- Trang Chủ
- Toán học
- Đề tài Hoạt động trải nghiệm: Ứng dụng của tích phân trong thực tiễn
Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN HỌC
ĐỀ TÀI
HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG THỰC TIỄN
Người hướng dẫn Người thực hiện
TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC PHAN HỮU HIỆU
MSSV: 19S1011009
Huế, 6-2021
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG THỰC TIỄN
ĐỀ TÀI HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM
Người hướng dẫn
TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Huế, 6-2021
- 1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 3
LỜI GIỚI THIỆU 4
Chương 1. NỘI DUNG 5
1.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Một số ứng dụng của tích phân trong thực tiễn . . . . . . . 7
1.2.1 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia
tốc của chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng . 7
1.2.3 Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay 8
1.2.4 Ứng dụng của tích phân tính thể tích vật thể . . . . 9
1.3 Một số bài toán ứng dụng trong thực tiễn . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận
tốc, gia tốc của chuyển động . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 12
1.3.3 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn
xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích một số
vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- 2
Chương 2. KHẢO SÁT SỰ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH,
SINH VIÊN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG
THỰC TIỄN 19
KẾT LUẬN 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO 31
- 3
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình tìm hiểu thực hiện đề tài: “Ứng dụng của tích phân
trong thực tiễn” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Đăng
Minh Phúc, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện đề tài, đồng thời tôi cũng
nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên khoa Toán.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đăng
Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành đề tài của
mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành
đề tài này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu
tiên làm quen với việc tiến hành tìm hiểu một đề tài nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và
các bạn. Xin chân thành cám ơn!
Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021
Tác giả
- 4
LỜI GIỚI THIỆU
Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm: giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tích phân. Phần lớn người học rất lung túng và gặp khó
khăn khi học giải tích nói chung và tích phân, những bài toán thực tế cần
dùng đến tích phân nói riêng. Tích phân có rất nhiều ứng trong thực tiễn.
Bên cạnh đó, trong các đề thi THPT của các năm luôn xuất hiện những
bài toán liên quan đến tích phân. Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo
khoa Toán 12 chỉ thể hiện những bài tính toán khô khan, học sinh chỉ biết
tính toán một cách máy móc mà không thấy được những ứng dụng thực
tế của nó.
Với mong muốn giúp cho bản thân tôi và độc giả thấy rằng toán tích
phân rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, là những công cụ đắc lực giúp
giải quyết những vấn đề, tình huống trong thực tế. Từ đó tôi chọn đề tài:
"Ứng dụng của tích phân trong thực tiễn".
Nội dung của đề tài gồm 3 phần:
Phần 1. Tóm tắt lí thuyết.
Trong phần này tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về tích phân và
các ứng dụng của tích phân.
Phần 2. Một số bài toán ứng dụng tích phân trong thực tiễn.
Phần 3. Khảo sát sự hiểu biết của học sinh, sinh viên về ứng dụng của
tích phân trong thực tiễn.
Trong phần này tôi tiến hành khảo sát trên 40 sinh viên về ứng dụng
của tích phân trong thực tiễn.
- 5
CHƯƠNG 1
NỘI DUNG
1.1 Tóm tắt lý thuyết
1.1.1 Khái niệm tích phân
Diện tích hình thang cong
Khái niệm tích phân được bắt nguồn từ những bài toán thực tế. Chẳng
hạn, bài toán tính diện tích hình thang cong.
Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.
Khái niệm hình thang cong giúp ta giải bài toán tìm diện tích một
hình phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín (vì nó bằng tổng
diện tích của một số hình thang cong dạng này hay dạng khác), bằng cách
chuyển từ một bài toán phức tạp về bài toán đơn giản.
Định nghĩa tích phân
- 6
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) là một nguyên
hàm của f (x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân
Zb
xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f (x) kí hiệu là: f (x)dx
a
1.1.2 Tính chất của tích phân
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], k ∈ R, c ∈ (a, b)
Zb Za
f (x)dx = − f (x)dx.
a b
Zb Zc Zb
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Zb Zb
k.f (x)dx = k. f (x)dx.
a a
Zb Zb Zb
[f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.
a a a
- 7
1.2 Một số ứng dụng của tích phân trong thực tiễn
1.2.1 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia tốc
của chuyển động
Vật chuyển động theo phương trình quãng đường tại thời điểm t là s(t).
Phương trình vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là v(t) thì v(t) =
s0 (t)
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t: a(t) = v 0 (t) = s00 (t)
Khi đó ta rút ra một số kết quả sau:
Vận tốc vật tại thời điểm t = b, tính theo vận tốc tại thời điểm t = a
là:
Zb
v(b) = [v(b) − v(a)] + v(a) = a(t)dt + v(a)
a
Quãng đường đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là:
Zb
L = s(b) − s(a) = v(t)dt
a
1.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên
tục trên đoạn [a; b], trục hoành y = 0 và hai đường thẳng x = a, x = b
(a < b) được tính bởi công thức:
Zb
S= |f (x)| dx.
a
Tổng quát hơn, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm
số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thằng x = a,
- 8
x = b (a < b) được tính bởi công thức:
Zb
S= |f (x) − g(x)| dx.
a
1.2.3 Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H)
y = f (x), y = 0
giới hạn bởi đồ thị các hàm số: quanh trục hoành
x = a, x = b(a < b)
- 9
được tính bởi công thức:
Zb
V =π f 2 (x)dx
a
.
Tổng quát hơn, thể tích V của khối trònxoay tạo thành khi quay hình
y = f (x), y = g(x)
phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số: quanh
x = a, x = b(a < b)
trục hoành được tính bởi công thức:
Zb
V =π |f 2 (x) − g 2 (x)|dx
a
.
1.2.4 Ứng dụng của tích phân tính thể tích vật thể
Cho vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b (a < b). Cắt B
bởi một mặt phẳng (α) nằm giữa 2 mặt phẳng x = a và x = b. Mặt phẳng
(α) vuông góc với trục Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b).
Sinh ra thiết diện có diện tích là một hàm số phụ thuộc vào x là S(x).
Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của vật thể được
- 10
tính bởi công thức:
Zb
V = S(x)dx
a
Nhận xét. Với S(x) là diện tích của các hình tròn thì công thức này
thực chất là công thức tính thể tích khối tròn xoay với S(x) = πf 2 (x).
Như vậy f (x) có thể xem là hàm bán kính của hình tròn theo x.
1.3 Một số bài toán ứng dụng trong thực tiễn
1.3.1 Bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc,
gia tốc của chuyển động
Bài toán 1. Một ô tô chạy với vận tốc 18m/s thì hãm phanh. Sau khi
hãm thì ô tô chuyển động chậm dần đều với v(t) = 18 − 36t(m/s), t là
khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường vật
đi được cho đến khi dừng lại kể từ thời điểm hãm phanh ?
Lời giải. Khi ô tô dừng lại tức là vận tốc ô tô tại thời điểm đó bằng
0. Theo công thức tính vận tốc của ô tô tính từ lúc thời điểm hãm phanh,
ta có thể suy ta thời gian ô tô dừng lại kể từ lúc ô tô hãm phanh là:
1
0 = v(t) = 18 − 36t ⇒ t = (s)
2
- 11
Như vậy ta sẽ tính quãng đường ô tô đi được từ thời điểm t = 0 cho
1
đến thời điểm t = với phương trình vận tốc là v(t) = 18 − 36t. Vì vậy
2
quãng đường ô tô đi được cho đến khi dừng lại là:
1
Z2
L= (18 − 36t)dt = 4, 5m
0
Bài toán 2. Một vật chuyển động đều với v = 15m/s thì tăng tốc với
gia tốc a(t) = t2 + 4t. Tính quãng được vật đi được trong khoảng thời
gian sau 3 giây từ lúc bắt đầu tăng tốc ?
Lời giải. Ta sẽ tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 cho
đến thời điểm t = 3 theo công thức:
Z3
L= v(t)dt
0
Như vậy ta phải đi tìm phương trình vận tốc của vật chuyển động v(t).
Ta có:
t3
Z Z
0
a(t) = v (t) ⇒ v(t) = a(t)dt = (t + 4t)dt = + 2t2 + C
2
3
03
Mà v(0) = 15 nên + 2.02 + C = 15 ⇒ C = 15
3
Vậy quãng được vật đi được trong khoảng thời gian sau 3 giây từ lúc
bắt đầu tăng tốc là:
Z3
- 3
t3
4 3
t 2t
+ 2t2 + 15 dt =
-
L= + + 15t
- = 69, 75m
3 12 3 0
0
Chú ý. Để tìm được phương trình vận tốc của vật chuyển động ta cũng
có thể trình bày như sau:
Zt Zt
t3
v(t) = [v(t)−v(0)]+v(0) = a(t)dt+v(0) = (t +4t)dt+15 = +2t2 +15
2
3
0 0
- 12
1.3.2 Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
x2 y 2
Bài toán 1. Tính diện tích của một hình elip có dạng: + 2 = 1,
a2 b
(a > b > 0).
Lời giải. Gọi S1 là diện tích hình phẳng ở góc phần tư thứ I của hệ
trục tọa độ Oxy . Khi đó diện tích cần tìm là S =4S1 . q
y = 0, y = b 1 −
x2
a2
Ta có S1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = 0, x = a
- r
- r
Ra
nguon tai.lieu . vn
