- Trang Chủ
- Toán học
- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề môn Đại số tuyến tính ở trường đại học với sự trợ giúp của phần mềm Symbolab online
Xem mẫu
- Nguyễn Viết Dương - Nguyễn Ngọc Giang
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
môn Đại số tuyến tính ở trường đại học với sự trợ giúp
của phần mềm Symbolab online
Nguyễn Viết Dương TÓM TẮT: Bài viết đề cập đến việc sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông vấn đề trong dạy học môn Đại số tuyến tính nhờ sự trợ giúp của phần mềm Symbolab
97 Man Thiện, Quận 9, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam
Email: nvduong@ptithcm.edu.vn
online. Phần mềm Symbolab giúp sinh viên tìm ra đáp án một cách chính xác và đưa ra
Nguyễn Ngọc Giang được lời giải giúp sinh viên so sánh, đối chiếu tự kiểm chứng lời giải của mình mà không
Trường Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh cần nhờ sự giúp đỡ của giảng viên. Sinh viên có thể sử dụng phần mềm Symbolab để
36 Tôn Thất Đạm, Quận 1, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam tự học một cách hiệu quả. Qua đó, sinh viên tích cực chủ động, tự xây dựng kiến thức
Email: nguyenngocgiang.net@gmail.com
cho chính mình.
TỪ KHÓA: Dạy học; phát hiện và giải quyết vấn đề; Symbolab Online.
Nhận bài 08/11/2017 Nhận kết quả phản biện và chỉnh sửa 13/01/2018 Duyệt đăng 25/01/2018.
1. Đặt vấn đề lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và
Trong khoa học giáo dục (GD), khái niệm dạy học (DH) GQVĐ chứ không phải nghe GV giảng một cách thụ động.
phát hiện và giải quyết vấn đề (GQVĐ) là một trong những Mục đích DH không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội được
khái niệm có nhiều tên gọi khác nhau. Có người gọi DH phát kết quả của quá trình phát hiện và GQVĐ, mà còn ở chỗ làm
hiện và GQVĐ là DH nêu vấn đề, DH gợi vấn đề, DH dựa cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như
trên vấn đề hay DH đặt và GQVĐ. Theo Chad C. Schools [1], vậy. Nói cách khác HS được học bản thân việc học [2].
DH phát hiện và GQVĐ ra đời vào thập niên 1960 tại Trường
MacMaster, Canada trong một khóa học về Y khoa. Tuy 2.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương
nhiên, nhiều ý kiến đồng ý rằng, phương pháp DH phát hiện pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm
và GQVĐ ra đời sớm hơn nhiều. Karen Goodnough (2006) DH phát hiện và GQVĐ là phương pháp DH tích cực hóa
chỉ ra năm 1944, trong một công trình của John Deway đã người học, lấy người học làm trung tâm. Sở dĩ DH phát hiện
đề xuất đến bản chất của việc DH phát hiện và GQVĐ khi và GQVĐ là phương pháp DH lấy người học làm trung tâm
viết “cần chú trọng đến việc liên hệ giữa cách suy nghĩ, cách là vì nó thỏa mãn ba tiêu chí của phương pháp DH lấy HS
GQVĐ và cách học”. Sau đó, DH phát hiện và GQVĐ phát làm trung tâm như sau:
triển mạnh không những trong lĩnh vực Y khoa mà còn trong Môi trường học tập thân thiện, khuyến khích HS tích cực
nhiều lĩnh vực khác. Điển hình là thập niên 1970, 1980, DH học tập. HS cảm thấy không tự ti với bạn bè dù phát biểu trả
phát hiện và GQVĐ đã được ứng dụng nhiều trong khoa học lời câu hỏi có thể bị sai. HS được cùng nhau hợp tác, tham
và đời sống. Ngày nay, phương pháp phát hiện và GQVĐ đã gia GQVĐ, tự do trao đổi học tập.
trở nên quen thuộc và được nhiều người sử dụng trong DH. HS có cơ hội thường xuyên được cung cấp thông tin, kiến
thức, kinh nghiệm mới giúp HS phát triển. Tuy nhiên, những
2. Nội dung nghiên cứu kiến thức, kinh nghiệm này thường được cung cấp theo cách
2.1. Quan điểm và đặc điểm về dạy học phát hiện và HS tự kiến tạo nên kiến thức, kinh nghiệm cho chính mình
giải quyết vấn đề chứ không phải là cách truyền thụ áp đặt từ GV. Kiến thức và
Theo Nguyễn Bá Kim [2], “DH phát hiện và GQVĐ là kinh nghiệm cũng phải phù hợp với mức độ nhận thức của
phương pháp DH mà giáo viên (GV) tạo ra những tình huống HS. Hoặc đó là kiến thức mới ở mức độ cao hơn nhưng HS
gợi vấn đề, điều khiển học sinh (HS) phát hiện vấn đề, hoạt nếu cố gắng cũng có thể với tới được. Kiến thức không được
động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ và thông quá xa lạ, quá khó đối với HS.
qua đó, kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những HS được phát triển năng lực cá nhân. Cách DH khuyến
mục đích học tập khác.” khích và trân trọng các phát hiện cá nhân. Các phát hiện cá
Theo Pietzsch (1981), DH phát hiện và GQVĐ có ba đặc nhân này có thể không mới so với nhân loại nhưng mới so với
điểm sau đây: HS. GV động viên giúp HS nên có nhiều khám phá hơn nữa
HS được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không trong tương lai. Cách DH được cá nhân hóa cao. HS tự học,
phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn. tự tìm tòi kiến thức. Tùy theo phong cách, tốc độ học tập khác
HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận nhau của mỗi HS mà cách DH đáp ứng được với từng HS này.
Số 01, tháng 01/2018 57
- NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN
2.3. Phân biệt giữa mối quan hệ thầy trò trong lớp học những kết quả phản hồi này trong tiến trình xử lí thông tin
truyền thống và lớp học học theo phương pháp phát sẽ trở nên sâu sắc hơn nhiều so với việc ghi nhớ đơn thuần.
hiện và giải quyết vấn đề - DH phát hiện và GQVĐ cung cấp cho HS cơ hội nhận
được phản hồi nhanh về hiểu biết của HS.
Hình 1 phân biệt mối quan hệ thầy trò trong lớp học truyền - DH phát hiện và GQVĐ cho phép HS kết nối thông tin
thống và lớp học học theo phương pháp phát hiện và GQVĐ: với các sự kiện để tạo ra sự kích thích đối với việc ghi nhớ
thông tin.
- DH phát hiện và GQVĐ là động cơ thúc đẩy. Nó có khả
năng kết hợp ý muốn của các cá nhân về GQVĐ thành công
với việc nhớ lại thông tin [3].
Hạn chế:
- DH phát hiện và GQVĐ có khả năng gây nhầm lẫn cho
HS nếu HS không có nền tảng kiến thức ban đầu.
- DH phát hiện và GQVĐ có những hạn chế về thực hành
khi các trường học không coi đó là phương pháp DH chính
để HS học các bài học.
- DH phát hiện và GQVĐ quá tốn thời gian cho việc thực
hiện các hoạt động bài học (ví dụ các hoạt động toán học), sẽ
không đủ thời giờ để HS có thể “phát hiện và GQVĐ” hết tất
cả mọi điều trong năm học của HS.
- DH phát hiện và GQVĐ yêu cầu GV phải chuẩn bị nhiều
thứ dành cho chỉnh sai, nhiều phản hồi về việc HS mắc sai
Lớp học truyền thống Lớp học bằng cách phát hiện lầm (quá trình thử và sai).
và GQVĐ
- DH phát hiện và GQVĐ có thể trở thành rào cản, đó là có
Hình 1: Phân biệt mối quan hệ thầy trò trong lớp học truyền quá nhiều kĩ năng quan trọng và thông tin quan trọng mà tất
thống và lớp học học theo phương pháp phát hiện và GQVĐ cả HS nên học.
- Nếu DH phát hiện và GQVĐ được thực hiện như một
2.4. Những ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy thuyết GD quan trọng bậc nhất thì dễ có khuynh hướng tạo ra
học phát hiện và giải quyết vấn đề một nền GD không đầy đủ.
Ưu điểm: Chúng tôi đưa ra một số hạn chế khác của DH phát hiện và
- Phát triển tư duy cho HS đặc biệt là tư duy logic, tư duy GQVĐ trong lớp học truyền thống:
phê phán và tư duy sáng tạo. HS thấy được vấn đề cần giải - DH phát hiện và GQVĐ trong lớp học truyền thống chỉ
quyết. thực hiện được với số ít HS, không tương tác được với các
- HS phát triển kĩ năng làm việc nhóm, tự khám phá, tìm tòi HS ở các vùng địa lí khác nhau, chẳng hạn HS ở tỉnh này,
kiến thức cho chính mình. HS biết cách hợp tác, thảo luận để tỉnh kia hay quốc gia này, quốc gia kia. Môi trường tương tác
tìm ra cách GQVĐ tốt nhất. trong DH phát hiện và GQVĐ truyền thống là hạn chế.
- Hình thành năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS. Đây là - DH phát hiện và GQVĐ truyền thống với số đông HS
năng lực cốt lõi mà HS cần có. thì không đủ các chuyên gia trợ giúp trong các pha phản hồi
- DH phát hiện và GQVĐ làm cho HS tích cực trong tiến ngay tức thì. Khi HS chọn sai một lựa chọn thì DH phát hiện
trình HT. Khi tham gia học tập, HS chú ý hơn. và GQVĐ truyền thống không ngay lập tức đưa ra thông tin
- DH phát hiện và GQVĐ thúc đẩy tính tò mò. cũng như hướng dẫn bổ trợ cho HS.
- DH phát hiện và GQVĐ thúc đẩy sự phát triển các kĩ - DH phát hiện và GQVĐ truyền thống thường phải có GV
năng học tập cao về đời sống xã hội. mới thực hiện được các pha DH. HS phát hiện và GQVĐ
- DH phát hiện và GQVĐ cho phép cá nhân hóa kinh theo các hoạt động, yêu cầu của GV [3].
nghiệm học tập.
- DH phát hiện và GQVĐ có tính khuyến khích cao vì nó 2.5. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề môn Đại
cho phép các cá nhân có cơ hội trải nghiệm và khám phá điều số tuyến tính nhờ sự trợ giúp của phần mềm Symbolab
gì đó cho chính bản thân. online
- DH phát hiện và GQVĐ xây dựng trước tiên trên nền tảng Môn Đại số tuyến tính là môn học quan trọng và bắt buộc
kiến thức và sự hiểu biết của HS. trong hầu hết các khối ngành Kĩ thuật, Sư phạm và Tài chính
- Hoạt động DH phát hiện và GQVĐ tập trung sự chú ý của ngân hàng,... Vì Đại số tuyến tính là ngành nghiên cứu về
HS vào những ý tưởng hay các kĩ thuật quan trọng. không gian vector, hệ phương trình tuyến tính và các phép
- DH phát hiện và GQVĐ buộc HS phải luôn phản hồi và biến đổi tuyến tính giữa chúng nên việc tính toán là một trong
58 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
- Nguyễn Viết Dương - Nguyễn Ngọc Giang
những kĩ năng quan trọng vào loại bậc nhất của môn học này. Đây là bài toán khó đối với nhiều sinh viên. Nhiều em sử
Để giảm thiểu việc tính toán, giải toán có thể dẫn đến sai sót dụng phương pháp hạ bậc định thức, đưa định thức cần tính
trong quá trình DH cũng như ra đề, việc ứng dụng các phần là cấp 7 về tính thông qua định thức cấp 6. Sau đó, đưa việc
mềm là việc hầu như các giảng viên đều sử dụng. Những tính định thức cấp 6 về tính định thức cấp 5, tính định thức
phần mềm phổ biến mà các giảng viên hay dùng là Maple, cấp 5 về tính định thức cấp 4, tính định thức cấp 4 về tính
Matlab, Mathematica,... Tuy nhiên, việc sử dụng thành thục định thức cấp 3. Sử dụng phương pháp này tương đối phức
các phần mềm này cũng là điều tương đối khó khăn đối với tạp, dài dòng mà không biết kết quả đúng sai như thế nào?
các GV chưa am tường công nghệ thông tin. Ngoài ra, việc Phần mềm Symbolab chính là công cụ hữu hiệu giúp đỡ sinh
mua phần mềm ở nước ta đối với một số người ở các vùng viên trong trường hợp này.
sâu, vùng xa sẽ không thuận tiện. Chính vì thế, cần tìm hiểu
các phần mềm online sẵn có trên Internet. Một trong những
phần mềm hữu dụng, dễ dùng, tính toán nhanh, cho kết quả
chính xác đó là phần mềm Symbolab. Phần mềm này cho
phép đưa ra lời giải chi tiết từng bước, hữu ích mà nhiều
phần mềm khác không thể có được. Phần mềm Symbolab
là phần mềm online có địa chỉ trên Internet là: https://www.
symbolab.com. Đây là phần mềm dành cho Toán học và Hóa
học. Có nhiều công cụ hỗ trợ khác nhau thuộc vào nhiều lĩnh
vực như Số học, Đại số, Ma trận và vector, Hàm số và đồ thị,
Hình học, Lượng giác, Phép tính vi tích phân, Xác suất, Hóa
vô cơ và Hóa hữu cơ. Hiện nay, đây là phần mềm chưa được
biết nhiều và chưa được phổ biến ở nước ta. Sinh viên vào thanh công cụ, bấm vào biểu tượng định thức
Do đặc thù của môn Đại số tuyến tính là các kiến thức móc màu xanh trên chữ Go trong phần định thức Determinant
nối, liên quan mật thiết với nhau. Có nhiều bài toán có thể của Matrices và nhập định thức cần tính trên. Sau đó, sinh
giải bằng nhiều cách khác nhau, nhiều bài toán là các các ví viên bấm nút Go để phần mềm Symbolab tự tính định thức.
dụ tốt trong việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Có thể mở Phần mềm Symbolab đưa ra cách giải từng bước, từng
rộng, lật ngược nhiều bài toán. Nội dung môn Đại số tuyến bước một được tóm tắt như sau:
1+x 1 1 1 1 1 1
tính hoàn toàn phù hợp với việc DH phát hiện và GQVĐ. 1 1+x 11 1 1+ x 11 11 11 1 1
1+x 1 11 11 1 1+ x 11 11 1 1
2.6. Ví dụ minh họa dạy học phát hiện và giải quyết vấn 1
|A| = 1 1 + 1 x 1 1 1 1 1
1+x 11 1 1
đề các bài toán Đại số tuyến tính với sự trợ giúp của |A| = 1 1 11 1 +1x 11 11 1 1+ x 1 1
1 1 11 11 1 +1x 11 11
phần mềm Symbolab online 1+x 1
1 1 11 11 11 1 +1x 11
2.6.1. Sử dụng phần mềm Symbolab dự đoán kết quả 1 1 1 1 1 1 1+x
1 1+
bài toán, thực hành giải toán 1 + x 1 1 1 1 +1 x 11 111 111
1+x 1 1 1 1 1 d12 ! d12 + 1 x1+x d11
− 1 x2 +2x1
Trong hoạt động giảng dạy thực tiễn, chúng tôi1nhận1 thấy,
x x
1 1 1! d 1−
0
+x 1 d21! d2 −1 1+x dd
3 3 01+1+x x1 x2 +2x
d1+x
1
1 x1 1+x1x 1x
x+1
2
1x
x+1
nhiều sinh viên rất yếu trong khâu kiểm chứng 1lời giải1bài 1 + x d31! d3 −1 1+x dd1 1 1! d − 1
1 1 1 d11x+ x x2 +2x 01
x+1 x
x+1
1x
x+1 x +2x
1x
x+1
1+x
1xx
x+1
x+1
4 4 0 1+x
toán. Sinh viên có thể làm ra bài toán nhưng
|A| =không 1 biết chính x d4 |A|
2
1 1 1d4+! =−
−1 1+x1
d−1−1−1−−−−− 1−1−−−−x+1 −x!1 11+x
0x+ x xx+1 x1
x+1
2
1x
x+1
x+1
x 1x+1
+2x
1+x
+2x x x
−− − − − − − − − − − − − − −!
1 + x1 d15 ! d5 − 1 0 1 1
1 1+x dx+1 1 1 1 + x 1 1
xác kết quả đó đúng hay sai. Phần mềm online1 Symbolab 1 1 1
d5 ! d5 − 1+x dd 1 1! d −
1 x+1
0 x
1+x
x+1
x
x+1
2
x+1
x
x+1
x+1
1 11+x dx+1 1 1
1 x x1 1x 1x+x+2x x 1xx
6 0
chính là công cụ hữu hiệu giúp sinh viên tìm ra 1đáp án 1một 1 1
d6 ! d6 − 1+x
1 1 1+
dd
6 x
1 1! d −1 1 d x1
x+1
0x1 x
x+1
x+11x
1+x
1
x+1 x 1 x+
x+1
2
x+1 x
+2x
1 1 1 1 1 1 17 17 +0 x1+x x+1
cách chính xác. Hơn thế nữa, phần mềm Symbolab còn đưa d7 ! d7 − 1+x d1
1
x+1
0 x
x+1 x
x+1 x
1+x
01 x 1 +1x x 11x+1 x 1x+1 x 1x+1x
ra được lời giải giúp sinh viên so sánh, đốid chiếu tự kiểm
1
1+x 1 d21 ! d2 −1 1+x 1
d1 x+1 x+1
1 +xx2 +2x
x+1
1 x1
x+1
1x
x+1
2 ! d2 − 1+x d1 x2 +2x x d $ x d x 0 x x
chứng lời giải của mình mà không cần nhờ dsự giúp đỡ của1
3 ! d3 − 1+x d1
0
$ d7 dx+1
d2 1+x 3 ! d3 x+1
2 1 71+ x
− 1+x d1x+1 1 x+11 1
1+x 1x+1
xx+1x x2 +2x x 1 x+1
xx
x x2 +2x d3 ! x d3 1 − d2x x 0 xx 0 x+1 x x1+x x1+x x+1 x x+1
giảng viên. Sinh viên có thể sử dụng phần mềm Symbolab
d4 ! d4 − 1+x d11để 0 d3 x+1 ! d 3 − d 4
1+x
2 ! d
d4−4 −
x+1
! d−
1+x
0 d
−−− 1x+1
d! 1+x x+1
x+1 0 x 0
x+1x+1 x+1 xx x+1
x+1 x
x 0
2
+2x x
−−− −−x−−−− x−2
−−− 4− 2x 0 xx
tự học một cách hiệu quả. −−−−−−−−−−−−−−−! 0 d4 x+1 ! x
d4 − 2 −−−−−
dx+1
d5xd−!
− +2x
−
−x−1+x
d5d1+x 1−0 − − − −
x+1 − 0− ! x+1 0 0
x+1 x
xx+1
0 0x+10 0 1+x x
Chẳng hạn, chúng ta xét bài toán sau: d5 ! d5 − 1+x 1
d1 −−−−−−−−
0d ! dx+1 x−−−−−− 5−−! ! 5 d0 dx12 +2x0 0 x0 0 x+1
1 2 1+x
x x
x
0 0x+10 0 x+1 0
x
d6 ! d6 − 1+x d11 − d dx+1
6 ! d 6 −
x+1 d 1 x+1 x+1
xd6 ! d6x−
5 5 2 d0
1+x x 0 x02 0 0x x 0 x x 0 0 0x
Bài toán 1: Giải phương trình 1 0d6 ! dx+1 x
6 − d2 d 7d!
x+1 ! −
d7dx+1 −
12
d+1x+1 1+x
+2x0 x+1 x+1 x+1
d7 ! d7 − 1+x d1 x x 7 7 x
1+x (x
0 2)d
x
02 0 0
x 0 x+1
0xx+10 0 x−x x −x
x2 +2x
x
1+x 1 1 1 1 1 1 0d7 ! dx+1 7 − (x + 2)d
x+1 2 x+1 0 x+10 −x −x
x+1 1+x −x
x+1
−x x+1 −x(
1 1+x 1 1 1 1 1 1 + x 1 d13 $ d d
$ 7 d
1 1 1 1+x 1 1 1 1 1
d2 $ d7 d3 $ d7 dx71!
2
d +
7
d 1+x 12 1x 1x 1x 1x
1 1 1+x 1 1 1 1d ! d − d 0 d7 +1+x x + x 7
d 3 ! d3 − d 2
x 1 3 x 1 x 1 0
x
x 1
+2x x
1+x 1 x
x+1 1x
x+1 x
x+
3 3 2 d7 ! d3 x+1 d4 $ x+1 x+1 x+1 0 x 1+x x+1 x+1
1 1 1 1+x 1 1 1d ! d= − 0d d $0 d 0 x d04 d
! 7 d x− d x
0 4 0 2 0 0−x x
x+1 0 x+1 0 x+1 −xx+1 −x x+1
0 x x+1 x x2x+1 +2x0 x+0
4 4 2 4 7 −−d−7−− !−− d− 7− +−1+x
−d− 4−−−−−!
−x −x
1 1 1 1 1+x 1 −−−−1−−−−−−−−−−−−−! d7 ! 0 d7 +0d4 −− d 0−
− ! −0−d−5x−−−−d− 0− 0 −x 00 −x 00−x
! −x 00−x −x 0−x2 −x3x 0
−x −x
5 2
1 1 1 1 1 1 + x d5 ! 1 d5 − d 2 −−−−− 0−−−−−0−−! dd05 ! $0 dd07− d0 x 0 00 −x 00−x −x 00−x 00−x2−x −0 4x −x x
!xd6 − d2 d5 $ d 6 6 2 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 d16 + 0 7 0 d !0 d
d707 ! d707− (x5+ + 0
d 0
0 2)d x0 0 −x
0−x 0 −x −x
0 20
2
− 5x −x
d7 ! d7 − (x + 2)d2 d7 ! 2 0 0+ 3)0−x −x −x6x −
0 d7 +0d5 −x d6 $ 0 d−x 7 0 −x 0 −x 0 0−x(x 0 0 −x
0 20 − 0
d 6 $ d7 0d7d7 + 0d6 0 0 0 0 −x − 7x
d3d$ 7 !
d3 $ d7
1 + x d71! d71+ d6 1d7 ! d17 + d31 1 +Số 1x 01, tháng
1 01/20181 159 1 1
d 7 ! d7 + d 3 x x x x x x02
+2x
x x x x x
d 4 $ d7 0 1+x x+1
d4 $x+1
x+1
d7 x+1 x+1
1+x x+1 x+1 x+1 x+1
0 0 −x −x d7 !−x d7 + d−x 4 −x02 − 3x0 −x −x −x −x
d 7 ! d7 + d 4 −−−−−−−−−−−−! 02 0 0 −x −x −x
- − 1+x d1 x x2 +2x d3 !xd3 − x d1 x x 1+x x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
11 0 1 x+1 1 1+x x+1 0 x+1
x x2 +2x x x x x
− 1+x d1 1 + x 1 1+x 1 x+1
d ! 2 d −
1 1
x+1
d x+1 1+x x+1 x+1 x+1 x+1
x x 4 x +2x 4 x 1 x x
−−−−−1−−−! 1 0 1 + x x+1 1 x+1−1−−−− −−1−−−−x+1
1+x
1+x
−−1−−! x+1 0 x+1x+1 x x 2
x +2x x x x
1 x+1 1+x x+1 x+1 x+1
= − 1+x 1 d1 1 0NGHIÊN
1 x+1 CỨU
x+1 LÍ LUẬN
x1 + x x 1d !xd1 − x21+2x
5 x+1 5 1+x
1+x
1d 1
x
x+1 0 x+1
x
x x x x2
+2x x x
1
− 1+x 1 d1 1 0 1 x 1 x1 +dx 1x 1 x x+1 x+1 x+1 1+x x+1 x+1
6 !xd1 6 − 1+x d1 x2 +2x x x x x x2
+2x x
1 1+x 0 x+1
− 1+x 1 d1 1 1 x+1x 1
x+1
x 1d7 !1
x+1
xd+ 7−x x+1 1 1
x d1 x x2 +2xx+1 x+1 x+1 x+1 1+x x+1
0 1+x x x x x x x2 +2x
1 1 1 x+1 1 x+1 1 x+11 1 + x x+1 0 1+xx+1
x+1
x+1 x+1 x+1 x+1 1+x
1+x 1 1 1 1 1 11 + x
$ d7
1
1 + x
x
2x
1 1
xd2 $ xd7
1 x
1 2
x +2x
1 1 1 1 Chẳng 1 hạn,
1 đối với
1 bài toán
1 1, ta có bài toán tương tự sau:
!dd23 !− dd22 − 1+x d1 0 0
1+x xx+1+2x x+1 x x+1 xx+1
d ! d − d x x+1 0 x x x x
x+1 Bài
x
toán x+1
x
3: Giải
x x2 +2x
phươngx+1 trình
1 1+x 3 3 2 x+1 1+x x+1 x+1 x+1
!dd34 !− dd23 − 1+x d1 0 0 xx 0xx+1
2 0 x+10 x+1
x −x 0 x 0 x x 0 0 0 −x
−− − −− −− − −− ! 1 0 d4+2x ! d4 −xd2
d4 ! d4 − 1+x d1 0 0 0 −−−−
x+1 x−1+x
−x−−− 0−−x+1−−− 0−−−! x+1−x x+1 x+1
x2 +2x 0 x 0 x 01 x x 10 01 −x
1 1 1 1
−−−−− d−
2−−−−−−−−−− !0 00 0
x
x+1 d 5 !
0 x+1 d 5 −
x d 21+x 0
x
x+1 −x x+1 x+1
d ! d −
−5d2 5 1+x 1 0 1
d 2 0 0 0 1 0 1 x x 0 1 −x
1 1 1 1
00 0x d6 0!x+1 x
d6 −0 d2x+1x
x x1+x +2x
−x 0 x+1x x
0 x+1 0 1 0 −x
−
d6(x !+d62)d 1
− 21+x d1 0 x+1
x d7−x ! xd7−x− (x + 2)d 2 10 1x x 1 1 1 1
00 −x x−x 2−x(x
x + x
03) +2x
0
x
−x −x −x −x −x(x + 3) 1
d7 ! d7 − 1+x 1
d1 x+1 x+1 x+1 x+1 1+x x+1 1 1 1 1 x 1 1 =0
x x x x x x2 +2x
0 x+1d3 $ x+1 d x+1 x+1 x+1 1+x 1 1 1 1 1 x 1 1
+ d3 1+x 1 1 1 1 71 11 + x 1 1 1 11 11 11
x x 1+x x 1d7x ! d17x+ d31 x2 +2x1 1x 1 1 1 1 x 1
d2 $ d07 1+x x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 0 x2 x x x x2 +2x
0 x 4 $ dx7
d x
2
x x1+x x +2x x+1
x+1 x+11 x+11 x+11 1 1 1 1 x
+ d4 d3 ! d03 − d2 0 −x −x 1+x −x x+1
d ! d
−x x+1
+ d
−x − x+13x
0 x+10 −x x+1 −x −x −x −x2 − 3x
−−−−! d4 ! d04 − d2 0 0−x −−−x 0 7 x 7 40 2 0 0 −x
−−−−−−−−−−
0 −−−−−−x −−−−− ! − 4x
−x 0 0 0 −x Phần −x mềm −x2 − 4x giải phương trình bằng phương pháp
−x Symbolab
0−−−−−0−−! 0 0 0 0d−x5 $ d0−x
7
x 2 −05x 0
−x 0 0 0
−x
0 −x −x −x2 − 5x
+dd5 5! d5 −0d2 0 0 00 0d70 ! d0−x + d 0 2 −x6x 0
−x −x khử Gauss. Sau vài giây, phần mềm cho ta cách giải tương tự
d 6 ! d6 − d 2 7 5 0 0 0 0 0 −x −x2 − 6x
0 0 0 00 0d60 $ d070 0 2 −07x x
−x 0 0 0
−x
0 với 0cách giải
0 bài toán
2
−x − 7x 1 và được kết quả sau.
+dd7 6! d7 − (x + 2)d2 0 0d7 ! −x d7 + d−x −x −x −x(x + 3)
6
d3 $ d7
d 7 ! d7 + d 3 1+x 1 1 1 1 1 1
x x x x x x2 +2x
d 4 $ d7 0 1+x x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
d 7 ! d7 + d 4 0 0 −x −x −x −x −x2 − 3x
−−−−−−−−−−−! 0 0 0 −x −x −x −x2 − 4x
d 5 $ d7 0 0 0 0 −x −x −x2 − 5x
d 7 ! d7 + d 5 0 0 0 0 |A| = 0 x6 (x −x+ 7) −x2 − 6x
d 6 $ d7 0 0 0 0 0 0 −x2 − 7x
d 7 ! d7 + d 6 6= 0
|A| = x (x + 7)
x=0
Vậy |A| = x6 (x + 7) = 0 , Vậy nghiệm x = 0 hoặc x = 7.
x = −7
=0 x=0
2.6.2. Lật ngược
vấn đề, x = −7 2.6.4. Khái quát hóa
x=0
Lật ngược, vấn đề là một thành tố của DH phát hiện và Khái quát hóa là quá trình mở rộng bài toán thành bài toán
x = −7
GQVĐ. Lật ngược vấn đề là quá trình đổi các yếu tố từ trước mới nhận bài toán ban đầu làm trường hợp riêng.
thành sau, từ trên thành dưới để thu được vấn đề mới. Từ bài toán 1, ta có bài toán tổng quát sau:
Chẳng hạn, từ bài toán 1, ta thấy |A|= 0 = x = 0 hay x = - 7 Bài toán 4: Tính định thức
Nghĩa là, giải phương trình định thức rút ra được nghiệm x
= 0 hay x = - 7 Bây giờ cho nghiệm x = - 7 thế vào phương a x ... x
trình ta được một bài toán đảo dưới dạng sau sau: x a ... x
Bài toán 2: Tính định thức ... ... ... ...
x x ... a
6 1 1 1 1 1 1
1 6 1 1 1 1 1
Đối với định thức này, ta đưa ra cách chứng minh đẹp sau:
1 1 6 1 1 1 1
Cộng n - 1 cột khác cột 1 vào cột 1 ta có:
|B| = 1 1 1 6 1 1 1
1 1 1 1 6 1 1 a x ... x a + (n − 1)x x ... x
1 1 1 1 1 6 a1 x ... x xa + a(n −...1)xx x ... a + x (n − 1)x a ... x
1 1 1 1 1 1 =
x6 a ... x (n −...1)x...
...a +... a ... x ... ... ... ...
=
... ... ... ... x x ... ... a ... ... a +
... (n − 1)x x ... a
Từ bài toán 1, ta rút ra ngay |B|= 0.
x x ... a a + (n − 1)x x ... a 1 x ... x
2.6.3. Tương tự hóa 1 x ... x
= (a + (n − 1) x)
1 a ... x
Tương tự hóa bài toán là đưa ra bài toán mới giống với bài 1 a ... x ... ... ... ...
= (a + (n − 1) x)
toán ban đầu ở một số khía cạnh nào đó. Tương tự hóa có ... ... ... ... 1 x ... a
nhiều quan niệm và cách nhìn khác nhau. Tương tự hóa có 1 x ... a 1 x
thể là tìm bài toán giống với bài toán ban đầu, tìm phương x ...1
di !di −d1 (i=2,n)x 0 a−x
−−−−−−−−−−−! (a + (n − 1) x)
pháp giải giống với phương pháp giải toán ban đầu, tìm dữ di !di −d1 (i=2,n)
−−−−−−−−−−−! (a + (n − 1) x)
0 a − x ... 0 0 0
kiện giống với dữ kiện ban đầu,… Nếu bài toán cho ta dấu 0 0 ... ... 0 0
cộng thì bài toán tương tự có thể nghĩ đến dấu trừ. Nếu bài 0 0 n−1a − x
...
= (a + (n − 1)x)(a − x) .
toán cho ta tính định thức thì ta có thể nghĩ đến bài toán = (a + (n − 1)x)(a − x)n−1 .
tương tự là giải phương trình...
60 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
- Nguyễn Viết Dương - Nguyễn Ngọc Giang
2.6.5. Thay đổi dữ kiện bài toán để thu được bài Ta có 1 a2 ... an
toán mới 1 1 + a2 ... an
Từ bài toán 4 là bài toán tổng quát của bài toán 1, ta đề xuất B n = a1 .. .. ..
thành bài toán có mối liên hệ với bài toán 4 như sau: . . ... .
1 a2 ... 1 + an
Bài toán 5: Tính định thức
d2 ! d 2 − d 1
1 + a1 a2 ... an 1 a2 ... an
...
a1 1 + a2 ... an 0 1 ... 0
d n ! dn − d 1
.. .. .. −−−−−−−−−−−−! a1 .. .. ..
. . ... . . . ... .
a1 a2 ... 1 + an 0 0 ... 1
Bài toán 5 và bài toán 4 nhìn bề ngoài có vẻ khác nhau
= a1
nhưng hai bài toán này lại có cách giải tương tự nhau. Chúng
ta hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp giải bài toán 4 để Tương tự ta cũng tính được Dn = a2 và Cn cũng được tách
thu được kết quả định thức bằng 1 + a1 + ... +an. Ở đây ta nói, như An và ta tính được định thức là: 1 + a1+a2 +...+an-1 +an.
hai bài toán tương tự về cách giải chứ không tương tự về giả
thiết hay kết luận bài toán. 2.6.7. Tìm sai lầm trong lời giải
Lời giải bài toán 1 bằng cách sử dụng phần mềm Symbolab
2.6.6. Tìm nhiều cách giải bài toán cần phải xét trường hợp x = -1 bởi phân số
x
chỉ có
Một bài toán thường có nhiều cách tiếp cận khác nhau. x+1
Chẳng hạn, đối với bài toán 5 ngoài cách giải giống cách giải nghĩa khi x ≠ - 1.
bài toán 4, ta còn cách giải khác như sau:
3. Kết luận
1 + a1 a2 ... an 1 a2 ... an a1 a2 ... an
a1 1 + a2 ... an 0 1 + a2 ... an aDH1 1phát
+ a2hiện... và GQVĐ
an môn Đại số tuyến tính với sự trợ
.1. + a .. a . = . . . + giúp
. của.phần mềm Symbolab
. online là phương pháp DH tích
. 1 . 2 ... ... .. an .. 1 .. a2 ... ... .. an .. a1 .. a2 ... ... .. an
cực, lấy người học làm trung tâm. Chính vì thế, cần có những
a 1 a1 a12+ a2... ...1 + aann 0 0 a12+ a2... ...1 + aann a1 a1 a12+ a2... ...1 + aann
.. .. .. = . .. .. +nghiên .. cứu.. nhiều hơn ..nữa về phương pháp DH này trong
.
... an a. 1 a2. ...... an. = An +. Bn . ... . .
các trường . ...
đại học. Nhờ. ứng dụng phần mềm Symbolab, quá
... an aa11 1 +aa22 ...... 1a+ a 0 a ... 1 + a a a ... 1 + an
+ .
n n 2 n
trình tính toán cũng như giải
1 2
toán trở nên dễ dàng hơn. Người
.. .. .. = An + Bn
... . .. . ... . học có thể kiểm chứng lại lời giải của mình. Trong khi đó,
... 1 + an a1 a2 ... 1 + an giảng viên có thể sáng tạo, kiểm tra, ra đề mà không gặp phải
Ta có: khó khăn gì. Ngoài ra, Symbolab là phần mềm online nên
1 + a2 a3 ... an không cần phải cài đặt, chỉ cần có Internet là đủ. Việc không
a2 1 + a3 ... an cài đặt các phần mềm giúp máy tính không chiếm nhiều bộ
An =
... ... ... ... nhớ, tăng tốc độ xử lí của máy tính. Đặc biệt, phần mềm
a2 a3 ... 1 + an này tương đối chính xác, dễ dùng, dễ khai thác nên sự phổ
1 a3 ... an a2 a3 ... an biến của nó trong tương lai là điều có thể thấy trước. Bài viết
=
0 1 + a3 ... an
+
a2 1 + a3 ... an mang đến những thông tin về phần mềm toán học online,
... ... ... ... ... ... ... ...
những nghiên cứu khoa học giáo dục về ứng dụng phương
0 a3 ... 1 + an a2 a3 ... 1 + an
pháp DH phát hiện và GQVĐ trong môn Đại số tuyến tính
= Cn + D n
với sự trợ giúp của phần mềm Symbolab.
Tài liệu tham khảo
[1] Chad C. Schools, Problem based learning, https://www.usma.edu/ [3] Nguyễn Ngọc Giang, (2016), Nghiên cứu thiết kế và sử dụng sách
cfe/Literature/Schools_07.pdf. giáo khoa điện tử trong dạy học phép biến hình trên mặt phẳng theo
[2] Nguyễn Bá Kim, (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại hướng tổ chức các hoạt động khám phá, Luận án Tiến sĩ Khoa học
học Sư phạm. Hà Nội. giáo dục.
[4] Lê Sĩ Đồng, (2010), Toán cao cấp Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục
Việt Nam.
Số 01, tháng 01/2018 61
- NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN
TEACHING TOWARDS METHODS OF EXPLORING AND SOLVING
PROBLEMS IN TEACHING LINEAR ALGEBRA WITH SYMBOLAB ONLINE
SOFTWARE AT UNIVERSITIES
Nguyen Viet Duong ABSTRACT: The article refers to the use of teaching methods to explore and solve
Posts and Telecommunications Institute of Technology problems in teaching linear Algebra with Symbolab online software. Symbolab software
97 Man Thien, District 9, Hochiminh City, Vietnam
Email: nvduong@ptithcm.edu.vn
helps students find the correct answers and offers solutions that help students compare
and contrast their own solutions without instructors. Students can use Symbolab software
Nguyen Ngoc Giang to learn effectively. Thus, students actively and self-develop knowledge or themselves.
Banking University of Hochiminh City
36 Ton That Dam, District 1, Hochiminh City, Vietnam
KEYWORDS: Teaching; to explore and solve problems; Symbolab online.
Email: nguyenngocgiang.net@gmail.com
62 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
nguon tai.lieu . vn
