Xem mẫu
- CHƯƠNG 5: TRỌNG TÂM
I. TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG.
1 Định lý về hợp lực hệ lực song song.
Trường hợp hệ lực song có hợp lực, nếu giữ nguyên điểm đặt, cường độ và quan hệ
song song giữa các lực thành phần nhưng thay đổi phương chung của chúng một cách tuỳ
ý, thì hợp lực cũng thay đổi phương theo nhưng luôn đi qua một điểm C cố định. Điểm C
đó được gọi là tâm hệ lực song
r
song. A2 F3
Chứng minh:
r
Xét hệ lực song song bất kỳ
uu
rr u
r F2
( )
F1 , F 2 ,..., F n trong không gian, C1
ur
C
đặt tại các điểm tương ứng ur A3 R2
An
A1 , A 2 ,..., A n . R1
ur
Ta lần lượt hợp các lực không A1
r R
tạo thành ngẫu lực từng đôi một. r
r u
r ur C2
F1
Hợp lực F1 và F 2 ta được R1 Fn
đặt tại C1 nằm trên A1,A2.
uuuuu r
C1A1 F
R1 = F1 + F2 và uuuuu = − 2 (a).
r
F1
C1A 2
ur ur ur
Tiếp tục hợp R1 và F1 ta được R 2 đặt tại C2 nằm trên C1A3. Với :
uuuuu r
F F
C 2C1
R 2 = R 1 + F3 = F1 + F2 + F3 và uuuuur = − 3 = − 3 (b)
F1 + F2
R1
C2 A 3
ur
Tiếp tục hợp lần lượt các lực ta được R ( n −2 ) đặt tại C( n − 2) . Tiếp tục hợp lực này với
u
r ur
F n ta được hợp lực R của hệ đặt tại điểm C thuộc C( n −2) A n với :
uuuuuuur
CC( n −2) F Fn
R = R n −2 + Fn = F1 + F2 + L + Fn và uuuur = − n = (c)
R ( n −2) F1 + F2 + L + F( n −1)
CA n
uuuuur uuur
Gọi OA K là vectơ định vị điểm AK và OC là vectơ định vị điểm C. Từ (a) ta có:
uuuuur uuuuur uuuu uuuu
r r uuuur uuuu r
C1A1.F1 + C1A 2 .F2 = 0 ⇔ (OA1 − OC1 ).F1 + (OA 2 − OC1 ).F2 = 0
uuuu r uuuur uuuur
⇔ OA1.F1 + OA 2 .F2 = OC1 (F1 + F2 ) (a’)
Biến đổi (b), (c) tương tự ta cũng được :
uuuu r uuuur uuuur
OC1 (F1 + F 2 ) + OA 3 .F3 = OC2 (F1 + F2. + F3 ) (b’)
uuuuuur uuuur uuur
OC n − 2 .(F1 + F2 + L + Fn −1 ) + OA n .Fn = OC(F1 + F2 + L + Fn ) (c’)
uuuu r uuuur
uuuu OA .F + OA .F
r
Biến đổi (a’) thành: OC1 = thay vào (b’) ta được:
11 22
F1 + F2
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
OA1.F1 + OA 2 .F2
.(F1 + F2 ) + OA 3 .F3 = OA1.F1 + OA 2 .F2 + OA 3 .F3 = OC 2 (F1 + F2. + F3 )
F1 + F2
Tiếp tục biến đổi tương tự ta được:
uuuur uuuur uuuur uuur
OA1.F1 + OA 2 .F2 + L + OA n .Fn = OC(F1 + F2. + L + Fn ) (5.1)
31
- Rõ ràng vị trí điểm C không phụ thuộc vào phương chung của các vectơ thành phần
mà chỉ phụ thuộc giá trị đại số của các lực và điểm đặt của chúng. Như vậy định lý đã được
chứng minh.
2 Tâm hệ lực song song.
n uuuur
uuu ∑ OA k .Fk
r
Từ (5.1) ta rút ra: OC = k =1 n .
∑ Fk
k =1
r r
Nếu gọi rK là vectơ định vị điểm AK và rC là vectơ định vị điểm C thì : Điểm hình học C
được gọi là tâm của hệ lực song song được xác định theo công thức:
r
n
∑ F k .rk
r
rC = k =1n (5.2).
∑ Fk
k =1
Chiếu lên các phương ta được:
∑ x k .Fk ∑ y .F ∑ z .F
k k k k
xC = k ; yC = =
k k
(5.3)
; zC
∑ Fk ∑F ∑F
k k
k k k
II. TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN.
1. Định nghĩa trọng tâm của vật.
u
r
Khảo sát vật rắn nằm gần mặt đất chịu tác dụng của trọng lực P hướng về tâm quả
đất. Chia vật rắn thành nhiều phần tử nhỏ. Mỗi phần tử chịu lực hút của quả đất (trọng lực
hướng về tâm quả đất).
z
Vì khoảng cách từ mỗi phần tử đến tâm quả
zC Mk
đất rất lớn nên có thể coi hệ các trọng lực là hệ lực
song song cùng chiều, giá trị của trọng lực được u
r
r C ∆Pk
gọi là trọng lượng của phần tử. rk
Ký hiệu Mk là một điểm nào đó thuộc phần r u
r
r
tử thứ k, nó có trọng lượng ∆Pk và rk là vectơ định rC yC
P
O
y
vị của điểm Mk.
r
n
∑ ∆Pk .rk xC
r x
Từ (5.2) ta có: r = k =1
(5.4)
C n
∑ ∆P k
k =1
rr
Theo toán học khi n→ ∞ thì r → rC và ∑ ∆Pk → P . Khi đó C được gọi là trọng tâm
r
∫ r.dP
r
của vật rắn và: rC = V
P
Định nghĩa :Trọng tâm của vật là điểm hình học được xác định bằng công thức:
r 1r
rC = ∫ r.dP (5.5)
PV
2. Các công thức xác định trọng tâm của vật.
Chiếu (5.5) lên 3 trục toạ độ ta được:
32
- 1 1 1
∫ x.dP ; yC = P V y.dP ; z C = P V z.dP (5.6)
∫ ∫
xC =
PV
(5.5) và (5.6) gọi là các công thức xác định trọng tâm của vật.
III. TRỌNG TÂM CÁC VẬT ĐỒNG CHẤT:
1. Khối đồng chất:
dP
Một khối được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: ρ = = conts ⇒ dP=ρ.dV⇒ P=ρ.V.
dV
Với ρ gọi là trọng lượng riêng của vật
r1 r r r r
ρ 1
Khi đó: rC = ∫∫∫ r.ρ.dV = rC = ∫∫∫ r.dV = V ∫∫∫ r.dV (5.7)
ρ.V V
PV V
1 1 1
∫∫∫ x.dV ; yC = V ∫∫∫ y.dV ; z C = V ∫∫∫ z.dV
Hoặc x C = (5.8)
VV V V
2. Mặt đồng chất (tấm đồng chất):
dP
= conts ⇒ dP=ρ.dS⇒
Một tấm (mặt) được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: ρ =
dS
P=ρ.S.
r1r 1 1 1
Khi đó: rC = ∫∫ r.dS
S ∫∫ ∫∫ y.dS ; zC = S ∫∫ z.dS
(5.9), hoặc: x C = yC =
x.dS ;
SS SS
S S
(5.10)
3. Thanh, đường đồng chất:
dP
Một đường (thanh) gọi là đồng chất nếu thoả mãn: ρ = = const ⇒ dP=ρ.dL⇒
dL
P=ρ.L.
r 1r 1 1 1
Khi đó: rC = ∫ r.dL (5.11), hoặc: x C = ∫ x.dL ; y C = ∫ y.dL ; z C = ∫ z.dL (5.12)
LL LL LL LL
IV: CÁC PP XÁC ĐỊNH TT CỦA VẬT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN.
1. Phương pháp đối xứng.
Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm
của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng.
Chứng minh: Xét vật có tâm đối xứng O, đồng chất. ứng với phần tử MK có trọng
r
lượng ∆PK và vectơ định vị rK thì có phần tử M′ có trọng lượng ∆PK đối xứng qua tâm O,
r
K
tức vectơ định vị của nó là − rk . Phân hoạch vật rắn thành từng cặp phần tử đối xứng qua
tâm và tính tổng.
r r
r ∑ ∆Pk .rk + ∑ ∆Pk ( − rk )
rC = = 0 (đpcm)
P
Xét vật có trục đối xứng, chọn Oz làm trục đối xứng. Khi đó ứng với mỗi điểm MK
có toạ độ xK, yK và trọng lượng ∆PK thì có điểm M′ có toạ độ -xK, -yK và trọng lượng ∆PK
K
33
- ∑ x k .∆Pk +∑ ( −x k ) .∆Pk
x = k =0
k
C P
⇒ ⇒ C nằm trên trục Oz là trục đối xứng
∑ yk .∆Pk +∑ ( − yk ) .∆Pk
yC = k =0
k
P
Định lý 2:Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một
đường thẳng ( mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng)
đó.
Chứng minh: Giả thiết vật rắn gồm n phần có trọng lượng là P1 , P2 ,..., Pn và có trọng
tâm tương ứng là C1 , C 2 ,..., Cn . Trọng tâm của cả vật khảo sát là tâm của hệ lực song song
uu
rr u
r
( )
P1 , P 2 ,..., P n nghĩa là:
1n 1n 1n
∑ x k .Pk ; y C = ∑ y k .Pk ; z C = ∑ z k .Pk
⇔ xC = (1)
P k =1 P k =1 P k =1
Nếu C1 , C 2 ,..., Cn thuộc đường thẳng ∆ thì chọn đường thẳng ∆ đó làm trục Oz. Khi
đó xk=0, yk= 0 thay vào (1) ta có xC = 0, yC= 0. Như vậy điểm C cũng thuộc trục Oz hay C
thuộc ∆.
Tương tự nếu Ci thuộc mặt phẳng π thì ta chọn π làm mặt phẳng Oxy ⇒ zi = 0. Thay
vào (1) ta có zC = 0. Như vậy điểm C thuộc mặt phẳng π.
2. Phương pháp phân chia thêm bớt.
Định lý 1: (Định lý phân chia thêm bớt, vật ghép)
Nếu vật rắn được ghép từ m phần, mỗi phần có trọng lượng Pi và trọng tâm Ci
(xi,yi,zi) thì trọng tâm của vật được xác định nhờ công thức:
m m m
∑ Pi .x i ∑ Pi .yi ∑ P .z i i
xC = ; yC = ; zC =
i =1 i =1 i =1
(5.13)
m m m
∑P ∑P ∑P
i i i
i =1 i =1 i =1
Chứng minh: Trọng tâm của vật rắn là tâm của hệ lực song song P1 , P2 ,..., Pm . Từ
(5.3) ta có (5.13)
Xét trường hợp vật rắn bị khuyết. Khi đó công thức trên vẫn đúng vì phần khuyết
được xem như là phần ghép có trọng lượng âm.
3. Phương pháp tích phân.
Xác định qui luật biến thiên của trọng tâm từng phần tử khi phân hoạch. Kết hợp với
đổi biến số của tích phân ta dùng các công thức (5.7), (5.8),..., (5.12) để tìm trọng tâm của
vật.
4. Phương pháp quay – định lý GuynĐanh. (Tham khảo).
5. Phương pháp thực nghiệm.
Phương pháp cân
Phương pháp treo
Phương pháp tâm lắc.
V: TRỌNG TÂM CỦA MỘT SỐ VẬT ĐƠN GIẢN.
1. Thanh đồng chất.
Áp dụng định lý 1 của phương pháp đối xứng ta dễ dàng nhận thấy trọng tâm của
thanh đồng chất là điểm giữa của thanh.
34
- 2. Các vật có dạng hình học cơ bản.
Áp dụng phương pháp đối xứng ta dễ dàng nhận thấy trọng tâm của hình bình hành,
chữ nhật, hình vuông, khối hộp, khối chữ nhật, khối lập phương đồng chất chính là tâm
hình học của chúng.
A
3. Tam giác.
Chia tam giác thành các dải mỏng song song với đáy BC
của tam giác. Trọng tâm của mỗi dải nằm trên trung điểm của
N
nó tức sẽ nằm trên trung tuyến AM. Như vậy trọng tâm tam giác
nằm trên trung tuyến AM. Tương tự chia tam giác theo cạnh
C
đáy AC ta thấy trọng tâm tam giác phải nằm trên trung tuyến
BN. Như vậy trọng tâm tam giác chính là giao của 3 đường D
1 M
trung tuyến. CM= AM .
3
3. Tứ diện.
Phân hoạch tứ diện SABD thành những lát vô cùng mỏng hình tam giác song song với
đáy ABD. Trọng tâm mỗi tam giác nằm tại giao của các đường trung tuyến. Do vậy trọng tâm
của tứ diện nằm trên đường SM là đường nối đỉnh tứ diện và trọng tâm đáy tam giác. Tương tự
ta cũng chứng minh được trọng tâm tứ diện cũng phải nằm trên đoạn BN. Như vậytrọng tâm tứ
1
diện là giao của hai đường SM, BN. Theo hình học ta có công thức: CM= SM .
4
4. Hình chóp
Với hình chóp đáy là đa giác ta có thể phân đa giác này thành các tam giác. Trọng
tâm của các tứ diên này nằm trên một mặt phẳng song song với đáy và khoảng cách từ mặt
phẳng này đến đỉnh chóp gấp 3 lần khoảng cách đến đáy. Cũng có thể phân hoạch hình
chóp thành các lát mỏng song song với đáy, như vậy trọng tâm hình chóp phải nằm trên
đường nối giữa đỉnh chóp và trọng tâm đáy đa giác. Kết hợp hai phân tích trên ta có trọng
1
tâm hình chóp nằm trên đường nối đỉnh chóp S với trọng tâm của đáy M. CM= SM .
4
Với hình chóp đáy là đường cong khép kín ta có thể coi đó là đa giác khi số cạnh
tiến đến vô cùng và ta cũng nhận được kết quả tương tự.
S S
S
N
F
D
C C
C
A
A M M
M
E
B B
D
35
- 5. Cung tròn.
» ·
Xét cung tròn đồng chất AB có góc ở tâm là AOB = 2α . Theo phương pháp đối
xứng ta thấy trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng
1
Ox. Theo công thức (5.12) ta có: x C = ∫ x.dL . B
LL M
Trong đó: x = R.cos ϕ ; L = 2α.R ; dL = R.dϕ . Thay M′
α
vào ta có:
ϕ dϕ C
α
Sinα O
1 1
x C = ∫ x.dL =
2α.R ∫
R.cos ϕ.R.dϕ = R (5.14) x
α
α
L −α
L
2R
Nếu là nửa đường tròn thì x C = (5.15)
π
A
6. Quạt tròn.
·
Xét quạt tròn đồng chất AOB có góc ở tâm là AOB = 2α . Chia hình quạt thành các
hình quạt nhỏ với góc ở tâm là dϕ , bán kính R. Có thể xem đó là các tam giác có trọng
2
tâm nằm cách tâm R , chiều cao là R, đáy là R dϕ . Theo phương pháp đối xứng ta thấy
3
trọng tâm của quạt tròn nằm trên trục đối xứng Ox. Theo công thức (5.10) ta
1
có: x C = ∫ x.dS .
SS
R2
2 1
Trong đó: x = R.cos ϕ ; S = α.R 2 ; dS = R.R.dϕ = dϕ . Thay vào ta có:
3 2 2
α α
2 Sinα
R2
1 1 2 R
x C = ∫ x.dS = 2∫ ∫ cos ϕ.dϕ = 3 R α (5.16)
R.cos ϕ. .dϕ =
α.R −α 3 3.α −α
SS 2
4R
Nếu cung tròn là nửa mặt tròn thì x C = (5.17).
3π
36
nguon tai.lieu . vn
