Xem mẫu
- DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG
NGUYỄN THÀNH THÁI
Khoa Toán học
1 GIỚI THIỆU
Dòng độ cong trung bình (mean curvature flow) là họ một tham số các siêu mặt di
chuyển (flow) theo hướng vector pháp với vận tốc bằng độ cong trung bình của mặt.
Trường hợp 1-chiều của dòng độ cong trung bình, khi các mặt là các đường cong,
được gọi là dòng các đường cong (curve shortening flow). Các kết quả của dòng các
đường cong thường gây bất ngờ và ngạc nhiên như: bảo toàn tính lồi, đường cong lồi
co rút thành 1 điểm “tròn" . . . và được phát hiện bởi những tên tuổi lớn như Ecker,
Huisken, Hamilton, Grayson . . .
Dòng độ cong trung bình mở rộng là các mở rộng của dòng độ cong trung bình. Ví
dụ có thể xét họ các mặt di chuyển theo hướng của vector pháp dưới tác động của
một đẳng cấu tuyến tính F . Theo cách xây dựng này, dòng độ cong trung bình cổ
điển là dòng độ cong trung bình suy rộng với F là ánh xạ đồng nhất. Do đó, với
dòng các đường cong, việc xác định tính chất của ánh xạ F sao cho các tính chất
của dòng cổ điển được bảo toàn và việc tìm nghiệm của của nó là các vấn đề đáng
được quan tâm.
2 DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH
Định nghĩa 1. Cho họ các siêu mặt xác định bởi ánh xạ X : M × [0, T ] → Rn+1 (M
∂X
là tập mở trong Rn ) thỏa mãn (x, t) = H(x, t)N (x, t) , ∀(x, t) ∈ M × [0, T ] (1.1)
∂t n
P
trong đó N là vectơ pháp đơn vị, H = λi (với λi là các độ cong chính) là độ cong
i=1
trung bình của siêu mặt.
Họ các siêu mặt như trên được gọi là nghiệm của dòng độ cong trung bình (hay mặt
X(x, 0) chuyển động theo dòng độ cong trung bình).
Trong trường hợp 1−chiều, ta gọi họ các đường cong X(u, t) : (a, b) × [0, T ] → R2
∂X
thỏa mãn Xt = = k.N (1.2) với k là độ cong và N là vectơ pháp đơn vị của
∂t
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 30-36
- DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG 31
đường là nghiệm của dòng các đường cong. Chú ý rằng, vectơ pháp đơn vị ở 2 định
nghĩa này được quy ước là các vectơ "hướng vào trong".
Trong trường hợp dòng các đường cong, nếu xét tham số hóa độ dài cung s = |Xu |
và áp dụng công thức Frenet Xs = T, Ts = kN , ta có (1.2) ⇔ Xt = Xss . Phương
∂f
trình này có dạng phương trình truyền nhiệt = αO2 f và vì vậy, một số kết quả
∂t
và kĩ thuật được sử dụng để nghiên cứu phương trình truyền nhiệt cũng được sử
dụng hiệu quả cho dòng các đường cong. Tuy nhiên, vì tham số s phụ thuộc vào u, t
nên phương trình xác định dòng các đường cong phức tạp hơn nhiều so với phương
trình truyền nhiệt cổ điển.
Một số ví dụ đơn giản nhất về nghiệm của dòng đô cong trung bình hay dòng các
đường cong là
1. Mỗi đường thẳng (hay một phần đường thẳng) đều là nghiệm của dòng các
đường cong. Mỗi mặt cực tiểu (H = 0) là nghiệm của dòng độ cong trung bình.
p
2. Họ các đường tròn xác định bởi X(u, t) = r(0)2 − 2t(cos u, sin u) với r(0)
là bán kính của đường tròn X(u, 0) là nghiệm của dòng các đường cong. Họ
các siêu cầu với tâm ở gốc tọa độ S n (R(t)) = R(t)S n (1) với bán kính R(t) =
p
R(0)2 − 2nt là nghiệm của dòng độ cong trung bình. Đây cũng là ví dụ đơn
giản nhất về loại nghiệm shrinkers (gồm các mặt đồng dạng và co lại). Ngoài
p
ra, họ các siêu trụ ( R(0)2 − 2(n − 1)t.S n−1 (1), R) cũng là một nghiệm loại
này.
3. Họ đường cong X(u, t) = (u, t − ln cos u) là nghiệm của dòng các đường cong.
Nghiệm này gồm các đường cong đồng dạng tịnh tiến với nhau (self-translating)
và có tên gọi là các đường cong Grim Reaper.
Dòng độ cong trung bình bất biến qua phép biến đổi đẳng cự, qua phép đổi tham
số và đặc biệt, bất biến qua phép biến đổi x 7→ λx, t 7→ λ−2 t (1.3). Đây là một tính
chất quan trọng mang tính kĩ thuật trong các nghiên cứu về dòng độ cong trung bình.
Dòng các đường cong có một số tính chất cơ bản sau
1. Làm các đường cong trơn hơn theo thời gian.
- 32 NGUYỄN THÀNH THÁI
Z dài của các đường cong. Kí hiệu L(t) là độ dài đường cong, khi
2. Làm giảm độ
dL
đó =− k 2 ≤ 0.
dt
[a,b]
3. Bảo toàn tính không va chạm: nếu 2 đường cong rời nhau ở thời điểm ban đầu
thì nó sẽ rời nhau tại mọi thời điểm sau đó. Ta còn có một kết quả mạnh hơn
như sau: Độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối 2 điểm bất kì trên 2 đường cong
không giảm theo thời gian.
4. Mỗi đường cong chỉ có thời gian tồn tại hữu hạn, nghĩa là đường cong sẽ trở
thành kì dị trong khoảng thời gian hữu hạn. Nếu gọi A(t) là diện tích giới hạn
A(0)
bởi đường cong tại thời điểm t thì thời gian tồn tại của đường cong là .
2π
Tính chất sâu sắc hơn liên quan đến dòng các đường cong được Mike Gage và Richard
Hamilton đưa ra năm 1986: Dòng các đường cong bảo toàn tính lồi của đường cong
ban đầu và co rút về một điểm "tròn" (nghĩa là nếu ta sử dụng phép biến đổi (1.3)
để giữ nguyên diện tích giới hạn bởi đường cong thì dòng đường cong sẽ tiệm cận
về đường tròn). Một thời gian ngắn sau, Matt Grayson đưa ra một kết quả mà tới
ngày nay nó vẫn được xem như là kết quả đẹp nhất trong lĩnh vực này: Một đường
cong nhúng khả vi (embedded) chuyển động theo dòng các đường cong sẽ biến thành
một đường cong lồi, và do đó, trong thời gian hữu hạn, co rút về một điểm "tròn".
Đối với dòng độ cong trung bình, các tính chất 1, 2, 3 nêu ra ở trên vẫn còn đúng,
tính chất 4 vẫn đúng nếu thêm giả thiết mặt ban đầu là mặt compact. Tương tự
như kết quả của Gage-Hamilton, Gerhard Huisken đã đưa ra kết quả sau: Với n ≥ 2,
một siêu mặt compact trong Rn+1 chuyển động theo dòng độ cong trung bình sẽ co
rút về một điểm "cầu". Tuy nhiên, kết quả tương tự như định lý Grayson không còn
đúng trong trường hợp nhiều chiều nữa, một dòng độ cong trung bình có thể xảy ra
kì dị trước khi trở nên lồi hay co rút về một điểm.
3 DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG
Cho F là một tự đồng cấu tuyến tính của Rn . Trong phương trình (1.1) của định
nghĩa 1, nếu thay N (x, t) bởi F (N (x, t)), nghĩa là họ mặt X(x, t) thỏa mãn
∂X
(x, t) = H(x, t)F (N (x, t)) ∀(x, t) ∈ M × [0, T ]
∂t
- DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG 33
thì ta nói họ mặt này là nghiệm của dòng độ cong trung bình mở rộng đối với hàm
F . Trong khuôn khổ bài báo này, ta chỉ xem xét đến dòng các đường cong mở rộng
π
đối với F là phép quay góc φ với 0 ≤ φ < . Đường thẳng và đường tròn là 2 nghiệm
2
đơn giản nhất của dòng các đường cong mở rộng như thế, hơn nữa, đường tròn cũng
là một nghiệm shrinker. Ta có một số tính chất tương tự với dòng các đường cong
cổ điển (φ = 0) của dòng đường cong mở rộng đối với đường cong đóng như sau
Tính chất 1. Dòng các đường cong mở rộng đối với F làm giảm độ dài các đường
cong đóng.
Chứng minh. Với chú ý rằng F (N ) = sin φT + cos φN ta có < kF (N ), T >= k sin φ.
Lấy đạo hàm 2 vế theo biến u ta suy ra
∂ ∂X ∂(kF (N ) ∂k ∂T
<
,T > = < , T > = sin φ − < kF (N ), >
∂u ∂t ∂u ∂u ∂u
Z Z Z
dL ∂ ∂X ∂k ∂T
Do đó = < , T > du = sin φ du − < kF (N ), > du.
dt ∂u ∂t ∂u ∂u
[a,b] [a,b] [a,b]
Z
∂k
Vì sin φ du = 0 nên
∂u
[a,b]
Z Z
dL ∂T
=− < kF (N ), > du = − k 2 cos φds ≤ 0
dt ∂u
[a,b] [a,b]
π
Vậy dòng các đường cong mở rộng đối với phép quay góc φ ∈ [0, ) làm giảm độ
2
dài. Đây cũng là lí do ta xét góc quay φ như trên.
Tính chất sau được suy ra tương tự như trong trường hợp dòng các đường cong cổ
điển.
Tính chất 2. Bảo toàn tính không va chạm của hai đường cong.
Từ đó, ta có tính chất về thời gian tồn tại hữu hạn
A(0)
Tính chất 3. Mỗi đường cong có thời gian tồn tại hữu hạn t = .
2π cos φ
Chứng minh. Giả sử đường cong X chuyển động theo dòng các đường cong mở rộng.
Xét một đường tròn chứa X và cho đường tròn này chuyển động theo dòng các đường
cong mở rộng. Do đường tròn có thời gian tồn tại hữu hạn và nhờ tính chất 2 ta suy
- 34 NGUYỄN THÀNH THÁI
ra X cũng có thời gian tồn tại hữu hạn. Ta tính được thời gian này như sau.
Zb Zb
-
-
1 1
- x x u
-
-
Kí hiệu X = (x, y), ta có A = (x.yu − y.xu ) du =
- du.
2 2
-
- y yu
-
a a
Zb
-
-
-
- x x
-
nguon tai.lieu . vn
