các giao điểm của các tia Elip và hypebol có tâm. Parabol không
tương ứng là một đường cong bậc 2 đi qua có tâm.
O, O’. 4.6. Hai đường kính liên hợp đi qua
Tiếp tuyến của đường bậc 2 đó tại O, cực của nhau
’
O là các tia tương ứng với đường Hai đường kính liên hợp chia điều hòa
thẳng O, O’. hai tiệm cận.
4.2. Hình học aphin là nhóm con 4.7. Vài bài toán giải trí
của hình học xạ ảnh mà hình tuyệt đối là a/ Bài toán 1: (Hình.11) Cho parabol
đường thẳng với hai tiếp tuyến PA, PB ( A, B: hai tiếp
Trong hình học aphin, ta kéo đường điểm), IA = IB. Chứng minh PI song song
thẳng vô tận thành đường thẳng thường d∞ với trục của parabol.
để nghiên cứu các đường bậc 2. Giải: Ta có liên hệ xạ ảnh đối lập (1’, 2
’
Đường bậc 2 tổng quát được biểu diễn , ...) và (1, 2, …) với điểm kép 3 ≡ 3’.
dưới dạng đường trái xoan. Trên đường thẳng vô tận d∞ có hai
- Elip là đường bậc 2 không cắt đường điểm kép 1∞ và 3∞.
thẳng vô tận d∞, không có điểm vô tận nào. Chùm P (ABI∞) điều hòa mà IA = IB
- Parabol là đường bậc 2 tiếp với nên PI đi qua 1∞ tức là PI song song với
đường thẳng vô tận: có một điểm vô tận. trục của parabol.
- Hypebol là đường bậc 2 cắt đường b/ Bài toán 2: (Hình.12) Cho giây AB
thẳng vô tận tại hai điểm: có hai điểm vô của đường bậc 2 với IA = IB. Vẽ giây CID
tận. và EIF. Đường CE vắt AB ở P, đường DF
Các tiếp tuyến tại các điểm vô tận là cắt AB ở Q. Chứng minh IP = IQ.
các tiệm cận. Giải: AB cắt đường bậc 2 (C) và các
Do đó elip có tiệm cận ảo (liên hợp). cạnh tứ điểm ECDF cách các điểm cùng một
Parabol có hai tiệm cận trùng với liên hệ xạ ảnh đối hợp: (A,B), (P,Q) (I ≡ I), I
đường thẳng vô tận. là điểm kép, nên (ABIJ) =(PQIJ) = -1, mà
Hypebol có hai tiệm cận IA = IB nên J chạy ra vô tận thành J∞. Vậy
IP = IQ.
24
- KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG 09/2019
1∞
S∞ d C
E P
(p)
2’ 1’ 1 2 d B
33’ A
A F
I D
B Q (e)
H.12
P
H.11 S O
O D
C
S
K T
d∞
C A I B D I∞
(h)
(h) A
H.13 H.14
c/ Bài toán 3: (Hình.13) Cho một AS x CT = B
hypebol với hai tiệm cận t và t’. Vẽ một cát AT x CS = D
tuyến bất kỳ cắt hypebol tại A, B và cắt hai SO x TO = O
tiệm cận tại C1D. Chứng minh AB và CD có Nên BOD là đường Pascal.
chung trung điểm. - Có thể dùng định lý Desargues. (Hình
Giải: Theo định lý Desargues thì các 14)
cặp điểm A, B và C, D xác định một liên hệ Cặp điểm AC trên đường thẳng AC
đối hợp nhận điểm vô tận trên cát tuyến là liên hệ đối hợp, nhận điểm K làm điểm kép
một điểm kép. Vậy điểm kép thứ hai và trên đường thẳng vô tận.
điểm vô tận đó chia điều hòa cả A, B và C, Các điểm B, D, O là các điểm liên hợp
D nên điểm kép thứ hai đó là của K nên cùng thuộc đường đối cực của K
trung điểm chung của hai đoạn AB và đối với hypebol
CD. 5. Lời bàn
d/ Bài toán 4: (Hình.14) Chứng minh: Nội dung về đường cong bậc 2 theo
Nếu một hình bình hành có hai đỉnh đối diện khái niệm thông thường là vừa sức đối với
thuộc hypebol và có các cạnh song song với học sinh, sinh viên trong các trường phổ
hai tiệm cận thì hai đỉnh đối diện còn lại thông và kỹ thuật.
thẳng hàng với tâm hypebol.
Theo định lý Pascal:
25
- 09/2019 KỶ YẾU HOẠT ĐỘNG KHOA HỌC & GIÁO DỤC TRƯỜNG ĐH KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG
Hình học xạ ảnh nghiên cứu đường - Trong khoa học vũ trụ, vệ tinh bay
cong bậc 2 bao quát hơn, sâu sắc hơn và có quanh quả đất theo quỹ đạo elip với tốc độ
nhiều bài toán hay. vũ trụ cấp 1, con tàu vũ trụ bay theo quỹ đạo
Rất nhiều hình ảnh đường cong bậc 2 parabol với tốc độ cấp 2, bay theo quỹ
có từ trong trang sách học sinh sinh viên, đạo hypebol với tốc độ cấp 3…
trong đời sống hằng ngày, trong kỹ thuật… 6. Kết luận: Các đường conic là một nội
đến không gian vũ trụ: dung nhỏ của toán học, nhưng đó là một
- Các miệng cống xiên, đầu ống tháo khái niệm cơ bản với lý thuyết và bài tập rất
nước, các nút nối ống, bóng của mái nhà lên phong phú. Các giáo viên nên đầu tư cách
các cột tròn… có dạng elip. dạy sao cho các môn học có liên quan đạt
- Các mặt cắt mặt nước thấm qua đập hiệu quả tối ưu.
đất, mặt cắt chảo rađa… có dạng parabol.
- Các đầu bút chì 6 cạnh, đầu êcru, TÀI LIỆU THAM KHẢO
bóng của chao đèn lên tường… có dạng [1]. Nguyễn Tư Đôn (2013) Hình học họa
hypebol. hình 1, NXB Giáo dục Hà Nội.
- Hình học Galileé phẳng biểu diễn [2]. Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Môn
“đường tròn” bằng parabol. (2007) Hình học họa hình 1, NXB Giáo
- Hình học Minkovski phẳng biểu diễn dục Hà Nội.
“đường tròn” bằng hypebol. [3]. Nguyễn Cảnh Toàn (1961) Hình học xạ
ảnh, NXB Giáo dục Hà Nội.
26
nguon tai.lieu . vn
