- Trang Chủ
- Hoá học
- Độ dẫn điện và hệ số hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron phonon trong chấm lượng tử
Xem mẫu
- ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
DO TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON TRONG
CHẤM LƯỢNG TỬ
LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG
Khoa Vật Lý
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết
trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong Vật lý thống kê, trong đó sẽ tập trung
nhiều vào các phương pháp Kubo-Mori để nghiên cứu độ dẫn điện và hệ số
hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron-phonon trong chấm lượng tử. Biểu
thức giải tích thu được tường minh cho hệ số hấp thụ sóng điện từ trong chấm
lượng tử với các dạng thế giam giữ khác nhau.
Từ khóa: Chấm lượng tử, phương trình Liouville lượng tử, phản ứng tuyến
tính, công thức Kubo-Mori, hệ số hấp thụ sóng điện từ.
1 GIỚI THIỆU
Độ dẫn điện và sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng
của trường laser cao tần hiệu ứng cao tần đang được quan tâm nghiên cứu. Các hiệu ứng
này xảy ra do tương tác của hệ electron và phonon. Vì tương tác electron-phonon trong
chấm lượng tử bán dẫn xảy ra khác biệt so với trong bán dẫn khối và trong các bán dẫn
thấp chiều khác nên hiệu ứng này mang các đặc tính mới. Vấn đề này đã được nghiên cứu
trong bán dẫn khối và bán dẫn hai chiều, bán dẫn một chiều, nhưng đối với chấm lượng
tử thì còn rất ít. Hiện tượng chuyển tải nói chung và hệ số hấp thụ sóng điện từ nói riêng
trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường điện từ cao tần đã được các nhà vật lý
Việt Nam nghiên cứu kể từ năm 1995, với các nhóm nghiên cứu lớn ở Viện Vật lý, Đại học
quốc gia Hà Nội, Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh và Đại học Sư phạm – Đại học Huế.
Nghiên cứu về hiện tượng chuyển tải trong hệ bán dẫn thấp chiều thuộc về nhóm của GS.
TS. Nguyễn Quang Báu [1], GS. TS. Trần Công Phong [2] và PGS. TS. Lê Đình [3] trong
đó chủ yếu tập trung giếng lượng tử, siêu mạng và dây lượng tử với các loại thế giam giữ
khác nhau. Gần đây, tại Trường ĐHSP Huế có một số đề tài nghiên cứu khoa học, khoá
luận và luận văn tốt nghiệp nghiên cứu vấn đề này trong giếng lượng tử, siêu mạng và dây
lượng tử, chẳng hạn như [4, 5, 6, 7, 8]. Tiếp nối các công trình trên, bài báo này đề cập
đến độ dẫn điện và hệ số hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron-phonon trong chấm
lượng tử, trong đó nội dung chủ yếu là thành lập biểu thức của độ dẫn điện bằng phương
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2016-2017
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2016: tr. 420-428
- ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ... 421
pháp Kubo-Mori.
2 PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE LƯỢNG TỬ CHO CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG
CÂN BẰNG
Giả sử Hamiltorian của hệ gồm hai phần; phần không phụ thuộc thời gian H và
phần phụ thuộc thời gian Ht1 :
H(t) = H + Ht1 , (2.1)
-
trong đó Ht 1 phải thỏa mãn điều kiện đoạn nhiệt: Ht1
- = 0. Hamiltorian Ht1 mô tả
-
t=−∞
tương tác của hệ các hạt với trường ngoài có thể viết dưới dạng: Ht1 = − j BjF j(t),
P
trong đó Fj (t) là lực ngoài, Bj là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Nếu
nhiễu loạn được đưa vào một cách đoạn nhiệt thì:
X
Ht1 = e∆t−iΩt BΩ , (2.2)
Ω
trong đó ∆ là số dương vô cùng bé, BΩ là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời
+
gian. Từ tính chất Hermite của toán tử ta suy ra: BΩ = BΩ . Toán tử ma trận mật độ ρ
thỏa mãn phương trình Liouville lượng tử:
∂ρ
i~ = [H(t), ρ] . (2.3)
∂t
Thay (2.1) vào (2.3), ta được:
∂ρ
= H + Ht1 , ρ .
i~ (2.4)
∂t
Trong trường hợp Hamiltorian của hệ phụ thuộc thời gian thì toán tử ma trận mật độ ρ
sẽ phụ thuộc vào thời gian và điều kiện ban đầu trong trường hợp này là
− H
-
ρ
- ≡ ρ0 = Z −1 e kB T , (2.5)
-
t=−∞
trong đó Z là hằng số chuẩn hóa; kB = 1, 38.10−23 (J/K) là hằng số Boltzmann; T là nhiệt
i i
độ của hệ. Với Hamiltiorian (2.1), ta đặt biến mới: ρ˜ = e ~ Ht ρe− ~ Ht , trong đó, ρ˜ là ma trận
i i
mật độ trong biểu diễn Dirac. Nhân e− ~ Ht vào bên trái và nhân e ~ Ht vào bên phải hai vế
của ρ˜ ta được:
i i
ρ = e− ~ Ht ρ˜e ~ Ht . (2.6)
Đạo hàm (2.6) theo t rồi nhân i~ vào hai vế ta được:
∂ρ − ~i Ht ∂ ρ
˜ i Ht
i~ = [H, ρ] + (i~) e e~ , (2.7)
∂t ∂t
Từ (2.4) và (2.7), ta có:
− ~i Ht ∂ ρ
˜ i
Ht1 , ρ Ht
H+ = [H, ρ] + (i~) e e ~ , (2.8)
∂t
- 422 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG
Mặt khác
H + Ht1 , ρ = [Ht1 , ρ] + [H, ρ].
(2.9)
Đồng nhất (2.8) và (2.9) ta thu được:
− ~i Ht ∂ ρ
˜ i Ht
(i~) e e ~ = [Ht1 , ρ]. (2.10)
∂t
i i
Nhân e ~ Ht e− ~ Ht vào hai vế của (2.10), ta được
∂ ρ˜
= Ht1 (t), ρ˜ ,
i~ (2.11)
∂t
i i
trong đó Ht1 (t) = e ~ Ht Ht1 e− ~ Ht là toán tử nhiễu loạn ngoài. Biểu thức(2.11) là phương
trình Liouville lượng tử cho toán tử ma trận phụ thuộc vào thời gian ρ˜.
3 LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG TUYẾN TÍNH
- Lấy tích phân hai vế phương trình (2.11) từ −∞ đến t và chú ý điều kiện
ρ˜
- ≡ ρ˜0 = ρ0 ta tìm được dạng của ρ˜:
-
t=−∞
Z t
1 1 0
Ht0 (t ), ρ˜(t0 ) dt0 .
ρ˜(t) = ρ0 + (3.1)
−∞ i~
i i
Thay ρ˜(t) = e ~ Ht ρ(t)e− ~ Ht vào (3.1)
Z t
i i 1 i Ht0 1 0 − i Ht0 0
e ~ Ht ρ(t)e− ~ Ht = ρ0 + e~ Ht (t ), ρ e ~ dt .
−∞ i~
i
Trong phương trình trên ta đã sử dụng điều kiện giao hoán của Ht (t1 ) và e± ~ Ht1 . Nhân
i i
e− ~ Ht vào bên trái và nhân e ~ Ht vào bên phải hai vế của biểu thức trên, ta được:
Z t
1 i H(t−t0 ) 1 0 i 0
ρ˜(t) = ρ0 + e~ Ht0 (t ), ρ(t0 ) e− ~ H(t−t ) dt0 ,
−∞ i~
-
với ρ0 = ρ(t)
- là hàm phân bố cân bằng. Nếu nhiễu loạn ngoài là nhỏ thì nghiệm
-
t=t0 →∞
phương trình trên có thể thu được bằng phép gần đúng lặp. Thay ρ(t) → ρ0 ở số hạng thứ
hai với ý nghĩa gần đúng bậc nhất:
Z t
1 1 0
Ht0 (t − t), ρ0 dt0 .
ρ(t) = ρ0 + (3.2)
−∞ i~
Sử dụng đẳng thức Kubo cho một toán tử A bất kỳ để biến đổi phương trình trên
h i Z β
−βH −βH
A, e = −e eλH [A, H]e−λH dλ.
0
- ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ... 423
Ta có ρ0 = Z −1 eβH với β = 1
kB T nên:
Z β
Ht10 (t0 eλH Ht10 (t0 − t), H e−λH dλ.
− t), ρ0 = −ρ0
0
Thay vào (3.2), ta được:
Z t Z β
λH ˜ 1 0 −λH 0
ρ(t) = ρ0 1 − e Ht0 (t − t)e dλdt , (3.3)
−∞ 0
˜ 10 (t0 − t) = 1 H 10 (t0 − t), H . Từ biểu thức (3.2) ta có thể tính được giá trị
trong đó H t i~ t
trung bình của bất kì đại lượng vật lí A nào trong gần đúng tuyến tính theo Ht1 :
Z t
1
TR Ht10 (t0 − t), ρ0 A dt0 .
hAi = TR (ρ0 A) +
−∞ i~
Sử dụng phép hoán vị vòng quanh dấu TR (...) ta được:
Z t
1
TR ρ A(t), Ht10 (t0 ) dt0 ,
hAi = TR (ρ0 A) +
−∞ i~
i i
với A = e ~ Ht Ae− ~ Ht , hay
Z t
1
A(t), Ht10 (t0 ) 0 dt0 ,
hAi = hAi0 + (3.4)
−∞ i~
trong đó kí hiệu h..i0 = TR (ρ0 ) là lấy trung bình theo toán tử ma trận mật độ cân bằng
ρ0 . Thay (3.3) vào (3.4), ta được:
Z β Z t D E
hAi = hAi0 − dλ ˜ 10 (t0 )e−λH A(t) dt0 .
eλH H (3.5)
t
0 −∞ 0
˜ 10 = 1 H 10 (t0 ), H vào (3.5) ta được:
Thay Ht i~ t
Z β Z t
1 1 0
dt0 eλH Ht0 (t ), H e−λH A(t) .
hAi = hAi0 − dλ (3.6)
0 −∞ i~ 0
Sử dụng phép hoán vị vòng quanh và biến đổi, ta được:
1 1 0
Ht0 (t ), H A(t) = Ht10 (t0 )A(t),
˜
(3.7)
i~
˜ =
với A(t) 1
[A(t), H]. Thay (3.7) vào (3.6), ta được:
i~
Z β Z t D E
hAi = hAi0 + dλ dt0 eλH Ht10 e−λH A(t)
˜ . (3.8)
0 −∞ 0
Ta có thể viết lại (3.8) như sau:
Z β Z t D E
hAi = hAi0 + dλ dt0 Ht10 (t0 − i~λ)A(t)
˜ .
0 −∞ 0
- 424 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG
Đối với nhiễu loạn ngoài có dạng Ht1 = −
P
j Bj Fj (t) thì:
XZ ∞
hAi = hAi0 − > Fj (t0 )dt0
j −∞
XZ ∞ Z β D E
0
= hAi0 + dt dλ eλH Bj (t0 )e−λH A(t) Fj (t0 ). (3.9)
−∞ 0 0
j
Công thức (3.9) chính là công thức Kubo cho phản ứng tuyến tính của hệ lượng tử.
4 CÔNG THỨC KUBO CHO TENXƠ ĐỘ DẪN
Xét ảnh hưởng của điện trường biến thiên dạng:
n o
~
E(t) =E ~ 0 cos ωte∆t = Re e−iωt+∆t E
~0 . (4.1)
Khi đó toán tử Ht1 có dạng:
X
Ht1 = − ei E~ 0 , ~ri cos ωte∆t
i
~ 0 , P~ cos ωte∆t ,
= − E (4.2)
i, ~ri là bán kính vectơ vị trí của hạt thứ i, P~ = i ei~ri là
P
trong đó ei là điện tích
hạt thứ
vectơ phân cực. Vì E ~ 0 P~ = P3 E0ν Pν , nên ta viết lại biểu thức H 1 như sau:
ν t
3
X
Ht1 = − E0ν Pν cos ωte∆t . (4.3)
ν
Dưới ảnh hưởng của điện trường dạng (4.1) trong hệ xuất hiện dòng điện với giá trị trung
bình của mật độ dòng được tính theo công thức (3.5):
Z β Z t D E
hJµ i = hJµ i0 − ˜ 10 (t0 )e−λH Jµ (t) dλdt0 ,
eλH H (4.4)
t
0 −∞ 0
trong đó Jµ là thành phần thứ µ của toán tử mật độ dòng điện, Jµ (t) là biểu diễn Heisenberg
của Jµ . Do hJµ i0 = 0 khi t → −∞ nên:
Z β Z t
1 D i 0 i 0
E
hJµ i = − dλ dt0 eλH e ~ H(t−t ) Ht10 , H e− ~ H(t−t ) e−λH Jµ . (4.5)
i~ 0 −∞ 0
Thay (4.3) vào (4.5) ta được:
3 Z β Z t
1 X D i 0 i 0
E 0
hJµ i = dλ dt0 eλH e ~ H(t−t ) [Pν , H] e− ~ H(t−t ) e−λH Jµ × E0ν cos ωt0 e∆t . (4.6)
i~ 0 −∞ 0
ν=1
- ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ... 425
Thay [Pν , H] = − ~i Jν vào (4.6) ta được
( 3 Z )
X t Z β D E 0 0
hJµ i = Re dt0 dλ eλH Jν (t0 − t)eλH Jµ E0ν e−iωt +λt , (4.7)
−∞ 0 0
ν=1
i 0 i 0
trong đó Jν (t0 − t) = e ~ H(t−t ) Jν e− ~ H(t−t ) .
Thực hiện biến đổi biến số t” = t − t0 thì (4.7) trở thành
( 3 Z )
X ∞ Z β D E
λH −λH iωt”−∆t”
hJµ i = Re dt” dλ e Jν (−t”)e Jµ E0ν e , (4.8)
0 0 0
ν=1
trong đó ta đã đặt E0ν (t) = E0ν e−iωt+∆t . Do không dùng đến biến t’ cũ nên ta có thể viết
(4.8) như sau:
( 3 Z )
X ∞ Z β D E
0 λH −λH 0 iωt0 −∆t0
hJµ i = Re dt dλ e Jν e Jµ (t ) E0ν e . (4.9)
0 0 0
ν=1
Theo biểu thức tổng quát của định luật Ohm viết dưới dạng tenxơ
( 3 )
X
hJµ i = Re σµν (ω)E0ν (t) . (4.10)
ν=1
So sánh (4.9) và (4.10) suy ra
Z ∞ Z β D E
0 0 0
σµν (ω) = dt dλ eλH Jν e−λH Jµ (t0 ) eiωt −∆t . (4.11)
0 0 0
Khi ∆ → +0 ta viết lại như sau:
Z ∞
0 0
σµν (ω) = lim dteiωt −∆t (Jν , Jµ (t)) , (4.12)
∆→+0 0
trong đó (Jν , Jµ (t)) là hàm tương quan thời gian của hai toán tử Jν và Jµ (t):
Z β D E
(Jν , Jµ (t)) = eλH Jµ (t)e−λH dλ.
0 0
Công thức (4.12) chính là công thức Kubo cho tenxo độ dẫn.
5 CÔNG THỨC KUBO-MORI CHO TENXƠ ĐỘ DẪN
Theo công thức Kubo (4.12) để tính tenxơ độ dẫn ta phải khai triển hàm tương quan
dòng - dòng sao cho tích phân trong (4.12) là hội tụ. Để thực hiện được điều đó Mori đã
đề nghị biểu diễn hàm tương quan dưới dạng liên phân số vô hạn liên tục. Ưu điểm của
phương pháp này là hàm số biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn liên tục hội tụ nhanh
hơn khi biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa. Chúng ta sử dụng điều này để ngắt liên phân
- 426 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG
số ở gần đúng bậc hai với giả thuyết tương tác electron-phonon là nhỏ.
Xét hai toán tử A(t) và B(t) được mô tả bằng phương trình Louiville:
dA(t) i
= [H, A(t)] = iLA(t)
dt ~
dB(t) i
= [H, B(t)] = iLB(t), (5.1)
dt ~
trong đó L là toán tử Liouville. Dựa trên cách tính của Mori ta chứng minh được:
Z ∞ Z ∞ −1
−∆t −zt
dte (A, B(t)) = (A, B) ∆ − iη + dte F (t) , (5.2)
0 0
trong đó iη = −(A,˙ B)(A, B)−1 với A˙ là đạo hàm của toán tử A theo thời gian, F(t) là
hàm tương quan thời gian của hai toán tử A, B, z = ∆ − iω:
Z θD E 1
(A, B) = eλH Ae−λH B dλ, θ= .
0 kB T
-
nguon tai.lieu . vn
