Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
CÔNG THỨC DẠNG LAX-OLEINIK
CHO LUẬT BẢO TOÀN ĐA THỜI GIAN
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG Định nghĩa 1. ([3]) Hàm u(t, x ) Î Lip (W) ,
Trong thực tế có nhiều hiện tượng trong trong đó W = [0,T ) ´ n , được gọi là một
nhiều lĩnh vức khác nhau xảy ra theo các
nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1) -
mức thời gian khác nhau (đa thời gian),
(3) nếu u(t, x ) thỏa mãn (1) - (2) hầu khắp
chẳng hạn như trong một số mô hình truyền
tín hiệu, mô hình giao thông giải quyết vấn nơi trong W và u(0, x ) = g(x ) với x Î n .
đề kẹt xe…, các mô hình đó thường dẫn tới Trong bài báo [3] của mình năm 2005, tác
các bài toán đối với phương trình vi phân đạo giả đã xét bài toán (1) - (3) với các giả thiết:
hàm riêng đa thời gian, một trong các phương (H1) Các Hamiltonian H i := H i (t , p), i = 1,2
trình đó là các luật bảo toàn. Báo cáo này sẽ là các hàm liên tục trong
nghiên cứu về bài toán Cauchy cho luật bảo
toàn đa thời gian. Dựa trên kỹ thuật mà E. {
WG := (t , p) : t Î (0, ¥)2 \ G, p Î n , }
Hopf [2] đã sử dụng, thông qua công thức với tập đóng G Ì 2 có độ đo không. Hơn
dạng Hopf - Lax - Oleinik cho nghiệm của nữa, với mỗi N > 0 , tồn tại hàm
bài toán Cauchy đối với phương trình g Ni = gNi (t ), i = 1, 2 trong L¥ ( 2 ) sao cho:
loc
Hamilton-Jacobi đa thời gian trong [3] tương
ứng cùng với những giả thiết phù hợp, tác giả sup H i (t , p) £ gNi (t ), i = 1,2
|p|£N
sẽ thiết lập được công thức dạng Lax -
Oleinik cho nghiệm yếu của bài toán Cauchy với mọi t Î (0, ¥)2 .
cho luật bảo toàn đa thời gian. (H2) Với mọi tập con bị chặn V của W ,
tồn tại số dương N (V ) sao cho
2. NỘI DUNG BÁO CÁO t s
p, x - g *(p) - ò H 1(t, p)d t - ò H 2 (h, p)d h
1. Đặt vấn đề 0 0
ì
ï t ü
ï
Xét bài toán Cauchy cho phương trình ï ï
ï ò ï
*
ï q , x - g (q ) - H 1
(t , q )d t ï
Hamilton - Jacobi đa thời gian ï
ï ï
ï
< max í 0
ý
ì |q |£N (V ) ï s
ï
ïut + H 1(t, Du ) = 0,(t, x ) Î W = (0,T )2 ´ n (1) ï
ï
ï ï
ï - ò H 2 (h, )d h ï ï
ï
ïu + H (s, Du ) = 0,(t, x ) Î W = (0,T )2 ´ n (2) ï ï
í s ï
î 0 ï
þ
ï
ï
2
ï
ï
î
u (0, 0, x ) = g(x ) , x Î n (3) ở đây (t, s, x ) Î V , | p |> N (V ).
ở đây các Hamiltonian Trong các công thức trên, l *(z ) là liên hợp
H 1(t, p) : = H 1(t, 0, p), H 2 (t, p) : = H 2 (0, s, p) Fenchel của hàm lồi l (p) :
và dữ kiện ban đầu g = g(x ) đã được cho
trước, ký hiệu Lip(W) là tập tất cả các hàm
(
l *(z ) = sup z, p - l (p) .
p Î n
)
liên tục Lipschitz địa phương trong W . Và kết quả cụ thể đã đạt được như sau:
60
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Định lý 1. ([3]) Giả sử g = g(x ) là hàm lồi và a Î esscl(A) , ta nói rằng ess lim = l Î
x ÎA
n x a
hữu hạn trên , khi đó với các giả thiết (H1)
- (H2), nghiệm toàn cục Lipschitz đa thời gian nếu với mọi 0 luôn tồn tại 0 sao cho
của bài toán Cauchy (1) - (3) được xác định f (x ) - l < e với hầu hết x Î A Ç (a - d, a + d) .
bởi công thức dạng Hopf - Lax - Oleinik
ì
ï t ü
ï 2. Kết quả
ï ï
ï ò ï
*
ï p, x - g ( p ) - H (t , p )d t ï
ï 1
ï Như chúng ta đã biết (xem [4]), đối với bài
u(t, s, x ) = sup ï í 0 ï
ý (4)
p În ï
ï
s
ï
ï
toán Cauchy cho luật bảo toàn vô hướng:
ï
ï - ò H 2 (h, p)d h ï
ï ìïv + ¶ (H (t, v )) = 0,(t, x ) Î W = (0,T ) ´ (8)
ï
ï
î ï
ï
þ ï t x
,
0 í
ïïv(0, x ) = v 0 (x ) , x Î (9)
Sau đây, tác giả sẽ xét bài toán Cauchy ïî
cho luật bảo toàn đa thời gian dạng: phương trình (8) là phương trình đạo hàm
ì
ï
ï vt + ¶x (H 1(t, v )) = 0,(t , x ) Î W = (0,T )2 ´ (5) riêng tựa tuyến tính, mặc dù điều kiện ban
ï
ïv + ¶ H (s, v ) = 0,(t , x ) Î W = (0,T )2 ´ (6)
x ( 2 )
í s đầu và Hamilton đủ tốt nhưng ta cũng không
ï
ïïv(0, 0, x ) = v (x ) , x Î (7) thể tìm được nghiệm trơn toàn cục, mà chỉ có
ï
î 0
thể nghiên cứu dạng nghiệm yếu (nghiệm suy
Trong đó các Hamimiltonian H 1, H 2 và dữ rộng) của nó. Đối với bài toán (5)-(7), chúng
kiện ban đầu v0 = v0 (x ) đã biết. ta cũng cần đưa ra định nghĩa nghiệm yếu
Thông qua công thức dạng Hopf - Lax - phù hợp.
Oleinik cho nghiệm của bài toán Cauchy đối Định nghĩa 4. Giả sử g Î L1loc () . Khi đó
với phương trình Hamilton - Jacobi đa thời một hàm v Î L1loc ([0, ¥)2 ´ ) được gọi là một
gian tương ứng trong [3], tác giả sẽ chứng nghiệm yếu của bài toán Cauchy (5)-(7) nếu
minh sự tồn tại nghiệm thông qua việc thiết thỏa mãn các điều kiện sau:
lập công thức dạng Lax - Oleinik cho nghiệm
(i) Với hàm thử f Î C 0¥((0, ¥)2 ´ ) ta có
yếu đối của bài toán đó. Cùng hướng nghiên
cứu này, các tác giả A. Bazan, P. Loreti và W. ¥ ¥
Neves cũng đã đạt được một số kết quả nhưng ò ò ò (vf t
+ H 1(t, v )fx )dxdtds = 0
chỉ đối với trường hợp các Hamintonian phụ
0 0
¥ ¥
.
thuộc vào gradient của ẩn hàm. ò ò ò (vf s
+ H 2 (s, v )fx )dxdtds = 0
Trong báo cáo này, chúng ta sẽ chỉ xét 0 0
v 0 = v 0 (x ) thỏa mãn điều kiện sau: (ii) Với g Î C 0¥() ,
(H3) Hàm v0 Î L1loc () và là hàm không ess lim
+ ò (v(t, s, x ) - v0(x ))g(x )dx = 0.
t ,s 0
giảm trên . Từ đó ta có kết quả sau.
Sau đây là một số khái niệm cần sử dụng Định lý 2. Với các giả thiết (H1), (H2) và
trong quá trình nghiên cứu nghiệm suy rộng (H3), các hàm
của bài toán Cauchy (5)-(7). *
Định nghĩa 2. ([1]) Cho trước một tập đo æ t ö÷
çç *
được A , tập đóng thiết yếu của A , ký hiệu là ç g (.) + ò 1
H (t ,.)d t ÷÷÷
¶ çç ÷÷
esscl(A) , được xác định bời v (t, s, x ) = çç s 0
÷÷ (x ) ,
¶x ç ÷÷
çç+ H (h,.)d h
ìx Î :| A | Ç(x - d, x + d ) > 0,ï
ï
esscl(A) := ï
í
ü
ï,
ý çè 0 ò 2
ø÷
÷÷
ï
ï " d > 0 ï
ï
î þ
với (t, s, x ) Î [0, ¥)2 ´ , trong đó
Trong đó | A | là độ đo Lebesgue của A .
Định nghĩa 3. ([1]) Với A một tập đo ¶ k (x + h,.) - k (x ,.)
k (x ,.) = lim
được, cho f là hàm nhận giá trị thực trên A ¶x h 0 h
61
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
xác định các nghiệm yếu của bài toán (5)-(7). 3. KẾT LUẬN
Hơn nữa, v (t, s, x ) là hàm không giảm theo Báo cáo trình bày kết quả mở rộng công
biến x Î và thức dạng Lax - Oleinik cho nghiệm yếu của
v + ³ v -, bài toán Cauchy cho các luật bảo toàn đa thời
æ t ö÷
* gian, kết quả này là một mở rộng các kết quả
çç * trong các công trình [1] và [4].
çç g (.) + ò H 1(t,.)d t ÷÷
¶ ç ÷÷
v+ = v- = çç s 0
÷÷÷ (x ) := v 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
¶x ç ÷÷
çç+ H (h,.)d h
çè ò 2
÷÷
ø÷ [1] A. Bazan, P. Loreti and W. Neves, (2014),
0
Multi - Time Systems of Conservation Laws.
hầu khắp nơi trong [0, ¥)2 ´ . Ở đây đạo Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 72,
hàm có thể hiểu nghĩa phân bố. Điều đó có No. 3, pp. 491-511.
nghĩa là: [2] E. Hopf, (1965), Generalized solutions of
Định lý 3. Với các giả thiết (H1), (H2) và nonlinear equations of first order, J. Math.
(H3), các hàm And Mech., Vol. 14, pp. 951-973.
* [3] N.H. Tho, (2005), Hopf-Lax-Oleinik Type
æ t ö÷ formula for multi - time Hamilton-Jacobi
çç * ÷
ççg (.) + ò H 1(t,.)d t ÷÷ equations, Acta Math. Vietnamica, Vol. 30,
÷÷
v(t, s, x ) = ¶x çç s 0
÷÷ (x ), (10) No. 3, pp. 275-287.
çç ÷÷ [4] T.D. Van, M.D. Thanh and N.H. Tho, (2002),
çç+ H (h,.)d h
çè 0 ò 2
ø÷
÷÷ On Lax-Oleinik type formulas for weak
solutions to scalar conservation laws,
xác định một nghiệm yếu của bài toán Vietnam J. Math. Vol. 30, No. 2, pp. 195-200.
Cauchy (5)-(7).
Khi đó công thức (10) công thức dạng
Lax-Oleinik đa thời gian.
62
nguon tai.lieu . vn
