- Trang Chủ
- Địa Lý
- CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 8
Xem mẫu
- Chương 8
trường phân tầng phương ngang n = n( z ) chúng ta có V = 1 tại mọi t .
Nếu chỉ số khúc xạ có dạng SỰ TRUYỀN ÂM PHẢN DẪN SÓNG
2 2
µ ( z, r ) ,
n ( z, r ) = n0 ( z ) +
vế phải của (7.4.24) tỉ lệ với µ . Đối với những điều kiện đại dương điển Ngược lại với truyền dẫn sóng, sự truyền âm phản dẫn sóng diễn ra
hình, µ là một đại lượng nhỏ (~ 10 −2 ) và do đó, hàm V rất gần với đơn khi một tia rời khỏi nguồn không bao giờ trở lại độ sâu của nguồn. Một ví
dụ về truyền phản dẫn sóng được cho trên hình 1.8. Ở đây chúng ta sẽ xét
vị .
kiểu truyền âm này đối với hai trường hợp khác nhau, tức tùy thuộc
Bây giờ, nếu khai triển các hàm V ( t, r, z ), F ( t, z ) và n 2 ( z, t ) ở lân
građien tốc độ dc / dz tại một trục phản dẫn sóng không bằng không
cận t = r thành một chuỗi lũy thừa của ( t − r ) và cho các số hạng cùng
(mục 8.1) hay bằng không (mục 8.2, 3).
bậc bằng nhau, ta nhận được một hệ truy hồi cho các hệ số V ( m ) ( r, z )
của chuỗi khai triển của V ( t, r, z ) . Bốn hệ số đầu tiên (bỏ qua các đối số 8.1. KÊNH PHẢN DẪN SÓNG TUYẾN TÍNH LÂN CẬN BỀ MẶT
của chúng) [7.14] là: NƯỚC
V ( 0 ) = 1, V (1) = −1 / 2r, V ( 2) = 1 / 2 r 2 , Giả sử rằng trong nửa không gian z > 0 giới hạn bởi mặt nước tự
do tại z = 0 , bình phương của chỉ số khúc xạ được cho bằng luật tuyến
−3
( 3) 2
= −r + k0 ∂n / ∂r . (7.4.25)
V
tính
Ta thấy rằng sự hiệu chỉnh liên quan tới sự biến thiên của chỉ số khúc xạ
n 2 ( z ) = 1 + az . (8.1.1)
xuất hiện trong số hạng thứ ba.
Tại az bé, nó gần tương ứng với luật tuyến tính đối với tốc độ âm c( z )
(mục 6.6). Phương trình (6.5.4) với k( z ) = k0 n( z ) giản ước thành
(6.6.12) nếu chúng ta đặt
t = t0 − z / H ,
trong đó
H = ( ak0 ) −1 / 3 .
t0 = H 2 (ξ 2 − k0 ),
2 2
(8.1.2)
Trường âm tại một điểm bất kỳ lại một lần nữa được mô tả bằng (6.6.6)
với những hàm riêng được chọn đúng dắn ψ l ( z ) .
Đối với các điều kiện phản dẫn sóng, những hàm này tại z → ∞
phải biểu diễn các sóng đi ra. Điều kiện này được thỏa mãn bởi hàm Airy
265 266
- t 0 l = y l exp( iπ / 3),
Z ( t ) (mục 6.6), biểu diễn tiệm cận của hàm này khi z → ∞ theo (6.6.14, t l = t0 l − z / H , t1l = t 0 l − z1 / H .
16) sẽ là Như mọi khi, nguồn âm được giả thiết nằm tại điểm ( 0, z ) .
3/ 2
2⎛ z ⎞ Chúng ta cần xem xét diễn biến tiệm cận của (8.1.7) đối với
Z( t ) ~ ( −t ) −1 / 4 exp [i ( v + π / 4)], v= ⎜ − t0 ⎟ . (8.1.3)
z1 , z >> H , ξ l >> 1 . Trong trường hợp này t l và t1l âm, và các mô đun
3⎝H ⎠
của chúng lớn. Do đó, nếu sử dụng các biểu diễn tiệm cận của hàm
Điều kiện biên đòi hỏi rằng hàm này bằng không tại z = 0 (mặt nước tự
Hankel và của hàm Z ( t ) (8.1.3), ta có
do)
Z( t l )Z( t1l ) H 01) (ξ l r ) = 21 / 2 (πξ l r ) −1 / 2 ( t l t1l ) −1 / 4
(
Z ( t ) z = 0 = 0 hay Z ( t 0 ) = 0 , (8.1.4)
× exp[i( vl + v1l + ξ l r + π / 4 )] , (8.1.8)
điều này cho phương trình đối với các giá trị riêng ξ l .
trong đó
Nếu chú ý tới các kết quả thu được ở mục 6.6, nghiệm của (8.1.4) có
vl = ( 2 / 3)( z / H ) 3 / 2 (1 − t0 l H / z ) 3 / 2 ≈ ( 2 / 3)( z / H ) 3 / 2 − ( z / H )1 / 2 t0 l ,
thể được viết như sau
t 0 ≡ t 0 l = y l exp( iπ / 3) . (8.1.5) v1l ≅ ( 2 / 3)( z1 / H ) 3 / 2 − ( z1 / H )1 / 2 t0 l ,
Nếu sử dụng quan hệ giữa t0 và ξ (8.1.2), ta được
ξ l = ( k0 + t0 l / H 2 )1 / 2 ≈ k0 + t0 l ( 2k0 H 2 ) −1 .
2
(8.1.9)
2 2 2
ξ= + ( yl / H ) exp ( iπ / 3) . (8.1.6)
k0
Bây giờ hàm mũ trong (8.1.8) sẽ là
l
[ ]
Vậy tất cả ξ l là số phức và do đó, tất cả các sóng 23 suy giảm. Sự suy yếu
vl + v1l + ξ l r = k0 r + ( 2 / 3) ( z / H ) 3 / 2 + ( z1 / H ) 3 / 2
tăng lên theo số hiệu thức l .
+ t0 l ( 2k0 H 2 ) −1 ( r − rm ) , (8.1.10)
Nếu ta chú ý rằng
trong đó
∂ 1∂ ∂ ∂
= 2ξH 2
=− ,
,
∂ξ 2 ( z + z1 )
∂z H ∂t ∂t
rm = . (8.1.11)
áp suất âm tại điểm ( r, z ) có thể được viết nếu sử dụng (6.6.6) như sau a
Trên hình 8.1 OAAA’ là tia giới hạn tiếp tuyến với bề mặt nước ( z = 0 ) .
−2
− iπ ⎡ ∂Z ⎤
∑ Z( tl )Z( t1l ) ⎢ ∂t ⎥ H 0(1) (ξ l r ) ,
p( r, z ) = (8.1.7) Ở bên trái của đường AA’ có một vùng có âm do các tia trực tiếp và các
⎣ ⎦ t0 l
H l
tia phản xạ từ bề mặt nước (các tia OE và OCC’). Ở bên phải của AA’ có
ở đây một vùng tối hình học, nơi đây không có các tia trực tiếp và các tia phản
xạ từ bề mặt đạt tới, và áp suất âm trong phép xấp xỉ hình học bằng
không.
23
Vì những nguyên nhân sẽ rõ trong mục 8.2, những sóng này được gọi là các
tựa thức.
267 268
- [ ]
× exp ( y l / 4 )( i − 3 ) × ( k0 a 2 )1 / 3 ( r − rm ) . (8.1.12)
Có thể thấy rằng, bắt đầu tại biên của vùng tối hình học mỗi sóng suy yếu
theo khoảng cách tuân theo luật exp[ − β l ( r − rm )] , trong đó
β l = ( 3 / 4 )( k0 a 2 )1 / 3 y l = 31 / 2 ⋅ 2 −2 y l /( H 2 k0 ) . (8.1.13)
Đối với ( r − rm ) >> H , chỉ có sóng thứ nhất trong (8.1.12) có thể được
xét, với sóng này y l = 2,2338 . Đối với r − rm ≤ H , tức trong vùng
chuyển tiếp có bề rộng H trên mặt cắt AA’ của tia giới hạn, phải tính tới
nhiều sóng. Cũng cần lưu ý rằng biểu diễn tiệm cận (8.1.12) sẽ không
đúng trong lớp có một bề rộng cỡ H kề cận mặt nước.
Hình 8.1. Sự hình thành một vùng tối hình học và các tia khúc xạ
Trường âm trong vùng tối hình học có thể được mô tả dựa trên các
Dễ dàng chứng minh rằng rm là khoảng cách phương ngang do tia
biểu diễn tia nếu chúng ta đưa ra khái niệm về các tia khúc xạ theo gương
giới hạn OAA’ đi qua đối với các z và z1 (hình 8.1). Thật vậy,
Keller và nnk (ví dụ, xem [8.1]) và Brekhovskikh [8.2, mục 54]. Để nhận
rm = rOA + rAA ′ , ở đây rOA và rAA ′ là những hình chiếu lên phương
được các tia khúc xạ người ta phải hình dung rằng tia giới hạn OAA’ trên
ngang của OA và AA’. rOA có thể tìm từ (2.4.1) nếu ta chú ý rằng đối
hình 8.1 bị tách tại điểm A thành các tia AA’ và AB, tia AB đi dọc theo
với az
- vắng mặt trong trường hợp này (hình 8.2b). Tia với góc mở bằng không ta có
tại trục tiếp cận trục này một cách tiệm cận (tại r → ∞ ), như chúng ta có ~ ( z ) → exp ( −iµbz ), z → −∞,
p1
(8.2.3)
thể thấy, ví dụ từ (2.3.2) nếu người ta cho cos χ 1 = n( 0 ) ở đó và khai ~ ( z ) → exp ( iµbz ), z → +∞.
p2
triển n 2 ( z ) − n 2 ( 0) thành một chuỗi của z (bắt đầu với z 2 ). Trong
Giá trị căn trong (8.2.2) được chọn sao cho
trường hợp này ta được z → 0 và r → ∞ là ln z .
Im{µ } ≥ 0 . (8.2.4)
Điều này đảm bảo những giá trị hữu hạn của ~1 và ~ 2 khi z → ±∞ . Các
p p
~ ( z ) và ~ ( z ) phải thỏa mãn (6.5.4). Nếu ký hiệu
hàm p1 p2
M = Ak12 / b 2 (8.2.5)
thì phương trình này có thể được viết thành
~"+b 2 ⎛ µ 2 − ⎞~
M
⎟ p = 0.
⎜ (8.2.6)
p 2
⎝ cosh bz ⎠
Điều này có thể chứng minh bằng cách thế trực tiếp, nên nghiệm của
Hình 8.2. (a) Trắc diện c( z ) của kênh phản dẫn
(8.2.6) là
sóng đối với c' ( 0 ) = 0 và (b) biểu đồ tia
~ ( z ) = exp( −iµbz ) F(1 + s,− s,1 − iµ ; ς ), ς = 1 + th bz , (8.2.7)
p1
Ta xét trường hợp khi số sóng bình phương được mô tả bằng một 1 1
2
hàm đối xứng so với mặt phẳng z = 0
trong đó F( a, b, c; ζ ) là hàm hype hình học thỏa mãn phương trình [8.3]
⎛ A⎞
k 2 ( z ) = k12 ⎜1 − 2 ⎟ . (8.2.1) d2 F (1 + a + b)ζ − c d F ab
⎝ ch bz ⎠ − − F = 0. (8.2.8)
ζ (1 − ζ ) dζ ζ (1 − ζ )
2
dς
Khi z → ±∞ , ta có k( z ) → k1 . Đại lượng b nghịch đảo với bề rộng của
Hàm F được biểu diễn bằng một chuỗi
kênh phản dẫn sóng.
a⋅b a( a + 1)(b + 1) 2
F ( a, b, c; ζ ) = 1 + ζ+ ζ + ... .
Chúng ta sẽ bắt đầu từ công thức chung (6.5.10) đối với áp suất âm (8.2.8’)
1⋅ c 1 ⋅ 2 ⋅ c ( c + 1)
của một nguồn điểm. Các hàm ~1 ( z ) và ~ 2 ( z ) khi z → ±∞ phải tương
p p
Tham số s trong (8.2.7) là một nghiệm bất kỳ của phương trình
ứng với các sóng đi ra tại vô cùng. Nếu ký hiệu
s( s + 1) + M = 0 . Ta sẽ lấy
( k12 − ξ 2 )1 / 2
µ= (8.2.2)
b
271 272
- 1/ 2
toán tử Wronski
1 ⎛1 ⎞
s=− − ⎜ − M⎟ , (8.2.9)
2bΓ 2 (1 − iµ )
2 ⎝4 ⎠
w = ~1 ~ 2 − ~ 2 ~1 =
p′ p p′ p . (8.2.13)
Γ( − iµ − s) Γ(1 − iµ + s)
1/ 2 1/ 2
trong đó đặt với M > 1 / 4, (1 / 4 − M ) = i ( M = 1 / 4) . Sự thỏa mãn
Nhân tiện, hãy lưu ý rằng nếu xem số hạng thứ nhất trong (8.2.12) như
điều kiện thứ nhất của (8.2.3) là hiển nhiên bởi vì
th bz → −1, ζ 1 → 0, F → 1 khi z → −∞ . Với tư cách nghiệm độc lập một sóng phẳng tới lớp xác định bởi (8.2.1), số hạng thứ hai như một
sóng phẳng phản xạ từ lớp đó và ~ 2 được cho bằng (8.2.3) như một sóng
p
thứ hai, ta lấy
truyền qua lớp, ta có thể nhận được các biểu thức cho hệ số phản xạ V
~ ( z ) = ~ ( − z ) = exp( iµbz ) F(1 + s, − s, 1 − iµ ; ζ ) ,
p2 p1 2
và hệ số truyền qua W đối với lớp
1 − thbz
ζ2 = . (8.2.10) 2 µb sin π s − 2iµb
V= W=
2 . (8.2.14)
,
w shπµ w
Biểu thức sau cùng thỏa mãn điều kiện thứ hai trong (8.2.3). Như ta thấy
Nếu sử dụng giá trị của w từ (8.2.13), từ (6.5.10) ta thu được cho áp
từ công thức (6.5.10), cần phải biết toán tử Wronski w . Vì nó không phụ
thuộc vào z , ta tính nó đối với z → −∞ , lấy (8.2.3) cho ~1 . Để tìm suất âm
p
~ (ξ z ) ~ (ξ , z )
~ ( −∞ ) , ta sử dụng các công thức đã biết đối với các hàm hype hình học p p
p2 ∞
p( r, z ) = ( 2b) −1 ∫−∞ Γ( −iµ − s)Γ( −iµ + 1 + s) 1 2 2 H (01) (ξ r )ξ dξ
1
Γ (1 − iµ )
( Γ( x ) là hàm gamma)
Γ( c)Γ( c − a − b) (8.2.15)
F( a, b, c; ζ ) = F( a, b, a + b − c + 1; 1 − ζ )
Γ( c − a)Γ( c − b) Chúng ta tính tích phân bằng cách làm biến dạng quãng đường lấy tích
phân nguyên gốc thành một nửa đường tròn vô hạn trong nửa mặt phẳng
Γ( c)Γ( a + b − c)
+ ζ 1− c (1 − ζ ) c− a−b
phía trên mà trên đó tích phân bằng không (điều này có thể dễ dàng
Γ( a)Γ( b)
chứng minh). Biểu thức dưới dấu tích phân là một hàm trị số kép của ξ
× F(1 − a,1 − b, c − a − b + 1; 1 − ζ ) . (8.2.11)
do giá trị căn µ = ( k12 − ξ 2 )1 / 2 / b . Quãng đường tích phân trong (8.2.15)
Khi z → −∞ ta có ζ 2 → 1 và từ (8.2.11), nếu sử dụng (8.2.9) và công
đi qua khiên “cao”, nơi điều kiện (8.2.4) được thỏa mãn. Để phân biệt các
π
[8.3], ta tìm được khi z → −∞
thức Γ( x ) Γ(1 − x ) = khiên “cao” ( Im{ µ } > 0 ) và “dưới” ( Im{ µ } < 0 ), chúng ta tạo ra những
sin πx
lát cắt từ các điểm ξ = ± k1 dọc theo các đường Im{ µ } = 0 . Nếu giả thiết
Γ(1 − iµ )Γ( − iµ ) sin πs
~→ exp( iµbz ) + i exp( − iµbz ) rằng k1 có một phần ảo bé, các lát cắt được biểu diễn bởi các đường gợn
p2
Γ( − iµ − s)Γ(1 − iµ + s) sin πµ
sóng C1 và C1' trên hình 8.3.
(8.2.12)
Bây giờ, nếu chú ý tới quan hệ Γ(1 − iµ ) = − iµ Γ( − iµ ) , ta nhận được cho
273 274
- (1 / 4 − M )1 / 2 = i ( M − 1 / 4 )1 / 2 , ta có Im{µ l } < 0 , tức các cực nằm trên
khiên thấp. Theo cách tương tự điều này có thể chứng minh đối với họ
cực thứ hai, đối với chúng
⎡1 ⎤
1/ 2
⎛1 ⎞
µ = µ1 = − i(1 + s + l ) = −i ⎢ − ⎜ − M ⎟ + l⎥ . (8.2.18)
⎢2 ⎝4 ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Như vậy, biểu thức dưới dấu tích phân trong (8.2.15) không có các cực ở
Hình 8.3. Các lát cắt trong
mặt phức ξ đi ra từ các
trong khiên cao. Do đó, nghiệm của bài toán của chúng ta chỉ có một phổ
điểm ξ = ± k1
liên tục (tích phân đường rẽ nhánh) và không bao gồm các thức chuẩn.
Tuy nhiên, để tính tích phân đường rẽ nhánh, hợp lý hơn cả là dịch
chuyển quãng đường lấy tích phân từ lát cắt C1 đến lát cắt C2 (hình 8.3),
Bây giờ ta khảo sát những điểm kỳ dị của biểu thức dưới dấu tích bởi vì, như chúng ta sẽ thấy dưới đây, tích phân trên các rìa của lát cắt
phân trong (8.2.15). Vì các hàm sau dễ tính bằng phương pháp giảm nhanh. Trong trường hợp này quãng
đường lấy tích phân đi từ rìa phải của C1 (nơi một mũi tên chỉ hướng
~ ′( z )
p
= exp( − iµbz ) F(1 + s,− s,1 − iµ ; ζ 1 ) / Γ(1 − iµ )
đường đi lên) qua một khiên cao đến C2 không có các vết. Ngược lại,
Γ(1 − iµ )
quãng đường lấy tích phân từ rìa trái của C1 đi trong quá trình biến dạng
~ ( z ) / Γ(1 − iµ )
và p 2
đến C2 trên khiên thấp (nơi Im{ µ } < 0 ) và chúng ta phải thêm vào
không có các điểm kỳ dị trong mặt phẳng ξ ,25 các điểm kỳ dị duy nhất
nghiệm những phần dư tại các cực nằm ở khiên thấp giữa C1 và C2 .
có thể là các cực được xác định bằng những phương trình
Điều này cho phép chúng ta tách một số sóng trong nghiệm tương tự như
− iµ − s = − l,− iµ + 1 + s = − l, l = 0,1, 2 ... (8.2.16)
các thức chuẩn, được gọi là các tựa thức hay các thức khuếch tán (hay các
trong đó một hàm Γ nào đó ở tử số trong biểu thức dưới dấu tích phân thức không chuẩn, thức không quy tắc).
(8.2.15) là vô cùng. Nghiệm của phương trình thứ nhất là Tiếp tục phân tích các cực, có thể dễ thấy rằng với M < 1 / 4 không
⎡ 1 ⎛1 ⎤ có các cực nằm giữa C1 và C2 . Thật vậy, trong trường hợp này µ l trong
1/ 2
⎞
µ = µ l = i( s − l ) = i ⎢ − − l⎥ .
−⎜ − M⎟ (8.2.17)
(8.2.17) đơn thuần ảo; do đó ξ l2 = k12 − µ l2 b 2 > k12 .
2 ⎝4 ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Với M > 1 / 4 (8.2.17) được viết thành
Với M < 1 / 4 khi µ là ảo thuần túy, cũng như với M > 1 / 4 khi
µ l = −i ( l + 1 / 2) + ( M − 1 / 4 )1 / 2 . (8.2.19)
25
Nếu sử dụng một chuỗi (8.2.8’), có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này một số hữu hạn các cực có
F( a, b, c; ζ ) / Γ( c ) là hàm giải tích ở mọi nơi theo tham số c .
275 276
- thể nằm giữa C1 và C2 . Với mục đích đó, ta xét hình 8.4a trong mặt các tựa thức lm
{ }
phẳng ξ . Hình này biểu diễn các đại lượng µb, ( µb) 2 (cả hai trong lũy lm = ( M − 1 / 4 )1 / 2 − 1 / 2 , (8.2.21)
thừa bốn), ξ 2 = k12 − ( µb) 2 và ξ như các vectơ (chỉ số l bị bỏ đi). trong đó cặp dấu ngoặc {...} chỉ số nguyên bé nhất lân cận. Vậy, rõ ràng
Trong trường hợp này Re{ξ } < k1 và do đó, một cực nằm giữa C1 và rằng những điều kiện sau đây là cần thiết để tồn tại một tựa thức ( l = 0 ):
C2 . Tuy nhiên, điều đó đúng nếu điều kiện
2 Ak12
> 1,
M > 1/ 2 hay (8.2.22)
Re{µ } > − Im{µ } 1/ 2
( M − 1 / 4) > ( l + 1 / 2)
tức (8.2.20) b2
được thực hiện. có nghĩa là A không thể quá bé và bề rộng của kênh phản dẫn sóng 1 / b
không thể là rất bé so với bước sóng.
Trường hợp ngược lại ( arg{ µ } > 45 ) được biểu diễn trên hình
o
Nếu tính toán các phần dư tại các cực bằng cách sử dụng liên tiếp
8.4b. Ở đây µ 2 b 2 ở trong lũy thừa ba, nó dẫn tới bất đẳng thức
quan hệ cơ bản đối với các hàm Γ
Re{ξ } > k1 và một cực nằm ở phía phải của C2 và do đó chúng ta không
Γ( z ) = (1 / z ) Γ( z + 1),
quan tâm.
người ta có thể thu được
Γ( x + 1) ( −1) l 1
Γ( x − l ) ≈ = x → 0.
,
( x − l )( x − l + 1)...( x − 1) x l! x
Áp dụng kết quả này cho Γ( − iµ − s ) = Γ [− i( µ − µ l ) − l] trong (8.2.15)
ở lân cận của cực µ l và đặt x = − i ( µ − µ l ) , ta nhận được ở lân cận này
( −1) l 1
Γ( − iµ − s) ≈ i . (8.2.23)
l! µ − µl
Bên ngoài lân cận đó người ta có thể đặt µ = µ l = i ( s − l ) trong
(8.2.15). Khi ước lượng các phần dư, chúng ta tích phân theo một biến µ
sử dụng quan hệ dξ = ( dξ l / dµ l )dµ = −b2 ( µ l / ξ l )dµ . Sau khi dùng
Hình 8.4. Phân tích các cực trong mặt phẳng ξ phức
các ký hiệu
Theo cách này, có thể chứng minh rằng tất cả các cực của họ
Γ( 2s − l + 1)
1
(8.2.18) nằm ở phía phải của C2 . Kết quả là, chúng ta thấy rằng các tựa
Al ≡ , (8.2.24)
l ! Γ( s − l + 1)Γ( s − l )
thức sẽ được cho bởi những phần dư tại các cực (8.2.19) ngoại trừ rằng
(8.2.20) được thực hiện. Biểu thức sau cùng xác định số lượng cực đại
277 278
- ⎛ 1 + th bz ⎞ ta nhận được đối với l bé ( l z1 . Dạng của biểu thức này hoàn toàn tương tự với (6.4.11) đối
những biểu đồ tia trong tọa độ br và bz đối với trường hợp
với tổng của các thức chuẩn trong kênh dẫn sóng. Nhưng mỗi tựa thức z1 = 0, bz1 = 2 và A = 0,04 . Có thể chứng minh một cách dễ dàng nhất
trong (8.2.27) là một thành tạo khá đặc biệt. Vậy theo (8.2.3) ta có đối với trường hợp z = z1 = 0 rằng trường nhận được như là một tổng
ψ l ( z ) → exp( − iµ l bz )
z → −∞, của các tựa thức hoàn toàn trùng hợp với trường theo phép xấp xỉ tia
nhưng, như chúng ta đã thấy, Im{µ l } < 0 và do đó, ψ l tăng theo hàm trong miền mà phép xấp xỉ tia áp dụng được. Tích phân đường rẽ nhánh
trên C1 có thể bỏ qua. Ngoài ra, tổng của các tựa thức sẽ mô tả trường
mũ khi z → −∞ . Có thể dễ dàng chứng minh rằng ψ l diễn biến theo
trong một số trường hợp khi lý thuyết tia không áp dụng được, ví dụ tại
cùng cách khi z → +∞ . Vậy năng lượng chứa trong mỗi thức là vô hạn.
các điểm tụ tia. Kết quả này tỏ ra đúng một cách tổng quát hơn so với
Thay vì vậy, các hàm đó thường tỏ ra tiện dụng [8.4-6].
trường hợp được xét ở đây. Do đó, trong trường hợp truyền âm trong một
Các tựa thức luôn sinh ra nếu sự thấm năng lượng từ một kênh xảy
lớp chất lỏng nằm bên trên một nửa không gian lỏng, thì các tựa thức sẽ
ra. Chẳng hạn, các sóng đã xét ở mục 8.1 là những tựa thức.
tương ứng với các tia có phản xạ một phần tại mặt phân cách với nửa
Nếu chúng ta sử dụng biểu diễn tiệm cận của hàm Hankel trong
không gian [8.7].
(8.2.26), ta sẽ thấy rằng biên độ của mỗi tựa thức giảm theo khoảng cách
r tuân theo quy luật exp(− r Im{ξ l }) . Nếu chú ý rằng ξ l2 = k12 − µ l2 b2 , 26
Khi xác định a [8.2, phương trình (55.17)] đã mắc lỗi số thay vì 1/2 đã viết
số 1 .
279 280
- Hình 8.6. Như hình 8.5 đối với bz1 = 2
Hình 8.5. Sơ đồ tia đối với z1 = 0, A = 0,04
8.3. SỰ PHẢN DẪN SÓNG ĐỐI XỨNG: SÓNG RÌA
Để tổng kết mục này, chúng ta lưu ý rằng các biểu thức (8.2.25, 26) Kết quả tích phân trong (8.2.15) dọc theo đường rẽ nhánh C2 (hình
đối với các tựa thức còn có thể sử dụng khi bề mặt rắn lý tưởng hay bề
8.2) được gọi là sóng rìa. Để tránh những phức tạp toán học chúng ta xét
mặt tự do nằm ở z = 0 . Trong trường hợp thứ nhất, trường sẽ là một tổng
sóng rìa đối với một trường hợp khi nguồn và máy thu nằm trên trục kênh
của (8.2.26) và trường của một nguồn ảo nằm đối xứng ở phía khác của phản dẫn sóng ( z = z1 = 0 ) và giả thiết rằng M >> 1 . Những giản ước
mặt phẳng z = 0 . Kết quả là trường sẽ được cho bằng một tổng kép của
này không ảnh hưởng tới sự nhận thức về bản chất của sóng rìa và tầm ý
các tựa thức chẵn (8.2.26). Trong trường hợp thứ hai, trường sẽ là một
nghĩa của nó.
tổng kép của các tựa thức không chẵn.
Theo các định nghĩa (8.2.7, 10) và công thức đối với hàm hype hình
học [8.3]
−1
⎡ ⎛ a + c ⎞ ⎛ 1 + c − a ⎞⎤
⎛ 1⎞
F ⎜ a, 1 − a, c; ⎟ = 21− c π 1 / 2 Γ( c) ⎢Γ⎜ ⎟ Γ⎜ ⎟⎥
2⎠ ⎣⎝ 2 ⎠⎝ 2
⎝ ⎠⎦
281 282
- ( c ≠ 0, − 1, − 2, ...) , trong đó
⎛ − s ⎞ ⎛1 + s ⎞
ta có
Γ⎜ ⎟ Γ⎜ ⎟
π
~ ( 0 ) = ~ ( 0 ) = F(1 + s, − s,1 − iµ ; 1 / 2 ) ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠.
p1 p2 B=− (8.3.6)
2 sin π s ⎛ 1 − s ⎞ ⎛ 2 + s ⎞
−1
Γ⎜ ⎟ Γ⎜ ⎟
⎡ ⎛ 2 + s − iµ ⎞ ⎛ 1 − s − iµ ⎞⎤
= 2 iµ π 1 / 2 Γ(1 − iµ ) ⎢Γ⎜ ⎝2⎠⎝2⎠
⎟ Γ⎜ ⎟⎥ . (8.3.1)
2 2
⎣⎝ ⎠⎝ ⎠⎦
Ta đưa vào (8.3.4) một biến tích phân mới s sao cho ξ = k1 + is 2 ,
Bây giờ nếu dùng “công thức nhân đôi” đối với các hàm Γ 0 < s < ∞ . Đối với s bé ta có
−1 / 2 2 z −1
Γ( 2 z ) = π Γ( z ) Γ( z + 1 / 2 )
2
µ ≈ −(1 / b)( 2 k1 )1 / 2 s exp( − iπ / 4 ) .
ta nhận được từ (8.2.15) biểu thức đối với sóng rìa ( z = z1 = 0 )
Nếu sử dụng biểu diễn tiệm cận đối với hàm Hankel, ta thu được trong
∫ φ(µ
−1
) H (01) ( ξ r )ξ dξ ,
p1at = ( 4b) (8.3.2) (8.3.4) tích phân
⎛1⎞
∞
trong đó
∫0 exp( − rs 2 )s 2 ds = ⎜ ⎟π 1 / 2 r −3 / 2 . (8.3.7)
⎝4⎠
⎛ − s − iµ ⎞ ⎛ 1 + s − iµ ⎞
Γ⎜ ⎟ Γ⎜ ⎟
Bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng lát cắt C2 trên hình 8.3 thực sự là một
2 2
⎝ ⎠⎝ ⎠
φ(µ ) = (8.3.3)
quãng đường suy giảm đột ngột. Trong tích phân (8.3.4), µ và s bé sẽ
⎛ 1 − s − iµ ⎞ ⎛ 2 + s − iµ ⎞
Γ⎜ ⎟ Γ⎜ ⎟
đáng kể tại r lớn. Kết quả là ta được
2 2
⎝ ⎠⎝ ⎠
p1at = −ik1 B( br ) −2 exp( ik1 r ) ;
z1 = z = 0 : (8.3.8)
và tích phân được lấy dọc theo các cạnh của đường rẽ nhánh C2 (hình
8.3). Vì giá trị của biểu thức dưới dấu tích phân tại điểm như nhau trên plat có cùng những nét điển hình như một sóng rìa trong trường hợp của
các khiên khác nhau chỉ khác nhau bởi dấu của µ , nên tích phân (8.3.2) một kênh dẫn sóng, cụ thể là, nó truyền với tốc độ c1 = ω / k1 bằng tốc độ
có thể viết thành âm bên ngoài kênh phản dẫn sóng và biên độ của nó giảm theo 1 / r 2 tại
[φ ( µ ) − φ ( − µ )]H (01) (ξ r )ξ dξ ,
k1 + i∞
∫
( 4b) −1 k những khoảng cách lớn.
p1at = (8.3.4)
1
Tại những khoảng cách ngắn từ nguồn, các tựa thức có đóng góp lớn
ở đây IM{µ } > 0 .
cho trường. Nhưng vì tất cả chúng suy giảm theo hàm mũ với khoảng
Nếu khai triển hàm φ ( µ ) thành một chuỗi và sử dụng các thuộc tính cách, nên trường của sóng rìa sẽ áp đảo tại r > rt , ở đây rt là một
đã biết của hàm Γ sẽ cho khoảng cách “chuyển tiếp” nào đó. Chúng ta sẽ ước lượng khoảng cách
đó cho trường hợp z1 = z = 0 , M = A( k1 / b) 2 >> , tức khi kên phản dẫn
3
φ ( µ ) − φ ( − µ ) = 4iBµ + O( µ ) , (8.3.5)
sóng là rộng so với bước sóng. Để ước lượng B trong (8.3.6), chúng ta
283 284
- dùng biểu diễn tiệm cận đối với hàm Γ cho bởi (đường cong 1), sóng rìa (đường cong 2) và tổng của chúng (đường cong
a−b 3). Những dao động trên đường cong 3 gây nên bởi sự giao thoa của tựa
x → ∞, Γ( x + a) / Γ( x + b) → x . (8.3.9)
thức và sóng rìa. Khoảng cách mà tai đó các biên độ của chúng trở nên
Khi đó, vì s ≈ −1 / 2 − iM −1 / 2 , s >> 1 , ta được
bằng nhau là R ≡ k1 r = 725 . Ước lượng theo (8.3.12) cho k1 rt = 628 ,
B ≈ −2π iM −1 / 2 exp( −πM 1 / 2 ) . (8.3.10) đây có thể xem là sự trùng hợp thỏa mãn.
Việc ước lượng trường của các tựa thức có thể thực hiện với sóng
suy yếu ít nhất ( l = 0 ) . Nếu sử dụng biểu diễn tiệm cận của hàm Γ
Γ( x ) → ( 2π )1 / 2 exp( − x ) x x −1 / 2 , x → ∞ , ta thu được từ (8.2.24) bậc
đại lượng
A0 ~ ( 2s)1 / 2 ~ M 1 / 4 .
Nếu chú ý rằng ψ l ( 0 ) là có bậc đơn vị, và biểu diễn tiệm cận của hàm
Hankel và (8.2.27) đối với l = 0 , ta được ước lượng bậc đại lượng đối
với trường của các tựa thức
π 3 / 2 b( k1 r ) −1 / 2 M 1 / 4 exp( −bA1 / 2 r / 2) . (8.3.11)
So sánh (8.3.11) và (8.3.8) có sử dụng (8.3.10) cho thấy rằng
khoảng cách có thể lấy làm ước lượng thô đối với rt mà tại đó các biểu
thức ở trong các hàm mũ bằng nhau
Hình 8.7. Phụ thuộc của biên độ tựa thức thứ nhất (đường 1), sóng rìa
1
bA1 / 2 rt ≅ π M 1 / 2 (đường 2) và tổng của chúng (đường 3) vào khoảng cách
2
hay, nếu chú ý rằng M 1 / 2 ≅ A1 / 2 ( k1b) , bằng
rt = 2πk1 / b 2 . (8.3.12)
Vậy rt bằng khoảng cách mà tại đó bề rộng của kênh phản dẫn sóng
trùng với bề rộng của đới Fresnel.
Hình 8.7 biểu diễn sự phụ thuộc vào khoảng cách của biên độ tựa
thức thứ nhất (và là tựa thức duy nhất đối với những điều kiện này)
285 286
nguon tai.lieu . vn
