Xem mẫu
- ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575
ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE TRONG MIỀN PHỨC
Nguyễn Thị Loan - Trần Thị Hải Lý
Bộ môn Toán – khoa Khoa Học Cơ Bản- Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Hưng Yên
Ngày tòa soạn nhận được bài báo: 22 - 10 - 2019
Ngày phản biện đánh giá và sửa chữa: 28 - 11 - 2019
Ngày bài báo được duyệt đăng: 15 - 12 - 2019
Tóm tắt:
Bài báo đã xây dựng đa thức nội suy Hertmite tổng quát trong miền phức, đồng thời đánh giá được
sai số của công thức nội suy dựa vào tích phân hàm biến phức. Trường hợp đặc biệt, khi bội của các mốc
nội suy bằng nhau, chúng tôi thiết lập được đa thức nội suy Jacobi.
Từ khóa: Nội suy phức, Hermite trong miền phức, nội suy Jacobi.
1. Đặt vấn đề để đưa ra các kết quả quan trọng của bài báo.
Bài toán nội suy đa thức nói chung và bài 2. Bài toán nội suy Hermite trong miền phức
toán nội suy cổ điển tổng quát Hermite nói riêng Giả sử hàm ( ) chỉnh hình trong miền G
đóng vai trò quan trọng trong tính toán, nhất là ( f (z) (G) ). Cho hệ điểm
với các ngành kỹ thuật. Bởi trong thực tế, rất
z1 , z2 , , zm thuộc miền G (gọi là các mốc nội
nhiều trường hợp biểu thức giải tích của hàm
suy) và các số tự nhiên tương ứng với các mốc
y=f(x) đã biết nhưng việc tính trực tiếp giá trị của
nó tại điểm x bất kỳ trên một miền nào đó gặp nội suy đó là k1 , k 2 , , k m (gọi là bội của các mốc
nhiều khó khăn, nhất là khi cần tính giá trị của nội suy) thỏa mãn:
hàm tại nhiều điểm. Trong trường hợp đó người ta k1 k 2 n.
km (2.1)
sẽ dùng nội suy để giảm sự phức tạp trong tính Hãy xây dựng đa thức P(z) với bậc thấp
toán. Người ta xây dựng đa thức P(x) trùng với
nhất có thể thỏa mãn các điều kiện:
hàm f(x) tại các mốc nội suy còn các điểm khác
P(zj)=f(zj),
“tương đối gần” với f(x).
P’(zj)=f’(zj), (2.2)
Các tài liệu hiện có thường xét bài toán nội
…
suy với các mốc nội suy là số thực và phương
pháp phổ biến là đại số (xem [1,4]). k 1 k j 1
P j (z j ) f
(z j ), j 1, m.
Trong [2], tác giả đã xét bài toán nội suy
Hermite tổng quát với mốc nội suy là số thực Việc xây dựng đa thức P(z) thỏa mãn các
nhưng đưa lý thuyết Thặng dư vào để xây dựng điều kiện (2.2) được gọi là quá trình nội suy với
công thức nội suy thay cho việc dùng hệ phương mốc bội trong miền phức. Các số kj,( j 1, m )
trình tuyến tính quen thuộc, đây cũng là một được gọi là bội của mốc zj.
hướng đi mới, đưa giải tích phức vào giải quyết Để giải bài toán này, chúng tôi phát biểu
bài toán đại số. Tuy nhiên, khi áp dụng trong thực Định nghĩa và Bổ đề quan trọng sau:
tế tính toán các bài toán kỹ thuật, nhất là khi đã Định nghĩa 2.1. Đa thức P(z) thỏa mãn các
biết biểu thức hàm f nhưng việc tính trực tiếp trên điều kiện (2.2) được gọi là đa thức nội suy đối với
hàm đó lại quá phức tạp và miền xác định của hàm f(z) tương ứng với các mốc nội suy zj với bội
hàm có thể là phức thì các công thức đã xây dựng kj, (j= 1, m ).
bị hạn chế. Đề khắc phục, chúng tôi xét trong mặt Bổ đề 2.2. Đa thức nội suy P(z) có bậc bé
phẳng phức, với các mốc nội suy là những số hơn n thỏa mãn các điều kiện (2.2) (nếu tồn tại)
phức. Lý thuyết hàm chỉnh hình và ứng dụng của là duy nhất.
thặng dư (xem [3]) là công cụ chính được sử dụng
28 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology
Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |19
- ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575
Chứng minh. 1 f ( ) Q( ) Q(z) (3.1)
P z
2 i Q( )
d ,
Nếu P(z) là đa thức nội suy thì số hạng dư z
R(z)=f(z)-P(z) với là đường cong đóng Jordan đo được nào đó
là hàm chỉnh hình trong G. Từ đó, suy ra nằm trong miền G cùng với phần trong của nó và
k 1
R(z j ) R j (z j
) R'(z j ) 0,j 1, m. chứa mọi mốc nội suy z1 , z2 , , zm ở trong.
Do đó, R(z) có 0- điểm tại mỗi điểm zj với Chứng minh
bội ít nhất cũng bằng kj với j= 1, m . Trước tiên, ta chứng minh rằng công thức
(3.1) biểu diễn đa thức bậc không cao hơn (n-1).
Giả sử P(z) là đa thức khác cũng thỏa mãn
n
Thật vậy, nếu Q(z) , thì
điều kiện (2.2). Khi đó, hàm tương ứng A z
j 0
j
j
f(z) P(z) cũng có các 0- điểm tại mỗi
R(z) n
điểm zj với bội ít nhất cũng bằng kj (j= 1, m ). Điều
Q( ) Q(z)
A
j 0
j
j
zj
này cũng đúng đối với hàm
z z
R(z) R(z) P(z) P(z) . A1 A2 z An ( n 1 z n 1 )
Như vậy, hiệu P(z)- P(z) là đa thức có ít nhất m A A
1 2 An n 1 A2 An n 2 z An z n 1
không điểm z1 , z2 , , zm với bội không bé hơn H n1 ( ) H n2 ( ) z H 0 ( ) z n1 ,
k1 , k 2 , , k m tương ứng. Từ đó, suy ra rằng hàm
trong đó, H n1 ( ), Hn2 ( ) z, , H0 ( ) z n1 là
P(z)- P(z) chia hết cho đa thức bậc n
những đa thức đối với với bậc trùng với số
z z1 z z2 z zm
k1 k2 km
Q(z)= . hiệu của chúng. Từ đó, ta có thể viết P(z) trở
Do vậy, nếu mỗi đa thức P(z) và P(z) đều có thành
1 f ( ) n 1
bậc thấp hơn n thì hiệu chúng phải đồng nhất P (z)
2 i Q( ) H n 1 j ( ) z j d
bằng 0, tức là trong tập hợp các đa thức bậc thấp j 0
hơn n tồn tại không quá một đa thức thỏa mãn bài n 1
1 f ( )
toán đã nêu. Vậy ta có điều phải chứng minh. Q( ) H ( ) z j d z j
j 0 i
2
n 1 j
Từ bổ đề trên ta có nhận xét sau: n 1
Để tìm đa thức P(z) thỏa mãn điều kiện (2.2) ta có a jz j ,
j 0
tất cả
m
k1 k 2 kj
km với a 1 f ( ) H ; (j= 0, n 1 ), tức
2 i Q( )
j 1 j n 1 j ( ) d
điều kiện. Vì số hệ số của đa thức lớn hơn bậc của
là P(z) là đa thức có bậc n-1.
nó một đơn vị nên ta cần tìm đa thức bậc
m Tiếp theo, ta cần chứng minh P(z) thỏa mãn
k j 1 và bài toán này gọi là bài toán nội suy các điều kiện của bài toán nội suy.
j 1
Thật vậy, lập hiệu R(z)=f(z)-P(z). Nếu điểm z
Hertmite trong miền phức.
nằm trong miền giới hạn bởi thì theo công thức
3. Các công thức nội suy
Đa thức nội suy Hermite trong miền phức được tích phân Cauchy, ta có
biểu diễn trong định lý sau: 1 f ( ) .
2 i z
f (z) d
Định lý 3.1.
Đa thức nội suy P(z) tồn tại và được biểu Từ đó, suy ra
diễn dưới dạng tích phân
Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology 29
20| Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology
- ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575
1 f ( ) 1 f ( ) Q( ) Q(z) được gọi là các công thức Hermite.
R(z)
2 i z
d
2 i Q( )
z
d
Tiếp theo, ta xét một trường hợp riêng của công
1 f ( ) d thức nội suy Hermite gọi là đa thức nội suy Jacobi
2 i z Q( )
Q(z)
.
Trong miền G, cho m điểm khác nhau z1 , z2 , , zm ,
Như vậy, số hạng dư R(z) có biểu diễn tích với bội bằng nhau k k k k , trong đó
1 2 m
phân
về sau, k sẽ được tăng vô hạn trong khi các mốc nội
1 f ( ) d (3.2)
2 i z Q( )
Q(z)
R(z) . suy vẫn giữ nguyên.
Bài toán đặt ra là tìm đa thức Jmk-1(z) với bậc
Ta xét tích phân không lớn hơn (mk-1) thỏa mãn các điều kiện:
f ( ) Jmk-1 (zj)=f(zj),
1 f ( ) d 1 Q( ) (3.3) J’mk-1(zj)=f’(zj), (3.6)
2 i z Q( ) 2 i z
d .
…
k 1 k 1
Vì hàm f ( ) không chỉnh hình tại các điểm J mk
1 (z j ) f (z j ), j 1, m .
Q( )
Đa thức Jacobi cần tìm được biểu diễn qua hệ quả
z1 , z2 , , zm nhưng nó liên tục trên nên tích
sau
phân ở vế phải của biểu thức (3.3) là tích phân
Hệ quả 3.2.Đa thức nội suy cần tìm có dạng
dạng Cauchy, nó xác định hàm chỉnh hình trong k 1
và vì J mk 1 (z) Qn (z) q(z) ,
n
(3.7)
n 0
Q(z)= z z1 1 z z2 z zm
k k2 km
, trong đó Qn(z) là đa thức bậc m-1.
nên từ (3.2), thu được
m 1
1 f ( ) d
R(z)
z z1 1
k
z z j 1
k j 1
Qn (z)
2 i q( ) z z z z z z ,
n 1 j
z z
kj
j
j 0 1 j 1
(3.8)
f ( )
1 Q( ) (3.4) với q(z)= z z1 z z2 z zm .
z z
k j 1
z zm m
k
j 1 d
2 i z Chứng minh
là hàm chỉnh hình trong lân cận điểm zj. Từ đó, Thật vậy, đặt q(z)= z z1 z z2 z zm ,
suy ra
khi đó
kj
R(z)= z z j (z), (3.5)
z z1 z z2 z zm q(z) .
k k k k
mk (z)
trong đó hàm chỉnh hình (z) là vế phải của Từ đó, theo công thức Hermite, ta có
(3.4). Hệ thức (3.5) chứng tỏ rằng z=zj là 0-điểm 1 f ( ) q( ) q(z)
k k
d . 3.9)
2 i q( )
của R(z) với cấp ít nhất là bằng kj. Điều này có J mk 1 (z)
k
z
nghĩa rằng R(zj)=0, R’(zj)=0,…, R( k 1) (z j ) =0, tức j
Bằng những biến đổi đơn giản biểu thức dưới
là điều kiện (2.2) được thỏa mãn. dấu tích phân ta được
Như vậy, đa thức (3.1) thỏa mãn mọi điều kiện
q( ) q(z)
k k
của bài toán nội suy đã đặt ra. Do đó, đa thức 1
q( ) z
k
(3.1) là nghiệm của bài toán nội suy.
Công thức (3.1) biểu diễn đa thức nội suy P(z),
q( ) q(z) 1 q(z)
k 1
q(z)
công thức (3.2) biểu diễn số hạng dư
z q( ) q( )2 q( )
k
(3.10)
𝑅𝑅( ) = ( ) − 𝑃𝑃( )
k 1
1 q( ) q(z)
của công thức nội suy q(z) .
n
q( )
n 1
( ) = 𝑃𝑃( ) + 𝑅𝑅( ) n 0 z
30 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology
Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |21
- ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575
Thế (2.12) vào (2.11), ta được (vì ngay từ đầu ta chỉ đòi hỏi đường cong cùng
k 1 1 f ( ) q( ) q(z) với phần trong của nó thuộc miền chỉnh hình của
2 i d q(z) .
n
J mk 1 (z)
q( )
n 1
z hàm f và chứa trong nó mọi điểm z1 , z2 , , zm ),
n 0
khi đó |q(z)|= . m
(3.11) Ta biết rằng Lemniscate chứa trong nó mọi
Bằng một số biến đổi trên hàm phân thức ta dễ tiêu điểm z1 , z2 , , zm bất luận số 0 là bao
dàng có
nhiêu. Giả sử 0 0 là bán kính của Lemniscate
1 q( ) q(z) 1 z z1
( 0 ) mà trong ( 0 ) hàm f(z) chỉnh hình và
q( ) z z z1 z2
z z1 z zm1 . giả sử 0 là số dương tùy ý bé hơn 0 . Khi đó,
z1 zm với số ' bất kỳ mà ' 0 thì lemniscates
Từ đó, ta có đa thức ( ') thuộc phần trong của ( 0 ) và nó chứa tập
1 f ( ) q( ) q(z)
2 i q( )n 1
Qn (z) d hợp đóng
z
1
D = {phần trong của ( ) } ( ) .
m 1
f ( ) d
z z1 z zj
j 0 2 i q ( )
n
z1 z j 1 Vì khi z D ta có |q(z)| m , còn tại các điểm
m 1
A z z z z .
j 1 j
( ') ta có |q(z)|= q( ) ( ')m nên nếu lấy
j 0
(3.12) là đường Lemniscate ( ') thì
Hệ thức (3.12) chứng tỏ rằng Qn(z) là đa thức bậc sup f (z) mk
1 z ( ')
bé hơn hoặc bằng (m-1) với các hệ số là các tích Rmk (z) l ( '),
2 dist ( ); ( ') '
phân dạng
(3.14)
Aj= 1 f ( ) d .
2 i q( )n 1 z1 z j 1
với z D , l ( ') := độ dài ( ') .
Các tích phân này có thể tính được nhờ các Từ ước lượng (3.14) suy ra khi k thì
định lý về thặng dư. Rmk(z) hội tụ đều đến 0 trên D .
Như vậy, từ (3.11) và (3.12), thu được công 4. Kết luận
thức (3.7) được gọi là đa thức nội suy Jacobi. Trong nội dung nghiên cứu này tác giả đã xây
Tiếp theo, ta nghiên cứu phần dư của công dựng đa thức nội suy tổng quát Hermite, đánh giá
thức nội suy này. sai số của phép nội suy và xét trường hợp đặc biệt
Thật vậy, tương tự bài toán nội suy Hermite khi bội của các mốc nội suy bằng nhau, ta có đa
tổng quát ta có số hạng dư thu được của công thức thức nội suy Jacobi.
nội suy Jacobi có dạng Các đa thức nội suy này được xây dựng trên
1 f ( ) q(z) miền phức, khắc phục những hạn chế của đa thức
k
(3.13)
2 i z q( )k
Rmk (z)
d . nôi suy chỉ xây dựng trên miền thực, điều này
mang ý nghĩa quan trọng trong tính toán.
Để ước lượng |Rmk(z)| ta lấy là đường
Lemniscate ( ) với các tiêu điểm z1 , z2 , , zm
Khoa học &Khoa
22| Cônghọc
nghệ - Số 24/
& Công Tháng
nghệ - Số12
24/– Tháng Jornal of Science
2019 12 – 2019 and
Jornal of technology 31
Science and technology
- ISSN 2354-0575 ISSN 2354-0575
Tài liệu tham khảo
[1]. N.V. Mậu, Nội suy đa thức, NXB ĐHQGHN, 2016.
[2]. N.T.Loan, Nội suy Hermite bằng công cụ giải tích phức, Tạp chí Khoa học và công nghệ.
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên. 19 ( 2018), 52-55.
[3]. N.T.Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006.
[4]. A.O. Gelfond, Isqislenie koneqnyh raznostedi , Moskva, Nauka, 1967.
HERMITE INTERPOLATION POLYNOMIALS IN COMPLEX DOMAIN
Abstract:
This paper establishes general Hermite interpolation polynomial in complex domain. At the same
time, we evaluate the error of this interpolation polynomial based on complex integrals. Especialylly,
when the multiple of the interpolation points is equal, we give Jacobi interpolation polynomial.
Keywords: Complex interpolation, Hermite in complex domain, Jacobi interpolation.
32 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology
Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology |23
nguon tai.lieu . vn
