- Trang Chủ
- Toán học
- Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến
Xem mẫu
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 51
ĐIỀU KIỆN BỊ CHẶN CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN
SOME CONDITIONS FOR BOUNDEDNESS OF
NONLINEAR VOLTERRA INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTEMS
Đặng Lệ Thúy1, Lê Trung Hiếu2, Lê Huỳnh Mỹ Vân1, Nguyễn Thị Thanh Trúc1
1
Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh
2
Trường Đại học Đồng Tháp; lthieu@dthu.edu.vn
Tóm tắt - Những năm gần đây, bài toán về tính bị chặn của nghiệm Abstract - Recently, problem of boundedness of integro-
đối với các hệ phương trình vi tích phân còn nhiều hạn chế, đặc biệt differential systems has many limitations, especially the classes of
là các lớp hệ phương trình phi tuyến tổng quát. Trong bài báo này, general nonlinear systems. In this paper, by improving some
nhóm tác giả phát triển một số kĩ thuật tiếp cận đã có trong một số tài existing techniques presented in the references, we study problem
liệu tham khảo để áp dụng nghiên cứu bài toán về tính bị chặn và tính of ultimate boundedness and exponential stability of solutions to
ổn định mũ của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra nonlinear time-varying Volterra integro-differential systems.
phi tuyến phụ thuộc thời gian. Từ đó, thu được một số điều kiện đủ Then, we obtain some new explicit sufficient conditions for global
mới và tường minh cho tính bị chặn mũ tới hạn toàn cục của nghiệm ultimate boundedness of solutions to some classes of such time-
đối với một số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phụ thuộc varying Volterra integro-differential systems. The obtained
thời gian. Kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của một số kết quả results generalize some existing results in the literature as our
đã có như là các trường hợp đặc biệt của chúng tôi. Cuối cùng, nhóm particular cases. Ultimately, we present an example to illustrate the
tác giả đưa ra một ví dụ nhằm minh họa cho kết quả đạt được. obtained results.
Từ khóa - Hệ phương trình vi tích phân Volterra; tính bị chặn của Key words - Volterra integro-differential system; ultimately
nghiệm; ổn định mũ bounded; globally exponentially stable
1. Đặt vấn đề tính bị chặn mũ tới hạn của lớp hệ này. Kết quả đạt được là
Phương trình vi tích phân nói chung và phương trình vi mở rộng tổng quát của một số kết quả gần đây.
tích phân Volterra nói riêng dành được sự quan tâm của các Sau đây là một số kí hiệu và quy ước được sử dụng trong
nhà nghiên cứu, bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các suốt nội dung bài báo. Gọi , và lần lượt là tập hợp
mô hình toán học, sinh học, kinh tế và các ngành khoa học các số tự nhiên, trường số thực và trường số phức. Cho các
ứng dụngkhác ([1], [2], [9]). Các bài toán về tính bị chặn số nguyên dương l và q, kí hiệu l là không gian vectơ
và tính ổn định của nghiệm đối với các hệ động lực nói
l q
chung và hệ phương trình vi tích phân Volterra nói riêng là thực và là tập hợp tất cả các ma trận cỡ l q với các
một trong những bài toán định tính được sự quan tâm số hạng trong . Cho hai ma trận A aij và B bij
nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước trong những
l q
năm gần đây (xem [1], [2], [4]-[10], …). thuộc , khi đó A B tương đương với aij bij với mọi
Năm 2015, các tác giả trong [10] đã nghiên cứu đưa ra i {1, 2, ..., l}, j {1, 2,..., q}. Đặc biệt, nếu aij bij với mọi
một số điều kiện đủ cho tính bị chặn mũ tới hạn, một định
nghĩa mở rộng của ổn định mũ, của hệ phương trình sai phân i {1, 2, ..., l}, j {1, 2,..., q} thì ta viết A B. Ma trận
ngẫu nhiên phi tuyến có chậm. Năm 2017, với một cách tiếp
A aij l q
được gọi là ma trận không âm nếu aij 0
cận khác, các tác giả trong [1] đã đưa ra một số điều kiện đủ
tường minh cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của với mọi i {1, 2, ..., l}, j {1, 2,..., q}. Cách hiểu tương tự đối
nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến với vectơ không âm. Kí hiệu lq là tập hợp tất cả các ma
tính phụ thuộc thời gian. Gần đây, kết quả về ổn định tiệm trận thực không âm cỡ l q. Cho m là số nguyên dương, ta
cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi tích phân phi tuyến
kí hiệu m , m m và Im lần lượt là véctơ không trong
m
đã được nghiên cứu trong [6]. Tuy nhiên, bài toán về tính bị ,
chặn (tới hạn) của nghiệm theo dạng định nghĩa trong [5] ma trận không và ma trận đơn vị trong mm
. Với
chưa được nghiên cứu khai thác đối với lớp hệ phương trình
vi tích phân Volterra. Ngoài ra, các kết quả về tính ổn định x ( x1 , x2 ,..., xn )
T n
và P ij
p lq
ta định nghĩa
thường đòi hỏi phương trình vi tích phân cần có điểm cân giá trị môđun của vectơ và ma trận như sau:
bằng. Do đó, đối với lớp hệ không thỏa mãn điều kiện này,
việc nghiên cứu bài toán ổn định là không khả thi, vì vậy cần x x1 , x2 ,..., xn
T
n
và P pij l q
.
nghiên cứu tính chất tổng quát hơn là bị chặn của nghiệm. n
x
p
Nhằm đóng góp một phần vào giải quyết hạn chế nêu Trên n
, ta xét các chuẩn véctơ sau x p
p
i
trên, trong bài báo này, nhóm tác giả phát triển các kĩ thuật i 1
tiếp cận trong [1] và [10] để nghiên cứu tính bị chặn của
với 1 p và x max xi . Ta có, mọi chuẩn
lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ 1 i n
thuộc thời gian. Từ đó, đưa ra một số điều kiện mới cho trên n
đều là chuẩn đơn điệu ([1]), tức là nếu có
- 52 Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc
x, y n
, | x | | y | kéo theo x y . Cho ma trận Định nghĩa 2.1. Hệ phương trình vi tích phân Volterra
(2.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục (globally
l q
A , chuẩn của toán tử tuyến tính A : q
l
, exponentially stable, viết tắt là GES) nếu tồn tại các hằng
x Ax xác định bởi A : sup Ax , được gọi là chuẩn số K , 0, sao cho với mỗi , nghiệm x t , t0 , của
x 1
(2.1)-(2.2) thoả mãn
toán tử (operator norm) của ma trận A (gọi tắt là chuẩn ma
trận của A). x t , t0 , Ke
t t0
, t t0 ,
Trong bài báo này, nếu không giải thích gì thêm, chuẩn Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình vi tích phân Volterra
vectơ trên n là đơn điệu và chuẩn ma trận của A lq (2.1) được gọi là bị chặn mũ tới hạn toàn cục (globally
được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn vectơ đơn exponentially ultimately bounded, viết tắt là GEUB) nếu tồn
điệu trên l và
q
. tại các hằng số K , 0, 0 sao cho với mỗi ,
Với bất kì M n n
, hoành độ phổ (spectral abscissa) nghiệm x t , t0 , của (2.1)-(2.2) thoả mãn
của M được kí hiệu bởi M max Re : M , x t , t0 , Ke
t t0
, t t0 ,
trong đó M : z : det zI n M 0 là phổ của ma Số được gọi là biên trên tới hạn (ultimate upper
nn bound) của hệ phương trình (2.1).
trận M. Ma trận A được gọi là ma trận Metzler nếu
các phần tử ngoài đường chéo chính của A đều không âm. Từ hai định nghĩa nêu trên ta thấy, GES chỉ là trường
hợp đặc biệt của GEUB khi 0.
Với mỗi 0 , đặt l ( nn
) là họ các hàm ma trận
Chú ý rằng, khi (tức là miền xác định của nghiệm
thỏa mãn điều kiện như sau
là t t0 ) thì Định nghĩa 2.1 và Định nghĩa 2.2 lần lượt trùng
với định nghĩa về GES trong [6, Definition 3.7] và định
l ( B(t ) e t dt .
n n n n
) : B() C ( , ):
0 nghĩa về GEUB trong [10, Definition 4.1] tương ứng.
Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng, được sử dụng trong
2. Điều kiện cho tính bị chặn của nghiệm đối với hệ phép chứng minh định lí chính của bài báo này.
phương trình vi tích phân Volterra
Bổ đề 2.3 ([1, Theorem 2.2]). Cho E nn là ma trận
Xét hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ Metzler. Khi đó, những mệnh đề sau đây là tương đương:
thuộc thời gian có dạng như sau
(i) ( E ) 0;
t
x t F (t , x(t )) G(t, s) x(s)ds h(t ), t t
0
0 0, (2.1) (ii) Tồn tại v n
,v n sao cho Ev n ;
nn (iii) E khả nghịch và E nn ; 1
trong đó, F: n
n
,G: và
(iv) Cho v n
,v n . Khi đó, tồn tại x n
sao
h: n
là các hàm liên tục cho trước.
cho Ex v n ;
Gọi là tập hợp các hàm điều kiện đầu : [0, t0 ] n .
(v) Cho bất kì x n \ n , vectơ hàng x E có ít
T
Với mỗi , xét cho hệ (2.1) một điều kiện đầu như sau
nhất một phần tử âm.
x s 0 (s), s [0,t0 ]. (2.2) Định lí sau đây là kết quả chính của bài báo này, cho ta
Nghiệm của hệ (2.1) với điều kiện đầu (2.2), kí hiệu bởi một số điều kiện mới cho tính GEUB của hệ phương trình
vi tích phân Volterra phi tuyến (2.1).
x , t0 , , là hàm véctơ khả vi liên tục trên t0 , với
Định lí 2.4. Cho (H) được thỏa mãn và với mỗi
t0 nào đó và thoả mãn các đẳng thức (2.1), (2.2) với
t , F t , là hàm khả vi liên tục trên , F (t , n ) và
n
mọi t t0 , . Ngoài ra, nếu t0 , là khoảng lớn nhất để
h(t ) là các hàm bị chặn trên . Giả sử tồn tại
tồn tại x , t0 , thì nghiệm x , t0 , được gọi là không
A : ai j n n
và B(·) l ( nn
) ( 0 ) sao cho với
thể kéo dài (noncontinuable). Áp dụng Bổ đề Zorn ta có
tồn tại nghiệm không thể kéo dài và khoảng lớn nhất để tồn bất kì t 0 và bất kì x n
, ta có
tại x , t0 , là khoảng mở ([6]).
Fi F
Trong suốt bài báo này, ta giả sử rằng điều kiện sau t , x aii , i n, i t , x ai j , i j, i, j n; (2.3)
được thỏa mãn: xi x j
(H) F (t , x ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ | G(t , s) | B(t s), t , s ,t s (2.4)
hai (biến x) trên bất kỳ tập con compact của n
B(s)ds
. Khi đó, nếu A là ma trận thỏa mãn một
Khi đó, từ giả thiết (H) của hàm F ta có, với t0 0 và 0
cho trước, hệ phương trình vi tích phân (2.1) tồn tại trong các điều kiện (i)-(v) của Bổ đề 2.3 thì hệ phương
trình vi tích phân (2.1) là GEUB.
duy nhất nghiệm, thoả mãn điều kiện đầu (2.2) ([6]).
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 53
Trường hợp đặc biệt, khi F (t , n ) n , h(t ) n , với với k 0 đủ nhỏ nào đó, k 1, 2,...
mọi t thì hệ phương trình vi tích phân (2.1) là GES. Đặt G(t , s) : ( gij (t , s)) và B ( s ) : (bij ( s )) n n
,
Chứng minh. Từ cách xác định của A trong (2.4), ta có
t , s . Áp dụng định lí giá trị trung bình của hàm véctơ,
A là ma trận Metzler. Vì B ( s ) n , với mọi s nên
ta có với mỗi t và mỗi i {1,2,...,n}, ta có
M : A B(s)ds là ma trận Metzler. Vì các điều kiện
x t Fi t , x t Fi t , x t Fi t , n Fi t , n
0 n 1
F
(i)-(v) trong Bổ đề 2.3 là tương đương, nên từ giả thiết đã i t , sx t ds x j t Fi t , n
cho không làm mất tính tổng quát, ta giả sử ma trận Metzler
j 1 0 x j
M có ( M ) 0 . n
gij (t , s) x j ( s)ds hi (t ).
t
Giả sử và x t : x t; t0 , , t t0 , , là một j 1
0
nghiệm không thể kéo dài của (2.1) và (2.2). Ta cần chứng Do đó,
minh, rằng tồn tại K , 0, 0 sao cho với bất kì
xi t sgn xi t x t
d
t0 0, ta có dt
x t , t0 , Ke
t t0
, t t0 , n 1 F
sgn xi t i sx t ds x j t
(2.5)
trong đó K không phụ thuộc vào t , t0 và . Vì ma trận j 1 0 x j
Metzler M có ( M ) 0 nên theo Bổ đề 2.3 (ii), tồn tại n t
sgn xi t gij (t , s ) x j ( s )ds
v : 1 , 2 ,..., n , với i 0, i n , sao cho
T
j 1
n 0
Mv n . (2.6) sgn xi t f i t , n hi (t )
Hơn nữa, từ (2.6) và B(·) l ( nn ) , suy ra tồn tại 0 1 F
i sx t ds xi t
đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức sau xảy ra 0 xi
1 F
( A B(s)e s ds)v v 1 , 2 ,..., n
n
n . sgn xi t i sx t ds x j t
T
(2.7)
j 1, j i 0 x j
0
Đặt e1 : (1 1 ... 1)T n
, ta có n
| gij (t , s) || x j ( s) | ds f i t , n hi (t ),
t
v
( s ) e1
0
. j 1
min i
1 i n hầu khắp nơi theo t trên t0 , .Từ (2.4) và (2.5) suy ra
v v
u t e
t t0 n
Đặt L , với d
xi t aii xi t ai j x j t
min i min i dt
1 i n 1 i n j 1, j i
1
n
t t0 và L max sup Fi t , n hi (t ) . bij (t s) | x j (s) | ds fi t ,n hi (t ),
t
(2.8)
1 i n
t t0 j 1
0
Kí hiệu x t : x t , t0 , , khi đó từ trên ta có hầu khắp nơi theo t trên t0 , .
Ký hiệu D xi t là đạo hàm Dini trên - phải của
v
x s (s) u ( s ),
min i
1 i n xi t tại t t0 , , ta có
với mọi s [0,t0 ].
xi t xi t
Tiếp theo ta cần chứng minh x t u t , t t0 , . D xi t : lim sup
0
Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử ngược t
1 d
xi s ds.
t ds
lại rằng tồn tại t* t0 sao cho x t* u t* . Khi đó, ta có lim sup
0
thể đặt t1 : inf t* t0 , : x t* u t* . Bởi vì tính liên Theo hệ quả của định lí về giá trị trung bình của tích
tục của hàm u t và x t nên t1 t0 và tồn tại chỉ số phân, tồn tại c t , t sao cho
io n sao cho: t
d d
xi s ds = xi c .
x t u t , t t0 , t1 ; ds ds
t
Khi đó,
xi0 t1 ui0 t1 ; (2.9)
d d
D xi t limsup xi c xi t
xi0 t ui0 t , t t1 , t1 k ,
0 ds dt
- 54 Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc
D xi0 t1
n n
aii xi t ai j x j t bij (t s ) | x j ( s) | ds
t
0
j 1 j 1
n n j
ai0 j 0 bi0 j (t1 s)e
j i t1 t0 t1
( s t1 )
e ds
Fi t , n hi (t ). j 1 j 1 min
1 i n
i
Xét bất đẳng thức vừa chứng minh trên tại i i0 và n n j
ai0 j 0 bi0 j ( z )e dz
t1 t0 t1
z
e
t t1 , kết hợp với (2.9), ta có j 1 j 1 min
1 i n
i
n n
D xi0 t1 ai0i0 ui0 t1 ai0 j u j t1 bi0 j (t s )u j (s )ds n j
t1 n
ai0 j 0 bi0 j ( z )e dz
t1 t0 z
e
i
0
j 1 j 1
j i0 j 1 j 1 min
1 i n
Fi0 t1 , n hi0 (t1 ) 2.7 i
e
t1 t0
0
D ui0 t1 .
t1 t0
i i min i
ai0i0 e 0
ai0i0 L 0 1 i n
min i min i Điều này mâu thuẫn với (2.9). Do đó,
1 i n 1 i n
v v
x t , t0 , u t e
t t0
n j n j L .
ai0 j e ai j L
t1 t0
min i min i
j 1 min i j 1 min i o
1 i n 1 i n
j i0 1 i n j io 1 i n
Vì tính đơn điệu của chuẩn vectơ nên ta có
n j v v
bi0 j (t1 s ) e
t1 s t0
x t , t0 , u t e 0
t t
ds L ,
j 1
0 min i min i min i
1 i n 1 i n 1 i n
j t t0 , .
n
t1
bi j (t1 s ) L ds
j 1
0 0
min i Đặt
1 i n
Fi0 t1 , n hi0 (t1 ) K
v
, L
v
.
min i min i
n j n j 1 i n 1 i n
e
t1 t0
a
j 1
i0 j ai j L
min i j 1 min i 0
Vậy ta được
x t , t0 , u t K e , t t0 , .
t t0
1 i n 1 i n
n j
t1 t0
Sau cùng, ta cần chứng tỏ rằng nghiệm x t , t0 , xác định
t1
e bi0 j (t1 s )e ( s t1 ) ds
j 1
0 min i
1 i n
trên [t0 , ) , tức là cần chứng minh . Khi đó, (2.1) là
n j GEUB. Giả sử ngược lại rằng . Khi đó, vì (2.5) nên
t1
bi j (t1 s ) L ds
min i
nghiệm x t , t0 , là bị chặn trên t0 , . Ngoài ra, điều đó cùng
0 0
j 1
1 i n
Fi0 t1 , n hi0 (t1 ). với (2.1) suy ra x là bị chặn trên t0 , . Do đó, x là liên
Mặt khác, ta có tục đều trên t0 , . Vậy lim x t tồn tại và x có thể mở
t
n n j
L ai0 j bi0 j (t1 s )ds rộng tới hàm liên tục trên t0 , . Khi đó, có thể tìm một nghiệm
t1
j 1 j 1
0
min i
của (2.1) qua , x về bên phải của . Điều này mâu thuẫn
1 i n
Fi0 t1 , n hi0 (t1 ).
với giả thiết không thể kéo dài của nghiệm x . Vậy .
n n j
L ai0 j bi0 j ( z )dz
t1
Trường hợp đặc biệt, khi F (t , n ) n và h(t ) n với
j 1 j 1
0
mi n i
1 i n mọi t t0 , ta có
Fi0 t1 , n hi0 (t1 ).
1
max sup Fi t ,0 hi (t )
v v
L 0.
n n j min i 1i n t t 1i n i
min
L ai0 j bi0 j ( z )dz Fi0 t1 , n hi0 (t1 ).
0
1 i n
j 1 j 1
0
min
1 i n
i Khi đó, hệ phương trình vi phân (2.1) là GES. Định lí
i0 i0 được chứng minh.
(2.7), (2.8)
L( ) Fi0 t1 ,n hi0 (t1 ) Nhận xét 2.5. Trong trường hợp các bất đẳng thức (2.4)
min i min i
1i n 1 i n và (2.5) xảy ra dấu “=’’, F (t , n ) h(t ) n với mọi t t0 ,
i0 i0
L L 0. khi đó, (2.1) trở thành hệ phương trình vi tích phân Volterra
min i min i tuyến tính thuần nhất. Khi đó, Định lí 2.3 đặc biệt hóa trở
1 i n 1 i n
về Định lí 4.3 trong [1].
Do đó,
Tiếp theo, xét hệ phương trình vi tích phân Volterra
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 55
tuyến tính phụ thuộc thời gian, dạng tích chập
e
t
Áp dụng Định lí 2.4, nếu 3 a dt 0 hay
x t F (t ) x(t ) G (t , s ) x( s )ds h(t ), t t0 0, (2.10)
t
0
0
0 a 2 thì phương trình (2.13) là GEUB.
trong đó, F : nn và G : nn ,
h : n là các hàm liên tục cho trước. Ta có hệ quả Ngoài ra, khi a b 0 thì phương trình (2.13) là GES.
sau đây về tính GEUB của (2.10), tính chất này được suy
ra trực tiếp từ Định lí 2.3. Chú ý rằng các kết quả trong [1] là hoàn toàn không áp
dụng được cho phương trình vi tích phân Volterra (2.13).
Hệ quả 2.6. Giả sử h(·) là hàm bị chặn và tồn tại ma
trận A aij
3. Kết luận
n n
, B() l ( nn
) với 0, sao cho
Nhóm tác giả đã phát triển kĩ thuật tiếp cận dựa trên các
Fii t aii , Fij t aij , i j , i, j n, t ; (2.11) tính chất của ma trận Metzler, từ đó nghiên cứu và đưa ra
một số điều kiện tường minh cho tính bị chặn của nghiệm
| G (t , s) | B(t s), t , s ,t s. (2.12) đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính và
phi tuyến phụ thuộc thời gian. Hướng phát triển của vấn đề
nghiên cứu trong bài báo này là phát triển kĩ thuật tiếp cận
0
Khi đó, nếu A B( s)ds 0 thì hệ phương trình
để nghiên cứu điều kiện bị chặn của nghiệm đối với một số
lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phức tạp hơn,
vi tích phân Volterra (2.10) là GEUB. Trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như các hệ phương trình với chậm vô hạn, hệ
khi h(t ) n , với mọi t thì hệ phương trình vi tích phương trình có yếu tố ngẫu nhiên. Xa hơn là nghiên cứu
phân Volterra (2.10) là GES. áp dụng các kết quả đạt được về tính bị chặn của nghiệm
Nhận xét 2.7. Khi các bất đẳng thức (2.11) và (2.12) đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra vào một số
mô hình thực tế.
xảy ra dấu “=’’ và h(t ) n với mọi t t0 , khi đó, Hệ quả
2.6 đặc biệt hóa trở về Định lí 4.3 trong [1]. Ghi chú. Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học
Ví dụ 2.8. Xét phương trình vi tích phân Volterra phi Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh trong
tuyến phụ thuộc thời gian xác định trong như sau: khuôn khổ đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở mã số
D1-2019-06.
tet s
t
a
x(t ) 3x(t ) cos( x(t )) x(s)ds bsin 5t , (2.13)
1 t 2
0
t 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO
trong đó t t0 0 và a là tham số thực không âm. [1] Anh, T. T and Ngoc, P. H. A., “New stability criteria for linear
Volterra time-varying integro-differential equations”, Taiwanese
Phương trình (2.13) có dạng (2.1) với Journal of Mathematics, 21, no. 4 (2017): 841-863.
a
f t , x : 3x cos( x); [2] Burton, T. A., Volterra Integral and Differential Equations,
1 t2 Academic Press, New York, 1983.
[3] Dieudonne, J. Foundations of Modern Analysis. Academic Press:
te t s
G (t , s) : ; h(t ) : b sin 5t , New York, 1988.
t 1 [4] Hale, J. K. and Lunel, S. M. V., Introduction to functional differential
với t t0 0, x . Ta thấy (H) được thỏa mãn vì f (t , x ) equations, Vol. 99, Springer Science & Business Media, 2013.
[5] Ngoc, P. H. A., Naito, T., Shin, J. S. and Murakami, S., “On stability
liên tục trên và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo and robust stability of positivelinear Volterra equations”, SIAM J.
biến x. Ngoài ra, ta có Control Optim., 47, (2008), 975-996.
[6] Ngoc, P. H. A and Anh, T. T., “Stability of nonlinear Volterra
f a
(t , x) 3 sin( x) 3 a, t , x ; equations and applications”, AppliedMathematics and Computation,
x 1 t2 2019, Vol. 341, 1-14.
[7] Peuteman, J., Aeyels, D., and Sepulchre, R., “Boundedness
G(t , s) B(t s) : et s , t , s ; Với [0,1), properties for time-varying nonlinear systems”, SIAM Journal on
Control and Optimization, 39(5), 2000, 1408-1422.
ta có [8] Shen, T. and Ian, R. P., “An ultimate state bound for a class of linear
systems with delay”, Automatica, 87 (2018), 447-449.
[9] Volterra, V., Theory of functionals and of integral and integro-
| B(t ) | e dt e e dt e dt (1 ) 1 ;
t t t ( 1) t
differential equations, Courier Corporation, 2005.
0 0 0 [10] Xu, L. and Ge, S. S. (2015), “Exponential ultimate boundedness of
nonlinear stochastic difference systems with time-varying delays”,
a
| h(t ) | b; F (t ,0) a, t , s .
International Journal of Control, 88(5), 983-989.
1 t2
(BBT nhận bài: 22/7/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 23/9/2019)
nguon tai.lieu . vn
