Xem mẫu
- ĐỊNH LÝ BƯỚM KÉP ĐỐI VỚI TỨ GIÁC
NGUYỄN NGỌC GIANG (TP. HỒ CHÍ MINH)
TRỊNH HUY VŨ (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI)
Tóm tắt
Chúng ta sẽ khám phá chứng minh định lí bướm đơn
và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này
là mở rộng các kết quả trong [1] của tác giả Zvonko
Cerin.
1. Định lí bướm đơn đối với tứ giác
Zvonko Cerin [1] đã chứng minh được kết quả sau gọi là định lí
bướm đơn đối với tứ giác
Định lý 1 (Định lí bướm đơn đối với tứ giác). Cho A0 B 0 C 0 D0 là tứ
giác nội tiếp của ABCD. Giả sử ABCD và A0 B 0 C 0 D0 cùng chung
giao điểm của các đường chéo. U và V lần lượt là các giao điểm
của đường thẳng AC với các đường thẳng D0 A0 và B 0 C 0 .. Định lí
con bướm đối với tứ giác, được thiết lập
AU IV AI
. = . (1)
UI V C IC
Zevonko Cerin cũng đã mở rộng hệ thức (1) thành định lí tổng
quát sau
Định lý 2. Gọi A0 B 0 C 0 D0 là tứ giác nội tiếp của ABCD. E là giao
của A0 C 0 và B 0 D0 . I là giao của AC và BD. U là giao của AC và
D0 A0 . V là giao của AC và B 0 C 0 . Nếu E nằm trên đường thẳng
AC, thì
AU EV AI
. = . (2)
UE V C IC
205
- Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.
Cerin chứng minh hệ thức (2) bằng phương pháp tọa độ với sự
trợ giúp của phần mềm Maple. Cách chứng minh của Cerin có
ưu điểm là cách chứng minh có tư duy thuật toán. Nhược điểm
của nó là lời giải dài, tính toán phức tạp. Chính vì thế để khắc
phục nhược điểm này, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra cách
chứng minh thuần túy hình học.
J
D C'
V C
F M I
D'
U E
A B'
H
A'
B
G
Chứng minh định lý 2. Đặt B 0 D0 cắt AB tại F ; A0 C 0 cắt AD tại
G; F G cắt AC tại H; F G cắt B 0 C 0 tại J, A0 C 0 cắt BD tại M. Xét
∆AF G và ∆CB 0 C 0 có AC, F B 0 , GC 0 đồng quy tại E. Theo định lí
Desargues, suy ra J, D, B thẳng hàng. Nói cách khác là J nằm
trên BD. Xét tứ giác toàn phần AD0 EA0 F G, ta có
HA UA
(HU, AE) = −1 suy ra = .
HE UE
Từ đây ta có
(HI, AE) = G(HI, AE) = (JI, DM ) = C 0 (JI, DM ) = (V I, CE).
Suy ra
HA IE V C IE AU EV AI
. = . suy ra . = .
HE IA V E IC UE V C IC
206
- Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.
Đây chính là điều phải chứng minh.
2. Định lí bướm kép đối với tứ giác
Từ định lí 1, chúng tôi nảy sinh ra ý tưởng mở rộng định lí bướm
đơn đối với tứ giác thành định lí bướm kép như sau
Định lý 3 (Định lí bướm kép đối với tứ giác). Cho tứ giác ABCD.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua I dựng
các đường thẳng d1 , d2 , d3 ; d01 , d02 , d03 lần lượt cắt các cạnh AB, BC, CD, DA
tại M, R, G; N, S, H; P, T, F ; Q, L, J. Gọi giao điểm của RL, GJ; ST, HF
với AC lần lượt là U2 , U3 ; V2 , V3 . Gọi giao điểm của M U3 với AD là
W ; QU2 với AB là X. Gọi giao điểm của N V3 với DC là Z; P V2 với
BC là Y. Gọi giao điểm của XW với AC là U ; Y Z với AC là V.
Chứng minh rằng
AU IV AI
. = . (3)
UI V C IC
D
F
P
Q
Z
W T
J
L
U U3
A V3 V
U2
I V2 C
X
R
Y
S
M H
G N
B
207
- Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.
Chúng tôi mở rộng định lý 3 thành định lý 4 tổng quát hơn như
sau
Định lý 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Gọi E là điểm bất kì nằm trên AC. Qua E
dựng các đường thẳng d1 , d2 , d3 ; d01 , d02 , d03 lần lượt cắt các cạnh
AB, BC, CD, DA tại M, R, G; N, S, H; P, T, F ; Q, L, J. Gọi giao điểm
của RL, GJ; ST, HF với AC lần lượt là U2 , U3 ; V2 , V3 . Gọi giao điểm
của M U3 với AD là W ; QU2 với AB là X. Gọi giao điểm của N V3
với DC là Z; P V2 với BC là Y. Gọi giao điểm của XW với AC là
U ; Y Z với AC là V. Chứng minh rằng
AU EV AI
. = . (4)
UE V C IC
D
F
P
Q
Z
W T
J
L X1
U U3
A U2 I V2
E V3 V C
X
R
M Y
S
H
G W1
N
B
Chứng minh định lý 4. Gọi giao điểm của W E và BC là W1 ; XE
cắt DC tại X1 ; X1 W1 cắt Y Z tại V 0 . Áp dụng định lí 2 cho tứ giác
GHF J nội tiếp tứ giác ABCD ta có
AU3 EV3 AI
. = , (5)
U3 E V3 C IC
208
- Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.
Áp dụng định lí 2 cho tứ giác M W1 P W nội tiếp tứ giác ABCD và
kết hợp với (5), ta suy ra P, W1 , V3 thẳng hàng. Hoàn toàn tương
tự ta cũng chứng minh được N, X1 , V2 thẳng hàng.
Áp dụng định lí Papus cho 3 cặp điểm thẳng hàng là P, Z, X1 và
N, W1 , Y có P W1 cắt ZN tại V3 ; ZY cắt X1 W1 tại V 0 ; P Y cắt X1 N
tại V2 nên V 0 , V2 , V3 thẳng hàng. Nói cách khác là V 0 nằm trên
AC. Do đó V 0 chính là giao điểm của ZY với AC. Suy ra V 0 trùng
V hay V thuộc X1 W1 .
Áp dụng định lí 2 cho tứ giác XW1 X1 W nội tiếp tứ giác ABCD
ta thu được
AU EV AI
. = .
UE V C IC
Đây là điều phải chứng minh.
Nhận xét Khi E = I thì định lí 4 trở thành định lí 3.
Tài liệu tham khảo
[1] Zvonko Cerin, On Butterflies inscribed in a quadrilateral,
Forum Geom, 6(2006), 241-246.
209
- Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015.
210
nguon tai.lieu . vn
