- Trang Chủ
- Địa Lý
- CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 6
Xem mẫu
- Ở đây f ′′( 0 ) là đạo hàm bậc hai theo χ1 . Sử dụng (5.6.4), ta tìm được
∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ch sin χ1
f ' ( χ1 ) = f ' ( 0) = 0 ,
⎢ ⎥ ,
∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ c1 sin χ h
⎧ ∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ⎫
⎪ ⎪
⎥ ctgχ h ⎬ .
f " ( 0) = ⎨ (5.6.15)
⎢
⎪ ∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ ⎪χ
⎩ ⎭m
Nếu thế (5.6.12-15) vào (5.6.3) và lấy cận trên bằng vô cùng, ta nhận
được
2
= 2π 1 / 2 [ r 3 f " ( 0)]−1 / 2 ( D sin χ )−1 = 0 exp{ − r [ β + 2 f ( 0)] } . (5.6.16)
p χ1
Định luật suy yếu một lần nữa lại trở thành r −3 / 2 , nhưng với một sự suy
yếu bổ sung do hấp thụ ở đáy.
Công thức (5.6.16) sẽ không đúng đối với r lớn, khi đó chỉ có một
hay một số ít các thức còn giữ lại. Giá trị ước lượng của r = rm cực đại
cho phép được thực hiện chỉ trong trường hợp lớp đồng nhất. Khoảng các
giá trị có nghĩa của χ1 trong công thức ước lượng khoảng (5.6.3) có bậc
là [r f ′′( 0 )]
−1 / 2
. Tổng số các thức xấp xỉ bằng 2h / λ . Trong khoảng các
giá trị có nghĩa sẽ có [r f ′′( 0 )]
−1 / 2
( 4 h / πλ ) thức. Đòi hỏi rằng số này
phải lớn hơn nhiều so với đơn vị quyết định điều kiện
( 4h / πλ )2
rm
- KÊNH ÂM NGẦM 1/ 2
⎡ 2 ( cb − c1 ) ⎤
K ≈ χm ≈ ⎢ . (6.1.3)
⎥
cb
⎣ ⎦
Kênh âm ngầm (USC) là một ống dẫn sóng tự nhiên điển hình. c1 càng nhỏ, tức nguồn càng nằm gần trục kênh, thì hệ số bẫy K
Những kiểu phân tầng đại dương dẫn tới sự hình thành kênh âm ngầm đã càng lớn. Ngược lại, khi nguồn tiến sát các biên của kênh ( c1 → cb ) K
được đưa ra ở mục 1.2. Lý thuyết truyền âm trong kênh âm ngầm sẽ được cb − c1
tiến tới 0. Trong các trường hợp thực K nhỏ, thường là nhỏ hơn
giới thiệu ở đây. cb
nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng 15o, K
hoặc xấp xỉ bằng 0,03 và do đó, χ m
6.1. LÝ THUYẾT TIA ĐƠN GIẢN CỦA KÊNH ÂM NGẦM: HỆ SỐ
nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng ẳ. Tuy nhiên, các sóng âm lan truyền trong
BẪY SÓNG CỦA KÊNH ÂM NGẦM
kênh âm ngầm có thể được ghi nhận tại những khoảng cách nhiều nghìn
Chúng ta bắt đầu bằng việc rút ra biểu thức cho hệ số bẫy năng kilômet cách các nguồn.
lượng âm của một nguồn điểm đa hướng - một đặc trưng quan trọng của
6.1.1. Mô hình “tuyến tính” của kênh âm ngầm
kênh âm ngầm.
Giả sử tốc độ âm tại các biên của kênh âm ngầm là cb (ví dụ, Các đặc trưng của kênh âm ngầm được xác định bằng trắc diện tốc
độ âm c( z ) . Có rất nhiều kiểu trắc diện như vậy. Tuy nhiên, nhiều đặc
cb = c h ở trường hợp biểu diễn trên hình 1.2) và c1 tại độ sâu nguồn. Tất
cả các tia rời khỏi nguồn với các góc mở trong khoảng ( − χ m , χ m ) sẽ bị điểm truyền âm trong kênh âm ngầm có thể có thể nhận được trên cơ sở
các trắc diện c( z ) “mô hình” đơn giản. Các bức tranh tia đối với một số
bẫy bởi kênh âm ngầm. Ở đây χ m là góc mở cực đại xác định bằng định
trắc diện như thế đã được phân tích kỹ trong bài báo của Pedersen và
luật Snell
White [6.1]. Ở đây chúng ta sẽ xét mô hình đơn giản nhất, giả thiết rằng
c1
cos χ m = . 6.1.1 tốc độ âm tăng tuyến tính với độ sâu từ bề mặt xuống tới đáy. Một mô
cb
hình như thế cho phép mô tả định tính về những đặc điểm chính của sự
Năng lượng âm bị bẫy bởi kênh âm ngầm liên hệ với năng lượng phát truyền âm trong kênh âm ngầm, bởi vì tốc độ âm thực tế tăng tuyến tính
tổng cộng như là góc khối với độ sâu ở các vùng khơi đại dương tại những độ sâu lớn (ví dụ, ở Đại
χm 2π
∫− χ ∫0 cos χ dχ dϕ = 4π sin χ m Tây Dương tại những độ sâu hơn 1,5 km). Mô hình tuyến tính lần đầu
m
tiên được đề xuất [6.2] để mô tả kênh âm ngầm ở biển Nhật Bản do các
liên hệ với góc khối tổng cộng 4π . Vậy, hệ số bẫy là nhà khoa học Liên Xô phát hiện năm 1946 [6.3] độc lập với các nhà khoa
K = sin χ m . (6.1.2) học Mỹ, những người trước đó đã phát hiện kênh âm ngầm ở Đại Tây
Dương. Ở biển Nhật Bản phụ thuộc tuyến tính c( z ) được quan trắc thấy
Vì χ m luôn luôn nhỏ,
từ những độ sâu 200-300 m đến đáy (khoảng 2 km ở các vùng khơi). Sự
185 186
- [ ]
az m = (1 + az1 − cos χ 1 ) cos −1 χ 1 = az1 + 2 sin 2 ( χ 1 / 2 ) cos −1 χ 1
phân tầng tương tự có mặt ở biển Hắc Hải. Mô hình tuyến tính còn có ích
trong lý thuyết về kênh âm mặt.
(6.1.6)
Đôi khi sẽ có ích nếu biểu diễn z m thành các số hạng của χ 0 . Đặt
z1 = 0 và χ 1 = χ 0 trong công thức cuối cùng, ta được
z m = [2 /( a cos χ 0 )]sin 2 ( χ 0 / 2) . (6.1.7)
Vì χ 1 thường nhỏ cho nên cos χ 1 ≈ 1 và sin χ 1 / 2 ≈ χ 1 / 2 , ta có một
cách gần đúng
z m − z1 = χ 12 /( 2 a) . (6.1.8)
Các tia với z m ≤ 1 bị bẫy bởi ống dẫn sóng; chúng ta sẽ gọi những tia đó
là “các tia kênh”. Các tia không bị bẫy, truyền đi kèm theo những lần
phản xạ từ đáy, bị suy yếu mạnh và tại những khoảng cách lớn có thể bỏ
Hình 6.1. Các tham số để tính tia đối với trắc diện tốc độ âm tuyến tính
qua được. Từ (6.1.80 góc cực đại của χ 1 đối với các tia kênh là
Giả sử độ sâu đại dương là h và
χ m = [2 a ( h − z1 )] 1 / 2 . (6.1.9)
c( z ) = c0 (1 + az ), 0 ≤ z ≤ h. (6.1.4)
Như chúng ta thấy, đây cũng là biểu thức đối với hệ số bẫy K .
Như thường lệ, z1 là độ sâu của nguồn, còn c1 = c0 (1 + az1 ) và
Mỗi tia truyền đi kèm theo những lần phản xạ từ bề mặt nước.
cb = c0 (1 + ah ) tuần tự là các tốc độ âm tại độ sâu nguồn và tại đáy
Khoảng cách D giữa hai lần phản xạ liên tiếp nhau, gọi là độ dài chu
(hình 6.1a). Ta ký hiệu χ 0 , χ 1 và χ là các góc mở của một tia tại các
trình, nhận được từ công thức (2.4.1); nếu ta đặt
tầng mặt, nguồn và máy thu (hình 6.1b). Theo định luật Snell, chúng liên
χ i = 0, χ i−1 = χ 0 , D = 2 Di , (6.1.10)
hệ với nhau bằng các phương trình
thì
csχ 0 / c0 = cos χ 1 / c1 = cos χ / c . (6.1.5)
2
Ta sẽ xác định z m , độ sâu xuyên xuống cực đại của một tia, bằng tgχ 0 .
D= (6.1.11)
a
cách thay thế χ và c trong (6.1.5) bằng các giá trị của chúng tại z = z m ,
Ta đã bỏ đi chỉ số i đối với ai . Góc mở χ 0 càng lớn thì độ dài chu trình
tức χ = 0 và c = c0 (1 + az m ) , điều này cho
càng lớn. Độ dài chu trình cực đại là
(1 + az1 ) −1 cos χ 1 = (1 + az m ) −1 .
Dmax = ( 2 / a) tg( χ 0 ) max ≅ 2 ( 2 h / a)1 / 2 . (6.1.12)
Do đó ta được
187 188
- Với h = 5 km (vùng khơi đại dương) và a = 1,2 ⋅ 10 −5 m −1 (građien tốc góc mở cực đại gần bề mặt
độ thủy tĩnh) Dmax = 57,6 km. ( χ 0 ) min ≅ ( 2az1 ) 1 / 2 (6.1.15)
Có nhiều tia với số chu trình khác nhau có thể đi tới điểm máy thu. và từ (6.1.11) biểu thức cho độ dài chu trình cực đại
Do đó, nếu nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước và cách nhau một
Dmin ≅ 2 ( 2 z1 / a) 1 / 2 . (6.1.16)
khoảng cách r , thì chúng sẽ nối với nhau bởi những tia nào rời nguồn
với một góc thỏa mãn phương trình
r = ( 2 N / a) tgχ 0 N , N = 1, 2, ..., ∞ , (6.1.13)
do đó
ar
χ 0 N = arctg . (6.1.14)
2N
Số các chu trình N càng nhiều thì tia càng bám sát vào bề mặt và trong
giới hạn N → ∞ tia truyền dọc theo bề mặt. Do đó, sự tập trung các tia
và mật độ năng lượng âm tăng lên được quan sát thấy ở gần bề mặt. Thật
vậy, theo (6.1.7), tất cả các tia rời khỏi nguồn với những góc mở giữa 0 Hình 6.2. Hệ thống các tia và vùng tụ tia trong kênh âm
χ2 với tốc độ âm phụ thuộc tuyến tính vào độ sâu. Các giá trị
và χ 0 ở lại trong một lớp với độ dày z m ≅ 0 . Năng lượng âm trong không thứ nguyên của ar và 10 az được ghi dọc các trục
2a
phạm vi lớp này giảm như là χ 0 giảm, tức là chậm hơn so với z m . Tỷ số
Mặc dù sự đơn giản của định luật tuyến tính đối với c( z ) , bức tranh
giữa năng lượng phát vào lớp và độ dày tăng lên khi χ 0 giảm theo 1 / χ 0 .
tia toàn phần sẽ khá phức tạp. Trên hình 6.2 biểu diễn bức tranh này cho
Sự tập trung năng lượng gần biên như vậy hoàn toàn tương tự như hiệu trường hợp az1 = 0,012 . Các đại lượng không thứ nguyên az và ar
ứng “các ba công thì thầm” có lẽ được thấy lần đầu tiên tại thánh đường
được ghi dọc theo các trục. Những đường đậm nét biểu diễn hình bao của
Saint Paul ở Luân đôn. Hiệu ứng này đã được Rayleigh giải thích, đó là
các họ tia (vùng tụ tia).
sự tăng mật độ năng lượng âm lân cận một bề mặt cong. Sự khác biệt duy
6.1.2. Thời gian truyền
nhất đó là ở hiện tượng các ban công thì thầm thì biên là mặt cong và các
tia thì thẳng, còn ở trường hợp hiện tại thì ngược lại. Tuy nhiên, có thể
Phát xạ xung, chẳng hạn, thường được dùng trong khi khảo sát kênh
chỉ ra rằng vấn đề ở đây chỉ là độ cong tương đối của các tia và biên.
âm ngầm. Khi một xung đơn được phát ra, thì một số xung về đích tại
Nếu một nguồn không nằm gần bề mặt ( z1 ≠ 0 ) , thì khi cho χ 1 = 0 điểm quy chiếu, chúng truyền đi dọc theo các tia khác nhau và có những
trong (6.1.5) và chú ý rằng c1 = c0 (1 + az1 ) , ta nhận được biểu thức cho thời gian truyền khác nhau. Trước hết, ta xác định thời gian truyền đi dọc
189 190
- theo một tia giữa các độ sâu tùy ý z1 và z 2 . Thời gian truyền đi dọc theo ⎛ a2 r 2 ⎞
r
⎜1 − ⎟
tN = ⎜ 24 N 2 ⎟ . (6.1.20)
một phần tử tia ds = dz / sin χ sẽ là dt = ds / c( z ) = dz /[ c( z ) sin χ ] . c0 ⎝ ⎠
Nếu sử dụng quan hệ c( z ) = c0 (1 + az ) và biểu diễn dz qua dχ bằng
Như vậy, một xung truyền đi dọc theo một tia gồm số lượng chu trình ít
cách lấy vi phân (2.2.2), ta tìm được thời gian truyền đi nhất và tiếp đáy sát nhất sẽ có thời gian truyền ngắn nhất. Một tia càng
dχ thường xuyên bị phản xạ từ bề mặt hơn thì xung truyền đi dọc theo tia sẽ
1 χ2
∫χ
t= ,
cos χ về đích càng chậm hơn. Xung truyền dọc theo đường nằm ngang về đích
ac0 1
chậm nhất. Các khoảng thời gian giữa các lần về đích kế cận nhau giảm
ở đây χ 1 ≡ χ ( z1 ) và χ 2 ≡ χ ( z 2 ) . Đây là tích phân quen thuộc, nên ta có
liên tục khi N tăng lên. Trên băng ghi sự tăng về cường độ âm được
⎛ 1 + sin χ 1 ⎞
1 + sin χ 2
1 nhận thấy ở về phía đoạn cuối vì sự tập trung các lần xung về đích. Bức
⎜ ln ⎟.
t= ⎜ 1 − sin χ − ln 1 − sin χ (6.1.17)
⎟
2ac0 ⎝ ⎠ tranh thực nghiệm điển hình đối với nguồn và máy thu tại một khoảng
1 2
cách lớn và gần trục kênh là như nhau: tăng cường độ âm từ đoạn đầu đến
Cho χ 1 = χ 0 , χ 2 = 0 , ta nhận được thời gian truyền từ bề mặt nước đến
đoạn cuối của băng ghi và tắt đột ngột tại đoạn cuối. Sự tắt này xuất hiện
điểm quay trở lại của tia (ký hiệu bằng ∆t / 2 )
sau khi tia sau cùng về đích, tức tia gần trục kênh nhất. Chỉ có những tia
1 + sin χ 0
∆t 1
= . bị đáy chặn về đích muộn hơn, nhưng chúng có cường độ thấp tại những
ln
2 ac0 1 − sin χ 0
2
khoảng cách lớn.
Thời gian truyền đối với chu trình đầy đủ là Hình 6.3 là băng ghi tín hiệu âm tại một khoảng cách 1880 km kể từ
1 + sin χ 0 2χ 0 ⎛ ⎞
1 12 14 nguồn ở trung tâm Đại Tây Dương. Âm (vụ nổ của 25 kg TNT) được
⎜1 + χ 0 + χ 0 + ... ⎟ . (6.1.18)
∆t = ≅
ln
ac0 1 − sin χ 0 6 24
ac0 ⎝ ⎠ phát ra tại độ sâu 700 m và máy nghe được đặt tại độ sâu 1200 m. Áp
suất âm được ghi trên trục thẳng đứng bằng thang tỉ lệ tuyến tính với đơn
Để dơn giản, ta chấp nhận rằng nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước.
vị tùy ý nào đó. Sự tăng chậm của cường độ tín hiệu tại đoạn đầu và giảm
Khi đó, thời gian truyền tổng cộng từ nguồn đến máy thu dọc theo tia có
đột ngột tại đoạn cuối của tín hiệu là hoàn toàn rõ ràng.
4
N chu trình sẽ xấp xỉ bằng (bỏ qua các số hạng χ 0 , ...).
Bây giờ chúng ta sẽ xác định độ dài tổng cộng T của tín hiệu, chỉ
2 Nχ 0 ⎛ 1 2 ⎞
⎜1 + χ 0 ⎟ .
= (6.1.19) tính đến các tia kênh. Theo (6.1..20)
tN
6
ac0 ⎝ ⎠
( )
a2 r3 −2 −2
T= N min − N max , (6.1.21)
Theo (6.1.14), χ 0 = arctg ( ar / 2 N ) . Nếu khai triển vế phải thành chuỗi
24 c0
lũy thừa của ar / 2 N , rồi thế kết quả vào (6.1.19) đối với χ 0 và bỏ qua
trong đó N min và N max là số lượng cực tiểu và cực đại các chu trình đối
các lũy thừa bậc bốn và cao hơn của ( ar / 2 N ) , ta nhận được
với các tia về đích điểm thu. Tại những khoảng cách lớn N max >> N min
191 192
- sát; c0 là tốc độ âm tại trục kênh z = z0 , η = 2( z − z 0 ) / B (trục z
và số hạng thứ hai trong cặp dấu ngoặc có thể bỏ qua. Theo (6.1.130,
N min = ar / [2tg( χ 0 ) max ] = ar( 2 ah ) −1 / 2 / 2 . Kết quả là từ (6.1.21), ta hướng lên trên), B là độ rộng hiệu dụng của kênh âm,
ε = ( B / 2) 1,14 ⋅ 10 −2 là độ tăng tốc độ đoạn nhiệt từng phần trên một độ
được
sâu tỷ lệ.
ah
T= r. (6.1.22)
3c0
Đôi khi T được gọi là thời gian lan tỏa tín hiệu, như chúng ta thấy, nó
tăng lên tỷ lệ với khoảng cách.
Hình 6.4. Trắc diện c( z ) của kênh âm chuẩn theo Munk (bên trái).
Các nửa chu trình trên và dưới của các tia (bên phải) rời nguồn
o o o o
với những góc mở χ 0 = −14 , − 12 , ..., 12 , 14 . Đường cong đi
qua các điểm đỉnh tia gần như là đường thẳng đối với mô hình
này [6.4]
Đối với trường hợp z lệch nhiều về phía trên kể từ trục kênh
Hình 6.3. Hình dạng của tín hiệu âm ở trung
(η >> 1) , ta có c( z ) − c0 ≅ ε c0 eη , tức tốc độ âm tăng theo hàm mũ. Đối
tâm Đại Tây Dương tại khoảng cách 1880 km
với trường hợp lệch nhiều về phía dưới ( −η >> 1) , c( z ) − c0 ≅ −ε c0η ,
6.2. KÊNH ÂM NGẦM CHUẨN
tức tốc độ âm tăng tuyến tính với độ sâu. Hình 6.4 (cải biên một chút so
với trong [6.4, hình 2]) biểu diễn trắc diện c( z ) (bên trái) đối với
Munk [6.4] đã đề xuất trắc diện c( z )
z 0 = B = −1,3 km, c0 = 1492 m/s. Munk gọi dạng kênh âm ngầm này là
[c( z) − c0 ] / c0 = ε ( eη − η − 1) (6.2.1)
kênh âm chuẩn. Ở bên phải biểu diễn các nửa chu trình thứ nhất của các
nó hội được những đặc điểm hiện thực của kênh âm ngầm một cách rất
cung tia khi nguồn nằm tại trục kênh. Các tia rời nguồn với những góc
193 194
- χ 0 = −14 o , − 12 o , ...,12 o , 14 o được vẽ. Lưu ý rằng đường cong nối các đích sau cùng.
điểm đỉnh gần như là một đường thẳng.
Độ dài của nửa chu trình phía trên ( D + ) và phía dưới ( D − ) là
⎛ ⎞
2 2 ˆ 1 ˆ2
D ± = D0 ⎜1 m φ + φ + ... ⎟ , (6.2.2)
⎜ ⎟
3π 12
⎝ ⎠
trong đó D0 = Bπε −1 / 2 / 2 là độ dài nửa chu trình của một tia ở tại trục
(ở hình 6.4 D = 23,7 km); φ = ( c − c ) /(ε c ) , ở đây c là tốc độ âm tại
ˆ ˆ
ˆ 0 0
0
Hình 6.5. Biểu đồ τ , z đối với kênh âm chuẩn
điểm quay trở lại của tia. Như vậy, độ dài của nửa chu trình phía trên nhỏ
với nguồn nằm ở trục kênh ( z 0 = −1,3 km) [6.5]
hơn và độ dài của nửa chu trình phía dưới lớn hơn so với độ dài của nửa
chu trình của tia trục kênh. Biểu đồ τ , z để xác định thời gian tới đích của các tia ở những độ
Thời gian truyền dọc theo các nửa chu trình trên ( t + ) và dưới ( t − ) sâu khác nhau tại khoảng cách 1000 km trong kênh âm chuẩn được biểu
diễn trên hình 6.5 [6.5]. Độ sâu z được ghi trên trục thẳng đứng. Nguồn
là
nằm tại trục kênh ( z 0 = −1,3 km). Đại lượng τ = t − t 0 ( t và t0 là các
D0
t± = τ ± + , (6.2.3)
thời gian về đích tuần tự của tia đang xét và tia tại trục, τ < 0 ) được ghi
c0
trên trục ngang. Mỗi nhánh của hình vẽ được đánh dấu bằng một dấu và
trong đó
hai số. Dấu cộng (trừ) chỉ tới tia rời nguồn đi lên phía trên (xuống dưới).
⎛ ⎞
2 2 ˆ3 1 ˆ4 Số thứ nhất chỉ số điểm quay hướng của một tia phía trên trục kênh, còn
τ ± = τ 0 ⎜± φ − φ + ... ⎟ , (6.2.4)
⎜ ⎟
9π 24 số thứ hai - số điểm ở phía dưới trục kênh. Ví dụ, để tìm các thời gian về
⎝ ⎠
đích của các tia tại một máy thu nằm ở độ sâu z = −2,5 km, chúng ta cắt
τ 0 = Bπε 1 / 2 ( 2c0 ) và τ 0 = 0,137 s đối với trắc diện ví dụ biểu diễn trên đồ thị vẽ tại đường thẳng nằm ngang z = −2,5 km và nhận được rằng tia
hình 6.4. Thời gian truyền qua toàn chu trình là + 15,15 về đích trước nhất ( τ = −2,52 s), sau đó đến tia − 15,16
D τ 0 ˆ4 ( τ = −0,25 s) và tiếp tục. Các tia + 18,18 ( τ = −0,26 s) và − 18,19
t = t+ + t− = − φ + ... , (6.2.5)
( τ = −0,25 s) về đích cuối cùng. Cùng bức tranh như vậy chắc chắn sẽ
c0 12
được thấy khi máy thu nằm tại trục kênh và nguồn tại độ sâu 2,5 km. Đồ
trong đó D = 2 D0 là độ dài chu trình của một tia tại trục ( D ≅ 50 km
thị này cho thấy sự giảm khoảng thời gian giữa những lần về đích kế cận
đối với ví dụ trên hình 6.4), hay khoảng cách giữa các vùng hội tụ, như
nhau ở đoạn cuối của tín hiệu. Số lượng các chu trình là cực đại nếu
chúng ta sẽ thấy dưới đây. Từ (6.2.5) suy ra rằng tia tại trục (φ = 0 ) về
ˆ
nguồn và máy thu nằm tại trục kênh và bằng 20 đối với trường hợp đã
195 196
- xét.
6.3. CÁC VÙNG HỘI TỤ
Sự truyền âm trong vùng khơi đại dương từ một nguồn nông kèm
theo một hiện tượng lý thú, sự hình thành những vùng hội tụ.
Chúng ta sẽ xét trắc diện khái quát c( z ) biểu diễn ở nửa bên trái
hình 6.6. Ta giả sử rằng (như đã thấy trên hình này), c1 < c h , tức tốc độ
âm tại độ sâu nguồn nhỏ hơn so với tại đáy. Kênh âm bẫy những tia nào
Hình 6.6. Sơ đồ hình thành các vùng hội tụ
rời nguồn với các góc mở thỏa mãn điều kiện χ 1 ≤ arccos( c1 / c h ) .
Những tia này làm thành một chùm (nửa bên phải của hình 6.6) chiếu
sáng không gian ngoại trừ các vùng tối A, A ′ ... và B, B ′ ... Chỉ có các
tia phản xạ từ đáy (không chỉ ra trên hình) về đích tại những vùng này.
Do đó, nếu chúng ta rời xa dần khỏi nguồn nhưng duy trì tại một độ sâu
không đổi, ví dụ z = z1 , thì sau trường âm yếu tương đối ở các vùng
A, A ′ v.v.. ta sẽ thấy trường âm tăng lên đáng kể ở các vùng
′ ′
D1 D1 , D2 D2 v.v.. Các vùng này thường bắt đầu với những khoảng tụ tia
(các đoạn của nó được biểu diễn bằng những đường đậm nét trên bức
tranh tia ở hình 6.6) và được đặc trưng bởi giá trị cao của nhân tử tiêu
điểm. Do chính thực tế đó, những vùng này được gọi là “các vùng hội
tụ”. Chiều rộng của các vùng hội tụ (tại mực z = z1 , cũng chính là độ dài
′ ′
của các đoạn D1 D1 , D2 D2 ) tăng lên với khoảng cách, trong khi chiều
rộng của các vùng tối giữa chúng giảm. Hình 6.7. Sơ đồ tia trong kênh âm ngầm thực
minh họa sự hình thành những vùng hội tụ
Nguồn càng nằm xa trục kênh thì chiều rộng của các vùng hội tụ
càng nhỏ. Nếu c1 ≥ c h thì không có những vùng như vậy. Nếu tốc độ âm
Hình 6.7 biểu diễn trắc diện c( z ) (bên trái) và sơ đồ tia (bên phải)
tại bề mặt nhỏ hơn so với tốc độ âm tại đáy, các vùng hội tụ sẽ lấn tới bề
điển hình đối với vùng nhiệt đới Đại Tây Dương. Để thuận tiện, tỷ lệ của
mặt và bao gồm một phần những tia phản xạ từ bề mặt.
các độ sâu z > 1 km đã bị nén lại. Những đường liền nét biểu diễn các tia
rời nguồn trong hướng đi lên trên và những đường gạch nối - trong hướng
197 198
- đi xuống dưới. Sự hình thành các vùng hội tụ có thể thấy rõ. Ví dụ, tại độ thiếu chính xác của phép xấp xỉ tia, độ chính xác chưa đủ của phép đo
sâu z = 150 m những vùng đó mở rộng trên các khoảng cách 55-70 và trắc diện c( z ) tại những độ sâu lớn, hoặc do việc xấp xỉ chưa thỏa mãn
110-140 km. của trắc diện chấp nhận để tính toán.
Đôi khi một cách đơn giản ước lượng cường độ âm trung bình trong
toàn vùng hội tụ có thể rất hữu ích [6.7]. Giả sử − χ m đến χ m là khoảng
các góc mở của các tia tại nguồn hình thành nên các vùng hội tụ. Năng
lượng âm phát vào khoảng này sẽ là Wχ m (mục 6.1), ở đây W là năng
lượng đầu ra của nguồn đa hướng, và giả sử rằng χ m
- NHƯ TỔNG CỦA CÁC SÓNG (THỨC) CHUẨN các biến. Nghiệm mô tả một sóng đi ra từ nguồn có dạng
p( r, z ) = H (01) (ξ r )ψ ( z, ξ ) , (6.4.3)
Lý thuyết tia có những ứng dụng hạn chế. Nó không áp dụng trong
các vùng tối và lân cận các vùng tụ tia. Vì các vùng tụ tia rộng dần ra khi ở đây H (01) (ξ r ) là hàm Hankel loại một bậc không và hàm ψ ( z, ξ ) thỏa
tăng khoảng cách, nên chúng hạn chế tính áp dụng của lý thuyết tia tại mãn phương trình
những khoảng cách lớn. Lý thuyết tia cũng không thể sử dụng đối với
[ ]
d 2ψ
+ k 2 ( z) − ξ 2 ψ = 0 (6.4.4)
những tần số thấp, khi bước sóng âm trở nên so sánh được với quy mô 2
dz
thẳng đứng của biên thiên tốc độ âm. Vì vậy, trong thực tế người ta cuối
và các điều kiện biên
cùng buộc phải dựa vào nghiệm sóng của bài toán.
dψ
Trong mục này chúng ta giới thiệu những kết quả của Ahluwalia và ψ ′( h, ξ ) = 0, ψ′≡
ψ ( 0, ξ ) = 0, . (6.4.5)
dz
Keller [6.8] và rút ra một biểu thức cho trường âm như một tổng của các
Giả sử hai nghiệm độc lập tuyến tính của (6.4.4) là ψ 1 ( z, ξ ) và
sóng chuẩn (thức). Biểu thức này sẽ hạn chế ở trường hợp đại dương có
ψ 2 ( z, ξ ) . Khi đó
đáy phản xạ lý tưởng. Tuy nhiên, nếu chúng ta quan tâm tới trường tại
những khoảng cách lớn kể từ nguồn, thì phần lớn các thức có ý nghĩa sẽ ψ ( z, ξ ) = B1ψ 1 ( z, ξ ) + B2ψ 2 ( z, ξ ) , (6.4.6)
là những thức không tương tác với đáy (chúng suy yếu nhanh với khoảng
trong đó B1 , B2 là các hằng số.
cách) và do đó các điều kiện biên tại đáy không còn quan trọng nữa.
Thế (6.4.6) vào (6.4.5), ta được phương trình đặc trưng đối với
Ta xem xét đại dương phân tầng phương ngang với trắc diện tốc độ
những giá trị riêng ξ l
âm c( z ) (ở đây 0 < z < h ) giới hạn bởi bề mặt tự do ở bên trên và bởi
Ψ1 ( 0, ξ ) Ψ2 ( h, ξ ) − Ψ2 ( 0, ξ ) Ψ1′( h, ξ ) = 0 ,
′ (6.4.7)
mặt phẳng ngang của đáy cứng tuyệt đối ở bên dưới. Áp suất âm
và quan hệ giữa B1 và B2 đối với một ξ l tùy ý
p = p( r, z ) của nguồn điểm đặt tại điểm r = 0, z = z1 với một đặc
2 2 1/ 2
điểm p = 1 / R, R = [ r + ( z − z1 ) ] B1 = − B2 Ψ2 ( 0, ξ l ) / Ψ1 ( 0, ξ l ) .
tại R → ∞ được mô tả bằng
phương trình Helmholtz Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của phương trình không đồng nhất
2 2
∂p 1 ∂p ∂ p (6.4.1) như tổng của các thức chuẩn
2
+ 2 + k 2 ( z ) p = − δ ( z − z1 ) δ ( r )
+ (6.4.1)
r ∂r ∂z p( r, z ) = ∑ Al H (01) (ξ l r )ψ l ( z),
2
∂r ψ l ( z ) ≡ ψ ( z, ξ l ) .
r (6.4.8)
l
với những điều kiện biên
Để tìm các hệ số kích thích Al của các thức chuẩn, ta thế (6.4.80 vào
⎛ ∂p ⎞
p( r, 0 ) = 0, =0.
⎜⎟ (6.4.2) (6.4.1) và sử dụng phương trình đã biết đối với hàm Hankel
⎝ ∂z ⎠ z = h
Nghiệm của dạng đồng nhất của (6.4.1) có thể tìm bằng phép tách
201 202
- ∞
⎛ d2 2⎞
~( r, ξ ) =
∫0 p( r, z ) J 0 (ξ r ) r dr .
1d 2i (6.5.2)
p
⎜ ⎟ (1)
⎜ dr 2 + r dr + ξ l ⎟ H 0 (ξ l r ) = π r δ ( r ) .
⎝ ⎠ Nếu nhân (6.4.1) với J 0 (ξ r ) rdr và lấy tích phân theo r từ 0 đến ∞ , ta
Kết quả là chúng ta nhận được nhận được (xem chi tiết [6.8, phụ lục 3.3A])
[ ]
∑ Alψ l ( z) = iπ δ ( z − z1 ) . (6.4.9) ~′′ + k 2 ( z ) − ξ 2 ~ = −2δ ( z − z ) (6.5.3)
p p 1
l
trong đó dấu phảy trên chỉ đạo hàm theo z .
Nếu nhân (6.4.9) với ψ m ( z ) , tích phân theo z từ 0 đến h và sử dụng
Hàm ~ thỏa mãn phương trình đồng nhất
p
tính trực giao của các thức chuẩn
~′′ + [ k 2 ( z ) − ξ 2 ] ~ = 0
h
∫0 (6.5.4)
ψ l ( z )ψ m ( z ) dz = 0, l ≠ m, p p
~ phải thỏa mãn
với tất cả z ngoại trừ z1 . Để tìm những điều kiện mà p
ta được
tại z = z1 , ta tích phân (6.5.3) theo z từ z1 − ∆ đến z1 + ∆ và đặt
iπ ψ l ( z1 )
Al = . (6.4.10) ∆ → 0 , nhận được
h
∫0 ψ l2 ( z ) dz
( ~′) z1 + 0 − ( ~′) z1 −0 = −2 . (6.5.5)
p p
Trong (6.4.8) ta có thể sử dụng hàm chuẩn hóa ψ l ( z ) sao cho tích phân Vậy ~ ′ có điểm gián đoạn tại z = z1 . Hàm ~ tự nó, như ta có thể dễ
p p
ở mẫu số của (6.4.10) sẽ bằng đơn vị. Kết quả là, ta có dàng chứng minh, là hàm liên tục
p( r, z ) = π i ∑ψ l ( z1 )ψ (1)
ξ ( ~ ) z1 + 0 = ( ~ ) z1 −0 .
l ( z) H 0 ( l r ) . (6.4.11) (6.5.6)
p p
l
Ta ký hiệu ~1 ( z ) và ~ 2 ( z ) 18 là hai nghiệm của (6.5.4), chọn chúng
p p
sao cho ~1 ( z ) thỏa mãn điều kiện tại bề mặt tự do của đại dương
6.5. BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA TRƯỜNG ÂM TRONG KÊNH p
ÂM NGẦM ~ = 0, z=0 (6.5.7)
p 1
và ~ 2 ( z ) thỏa mãn các điều kiện biên tại đáy.
Bây giờ chúng ta thiết lập những biểu diễn tích phân của trường p
trong kênh âm ngầm đúng đối với những đặc trưng đáy tùy ý.
Nghiệm của (6.5.3) thỏa mãn tất cả những điều kiện cần thiết là
Nghiệm của (6.4.1) có thể được biểu diễn như là tích phân Fourier-
Bessel
∞
~( z, ξ ) J (ξ r ) ξ dξ .
∫0
p( r, z ) = (6.5.1)
p 0
Một hàm ~( z, ξ ) được xác định bằng phép biến đổi nghịch
p
18
Tham số ξ trong đối số của các hàm ~1 ( z ) và ~ 2 ( z ) đã bỏ đi cho ngắn gọn.
p p
203 204
- ~ ~ biểu thức (6.4.11) đối với các thức chuẩn suy ra từ các tích phân (6.5.10).
~( z ) = p2 ( z1 ) p1 ( z ) , 0 ≤ z ≤ z1
p
w Ta di chuyển quãng đường lấy tích phân trong (6.5.10) ở mặt phẳng
(6.5.8)
2 ~2 ( z ) ~1 ( z1 ) phức ξ từ trục số thực đến nửa vòng tròn vô cùng trong nửa không gian
p p
= z > z1
,
w phía trên. Tích phân theo nửa vòng tròn này bằng không và, kết quả là,
trong đó các tích phân trong (6.5.10) được giản hóa thành tổng của các phần dư tại
w = w(ξ ) = ~1 ( z ) ~ 2 ( z ) − ~1 ( z ) ~ 2 ( z )
p′ p′ các cực đơn của biểu thức dưới dấu tích phân. Các cực là những nghiệm
(6.5.9)
p p
của phương trình
là Wronskian.
w(ξ l ) = 0 . (6.6.2)
Nếu thế (6.5.8) vào (6.5.1) và biến đổi tích phân với hàm Bessel
Do đó, ví dụ, đối với trường ở vùng 0 ≤ z ≤ z1 từ (6.5.10) chúng ta
J 0 (ξ r ) thành một tích phân với hàm Hankel H (01) (ξ r ) trong đó các cận
có
là từ − ∞ đến ∞ (như ở mục 4.3), ta được
−1
⎛ ∂w ⎞
~ ~
∞ p ( z ) p ( z)
p( r, z ) = 2π i ∑ ~2 ( z1 , ξ l ) ~1 ( z, ξ l ) ⎜
⎜ ∂ξ ⎟ H 0 (ξ l r ) ξ l .
(1)
p( r, z ) = ∫ −∞ 2 1 1 (6.6.3)
H (01) (ξ r ) ξ dξ , 0 ≤ z ≤ z1 p p ⎟
⎝ ⎠ξl
w l
(6.5.10)
~ ~
∞ p2 ( z ) p1 ( z1 )
Bởi vì Wronskian bằng không tại ξ = ξ l , tồn tại mối phụ thuộc tuyến
p( r, z ) = ∫ −∞ H (01) (ξ r ) ξ dξ , z > z1
w
tính giữa ~ 2 và ~1 , tức ~ 2 ( z, ξ l ) = Al ~1 ( z, ξ l ), Al là một hằng số. Vì
p p p p
Các công thức (6.5.10) cho biểu diễn tích phân của trường âm của một ~ ( z, ξ ) và ~ ( z, ξ ) thỏa mãn cả phương trình (6.4.4) và các
vậy, từng p1 p2
l l
nguồn điểm trong kênh âm ngầm. Các tích phân này có được tính bằng điều kiện biên (6.4.5), tức là, chúng tỷ lệ với ψ l ( z ) . Do đó, ta có thể đặt
những phương pháp khác nhau, bao gồm cả tính toán số trực tiếp. Thông ~ ( z, ξ ) = ψ ( z ), ~ ( z, ξ ) = A ψ ( z ) . (6.6.4)
p p
1 2
thường có thể tách ra bộ phận chính của các tích phân này - các thức l l l l l
chuẩn không suy yếu hoặc ít suy yếu. Bộ phận đó của p( r, z ) , còn gọi là Vì Wronskian (6.5.9) không phụ thuộc vào z , ta có thể xác định nó
tại z nào đó, chẳng hạn z = 0 . Luôn nhớ rằng ~1 ( 0 ) = 0 và giữ ξ trong
p
phổ gián đoạn, quyết định về cơ bản trường âm tại những khoảng cách
đối số, ta có từ (6.5.9)
lớn. Bộ phận khác (phổ liên tục) nếu cần, có thể cũng được ước lượng
w(ξ ) = ~1 ( 0, ξ ) ~2 ( 0, ξ ),
p′
bằng một phương pháp nào đó. p
∂w ∂~1 ( 0, ξ ) ∂~2 ( 0, ξ ) ∂ 2 ~1 ( 0, ξ ) ~ (6.6.5)
p p p
p2 ( 0, ξ ).
= +
6.6. BIẾN ĐỔI BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN THÀNH TỔNG CÁC THỨC
∂ξ ∂ξ ∂z∂ξ
∂z
CHUẨN
Số hạng thứ hai trở thành không nếu ξ → ξ l bởi vì ~ 2 ( 0, ξ l ) =
p
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp đáy cứng tuyệt đối, khi Alψ l ( 0 ) = 0 và kết quả là từ (6.6.4) ta được
~′ ( h) = 0 (6.6.1)
p2
205 206
- −1
−1
⎛ ∂w ⎞
⎡ ∂ξ ( 0 ) ⎤ ⎡ ∂ξ l ( 0) ⎤ h
∫0
⎜
⎜ ∂ξ ⎟ = 2 Al ξ l ψ l2 dz .
p( r, z ) = 2π i ∑ ψ l ( z1 )ψ l ( z ) ⎢ l ⎥ (6.6.7)
(1)
⎢ dξ ⎥ ξ l H 0 (ξ l r ) ⎟
⎝ ⎠ξl
⎣ dz ⎦ ⎣ ⎦
l
Ở đây tích phân bằng đơn vị nếu các hàm ψ l được chuẩn hóa. Khi đó
(6.6.6)
Trong khi đạo hàm theo ξ , ψ l ( 0 ) được giả thiết là được xác định như (6.4.11) rút ra từ (6.6.3).
một hàm của ξ theo quan hệ ψ l ( 0 ) = ~ 2 ( 0, ξ ) / Al (xem ví dụ với ống
p
6.6.1. Dẫn sóng tuyến tính
dẫn sóng tuyến tính dưới đây). Biểu thức (6.6.6) đối với p không thay
Ta áp dụng lý thuyết tổng quát đã phát triển ở trên cho trường hợp
đổi khi z bị thay thế bằng z1 và ngược lại, và thích hợp đối với z
dẫn sóng bề mặt với sự phụ thuộc tuyến tính n 2 ( z ) :
( 0 ≤ z ≤ h ) bất kỳ. Tuy nhiên, biểu thức này không phải luôn luôn thuận
n 2 ( z ) = 1 − 2az, 0 ≤ z ≤ 1 / ( 2a) .
tiện để sử dụng. Cụ thể, nếu trục ống dẫn sóng nằm sâu, có một số thức (6.6.8)
chuẩn với biên độ hàm mũ nhỏ ψ l ( 0 ) tại bề mặt. Trong trường hợp đó,
Đối với tốc độ âm ta có
thuận tiện hơn cả là sử dụng biểu thức (6.4.11), biểu thức này cũng có thể
c( z ) = c0 (1 − 2az ) −1 / 2 , c0 ≡ c( 0), c( z ) = c0 / n( z ) . (6.6.9)
nhận được từ (6.6.3). Nhằm mục đích đó, ta xét (6.4.4) đối với ψ l và một
cách tương tự (6.5.4) đối với ~ 2 ( z, ξ ) . Nhân phương trình thứ nhất với Chúng ta chủ yếu quan tâm tới những thức chuẩn bậc l thấp mà năng
p
~ phương trình thứ hai với ψ , trừ hai kết quả cho nhau và tích phân lượng của chúng tập trung gần biên z = 0 . Trong điều kiện đó ta nhận
p2 l
thấy rằng đối với 2 az
- triển, giữ lại hai số hạng chính. Đối với t > 0 , đặt v ≡ 2 t 3 / 2 , ta có
được sử dụng trước đây trong mục 4.5 và sẽ được dùng sau này trong 3
chương 8, chúng tôi liệt kê một số dữ liệu thích hợp chủ yếu theo gương
⎛ ⎞
5
u( t ) = t −1 / 4 exp ( v) ⎜1 + + ... ⎟,
Fock [6.9]. Có thể tìm thấy sự giới thiệu kĩ hơn về vấn đề này trong công
72v
⎝ ⎠
trình của Jeffreys và Swirles [6.10]. (6.6.15)
⎛ ⎞
1 5
v( t ) = t −1 / 4 exp ( −v) ⎜1 − + ... ⎟.
Ta xét tích phân
2 72v
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1 1
∫Γ exp ⎜ tz − 3 z
3
Z( t ) = ⎟ dz , (6.6.13) Đối với t < 0 , đặt v ≡ 2 ( − t ) 3 / 2 , ta được
π ⎝ ⎠ 3
⎡ ⎤
π⎞ π⎞
⎛ ⎛
5
trong đó quãng đường tích phân Γ trong mặt phẳng z phức đi dọc theo u( t ) = ( − t ) −1 / 4 ⎢cos ⎜ v + ⎟ + sin ⎜ v + ⎟ + ...⎥ ,
4⎠ 72v 4⎠
⎝ ⎝
⎣ ⎦
một cung tia z = −2π / 3 từ vô cùng đến không và sau đó dọc theo trục số
(6.6.16)
thực từ z = 0 đến vô cùng. Tích phân này hội tụ đối với tất cả các giá trị ⎡ ⎤
π⎞ π⎞
⎛ ⎛
5
v( t ) = ( − t ) −1 / 4 ⎢sin ⎜ v + ⎟ − cos ⎜ v + ⎟ + ...⎥ .
phức của t và thỏa mãn (6.6.12). Thật vậy, ta có 4⎠ 72v 4⎠
⎝ ⎝
⎣ ⎦
d2 ⎛ 1⎞
1 Hàm v( t ) được vẽ trên hình 2.7. Các điểm bằng không của nó
∫Γ ( z
2
− t ) exp ⎜ tz − z 3 ⎟ dz
Z( t ) − tZ ( t ) =
2
3⎠
⎝
π
dt t1 , t 2 , t3 , ... âm và bằng t1 = − y l , l = 1, 2..., trong đó y1 = 2,33811 ,
⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 3⎞
−1 y 2 = 4,08795 y3 = 5,52056 . Nếu ta ký hiệu vl =
và
∫Γ exp ⎜ tz − 3 z ⎟ d ⎜ tz − 3 z ⎟ = 0
=
⎝ ⎠⎝ ⎠
π ( 2 / 3)( − t l ) 3 / 2 , l = 1, 2, ... , thì
vì exp ( tz − 1 z 3 ) → 0 tại cả hai cận. ⎛ 1 ⎞ 0,088419 0,08328
3
vl = π ⎜ l − ⎟ + − + ... . (6.6.17)
4l − 1 ( 4l − 1) 3
4⎠
⎝
Giả sử rằng t là thực, ta tách phần thực và phần ảo trong Z ( t ) , đặt
Z( t ) = u( t ) + i v( t ) , (6.6.14) Khi số l tăng lên, công thức này trở thành chính xác hơn.
Để tìm vị trí bằng không của hàm Z ( t ) , ta biến đổi tích phân
với u( t ) và v( t ) là những nghiệm độc lập tuyến tính của (6.6.12) được
(6.6.13). Ta thay thế t bằng t exp ( iπ / 3) và chia tích phân trên đường
gọi là hàm Airy. 19
Γ thành hai tích phân, một từ ∞ exp ( −2π i / 3) đến 0 và tích phân khác
Trong những trích dẫn đã đề cập ở trên đã chỉ ra rằng v( t ) được cho
từ 0 đến ∞ . Ta đưa ra biến tích phân mới s = z exp( ± iπ / 6 ) , trong đó
baởi tích phân (4.5.23), còn những biểu thức khai triển tiệm cận đối với
lấy dấu cộng cho tích phân thứ nhất và dấu trừ cho tích phân thứ hai. Khi
u( t ) và v( t ) tại t lớn cũng có thể thu được. Ta sẽ viết ra những khai
đó ta nhận được
⎧ ( i π / 6) ∞ ⎡⎛ 1 ⎞⎤
Z [ t exp (π i / 3)] = π −1 / 2 exp ( iπ / 6 ) ⎨ ∫ 0 exp ⎢i ⎜ ts − s 3 ⎟⎥ ds
19
Những hàm Ai( t ) ≡ (1 / π ) v( t ) và Bi( t ) ≡ (1 / π ) u( t ) thường được gọi là
3 ⎠⎦
⎣⎝
⎩
các hàm Airy [6.10]
209 210
- 1 ⎞⎤ ⎫
⎡⎛ Phương trình (6.6.6) trong trường hợp đang xét có thể viết thành
( iπ / 6 ) ∞
+ ∫0 exp ⎢- i ⎜ ts − s 3 ⎟⎥ ds⎬ .
v( t l ) v( t1l ) H (01) (ξ l r )
3 ⎠⎦ ⎭ πi
⎣⎝
∑
p( r, z ) = . (6.6.21)
[v′ ( − yl )] 2
H
Ở đây quãng đường tích phân trong cả hai tích phân có thể được di l
chuyển trên trục số thực và kết quả là, nếu tính đến biểu thức dưới dấu Hình 6.9 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ ba thức chuẩn đầu tiên vào
tích phân (4.5.23), ta được đối với v( t ) z . Tọa độ không thứ nguyên z / H được ghi dọc theo trục thẳng đứng.
Z [t exp ( iπ / 3)] = 2 v( − t ) exp ( iπ / 6 ) . (6.6.18) Chúng ta thấy rằng đại lượng H quyết định chiều rộng của ống dẫn sóng
tới một bậc đại lượng.
Do đó những điểm bằng không của hàm Z nằm trên cung tia t = π / 3
Tốc độ pha vl của các thức chuẩn là
tại các điểm y l exp( iπ / 3) .
[ ]
ω −1 / 2
Bây giờ chúng ta trở lại biểu thức đối với các thức chuẩn (6.6.6), = c0 1 − y l / ( k0 H ) 2
vl = . (6.6.22)
ξl
cho hàm v( z, ξ l ) triệt tiêu tại z → ∞ đối với ψ l ( z ) . Các giá trị riêng
được tìm từ phương trình Tốc độ nhóm là
v ( 0, ξ l ) hay v ( t 0 ) = 0 . ⎛ ∂k ⎞
∂ω
= c0 ⎜ 0 ⎟.
ul = (6.6.23)
⎜ ∂ξ ⎟
Nghiệm của phương trình cuối cúng, như ta đã thấy, là t 0 = − y l . Khi đó ∂ξ l ⎝l ⎠
từ (6.6.11) ta tìm được Chú ý tới quan hệ (6.6.11) giữa k0 và ξ l (tham số H cũng phụ thuộc
yl vào k0 ), ta nhận được
ξ l2 = k0 −
2
. (6.6.19)
H2
[ ] [1 − 2 y ] −1
1/ 2
u l = c0 1 − y l / ( k0 H ) 2 / (3k0 H 2 )
2
. (6.6.24)
l
yl 2
< k0 , ξ l là số thực, tức các thức không suy yếu.
Tại
Trong kênh bề mặt đại dương định luật tuyến tính (6.6.18) được
H2
quan sát thấy tới một độ sâu nhất định z , phía dưới nó n( z ) lúc đầu
Ta ký hiệu
giảm chậm hơn với độ sâu và sau đó bắt đầu tăng. Kibblewhite và
z
z
t1l = 1 − y l ,
tl = − yl , (6.6.20) Denham [6.11] đã thực hiện tính toán các đặc trưng truyền âm đối với
H H
trắc diện tuyến tính kép n 2 ( z ) - khi sự giảm tuyến tính của n 2 ( z ) đổi
ở đây z1 , như ở trên, là tọa độ của một nguồn. Ngoài ra, ta chú ý rằng,
thành tăng tuyến tính tại một độ sâu nào đó.
theo (6.6.11)
∂ 1∂ ∂ ∂
= 2 H 2ξ
= .
,
∂ξ
∂z H ∂t ∂t
211 212
- trong đó M ( z ) được biểu diễn như một chuỗi lũy thừa của 1 / k0 , bắt đầu
với lũy thừa bậc không. Sẽ tiện lợi nếu chấp nhận
∞ yv ( z )
∑
z
∫z v=0
M( z) = dz , (6.7.3)
v
k0
0
trong đó y v ( z ) là những hàm chưa biết mới.
Bây giờ thế (6.7.2) vào (6.7.1). Ta có
[ ]
~′′ = i k M ′′ − k 2 ( M ′) 2 exp ( i k M ),
p 0 0 0
∞ ∞
∑ yv / kv0 , ∑ yv / kv0 .
M′ = M ′′ = ′
Hình 6.9. Phụ thuộc của biên độ ba thức chuẩn đầu tiên vào tọa độ không
v= 0 v= 0
thứ nguyên z / H đối với trường hợp kênh âm tuyến tính dưới bề mặt
2 0
Cho hệ số của các lũy thừa k0 và k0 bằng không dẫn tới một
k0 ,
6.7. CÁC THỨC CHUẨN TRONG PHÉP XẤP XỈ WKB: TÍCH PHÂN loạt các phương trình
PHA
y0 = γ 2 ( z ),
2 2
′ ′
− 2 y0 y1 + i y0 = 0, − 2 y0 y 2 − y1 + i y1 = 0 .
Ta đặt k( z ) = k0 n( z ) , trong đó k0 là số sóng tại độ sâu cố định nào Từ đó ta có
đó z = z0 (thường là tại trục kênh). Phương trình (6.5.4) bây giờ là
1
y2 = ± γ −1 / 2 (γ −1 / 2 )′′ .
y1 = i (ln γ 1 / 2 )′,
y0 = ±γ ( z ),
[ ] 1/ 2
2
~′′ + k 2 γ 2 ( z ) ~ = 0, γ = n 2 ( z) − (ξ / k0 ) 2 . (6.7.1)
p p
0
Giới hạn ở hai số hạng đầu của chuỗi trong (6.7.3), ta tìm được từ (6.7.2)
Chúng ta sẽ xét trường hợp các tần số cao và, do đó, k0 lớn. Khi đó,
1/ 2
~( z ) = ⎡ γ ( z0 ) ⎤
nghiệm gần đúng của (6.7.1) có thể tìm trên cơ sở ý tường sau. Ta ký
exp ⎛ ± i k0 γ dz ⎞ .
z
∫z
⎜ ⎟ (6.7.4)
p ⎢ γ ( z) ⎥ ⎝ ⎠
hiệu Z là quy mô thẳng đứng đặc trưng của biến thiên của n( z ) . Đối với ⎣ ⎦ 0
2π
λ0 =
- 4) 0 < z < h . Khu vực mở rộng từ bề mặt tới đáy đại dương. Như
xuất hiện. Để cho xấp xỉ WKB được đúng, thì cần (nhưng hoàn toàn
không đủ) sao cho biểu thức trong cặp dấu ngoặc vuông phải nhỏ hơn đã nói ở trên, chỉ có hai loại thức đầu tiên không tương tác với đáy sẽ là
đơn vị, điều này kéo theo những hạn chế về giá trị của các đạo hàm của đáng quan tâm đối với chúng ta.
γ ( z ) theo z . Nếu sử dụng (6.7.4), nghiệm tổng quát đối với loại thức thứ hai ở
trong các khu vực không có sóng âm z′′ < z < z′ ( γ là số thực) và
Biểu thức (6.7.4) biểu diễn một sự xếp chồng hai sóng truyền không
z > z′ ( γ là số ảo) có thể viết dưới dạng
tương tác trên các hướng ngược nhau. Trong phép xấp xỉ này không có sự
phản xạ trong môi trường không đồng nhất, điều này không bất ngờ bởi
~( z ) = γ −1 / 2 ⎡C exp ⎛ i k z γ dz ⎞
⎜ 0 ∫ z′ ⎟
p
⎢1
vì phép xấp xỉ WKB là một dạng của âm hình học (xem dưới đây). Tích ⎝ ⎠
⎣
phân ở biểu thức mũ trong (6.7.4) cho sự thay đổi pha khi sóng truyền
+ C 2 exp ⎛ − i k0 ∫ z′ γ dz ⎞⎤,
z
z ′′ < z < z ′ (6.7.6)
⎜ ⎟⎥
giữa các độ sâu z0 và z . Nhân tử ở phía trước của hàm mũ khẳng định ⎝ ⎠⎦
rằng định luật bảo toàn năng lượng đối với mỗi sóng được thục hiện
C3 exp ⎛ − k0 ∫ z′ γ dz ⎞,
−1 / 2 z
~( z ) = γ z > z′ .
⎜ ⎟ (6.7.7)
p
(thông lượng năng lượng trên hướng z là hằng số). Phép xấp xỉ WKB đã ⎝ ⎠
được sử dụng ở mục 3.5.
Người ta có thể lấy một giá trị z cố định bất kỳ khác làm cận dưới của
Công thức (6.7.4) hiển nhiên là không đúng tại một độ sâu z bằng các tích phân thay vì z′ , bởi vì chỉ có những hằng số tùy ý C1 , C 2 và C3
hoặc gần một z′ nào đó, nơi γ ( z ′) = 0 , đó là tại độ sâu gọi là độ sâu
thay đổi giá trị. Nếu ta đặt z′′ = 0 , (6.7.6) cũng trở thành áp dụng được
quay trở lại hoặc ở lân cận độ sâu đó. cho loại thức thứ nhất.
Chúng ta sẽ không sử dụng phép xấp xỉ WKB để phân tích trường Hai số hạng trong (6.7.6) tương ứng với các sóng truyền trong
âm trong ống dẫn sóng. Trong trường hợp đó ta phải luôn nhớ rằng có thể hướng z dương hoặc âm. Biểu thức (6.7.7) mô tả một sóng suy yếu theo
có loại thức chuẩn tùy thuộc vào khu vực các độ sâu mà một thức chuẩn hàm mũ khi z tăng. Các hằng số C1 và C2 có thể được biểu diễn qua
đã cho tập trung vào (những độ sâu, nơi γ l = γ (ξ l ) là số thực): C3 nếu sử dụng điều kiện liên tục của các trường cho bởi (6.7.6) tại
1) 0 < z < z ′ . Khu vực bị giới hạn bởi bề mặt nước từ phía trên và z = z′ . Ví dụ, có thể thực hiện điều đó bằng cách mô tả một trường trong
l
độ sâu quay trở lại z ′ , tại đó γ l ( z ′ ) = 0 từ phía dưới. khu vực gần với z′ bằng các hàm Airy. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không
l l
làm điều đó ở đây, mà viết ngay kết quả (xem [6.12, mục 24], ở đó C4
2) z ′′ < z < z ′ . Khu vực bị giới hạn bởi hai độ sâu quay trở lại
l l
thay cho C3 )
γ l ( z ′ ) = γ l ( z ′′ ) = 0 . Tại đáy và tại bề mặt nước trường của một thức
l l
C1 = C3 exp ( iπ / 4 ), C 2 = C3 exp ( − iπ / 4 ) . (6.7.8)
chuẩn nhỏ theo hàm mũ.
3) z ′′ < z < h . Khu vực bị giới hạn bởi độ sâu quay trở lại z ′′ từ Phương trình (6.7.7) không phải là không đáng quan tâm đối với chúng
l l
phía trên và bởi đáy từ phía dưới. ta, và (6.7.6) có thể viết thành
215 216
- một sóng tới từ phía dưới ở độ sâu z = z′ . Hàm mũ thứ hai mô tả một
~( z ) = 2C γ −1 / 2 cos ⎛ k z γ dz − π / 4 ⎞ ,
⎜ 0 ∫ z′ ⎟ (6.7.9)
p
⎝ ⎠
3
sóng lan truyền trong hướng z dương (sóng phản xạ). Đòi hỏi rằng tỷ số
của hàm mũ thứ nhất và hàm mũ thứ hai tại z = z′′ bằng exp( iπ / 2 )
trong đó C3 vẫn chưa được xác định.
nhân với 1 = exp( 2πi l ) ( l là một số nguyên hoặc số không) sẽ cho
Để nhận được các thức chuẩn ψ l ( z ) từ biểu thức sau cùng đối với
~( z ) các điều kiện biên phải được thỏa mãn tại z = 0 đối với thức loại phương trình
p
thứ nhất và tại z = z′′ đối với thức loại hai. Ở trường hợp thứ nhất chúng z′
k0 ∫ z′′ γ l ( z )dz = π ( l + 1 / 2 ), l = 0,1, 2, ... .
l
(6.7.12)
ta phải đòi hỏi ~( 0 ) = 0 để thu được
p l
Bây giờ từ (6.7.9) ta nhận biểu thức cho các hàm riêng (các thức
z′
k0 ∫ 0 γ l dz = π ( l − 1 / 4 ), l = 1, 2, 3, ... (6.7.10)
l
chuẩn)
π⎞
⎛
trong đó, theo (6.7.1) z′
ψ l ( z) = 2C3γ l−1 / 2 cos ⎜ k0 ∫ z γ l dz − ⎟, (6.7.13)
4⎠
⎝
1/ 2
⎡ ξ2⎤
γ l = ⎢n 2 ( z ) − l2 ⎥ . (6.7.11) ở đây γ l = γ l ( z ) được xác định thông qua ξ l từ (6.7.11), và ξ l được
⎢ k0 ⎥
⎣ ⎦
tìm từ (6.7.10, 12) tuần tự đối với các loại sóng thứ nhất và thứ hai.
Biểu thức ở vế trái của (6.7.10) được gọi là tích phân pha, do đó, nhờ h
∫0 ψ l2 dz = 1 .
Hằng số C3 được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
biểu thức này mà phương trình cho các cực được viết trong phép xấp xỉ
WKB. Tuân theo những giả thiết của ở trên, chúng ta có thể thực hiện tích phân
ở đây, nếu ta đặt các cận gần đúng của tích phân bằng khoảng 0, z ′ đối
Để nhận được một phương trình tương tự cho thức loại hai, ta giả sử l
′′ >> 1 , tức độ sâu quay trở lại đủ xa bề mặt để cho các thức chuẩn
k0 z với thức loại một. Do đó
hoàn toàn không tương tác. Điều kiện biên tại z = z′′ có thể được phát π⎞
⎛
4C3 ∫ 0 [γ l ( z )] cos 2 ⎜ k0 ∫ z γ l dz − ⎟ dz = 1 .
z′
2 zl −1
biểu như sau (mục 3.5): một sóng phản xạ tại độ sâu này chậm pha một 4⎠
⎝
lượng π / 2 sau một sóng tới. Ta biểu diễn cosin trong (6.7.9) thành một
Giả sử rằng trong phạm vi một chu kỳ của cosin γ l ( z ) có thể xem như
tổng của hai hàm mũ
một hằng số (bậc l của một sóng càng cao thì giả thiết này càng tốt),
π i⎞
π⎞ 1 ⎛
⎛ z′ z′
cos ⎜ k0 ∫ z γ dz − ⎟ = exp ⎜ i k0 ∫ z γ dz − ⎟ chúng ta có thể thay thế bình phương của cosin bằng 1/2 - giá trị trung
4⎠ 2 4⎠
⎝ ⎝ bình của nó trong chu kỳ). Nếu tính đến giá trị γ l ( z ) từ (6.7.11), ta nhận
π i⎞
⎛
1 z′
được
+ exp ⎜ − i k0 ∫ z γ dz + ⎟.
2 4⎠
⎝ −1 / 2
⎡2 ξ2⎤
z′
∫0
2
n ( z ) − l2 ⎥ dz = 1 .
l
(6.7.14)
2C 3 ⎢
Ở đây hàm mũ thứ nhất là một sóng lan truyền trong hướng z âm, tức
⎢ k0 ⎥
⎣ ⎦
217 218
- sin 3 χ l = ( 2 a / k0 ) y l3 / 2 .
Tích phân này có một ý nghĩa vật lý đơn giản nếu chúng ta tham chiếu tới (6.7.18)
các phép biểu diễn tia. Nếu biểu diễn θ thông qua góc mở
Phương trình (6.7.17) sẽ phù hợp với (6.7.18) nếu trong (6.6.17) đối với
χ l = π / 2 − θ , chúng ta nhận được từ (2.3.2)
v1 = ( 2 / 3) y l3 / 2 chỉ có số hạng thứ nhất của một chuỗi được giũa lại.
z′
∫0 ( n 2 − cos 2 χ l ) −1 / 2 dz ,
Dl = 2 cos χ l (6.7.15)
Ta thấy từ (6.6.17) rằng phép gần đúng WKB cho những giá trị
chính xác hơn của các cực ξ l đối với l lớn hơn. Thậm chí đối với l = 1
đó là độ dài chu trình của tia đi từ độ sâu z = 0 với góc
χ l = arccos( ξ l / k0 ) (xem hình 3.8). Nếu so sánh (6.7.14) và (6.7.15), ta giá trị xấp xỉ này cũng khá tốt. Mặt khác, đối với những r đủ lớn thậm
chí một sai số nhỏ trong ξ l dẫn đến một sai số trong pha của một sóng
2
= cos χ l / Dl .
được C3
ξ l r . Do đó, đối với một thức chuẩn của số l lớn bất kỳ có một khoảng
Thế (6.7.13) vào (6.4.11) và chú ý tới giá trị của C3 , ta được
r mà tại đó phép gần đúng WKB bị phá vỡ. Phân tích đầy đủ hơn về vấn
ξ l H 01) (ξ l r ) π⎞
(
⎛ z′
đề này có trong [6.12, mục 48.5].
p( r, z ) = 4π i ∑ cos ⎜ k0 ∫ z γ l dz − ⎟
l
k0 Dl [γ l ( z )γ l ( z1 )]
1/ 2
4⎠
⎝ Một cách tương tự, chúng ta có thể chỉ ra rằng (6.6.21) đối với
l
những thức chuẩn trong ống dẫn sóng tuyến tính sẽ phù hợp với (6.7.16)
π⎞
⎛ z′
× cos ⎜ k0 ∫ z γ l dz − ⎟ . (6.7.16)
l
nếu trong (6.6.21) chúng ta sử dụng một biểu diễn tiệm cận của hàm v( t )
4⎠
⎝ 1
tại t < 0 (6.6.16)
Biểu thức này cũng đúng đối với thức loại hai, nhưng cận dưới ở các tích
phân trong (6.7.14, 15) phải lấy bằng z ′′ chứ không phải là z = 0 . Tất cả π⎤
⎡2
v( t ) = ( − t ) −1 / 4 sin ⎢ ( −t ) 3 / 2 + ⎥ ,
l
các thức chuẩn có một đóng góp đáng kể vao giá trị của p( r, z ) trong ⎣3 4⎦
(6.7.16) phải được tính đến. Đối với những thức loại một, đó là những π⎤
⎡2
− v′( t ) = ( −t ) −1 / 4 cos ⎢ ( −t ) 3 / 2 + ⎥ , (6.7.19)
thức chuẩn mà z, z1 < z ′ . Đối với thức loại hai một điều kiện tương tự là
⎣3 4⎦
l
z ′′ < z < z ′ , z ′′ < z1 < z ′ .
l l l l
và lưu ý điều đó trong (6.7.16), theo (2.3.2), trong trường hợp đã xét
Chúng ta lại tham chiếu tới sự dẫn sóng tuyến tính cho bởi định luật
chúng ta có
(6.6.8). Nếu thế biểu thức này vào phương trình của các cực (6.7.10), đặt
Dl = (1 / a) sin χ l . (6.7.20)
ξ l = k0 cos χ l và chú ý rằng k( z ) = k0 n( z ) , ta nhận được sau một tích
phân cơ bản 6.7.1. Các thức chuẩn và các tia
3
sin χ l = (3aπ / k0 )( l − 1 / 4 ) . (6.7.17) Về ý nghĩa, phép gần đúng WKB là một hình thức khác của âm hình
học. Để minh họa khẳng định này, chúng ta chỉ ra ràng mỗi thức chuẩn
Mặt khác, trong lý thuyết chính xác về kênh âm tuyến tính, từ (6.6.19),
nếu lại biểu diễn ξ l thông qua χ l , ta có trong (6.7.16) tương ứng với một hệ thống các tia. Thật vậy, nếu các hàm
219 220
- cosin trong (6.7.16) được thay thế bởi một tổng của các hàm mũ, và hàm
Hankel bởi biểu diễn tiệm cận của nó, thì một biểu thức cho mỗi thức
chuẩn sẽ chứa bốn số hạng. Pha của từng số hạng là (bỏ qua một số hằng
số bổ sung)
z′ z′
ϕ l ( r, z, z1 ) = ξ l r ± k0 ∫ z γ l dz ± k0 ∫ z γ l dz . (6.7.21)
1
Theo định nghĩa, các tia là những đường trực giao với các front
sóng, tức với các bề mặt mà ở đó ϕ l = const . Nói một cách khác đi,
vectơ đơn vị e tiếp tuyến với một tia có cùng hướng như ∇ϕ l Hình 6.10. Hệ thống các tia tương ứng với thức chuẩn bậc l
∇ϕ l Người ta có thể xét vấn đề về sự tương đương của các tia và các
e= .
∇ϕ l thức chuẩn từ quan điểm khác và cho thấy rằng một tia có thể được biểu
diễn như một sự xếp chồng các thức chuẩn có bậc lân cận nhau. Thật vậy,
Nhưng từ (6.7.21) ta có
hãy giả sử rằng tại một điểm nào đó ( r, z ) thức l và thức lân cận có pha
[ ] 1/ 2
∇zϕ l = ± k0 γ l m k0 n 2 ( z ) − cos 2 χ l
∇rϕ l = ξ l = k0 cos χ l , , gây nên cực đại địa phương của trường âm (“sự giao thoa tích cực”). Nếu
∇ϕ = k0 n( z ), e r = cos χ l / n( z ) . (6.7.22) ta rời khỏi điểm đó giữ nguyên tại cùng độ sâu z , thì các thức chuẩn trở
thành khác pha do các tốc độ pha của chúng khác nhau, và mức âm sẽ
Ta ký hiệu χ l ( z ) là góc giữa một tia và độ sâu z (góc mở). Rõ ràng là
thấp hơn. Tuy nhiên, nếu thay đổi cả z , chúng ta có thể đạt đích tại điểm,
cos χ l ( z ) = e r hay nếu chú ý tới (6.7.22)
nơi các thức lại trùng pha. Ta sẽ chứng minh, tuân theo công trình của
n( z ) cos χ l ( z ) = cos χ l . (6.7.23) Tindle và Guthrie [6.13], rằng một quỹ tích mà tại đó các thức trùng pha
sẽ là một tia. Nếu số lượng thức lớn, đó là trường hợp phép gần đúng
Kết quả là chúng ta có định luật Snell quen thuộc cho một tia. Hình 6.10
WKB được áp dụng, thì thay đổi pha ϕ l ( r, z, z1 ) theo l có thể được ước
biểu diễn một hệ thống các tia tương ứng với thức chuẩn thứ l .
∂ϕ l
lượng bằng đạo hàm . Các thức sẽ giao thoa tích cực nếu chênh lệch
∂l
pha giữa các thức l và l + 1 bằng − 2π m , với m là số nguyên, tức
∂ϕ l
= −2π m .
∂l
Nếu sử dụng ϕ l từ (6.7.21) và γ l từ (6.7.11), bằng cách lấy đạo
221 222
nguon tai.lieu . vn
