Xem mẫu
- f (a1) b1 b2
f (a2 ) b1 3b2
f (a3 ) 3b1 b2
Nên
1 1 3
M ( f ,(ai ),(b j ))
1 3 1
c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN
L
Cho f (E, F )
và (a) : a1,..., an là một cơ sở của E,
(b) : b1,..., bm là một cơ sở của F.
Giả sử ma trận của f đối với cơ sở (a ) và cơ sở (b) là
t11 t12 t1n
t t2 n
t
21 22
A
tm1 tm 2 tmn
x1
Cho x E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở (a ) là X
xn
y1
Cho y F có tọa độ đối với cơ sở (b) là Y
ym
Khi đó ta có :
Mệnh đề 13 :
y f ( x) Y AX
Chứng minh:
10
- Với các giả thiết ở trên :
t11 t12 t1n
x1 y1
t t22 t2n
, X , Y ,
A 21
xn ym
tm1 tm 2 tmn
ta có :
m n n
yibi y f ( x) f ( x j a j ) x j f (a j )
i 1 j 1 j 1
m n
n m
x j tij bi x j tij bi
i 1 j 1
j 1 i 1
n
x j tij , i 1,..., m Y AX .
yi
j 1
Thí dụ :
Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 có ma trận đối với cơ sở
chính tắc của 3 là :
1 0 1
A 2 1 0
1 0 0
a) Tính f (2,3,1)
b) Xác định f ( x, y, z )
c) Tìm 1 cơ sở của Im f
Bài làm :
2
a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là X 3
1
Suy ra tọa độ của y f (u ) đối với csct là
1 0 1 2 1
Y AX 2 1 0 3 7
1 0 0 1 2
11
- Vậy f (u ) (1,7, 2) .
b) Tương tự, tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở chính tắc
x
là X y
z
Suy ra tọa độ của f ( x, y, z ) đối với csct là
1 0 1 x x z
Y AX 2 1 0 y 2 x y
1 0 0 z x
Vậy f (u ) ( x z , 2 x y, x) .
c) Họ vectơ
f (e1 ) (1, 2,1)
f (e2 ) (0,1,0)
f (e3 ) (1,0,0)
là họ sinh của Im f .
Và vì f (e1), f (e2 ), f (e3 ) độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của
Im f .
d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ.
Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E.
Xét 2 cơ sở ( ) : a1,..., an và ( ) : b1,..., bn của E.
Giả sử :
o ma trận chuyển từ ( ) sang ( ) là T
o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là A.
o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là B.
Khi đó, ta có :
Mệnh đề 14 :
B T 1AT
12
- Thí dụ :
Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính
f : 3 3
( x , y , z ) ( x y z , y z x, y )
đối với cơ sở a1 (1,1, 2), a2 (1, 1, 1), a3 (0,1,1) .
Bài làm :
Cách 1 :
Ta có :
f (a1 ) (0, 2,1)
f (a2 ) (1, 3, 1)
f (a3 ) (0, 2,1)
Tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở a1, a2 , a3 :
( x, y, z ) ( z y )a1 ( x y z )a2 ( x 3 y 2 z )a3
Do đó :
1 2 1
Vậy M ( f ,(a)) 1 1 1
4 6 4
Cách 2 :
Xét cơ sở chính tắc e1, e2 , e3 .
Ta có
f (e1 ) (1, 1,0)
f (e2 ) (1,1,1)
f (e3 ) (1,1,0)
Suy ra
1 1 1
M ( f ,(ei )) A 1 1 1
0 1 0
Ma trận chuyển từ cơ sở (ei ) sang cơ sở (ai ) là
13
- 0 1 1
1 1 0
T 1 1 1 T 1 1 1 1
2 1 1 1 3 2
1 2 1
Do đó : M ( f ,(ai )) B T 1 AT 1 1 1
4 6 4
L
6. KHÔNG GIAN VECTƠ (E, F ) .
Mệnh đề 15 :
L
Tập hợp ( E , F ) có cấu trúc của một không gian vectơ với
2 phép toán sau:
L
f , g f g : E F
(E, F )
x f ( x) g ( x)
L ( E , F ) K f : E F
f
x f ( x)
Mệnh đề 16 :
Cho 2 không gian vectơ E và F trên trường K, với dim E n ,
dim F m . Khi đó:
L ( E , F ) Mat K (m, n)
Chứng minh:
Chọn 1 cơ sở (a) : a1,..., an của E và 1cơ sở (b) :b1,..., bm của F.
Ta xét tương ứng:
: L ( E , F ) Mat K (m, n)
f M ( f ,(a),(b))
Dễ thấy là ánh xạ.
là ánh xạ tuyến tính vì
M ( f g ,(a),(b)) M ( f ,(a),(b)) M ( g ,(a ),(b))
14
- A tij Mat K (m, n)
m
Đặt u j tij bi , j 1,..., n .
i 1
Khi đó
L
! f ( E , F ) f (a j ) u j , j ,
Hiển nhiên M ( f ,(a),(b)) A , nên
( f ) A . Vậy song ánh.
L ( E , F ) Mat K (m, n)
Do đó
7. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN
a. ĐỊNH NGHĨA 1 :
Cho phép biến đổi tuyến tính f Hom( E ) .
Cho vectơ u E \ 0 và số K .
Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị
riêng nếu f (u ) u .
Thí dụ :
Cho
f : 3 3
( x, y , z ) ( x y , y z , z x )
Ta thấy :
f (1,1,1) 0 0(1,1,1) . Vậy u (1,1,1) 3 là 1 vectơ
riêng của f ứng với giá trị riêng 0 .
Cho
g : 2 2
( x, y ) ( x y , 2 x 2 y )
Ta thấy :
v (1, 2) là 1 vectơ riêng của g vì
g (v) g (1, 2) (3,6) 3(1, 2) 3v . Giá trị riêng tương ứng là
3.
15
nguon tai.lieu . vn