Xem mẫu
- CHƯƠNG 14: NGUYÊN LÝ ĐALAMBER
I. NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM.
1. Lực quán tính đối với chất điểm.
uur
Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động với gia tốc W dưới tác dụng của lực
r r
F (trong trường hợp có nhiều lực cùng tác dụng thì F là hợp lực của những lực ấy). Theo
r uur r uur
( )
tiên đề 2 Niutơn ta có: F = m.W hay F + −m.W = 0 .
r qt uu
r
Vế trái đẳng thức này có thứ nguyên là lực, đặt F = −m.W và gọi là lực quán tính
của chất điểm.
Định nghĩa: Lực quán tính của chất điểm là một đại lượng vectơ có cùng phương,
ngược chiều với vectơ gia tốc của chất điểm và có giá trị bằng tích số giữa gia tốc của
r qt uur
chất điểm và khối lượng của nó. F = −m.W (14.1)
Fx = −m.Wx
qt
Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ đề các ta thu được: Fyqt = −m.Wy (14.2)
F = −m.W
qt
z z
qt dV
Fτ = −m.Wτ = −m. dt
V2
Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ tự nhiên ta thu được: Fnqt = −m.Wn = −m.
ρ
Fb = 0
qt
(14.2)
Thành phần Fτqt được gọi là lực quán tính tiếp, thành phần Fnqt gọi là lực quán tính
pháp hay còn được gọi là lực ly tâm.
2. Nguyên lý Đalamber đối với chất điểm.
rr r
( )
Xét chất điểm có khối lượng m, chịu tác dụng của hệ lực F1 , F2 ,..., Fn chuyển động
uu
r
với gia tốc W . Nguyên lý Đalamber đối với chất điểm được phát biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của nó tạo thành
rr r r qt
)
(
F1 , F2 ,..., Fn , F ≡ 0
một hệ lực cân bằng. (14.3)
II. NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CƠ HỆ.
r
Xét cơ hệ gồm các chất điểm M1 , M 2 ,..., M n . Gọi FK là hợp lực của các lực đặt vào
uu
r
chất điểm M K (có khối lượng tương ứng m K ) gây ra gia tốc W K . Lực quán tính của chất
r qt uu
r r r qt
)
(
điểm M K là FK = −m K .W K . Theo nguyên lý Đalamber với chất điểm ta có: FK , FK = 0 .
rr r r qt r qt r qt
)
(
Cho K chạy từ 1 → n và cộng từng vế ta được: F1 , F2 ,..., Fn , F1 , F2 ,..., Fn = 0 .
Nguyên lý Đalamber đối với cơ hệ được phát biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên chất điểm của cơ hệ và các lực quán tính của
các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng.
23
- rr r r qt r qt r qt
( F , F ,..., F , F , F ,..., F ) = 0 (14.4)
1 2 n 1 2 n
III. PHƯƠNG PHÁP TĨNH – ĐỘNG LỰC VÀ PTCB TĨNH-ĐỘNG LỰC.
1. Nội dung phương pháp.
Khi hệ lực cân bằng thì vectơ chính và mômen của hệ lực với một tâm bất kỳ bằng
r r qt
)
(
∑ F K + FK = 0
không do vậy theo nguyên lý Đalamber ta có:
rr r qt
)
(
.
∑ m O F K + FK = 0
Nếu phân hệ lực thành nội lực và ngoại lực ta được:
r e r i r qt
)
( r r r
∑ FK + FK + FK = 0 Fe + FiK + Fqt = 0
∑K ∑ ∑K
⇔ r re r ri r r qt
() () ()
r r e r i r qt
)
( ∑ m O F K + ∑ m O FK + ∑ m O F K = 0
∑ m O FK + FK + FK = 0
ri r ri
()
Nhưng theo (10.4) thì ∑ FK = 0 và ∑ m O FK = 0 nên ta có:
r r
Fe + Fqt = 0
∑K ∑K
r re r r qt
() ()
(14.5)
∑ m O FK + ∑ m O FK = 0
Trong hệ trên không có mặt của nội lực nên trong nhiều trường hợp rất thuận tiện để
giải quyết các bài toán. Tuy nhiên để sử dụng (14.5) ta cần biết biểu thức vectơ chính và
mômen chính của hệ lực quán tính.
2. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn.
ur qt r qt uu
r
Vét tơ chính của vật chuyển động bất kỳ bằng: R = ∑ F = −∑ m K .W K .
uu
r r
Theo (12.1) thì: ∑ m K .W K = M.rC . Lấy đạo hàm hai lần theo t đẳng thức trên ta
được:
r
r uu
r uu
r
dr dr
∑ dt
m K . K = M. C ⇔ ∑ m K .W K = M.W C .
dt
ur qt uur
Thay vào ta có: R = − M.W C . (14.6)
Vét tơ chính của các lực quán tính của hệ chuyển động bất kỳ có hướng ngược với
gia tốc khối tâm của hệ và có độ lớn bằng tích khối lượng cơ hệ với gia tốc khối tâm cơ hệ.
Đối với mômen chính ta phải xét từng trường hợp riêng vì mômen chính phụ thuộc
tâm thu gọn.
a, Vật chuyển động tịnh tiến.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm C là:
uu qt
r r r qt r r qt uu r r uu r
() r
( )
M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = ∑ rK ∧ − m K .W K = −∑ m K .rK ∧ W K
uu qt
r uu
r
uu
r uu
r r
Mà W K = W C vì vật chuyển động tịnh tiến nên: M C = − W C ∧ ∑ m K .rK
r r r
Mặt khác ∑ m K .rK = M.rC , vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên rC = 0 vậy :
uu qt
r
MC = 0
ur uu
r
R qt = − M.W C
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì: uu qt
r (14.7)
M C = 0
24
- b, Vật quay quanh trục cố định.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với tâm quay O là:
uu qt
r r r qt r r qt uu
r r uu r
() r
( )
M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = ∑ rK ∧ − m K .W K = −∑ m K .rK ∧ W K
r uu n r
uur uu n uu τ
r r uu qt
r uu n uu τ
r r
)
(
r
Mà W K = W K + W K nên M C = −∑ m K .rK ∧ W K + W K mà rK ∧ W K vì song song
uu qt
r r uu τ
r r rr r r
nhau, vậy M C = −∑ m K .rK ∧ W K = −∑ m K .rK ∧ ( ε ∧ rK ) = −ε.∑ m K .rK = −J zO .ε .
2
ur uur
R qt = − M.W C
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì: uu qt
r (14.8)
r
M C = −J zO .ε
c, Vật chuyển động song phẳng.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm C là:
uu qt
r r r qt r r qt uu
r
() r
( )
M C = ∑ m C FK = ∑ rK ∧ FK = −∑ rK ∧ m K .W K
uu r uu
r uu n r uu τ
r
Mà W K = W C + W KC + W KC nên:
uu qt
r uu
r uu nr uu τ
r uur
)
(
r r r rr
( )
M C = −∑ rK ∧ m K . W C + W KC + W KC = −∑ rK ∧ m K . W C + ω2 .rK + ε ∧ rK
r r r rr r2
Ta có rK ∧ m K . ( ω2 .rK ) = 0 (hai vectơ song song) và rK ∧ ( ε ∧ rK ) = ε.rK , thay vào ta
được:
uu qt
r uurr uu
r
r rr
( )
M C = −∑ rK ∧ m K .W C + ε.m K .rK = − W C ∧ ∑ m K .rK − ε ∑ m K .rK
2 2
r r r
Mà ∑ m K .rK = M.rC , vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên rC = 0 vậy:
uu qt
r r r
M C = −ε.∑ m K .rK = − J zC .ε
2
ur uur
R qt = − M.W C
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì: uu qt
r (14.9)
r
M C = −J zC .ε
25
nguon tai.lieu . vn
