Xem mẫu
- CHƯƠNG 2: HỆ LỰC ĐỒNG QUY – HỆ NGẪU LỰC
§I. HỆ LỰC ĐỒNG QUY.
1. Khái niệm về hệ lực đồng quy.
Ø Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đường tác dụng của chúng đồng quy tại
một điểm.
Ø Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác
dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đường tác dụng.
r
r
r r
r F3
F2
F2 F3
F1
r
r
Trượt lực
Fi
Fi
r r
Fn Fn
2. Hợp lực của hệ lực đồng quy.
a. Định lý: Hệ lực đồng quy tương đương với một hợp lực đặt tại điểm đồng quy của
chúng. Vectơ biểu diễn hợp lực bằng tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho.
rr r
( )
b.Chứng minh: Giả sử ta có hệ lực đồng quy F1 , F2 ,..., Fn đặt lên vật rắn tại điểm O.
uu
r r ur ur ur
Theo tiên đề 3 ta có: F1 + F 2 ≡ R1 đặt tại O, hợp R1 và F3 ta được
ur ur u ruu rru r
R 2 ≡ R1 + F 3 = F1 + F 2 + F 3 đặt tại O. Tiếp tục như vậy ta được:
ur ur u
ruu rr u
r
R ≡ R ( n-2 ) + F n =F1 + F 2 + ... + F n
3. Phương pháp xác định hợp lực của hệ lực đồng quy.
uuuur ur
a. Phương pháp vẽ: Lấy một điểm A chọn tuỳ ý làm cực, vẽ các vectơ AA1 = F1 ,
uuuuur u r uuuuuuur u r
A1A 2 = F 2 ,…, A n −1A n = F n như hình vẽ. Ta có:
uuuuuuur u u
rr u
r
uuuur uuuur uuuuur
AA n = AA1 + A1A 2 +…+ A n −1A n = F1 + F 2 + ... + F n = A1
uur A2
R′
uu u u
rr r u
r
Vậy R′ = F1 + F 2 + ... + F n (2.1) A3
uuuuuu n u
r r A
uu
r
A, A n = ∑ F k được gọi là vectơ chính của hệ
R′
uu
r An
k =1
lực đã cho, ký hiệu là R′ . Như vậy vectơ biểu diễn
hợp lực của hệ lực đồng quy bằng vectơ chính của hệ lực ấy.
uu
r ur
Sự khác nhau giữa vectơ chính R′ và hợp lực R .
ur
- Vectơ R biểu diễn hợp lực của hệ lực đồng quy nên là vectơ trượt và đi qua điểm
đồng quy của hệ lực đã cho.
uur
- Vectơ R′ là tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho nên là vectơ và
vẽ ở đâu cũng được.
uur
b. Phương pháp chiếu (giải tích): Gọi các hình chiếu của lực bất kỳ Fk thuộc hệ lực
ur
đã cho là Fkx , Fky , Fkz hoặc là Xk,Yk,Zk. Hình chiếu vectơ R lên các trục toạ độ sẽ lần lượt
bằng tổng đại số của các hình chiếu ấy.
9
- n n
R x = R ′x = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fkx = ∑ X k
K =1 K =1
n n
R y = R ′y = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fky = ∑ Yk
(2.2)
K =1 K =1
n n
R z = R ′ = F1z + F2z + L + Fnz = ∑ Fkz = ∑ Zk
z
ur
K =1 K =1
Cường độ và hướng của R được xác định như sau:
R = R 2 + R 2 + R 2
x y z
(2.3)
R
R R
Cosα = x , Cosβ = y , Cosγ = z
R R R
ur
(α, β,γ là góc hợp bởi R với Ox, Oy, Oz.)
II.HỆ NGẪU LỰC.
1. Khái niệm về ngẫu lực.
uu
r
a. Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ lực gồm m
hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ,
ur uu
r
( )
ký hiệu F ,F ′ , gọi tắt là ngẫu.
r
b. Các đặc trưng của ngẫu lực: Ngẫu lực d
có 3 đặc trưng cơ bản như sau: F
ur
- Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa F′
hai lực thành phần .
- Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng.
- Cường độ tác dụng của ngẫu lực: bằng tích số F × d . Trong đó F là giá trị lực
thành phần, d là khoảng cách hai đường tác dụng.
c. Vectơ mômen của ngẫu lực: Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực, người ta
uu
r
dùng vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu m có:
- Gốc nằm tuỳ ý trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực.
- Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng.
- Chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ xuống mặt phẳng tác dụng thì thấy
chiều quay của ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ.
- Độ lớn bằng tích F × d .
2. Các định lý về biến đổi tương đương ngẫu lực.
a. Định lý 1-Định lý về hai ngẫu lực tương đương: Hai ngẫu lực cùng nằm trong
mặt phẳng có cùng chiều quay và cùng giá trị mômen thì tương đương nhau.
r
r ur
d
ur u
r
F
F1 R
Φ
r P
ur
F2
A
r Φ
h
uu
r
ur F
ur
Φ′ uu
r
F′2 B F′
Φ′
ur ur
ur uu
r
F′1 R
F′ P′
Trường hợp a Trường hợp b
10
- u uu
rr ur uu
r
( ) ( )
Chứng minh: Giả sử hai ngẫu lực F, F′ và Φ, Φ′ cùng nằm trong một mặt
phẳng, có cùng chiều quay và có cùng giá trị mômen F.d = Φ.h như hình vẽ.
u
r ur ur ur
- Trườnguuhợp a:rxét trường hợp F không // Φ . Đường tác dụng của F và Φ cắt
r uu
nhau tại A, của F′ vr Φ′ cắt nhau tại B.
à
ur uu u uu
rr
Trượt F và F′ về các giao điểm A, B như hình vẽ. Theo tiên đề 3, biến đổi F , F′
uu
rr uu uu
rr
thành hai thành phần F1 , F 2 và F′1 , F′2 theo hai phương.
u
r u u uu
rr r uu uurr
( ) ( )
F ≡ F1 , F 2 , F′ ≡ F′1 , F′2 ⇒
Ta có:
u uu
rr u u uu uu
rr rr u uu
rr u uu
rr
( )( )( ) ( )
F, F′ ≡ F1 , F 2 , F′1 , F′2 ≡ F1 , F′1 vaø F 2 , F′2 .
u uu
rr u uu
rr u uu
rr
( ) ( )( )
Rõ ràng F1 , F′1 ≡ 0 ⇒ F, F′ ≡ F 2 , F′2 ⇒ F.d = F2 .h
ur ur uu
r uu
r
Theo giả thiết F.d = Φ.h ⇒ F2 = Φ , ta dễ thấy F 2 và Φ , F′2 và Φ′ cùng đường tác
u uu
rr ur uu
r u uu
rr
( )( )( )
dụng và cùng chiều ⇒ F 2 , F′2 ≡ Φ, Φ′ ≡ F, F′
u
r ur ur u
r
u uu
rr u uu
rr
( )( )
- Trường hợp b: F // Φ : Biến đổi ( F, F′ ≡ P, P′ với P không // F rồi trở về
trường hợp đầu.
b. Định lý 2- Định lý về dời ngẫu lực theo mặt phẳng song song: Tác dụng của ngẫu lực
không thay đổi khi dời ngẫu lực đến những mặt phẳng song song.
u uu
rr
( )
Chứng minh: Giả sử ngẫu lực F, F′ ∈ mặt phẳng π. Ta lấy mặt phẳng π1 song song
uuuuu uuu
r r
với mặt phẳng π. Trên mặt phẳng π1 chọn A1, B1 sao cho A1B1 = AB ⇒ ABB1A1 là hình
bình hành.
ur uu
r
Gọi I là giao điểm của AB1 và A1u Tại I ta đặt thêm hai lực cân bằng Φ và Φ′ sao
B.
ur r
F
Φ ⇒
cho =
u uu
rr u uu ur uu
rr r u uu
rr uu ur
r
( )( )( ) ( )
F, F′ ≡ F, F′, Φ, Φ′ = F, Φ′ vaø F′, Φ .
Áp dụng định lý 1 ta được:
u uu
rr uur uu uu
r r uu r
( )( )
F, Φ′ ≡ Φ, F′1 với F′1 = Φ′ = F′ đặt tại B1. r r
ur
uu ur
r uu u
rr u
r ur u r F1 Φ F
( )( )
F′, Φ ≡ Φ′, F1 với F1 = Φ = F đặt tại A1. A1 A
u uu
rr uur
( ) ( )
I uu
r
B1
F, F′ Φ, F′1
⇒ ≡
Φ′ ur B
và
ur
uu u
rr uu u uu
rr r F′
F′1
( )( )
Φ′, F1 ≡ Φ, Φ′, F1 , F′1
uur u uu
rr u uu
rr π1
( ) ( )( )
π
Ta có: Φ, Φ′ ≡ 0 ⇒ F, F′ ≡ F1 , F′1
u uu
rr u uu
rr
( ) ( )
Như vậy ngẫu lực F1 , F′1 chính là ngẫu lực F, F′ dời đến mặt phẳng π1.
Nhận xét: uu
r
- Vectơ mômen của ngẫu lực m là vectơ tự do (có điểm đặt tự do).
- Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi:
• Dời tuỳ ý ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.
• Dời đến các mặt song song.
• Thay đổi cánh tay đòn hoặc thay đổi giá trị của lực thành phần mà không
làm thay đổi giá trị của mômen ngẫu lực.
11
- c. Định lý 3- Định lý về hợp ngẫu lực.
- Định lý về hợp hai ngẫu lực: Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có vectơ mômen
bằng tổng các vectơ mômen của hai ngẫu lực đã cho.
Chứng minh: Giả sử có hai ngẫu lực nằm r ur
FΦ
trong hai mặt phẳng π1 và π2 giao nhau theo giao
tuyến AB. Ta có thể biến đổi hai ngẫu lực trên thành Au r
u uu
rr u uu
rr
( )( )
hai ngẫu lực F, F′ và P, P′ như hình vẽ có vectơ π1 uu
r P
uu uu
rr m1
I
mômen tương ứng m1 , m 2 .
u
r uu u
rr uu
r uu
r
uu
r uu
r
Rõ ràng F và F′ , P và P′ đối xứng qua tâm
π2 m
P′ B m2
I (trung điểm AB).
u u ur
rr uur ur
()
Theo tiên đề 3 ta có: F, P ≡ Φ và Φ′ F′
uu uu uu
rr r
( )
F′, P′ ≡ Φ′
u uu u uu
r rr r ur uu
r
( )( )
⇒ F, F′, P,P′ ≡ Φ, Φ′ .
ur uu
r
( )
Do tính chất đối xứng nên Φ, Φ′ cũng là một ngẫu lực.Ta có:
uu uuur u uu uuur u
r rr r
m1 = BA ∧ F , m 2 = BA ∧ P
uur uu r uuur u uuur u uuur u u uuur ur uu
r r r
rr
⇒ m1 + m 2 = BA ∧ F + BA ∧ P = BA ∧ (F + P) = BA ∧ Φ = m .
ur uu
r
uur
( )
Với m là vectơ mômen ngẫu lực Φ, Φ′ .
- Định lý về hợp hệ ngẫu lực: Hợp hệ ngẫu lực được một ngẫu lực có vectơ
mômen bằng tổng các vectơ mômen của các ngẫu lực đã cho.
uu
r n uur
m = ∑ mi (2.4)
i =1
u uu
rr u uu
rr u uu
rr
( )( )( )
Chứng minh: Giả sử ta có hệ ngẫu lực như sau: F1 , F′1 , F 2 , F′2 ,..., F n ,F ′n . Các
uu uu
rr uu
r
hệ ngẫu lực này có các vectơ mômen ngẫu lực tương ứng là m1 , m 2 ,..., m n
Theo định lý 3 ta có:
u uu
rr u uu
rr ur uur
( ) ( )( )
F1 , F′1 vaø F 2 , F′2 ≡ R1 ,R′1 ⇔
uu uu
r r uur
m1 + m 2 = m′1 .
ur uu r u uu
rr ur uur
( ) ( )( )
R1 , R′1 vaø F 3 , F ′3 ≡ R 2 ,R′2 ⇔
uur uu r uur
m′1 + m 3 = m′2
ur uu
r u uu
rr uu
rr
( ) ( )( )
R ( n −2 ) , R′( n −2 ) vaø F n , F′n ≡ F,F ⇔
uur uur uur
m′( n −2 ) + m n = m′
…………………………………………………………………………………
u uu
rr u uu
rr u uu
rr u uu
rr
( )( ) ( )( )
F1 , F′1 + F 2 , F′2 + L + F n ,F′n = F, F′ ⇔
uu uu
r r uu
r uu r
m1 + m 2 + L + m n = m
Hệ quả: Khi các ngẫu lực có cùng chung mặt phẳng tác dụng thì:
n
m = ∑ mi (2.5)
i =1
Như vậy hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp có mômen đại
số bằng tổng đại số của những mômen ngẫu lực đã cho.
12
nguon tai.lieu . vn
