Xem mẫu
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
ĐỊNH GIÁ p-ADIC VÀ ỨNG DỤNG
Phan Ngọc Toàn
Trường THPT Số 1 An Nhơn Bình Định
Tóm tắt nội dung
Trong bài viết này, ta xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các
bài toán số học liên quan.
1 Kiến thức cơ sở
Định nghĩa 1. Số v p (n) được ký hiệu cho số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn
của n và quy ước v p (n) = 0 khi p không là ước của n. Số v p (n) được gọi là định giá
p − adic của số tự nhiên n.
Tính chất 1. Cho x, y, z là các số nguyên. Khi đó
(1) v p ( xy) = v p ( x ) + v p (y) .
(2) v p ( x n ) = n.v p ( x ) .
(3) v p ( x + y) > min { v p ( x ) , v p (y) } . Dấu “=” xảy ra⇔ v p ( x ) 6= v p (y) .
(4) v p (gcd (| x | , |y| , |z|)) = min { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } .
(5) v p (lcm (| x | , |y| , |z|)) = max { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } .
(6) x = y khi và chỉ khi υ p ( x ) = υ p (y), ∀ p ∈ ℘.
Bổ đề 1. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một số
nguyên dương. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x − y
và (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó
v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) .
152
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bổ đề 2. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một số
nguyên dương lẻ. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x + y
và (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó
v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) .
Định lý 1. Cho x và y là các số nguyên (không nhất thiết phải nguyên dương), n là
một số nguyên dương và p là một số nguyên tố lẻ sao cho p| x − y và ( x, p) = (y, p) =
1. Khi đó
v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) + v p (n) .
Định lý 2. Cho x, y là hai số nguyên, n là một số nguyên dương lẻ và p là số nguyên
tố lẻ sao cho p| x + y và ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó
v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) + v p (n) .
Định lý 3. Cho x và y là hai số nguyên lẻ sao cho 4|( x − y). Khi đó
v2 ( x n − y n ) = v2 ( x − y ) + v2 ( n ) .
Định lý 4. Cho x, y là hai số nguyên lẻ và n là một số nguyên dương chẵn. Khi đó
v2 ( x n − yn ) = v2 ( x − y) + v2 ( x + y) + v2 (n) − 1.
Hệ quả 1. Cho x và n là các số nguyên dương. Khi đó
(1) Nếu p > 2 là số nguyên tố sao cho v p ( x − 1) = α ∈ N∗ thì với mọi β ∈ N, ta có
v p ( x n − 1) = α + β ⇔ v p (n) = β.
(2) Nếu n chẵn sao cho v2 x2 − 1 = α ∈ N thì với mọi β ∈ N∗ , ta có
v2 ( x n − 1) = α + β ⇔ v2 (n) = β + 1.
Định lý 5 (Legendre). Cho p nguyên tố. Khi đó, ta có công thức:
+∞ n − s p (n)
n
v p (n!) = ∑ i
= .
i =1 p p − 1
j k j k
n n
Chứng minh. Trong đẳng thức đầu tiên, ta thấy rằng có đúng pi
− p i +1
số m thỏa
s
mãn điều kiện v p (m) = i, còn trong đẳng thức thứ hai, ta viết lại n = ∑ ni pi thì dễ
i =0
j k s
n
thấy p j = ∑ ni p .i − j
i= j
153
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Khi đó ta có !
s s s s i −1
n
∑ pj
= ∑ ∑ ni pi − j = ∑ ni ∑ p j
j =1 j =1 i = j i =1 j =0
s
pi −1 n − s p (n)
= ∑ ni p − 1 =
p−1
.
i =1
Định lý được chứng minh.
Định lý 6. Với p là số nguyên tố và n ∈ Z+ thỏa mãn điều kiện pm ≤ n < pm+1 với
m ∈ N. Giả sử k ∈ N thỏa mãn điều kiện k ≤ n. Khi đó
m
n−k
n n k
vp =∑ j
− j − j
.
k j =1 p p p
Định lý 7(Kummer).
Cho 1 ≤ k ≤ n là 2 số nguyên dương, p là một số nguyên tố.
n
Khi đó v p k bằng số lần nhớ khi thực hiện phép cộng k và n − k trong hệ cơ số p.
Chứng minh. Ta có
s p (k) + s p (n − k) − s p (n)
n
vp k = v p ( n! ) − v p ( k! ) − v p (( n − k ) ! ) = .
p−1
m
Đặt s p (n) = ∑ at . Do n > n − k, n > k nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn s p (k ) =
t =0
m m
∑ bt và s p (n − k ) = ∑ ct . Ta sẽ thể hiện các lần nhớ bằng các αi ∈ {0, 1} như sau:
t =0 t =0
b0 + c0 = a0 + α1 p, bi + ci + αi = ai + αi+1 p, bm + cm + αm = am .
m
Từ đó dễ thấy s p (k ) + s p (n − k ) − s p (n) = ( p − 1) ∑ αi / Suy ra
i =1
s p (k) + s p (n − k) − s p (n) m
n
vp k =
p−1
= ∑ αi .
i =1
Chứng minh hoàn tất.
n
Nhận xét 1. Dạng tương đương của định lý Kummer: v p k bằng số lần thực
hiện nhớ khi thực hiện phép trừ n trừ đi k trong hệ cơ số p.
154
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
2 Các ví dụ minh họa
Trước hết ta ứng dụng định giá p − adic vào giải một số ví dụ đặc trưng cho
phương pháp này.
Bài toán 1. Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
c(ca + 1)2 = (2c + b) (3c + b) .
Chứng minh rằng c là một số chính phương.
Lời giải. Điều kiện bài toán tương đương với
c(ca + 1)2 = 6c2 + 5bc + b2 .
Suy ra c|b2 . Gọi p là ước nguyên tố của c ta có
c|b2 ⇒ v p (c) 6 v p b2 ⇒ v p (c) 6 2v p (b) (1).
Giả sử rằng v p (c) 6 v p (b). Do gcd (ca + 1, c) = 1 nên v p (ca + 1) = 0. Suy ra
v p (c) = v p (2c + b) + v p (3c + b) > 2v p (c) ,
vô lý. Do đó v p (b) < v p (c). Điều này dẫn đến
v p (c) = v p (2c + b) + v p (3c + b) > 2v p (b) (2).
Từ (1) và (2), suy ra v p (c) = 2v p (b). Như vậy, mọi lũy thừa trong khai triển c đều là
số chẵn hay c là một số chính phương.
Bài toán 2. Giả sử a, b ∈ N∗ thỏa mãn điều kiện a
- b2 , b3
- a4 , a5
- b6 , b7
- a8 , . . . Chứng
-
-
-
-
minh rằng a = b.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra a4n+1
- b4n+2 , ∀n ∈ N và b4n+3
- a4n+4 , ∀n ∈ N. Ta sẽ chứng
-
-
minh
υ p ( a ) = υ p ( b ).
Từ giả thiết a4n+1
- b4n+2 , ∀n ∈ N, ta thu được
-
4n + 2
υ p ( a) ≤ υ p (b), ∀n ∈ N,
4n + 1
155
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
suy ra
4n + 2
υ p ( a) ≤ lim υ p (b) ⇒ υ p ( a) ≤ υ p (b)(1)
n→+∞ 4n + 1
Tương tự, từ b4n+3
- a4n+4 , ∀n ∈ N suy ra
nguon tai.lieu . vn
