Xem mẫu
- III. HỆ ĐƠN VỊ CƠ HỌC VÀ HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC.
1. Hệ đơn vị cơ học.
Ở nước ta đã ban hành bảng đơn vị đo lường hợp pháp, xây dựng trên cơ sở hệ đơn vị
quốc tế SI. Theo bảng đơn vị này các đại lượng cơ bản trong cơ học là: độ dài, khối lượng và
thời gian. Các đơn vị cơ bản tương ứng là mét (m), kilôgam (kg) và giây (s). Lực là đơn vị
dẫn xuất, để tìm đơn vị của đại lượng dẫn xuất ta dùng phương trình F = m.W .
Với m=1kg, W=1m/s2 thì F=1 kg.1m/s2 =1kg.m/s2, nó được gọi là Niutơn, ký hiệu là
N. Như vậy Niutơn là lực gây cho vật cho vật có khối lượng 1kg gia tốc là 1m/s2.
Đơn vị của các đại lượng khác được xác định nhờ mối quan hệ của nó với các đơn vị cơ
bản.
2. Hai bài toán cơ bản động lực học.
Động lực học nhằm giải quyết hai bài toán cơ bản sau:
- Bài toán thuận: Cho biết chuyển động của vật thể, tìm lực tác dụng gây ra chuyển động
đó.
- Bài toán nghịch: Cho biết các lực tác dụng lên vật thể và các điều kiện ban đầu, xác
định chuyển động của vật thể.
CHƯƠNG 11: PT VI PHÂN CHUY ỂN ĐỘNG
VÀ CÁC BÀI TOÁN C Ơ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC
I. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM.
Xét chất điểm có khối lượng m, chuyển động tự do đối với hệ quy chiếu quán tính
r rr r
Oxyz dưới tác dụng của hệ lực F ≡( F1 , F2 ,..., Fn ). Nếu chất điểm không tự do thì ta giải
phóng các liên kết và thay bằng các phản lực liên kết tương ứng.
1. Dạng vectơ.
uu r
r r r
&&
∑ F = m.&& . (11.1)
Theo (6.3) ta có W=r , vậy (10.2) được viết dưới dạng vectơ là r
2. Dạng tọa độ Đêcác.
Wx = &&
x
Theo (6.7) ta có Wy = && .
y
Wz = &&
z
∑ FKx = m.&&
x
Thay vào (10.2) và chiếu lên ba trục tọa độ ta được: ∑ FKy = m.&&
y (11.2)
∑ FKz = m.&&
z
Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thì số
phương trình còn lại hai hoặc một.
3. Dạng tọa độ tự nhiên.
∑ FKτ = m.W τ
Chiếu (10.2) lên các trục tọa độ tự nhiên ta được: ∑ FKn = m.W n .
F = m.W b
∑ Kb
3
- ∑ FKτ = m.v = m.s
&&
&
v2
Thay các giá trị của W τ , W n , W b từ (6.10) vào ta được: ∑ FKn = m. (11.3)
ρ
∑ FKb = 0
II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐIỂM.
1. Bài toán thứ nhất – Bài toán thuận.
Bài toán này cho biết chuyển động của vật thể và khối lượng của vật, ta cần tìm lực tác
dụng gây ra chuyển động đó. Để giải bài toán này ta dùng phương trình cơ bản của động lực
học.
Giả sử chuyển động của chất điểm được cho bởi các phương trình:
x = x (t) , y = y(t) ,z = z(t) .
Đạo hàm hai lần ta được &&, && && , thay vào (11.2) ta tìm được lực tác
x y, z
Z
dụng.
a, Ví dụ 1: Người ta kéo một vật nặng có trọng lượng P đi lên
nhanh dần với gia tốc W. Hãy xác định sức căng của dây.
Bài giải: Coi vật nặng là một chất điểm. Các lực tác dụng lên vật
u
r u
r u
r
T uu r
nặng gồm trọng lực P và sức căng dây T . Viết phương trình cơ bản của
W
động lực học (10.2) cho vật nặng ta có:
uu u u
rrr P uu u u
rrr u
r
m.W = P + T ⇔ .W = P + T . P
g
W
P P
Chiếu hai vế lên trục z ta được: .W = T − P ⇒ T = P + .W = P 1 + .
g
g g
− Nếu vật đi lên nhanh dần hay đi xuống chậm dần thì W>0 ⇒ T = P (1 + W g ) .
− Nếu vật đi lên chậm dần hay đi xuống nhanh dần thì W
- 2. Bài toán thứ hai – Bài toán ngược.
Bài toán này cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện ban đầu, ta cần xác
định chuyển động của chất điểm. Để giải bài toán này ta dùng phương trình cơ bản của động
lực học, sau đó tích phân lên để tìm phương trình chuyển động. Kết hợp với các điều kiện ban
đầu để tìm các hằng số tích phân.
a, Ví dụ 1: Một quả cầu khối lượng m rơi tự do không vận tốc đầu từ điểm O
dưới tác dụng của trọng lực. Xác định chuyển động của quả cầu. O
Bài giải: Khảo sát chuyển động của quả cầu.
Các điều kiện ban đầu: t = 0 thì z = 0 và V = 0 .
Viết phương trình cơ bản động lực học cho quả cầu ta có:
uu P uu
r r u
r
P
P = m.W = W . Chiếu lên phương trục z ta có: P = W hay W = g P
g g
dV
⇔ W= = g ⇒ dV = g.dt ⇒ V = g.t + C1 (1)
dt
Z
g.t 2
dz
⇒ dz = V.dt = ( g.t + C1 ) dt ⇒ z =
Mặt khác V = + C1.t + C2 (2)
dt 2
Tại t = 0 thì V = 0 thay vào (1) ta có C1 = 0 , Tại t = 0 thì z = 0 thay vào (2) ta có
C2 = 0 .
g.t 2
Vậy chuyển động của quả cầu là: z = với vận tốc là V = g.t .
2 ur
b, Ví dụ 2: Một viên đạn được bắn lên với vận tốc đầu V 0 hợp với phương ngang một
góc α. Bỏ qua sức cản không khí tìm
Z
chuyển động của viên đạn.
ur
Bài giải: Chọn hệ trục Oxz như hình ur M V
u
r
vẽ. Tại thời điểm t = 0 , ta có V0 Η
P
x ( 0 ) = 0 , z ( 0 ) = 0 , x ( 0 ) = Vx = V0 cosα , α
& X
O
z ( 0 ) = Vz = V0 sin α .
& L
u
r
Lực tác dụng lên viên đạn chỉ có trọng lực P . Viết phương trình cơ bản của động lực học
cho viên đạn ta được:
&& && = 0
m.x = Px = 0 x
⇔
&& (a)
&& = −g
m.z = − Py = −P = − m.g z
Tích phân hai vế hệ phương trình (a) ta được:
& &
x = C1 (1); x = C1 .t + C2 (2); z = −g.t + C3 (3);
t2
z = −g. + C3 .t + C4 (4).
2
Thay các điều kiện đầu vào ta tìm được: C1 = V0 cosα ; C2 = 0 ; C3 = V0 sin α ; C4 = 0 .
Thay vào ta tìm được chuyển động của viên đạn là:
x = ( V0 cosα ) .t
.
t2
z= − g. + ( V0 sin α ) .t
2
g
Khử tham số t ta được: z = − .x 2 + x.tgα , như vậy quỹ đạo viên đạn là parabol
2V02 .cos2 α
qua gốc tọa độ.
Tầm cao và tầm xa của viên đạn được xác định theo các công thức sau:
5
- V02 .sin 2 α V2
H= ; L = 0 sin 2α
2.g g
III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ.
Khảo sát cơ hệ gồm n chất điểm, tùy theo cách phân loại lực tác dụng lên hệ ta có các
dạng khác nhau.
1. PTVP chuyển động của cơ hệ khi phân thành nội lực và
ngoại lực.
ri re
Gọi hợp lực của các nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ K là FK và FK .
uu
r ri re
Phương trình cơ bản của động lực học tác dụng lên chất điểm thứ K là: m K .W K = FK + FK .
Tương tự lập phương trình cơ bản của động lực học cho các chất điểm khác ta có hệ
phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ như sau:
uu r ri re
m .W1 = F1 + F1
uu r rr
1
m .W 2 = Fi2 + Fe
2 2
(11.4)
...........................
uu r ri re
m n .W n = Fn + Fn
2. PTVP chuyển động của cơ hệ khi phân thành lực hoạt động
và lực liên kết.
ra
Gọi hợp lực của các lực hoạt động và lực liên kết tác dụng lên chất điểm thứ K là FK
ur
và N K . Phương trình cơ bản của động lực học tác dụng lên chất điểm thứ K là:
uur r a ur
m K .W K = FK + N K .
Tương tự lập phương trình cơ bản của động lực học cho các chất điểm khác ta có hệ
phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ như sau:
uu r r a ur
m .W1 = F1 + N1
uu r r ur
1
m .W 2 = Fa + N 2
2 2
(11.5)
...........................
uu r r a ur
m n .W n = Fn + N n
6
nguon tai.lieu . vn
