Xem mẫu
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ch−¬ng III :
sãng ©m trong chÊt L−u
Sãng ©m (©m) lµ sãng c¬ cã biªn ®é nhá mµ thÝnh gi¸c cã thÓ nhËn biÕt ®−îc. VÝ dô sãng ph¸t ra
tõ mét nh¸nh ©m thoa, mét d©y ®µn, mét mÆt trèng. Nh÷ng dao ®éng ©m cã tÇn sè dao ®éng
kho¶ng 20Hz ®Õn 20000Hz. Nh÷ng dao ®éng cã tÇn sè d−íi 20Hz gäi lµ h¹ ©m, trªn 20000Hz gäi
lµ siªu ©m. Nh− vËy, d¶i sãng ©m nghe ®−îc cã b−íc sãng tõ 20m ®Õn 2cm (H×nh 1).
VÒ ph−¬ng diÖn vËt lý c¸c ©m nghe ®−îc hay kh«ng nghe ®−îc kh«ng cã g× kh¸c nhau vÒ b¶n
chÊt. Chóng chØ kh¸c nhau vÒ ph−¬ng diÖn sinh lý, thÝch hîp hay kh«ng thÝch hîp ®èi víi tai ta.
20Hz 20000Hz
Siªu ©m
Nghe d−îc
H¹ ©m
H×nh 1:
§1. Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng ©m :
1) ¢m thanh vµ sù lan truyÒn cña sãng ©m:
a) ThÝ nghiÖm :
Mét chiÕc loa nèi víi mét m¸y ph¸t tÇn sè thÊp (GBF), ph¸t ra mét ©m thanh nghe ®−îc. §Ó ph©n
tÝch hiÖn t−îng truyÒn ©m, ta dïng thªm micro vµ quan s¸t tÝn hiÖu ©m ph¸t ra tõ m¸y ph¸t vµ thu
®−îc tõ micro nhê mét dao ®éng ký. (H×nh 2).
b) HiÖn t−îng lan truyÒn :
Loa
• Trªn mµn h×nh dao ®éng ký, ta nhËn ®−îc
Micro
hai tÝn hiÖu h×nh sin, cã cïng tÇn sè nh−ng
lÖch pha nhau (H×nh 2) ⇒ Micro b¾t ®−îc mét
tÝn hiÖu h×nh sin do loa ph¸t ra ⇒ Sãng ©m ®·
truyÒn trong kh«ng khÝ tõ m¸y ph¸t (loa) ®Õn
m¸y thu (micro).
• Khi ®−a micro ra xa dÇn loa, ®é lÖch pha
t¨ng dÇn ⇒ Thêi gian truyÒn tÝn hiÖu tõ m¸y
ph¸t ®Õn m¸y thu t¨ng dÇn theo kho¶ng c¸ch
gi÷a chóng.
• Khi dÞch chuyÓn chËm micro ra xa loa c¸c
kho¶ng c¸ch b»ng λ, tÝn hiÖu h×nh sin thu ®−îc
H×nh 2 : ¢m thanh lan truyÒn tõ loa ®Õn micro
ë micro trë l¹i trïng víi vÞ trÝ ban ®Çu ⇒
Ngoµi chu kú theo thêi gian lµ T, sãng ©m thu
®−îc cßn cã chu kú theo kh«ng gian lµ λ.
• Nh− vËy sãng ©m d¹ng sin còng cã nh÷ng ®Æc tr−ng gièng nh− c¸c ®Æc tr−ng cña nghiÖm d¹ng
sin cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe.
c) VËn tèc cña ©m thanh :
• Ta ®· biÕt r»ng c¸c chu kú theo kh«ng gian vµ theo thêi gian cña mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c,
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe, øng víi mäi tÇn sè ν, liªn hÖ víi nhau b»ng hÖ thøc : λ = cS .T
víi cS lµ vËn tèc truyÒn sãng.
56
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
• Khi thùc hiÖn thÝ nghiÖm nãi trªn, nÕu thay ®æi tÇn sè cña tÝn hiÖu ®iÖn gëi vµo loa, lÆp l¹i thao
λ
t¸c trªn ®©y nhiÒu lÇn vµ thùc hiÖn c¸c phÐp ®o, ta thÊy r»ng tû sè cña sãng ©m b»ng h»ng sè:
T
λ
cS = ≈ 340m / s . cS biÓu thÞ vËn tèc cña sãng ©m trong kh«ng khÝ.
T
d) M«i tr−êng lan truyÒn :
• Khi dïng tÇn sè kh¸ nhá, ta cã thÓ quan s¸t ®−îc c¸c dao ®éng cña mµn loa (dao ®éng ®iÖn ®·
biÕn thµnh dao ®éng c¬). Víi nh÷ng tÇn sè nghe ®−îc, hiÖn t−îng còng t−¬ng tù.
ChuyÓn ®éng cña mµn loa g©y ra nh÷ng dao ®éng nhá cña kh«ng khÝ. C¸c m«i tr−êng vËt chÊt
nh− kh«ng khÝ, c¸c chÊt khÝ cã tÝnh ®µn håi. ChuyÓn ®éng cña mµn loa lµm líp kh«ng khÝ l©n cËn
bÞ nÐn l¹i, ¸p suÊt cña líp kh«ng khÝ nµy t¨ng lªn chót Ýt, vµ ®Õn l−ît m×nh, nã ®Èy líp kh«ng khÝ
l©n cËn chuyÓn ®éng..., t¹o nªn sãng ©m. Nh− vËy, cã sù liªn kÕt gi÷a vËn tèc vµ ¸p suÊt d− trong
dßng chÊt l−u, vµ ®©y chÝnh lµ nguyªn nh©n cña sù lan truyÒn.
• Sãng ©m chØ lan truyÒn trong m«i tr−êng vËt chÊt, kh«ng thÓ lan truyÒn ®−îc trong ch©n kh«ng.
2) C¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt :
a) M« t¶ bµi to¸n :
§Ó t×m ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng ©m, cÇn dùa vµo c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt l−u.
ChuyÓn ®éng cña chÊt l−u ®−îc m« t¶ bëi c¸c ph−¬ng tr×nh :
• Ph−¬ng tr×nh b¶o toµn khèi l−îng :
∂ρ
+ div( ρ v) = 0 (1)
∂t
(Gi¶ sö bªn trong chÊt l−u kh«ng cã nguån thªm khèi l−îng; v, ρ : vËn tèc vµ khèi l−îng riªng
t¹i mét ®iÓm M trong m«i tr−êng chÊt l−u).
• Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (ph−¬ng tr×nh Euler):
⎛ ∂v ⎞
ρ ⎜ + ( v.grad )v ⎟ = - gradP + f V (2)
⎝ ∂t ⎠
(Gi¶ sö bá qua ®é nhít cña chÊt l−u; f V lµ lùc thÓ tÝch cña chÊt l−u ë tr¹ng th¸i tÜnh, vÝ dô lùc
träng tr−êng : f V = ρ g ).
• BiÓu thøc c©n b»ng n¨ng l−îng (nguyªn lý thø nhÊt cña nhiÖt ®éng häc):
dU = δ Q + δ W (3)
• Ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i : f ( P, ρ , T ) = 0 (4)
§©y lµ mét hÖ gåm 6 ph−¬ng tr×nh v« h−íng vµ phøc t¹p cÇn ph¶i gi¶i. Do vËy, ta sÏ ®−a ra nh÷ng
gi¶ thuyÕt nh»m ®¬n gi¶n hãa bµi to¸n.
b) Gi¶ thuyÕt nhiÖt ®éng häc :
• Thùc nghiÖm chøng tá r»ng sù lan truyÒn cña c¸c sãng ©m ®−îc ®Æc tr−ng bëi sù t¾t dÇn rÊt yÕu
trong lßng m«i tr−êng lan truyÒn ⇒ Cã thÓ bá qua sù tiªu t¸n n¨ng l−îng (do dÉn nhiÖt, do ®é
nhít...) vµ cã thÓ coi nh− khi cã sãng ©m lan truyÒn, chÊt l−u thùc hiÖn c¸c chuyÓn ®éng nhá ®¼ng
entropi (®o¹n nhiÖt).
• Gäi P0, ρ lµ ¸p suÊt, khèi l−îng riªng cña chÊt l−u khi ®øng yªn (gi¶ sö P0, ρ b»ng h»ng sè vµ
®ång nhÊt trong khèi chÊt l−u).
Khi xuÊt hiÖn sãng ©m trong chÊt l−u, c¸c ®¹i l−îng nµy biÕn thiªn kh¸ bÐ.
Gäi : µ = ρ − ρ 0 : ®é biÕn thiªn khèi l−îng riªng cña chÊt l−u ⇒ µ
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
ρ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂ρ ⎞ ρ⎛ 1 ⎞ ⎛ ∂ρ ⎞ 1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 ρ − ρ0 1µ
Suy ra: χ S = − ⎟ = − ⎜ − 2 M ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟≈ =
⎟⎜
⎜
M ⎝ ∂ρ ⎠ S ⎝ ∂P ⎠ S M⎝ ρ ⎠ ⎝ ∂P ⎠ S ρ ⎝ ∂P ⎠ S ρ P − P0 ρ 0 p
µ = ρ0 χ S p
Nh− vËy: (5)
c) TuyÕn tÝnh hãa c¸c ph−¬ng tr×nh :
Sù thay ®æi tr¹ng th¸i cña chÊt l−u do sãng ©m g©y ra lµ nh÷ng nhiÔu lo¹n nhá ⇒ Cã thÓ tuyÕn
tÝnh hãa c¸c ph−¬ng tr×nh nãi trªn (phÐp gÇn ®óng ©m häc).
• Ph−¬ng tr×nh b¶o toµn khèi l−îng :
∂ρ ∂ρ
+ div( ρ v) = 0 ⇒ + ρ div( v) + vgrad ρ = 0 (5)
∂t ∂t
Víi : µ = ρ − ρ 0 hay : ρ = ρ0 + µ (ρ0 b»ng h»ng sè)
∂µ
+ ρ 0 div( v) + µ div( v) + v . grad µ = 0
⇒
∂t
Ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng, khi biªn ®é dao ®éng cña mét phÇn tö chÊt l−u
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
∂µ
+ ρ 0 div( v) = 0 (ph−¬ng tr×nh b¶o toµn khèi l−îng) (8)
∂t
∂v
ρ 0 = - grad p (ph−¬ng tr×nh Euler) (9)
∂t
µ = ρ0 χS p (gi¶ thiÕt biÕn thiªn ®¼ng entropi) (10)
d) C¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt :
• Khö biÕn µ trong ba ph−¬ng tr×nh (8), (9), (10) ⇒ HÖ ph−¬ng tr×nh liªn kÕt vËn tèc v vµ ¸p
suÊt d− p t¹i mét ®iÓm trong chÊt l−u :
⎧ ∂p 1
⎪ ∂t = − χ div( v) (a)
⎪ S
⎨ (11)
⎪ ∂v = - 1 grad p (b)
⎪ ∂t ρ0
⎩
• Tr−êng hîp sãng ©m ph¼ng lan truyÒn theo ph−¬ng cña trôc (Ox), ph−¬ng tr×nh liªn kÕt cã
d¹ng :
⎧ ∂p 1 ∂v
⎪ ∂t = − χ ∂x (a)
⎪ S
⎨ (12)
∂v 1 ∂p
⎪ =- (b)
⎪ ∂t ρ0 ∂x
⎩
3) Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn:
a) Ph−¬ng tr×nh §al¨mbe :
• Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn cña ¸p suÊt d− :
Tõ ph−¬ng tr×nh (11a), suy ra :
∂ ∂2 p
∂p
( div( v) ) = − χ S 2 (χS xem nh− h»ng sè)
div( v) = − χ S ⇒
∂t
∂t ∂t
⎛ ∂v ⎞ ∂p2
div ⎜ ⎟ = − χ S 2
⇒ ( a)
⎝ ∂t ⎠ ∂t
Tõ (11b) suy ra :
⎛ ∂v ⎞ 1
div ⎜ ⎟ = - div(gradp ) (b)
ρ0
⎝ ∂t ⎠
Tõ (a) vµ (b) nhËn ®−îc :
∂2 p
div(gradp)- ρ 0 χ S 2 = 0
∂t
1 ∂2 p
∆p - 2 2 = 0
Hay : (13)
cS ∂t
1
cS =
Víi :
ρ0 χ S
Trong ®ã : ∆ lµ to¸n tö Laplace : ∆p = div( grad p )
• Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn cña vËn tèc :
§Ó ®¬n gi¶n, sÏ suy luËn cho tr−êng hîp sãng lan truyÒn theo mét chiÒu, vÝ dô theo
ph−¬ng Ox:
59
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
1 ∂ ⎛ 1 ∂v ⎞
∂2v 1 ∂ ⎛ ∂p ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂p ⎞
=− ⎜ ⎟=− ⎜ ⎟=− ⎜− ⎟
Tõ (12) suy ra :
ρ0 ∂t ⎝ ∂x ⎠ ρ0 ∂x ⎝ ∂t ⎠ ρ0 ∂x ⎝ χ S ∂x ⎠
∂t 2
∂2v 1 ∂2v
⇒ − =0
∂t 2 ρ0 χ S ∂x 2
∂2v 1 ∂2v 1
−2 =0 cS =
Hay : (14) Víi :
ρ0 χ S
∂x 2 cS ∂t 2
1 ∂2 v
Tæng qu¸t ho¸ cho tr−êng hîp sãng ©m lan truyÒn theo ba chiÒu : ∆v − =0 (15)
cS ∂t 2
2
4) Sù lan truyÒn c¸c sãng ©m ph¼ng ch¹y :
a) NghiÖm sãng ph¼ng ch¹y cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe :
• XÐt mét sãng ph¼ng lan truyÒn trong chÊt l−u theo ph−¬ng Ox, ®−îc m« t¶ bëi vËn tèc
v = v( x, t )ex vµ ¸p suÊt p = p(x,t). Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn theo mét chiÒu cã d¹ng :
∂2 p 1 ∂2 p ∂2 v 1 ∂2 v
−2 =0
- 2 2 = 0;
∂x 2 cS ∂t ∂x 2 cS ∂t 2
• Ng−êi ta còng chøng minh ®−îc r»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng §al¨mbe
cã d¹ng:
⎛ x⎞
x
v( x, t ) = ⎜ f (t − ) + g (t + ) ⎟ .ex (16a)
⎝ cS ⎠
cS
⎡ x⎤
x
p( x, t ) = ρ 0 .cS . ⎢ f (t − ) − g (t + ) ⎥ (16b)
⎣ cS ⎦
cS
(L−u ý r»ng trong biÓu thøc cña p(x,t) cã dÊu (-) phÝa tr−íc hµm g)
x
NghiÖm f (t − ) m« t¶ mét sãng ph¼ng ch¹y theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x t¨ng, nghiÖm
cS
x
g (t + ) m« t¶ mét sãng ph¼ng ch¹y theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x gi¶m víi vËn tèc lan truyÒn
cS
cS .
• Vect¬ vËn tèc vµ dÞch chuyÓn cña mét phÇn tö chÊt l−u song song víi ph−¬ng truyÒn sãng ⇒
sãng ©m lµ sãng däc.
b) Sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c - HÖ thøc t¸n x¹:
XÐt mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c, tÇn sè gãc ω , vect¬ sãng k = k .ex (Gi¸ trÞ k=2π/λ cßn gäi lµ
sè sãng).
Tr−êng vËn tèc v vµ ¸p suÊt d− p m« t¶ d−íi d¹ng phøc nh− sau :
⎧ v = v0 ei (ωt − kx ) ex ⎧ v = v0 ei (ωt − kx ) ex
⎪ ⎪
⎨ Hay : ⎨
⎪ p = ρ0 .cS .v0 e
i (ωt − kx ) i (ωt − kx )
⎪ p = p0 e
⎩ ⎩
∂2 p 1∂p
2
−2 = 0 trë thµnh:
Ph−¬ng tr×nh lan truyÒn theo mét chiÒu øng víi ¸p suÊt d− p :
∂x 2 cS ∂t 2
ω2
ω2
)p = 0 ⇒ k =
2
(−k +2
(HÖ thøc nµy ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹).
2
2
cS
cS
60
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
c) VËn tèc ©m :
1
VËn tèc sãng ©m trong chÊt l−u b»ng : cS =
ρ0 χ S
• Trong chÊt khÝ :
Cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc truyÒn ©m trong chÊt khÝ b»ng c¸ch xem nh− chÊt khÝ lµ khÝ lý
t−ëng. §èi víi biÕn thiªn ®¼ng entropie, ta cã :
P.ρ −γ = A = const
∂P P
= A.γ .ρ γ −1 = P.ρ −γ .γ .ρ γ −1 = γ P.ρ −1 = γ
⇒
∂ρ ρ
1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1ρ 1
χ S = .⎜ ⎟ = ≈
⇒
ρ ⎝ ∂P ⎠ S ρ γ P γ P0
γ P0 γ RT0
1
VËn tèc sãng ©m trong chÊt khÝ : cS = = =
⇒
ρ0
ρ0 χ S M
-1
§èi víi kh«ng khÝ (M = 29g.mol ), trong ®iÒu kiÖn ¸p suÊt th«ng th−êng vµ xem nh− lµ mét khÝ
lý t−ëng l−ìng nguyªn tö ( γ = 7 / 5 ), ta cã : cS = 331m / s ë nhiÖt ®é T0 = 273 K (0 C). Gi¸ trÞ
nµy phï hîp víi thùc nghiÖm.
VËn tèc ©m t¨ng khi nhiÖt ®é cña khÝ t¨ng ⇒ Sãng ©m lan truyÒn trong kh«ng khÝ 250C (T0 =
2980K) cã vËn tèc cS = 346m / s lín h¬n vËn tèc ë nhiÖt ®é T0 = 273 K (0 C).
VËn tèc ©m t¨ng, khi khèi l−îng mol cña khÝ mµ nã lan truyÒn gi¶m xuèng. §èi víi khÝ H2 (M =
2g mol-1), vËn tèc cña ©m ë 2730K : cS = 1200m / s lµ lín h¬n nhiÒu so víi gi¸ trÞ trong kh«ng khÝ.
@ Trong chÊt láng :
ρ 0 khi χ Skhi
clong
=
Ta cã :
ρ 0long χ Slong
ckhi
ChÊt láng cã khèi l−îng riªng lín h¬n kho¶ng ngh×n lÇn so víi chÊt khÝ, trong ®iÒu kiÖn nhiÖt ®é
vµ ¸p suÊt b×nh th−êng. Tuy nhiªn, bï l¹i χ S cña chÊt láng nhá h¬n nhiÒu so víi chÊt khÝ ⇒ VËn
tèc truyÒn ©m trong chÊt láng lín h¬n so víi trong chÊt khÝ.
@ Trong vËt r¾n :
M« h×nh c¸c nguyªn tö liªn kÕt bëi c¸c lß xo ®−îc dïng ®Ó x¸c ®Þnh vËn tèc truyÒn sãng trong
mét vËt r¾n ®ång chÊt vµ ®¼ng h−íng. B−íc sãng rÊt lín so víi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nguyªn tö.
Ka 2
VËn tèc lan truyÒn sãng ©m trong chÊt r¾n : cS =
M
VËn tèc sãng ©m trong chÊt r¾n th−êng lín h¬n trong chÊt láng.
§2. N¨ng l−îng sãng ©m :
Khi mét phÇn tö cña m«i tr−êng thùc hiÖn dao ®éng, nã nhËn ®−îc n¨ng l−îng tõ nguån sãng.
Khi dao ®éng ®−îc truyÒn ®i t¹o thµnh sãng, th× n¨ng l−îng nµy ®−îc truyÒn ®i trong m«i tr−êng.
Chóng ta h·y t×m biÓu thøc cña n¨ng l−îng sãng.
1) MËt ®é khèi cña n¨ng l−îng:
MËt ®é khèi cña n¨ng l−îng sãng ©m lµ phÇn n¨ng l−îng chøa trong mét ®¬n vÞ thÓ tÝch cña m«i
tr−êng. MËt ®é khèi cña n¨ng l−îng sãng ©m bao gåm mËt ®é khèi cña ®éng n¨ng eK vµ mËt ®é
eS = eK + eP
khèi cña thÕ n¨ng eP :
a) MËt ®é khèi cña ®éng n¨ng :
61
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
MËt ®é khèi cña ®éng n¨ng t−¬ng øng víi chuyÓn ®éng vÜ m« cña mét ®¬n vÞ thÓ tÝch chÊt l−u (cã
1
khèi l−îng lµ ρ ) : eK = ρ v 2 . Do sãng ©m lµ c¸c nhiÔu lo¹n nhá cña m«i tr−êng ⇒ ρ ≈ ρ 0
2
1
(ρ0 lµ khèi l−îng riªng cña chÊt l−u ë tr¹ng th¸i ®øng yªn) ⇒ eK = ρ 0 v 2
2
b) MËt ®é khèi cña thÕ n¨ng :
• Sù dÞch chuyÓn cña chÊt l−u kÌm theo mét biÕn thiªn nhá cña
khèi l−îng riªng do t¸c dông cña ¸p suÊt d−. C¸ch tÝnh thÕ n¨ng
tÝch lòy trong mét ®¬n vÞ thÓ tÝch chÊt l−u, t−¬ng tù nh− c¸ch tÝnh
p0 → p0 + p
1
V=
thÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi tÝch lòy trong lß xo.
0→ p
ρ
1
• XÐt mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt l−u ( cã thÓ tÝch V = ).
ρ
H×nh 3:
ThÕ n¨ng biÕn d¹ng tÝch lòy trong mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt l−u
khi ¸p suÊt d− thay ®æi tõ 0 ®Õn p, b»ng vµ ng−îc dÊu víi c«ng cung
cÊp cho chÊt l−u khi ¸p suÊt thay ®æi tõ 0 ®Õn p :
p p
1
ePM = ∫ −( P0 + p)dV = ∫ −( P0 + p)d ( )
ρ
0 0
dρ dµ χS
p p p
= ∫ ( P0 + p ) = ∫ ( P0 + p) =∫ ( P0 + p)dp
ρ ρ ρ0
2 2
0
0 0 0
(L−u ý r»ng : µ = ρ 0 χ S p )
χS 1 χS 2
ePM = P0 p+
⇒ p
ρ0 2 ρ0
χS
P0 p b»ng 0.
§èi víi c¸c dao ®éng, gi¸ trÞ trung b×nh cña sè h¹ng thø nhÊt
ρ0
1 χS 2
1
⇒ ThÕ n¨ng t−¬ng øng víi mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt l−u (cã thÓ tÝch V = ) : e pM = p
ρ 2 ρ0
1
χ S p2
⇒ MËt ®é khèi cña thÕ n¨ng : e p =
2
Π
@ Tãm l¹i : MËt ®é khèi cña n¨ng l−îng sãng ©m :
dS
1 1
eS = eK + eP = ρ 0 v 2 + χ S p 2
2 2
2) BiÓu thøc c©n b»ng n¨ng l−îng : N
dτ
V
• Gäi ES lµ n¨ng l−îng sãng ©m chøa trong thÓ tÝch V cè ®Þnh cña
S (V )
iM
chÊt l−u vµo thêi ®iÓm t (V ®−îc giíi h¹n bëi bÒ mÆt S - H×nh 4). dτ
lµ mét ph©n tè thÓ tÝch cña chÊt l−u n»m t¹i ®iÓm M. dS lµ mét ph©n H×nh 4:
tè diÖn tÝch cña bÒ mÆt S n»m t¹i ®iÓm N.
ES = ∫∫∫ eS ( M , t )dτ
Ta cã :
V
∂e
dES
= ∫∫∫ S (M,t) dτ
§é biÕn thiªn cña ES trong mét ®¬n vÞ thêi gian:
V ∂t
dt
LÊy ®¹o hµm cña eS theo thêi gian, kÕt hîp víi viÖc sö dông c¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt (11) :
∂eS ∂v ∂p
= ρ0 v + χ S p = − v gradp − p.div v = - div (pv)
∂t ∂t ∂t
62
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
∂e
dES
= ∫∫∫ S (M,t) dτ = − ∫∫∫ div (pv)(M,t) dτ
Suy ra :
V ∂t V
dt
¸p dông ®Þnh lý Green-Ostrogradski, cuèi cïng suy ®−îc :
∂eS dES
∫∫∫V ∂t (M,t) dτ = dt = − P = −∫∫∫V div (pv)(M,t) dτ = -∫∫S (pv)(N,t) .dS (17)
Nh− vËy, biÓu thøc c©n b»ng n¨ng luîng côc bé cña sãng ©m :
∂e
div (Π) + S = 0 víi : Π = pv
∂t
dE
• Ta cã : P = − S lµ ®é gi¶m cña n¨ng l−îng ES cña sãng ©m chøa trong thÓ tÝch V trong mét
dt
®¬n vÞ thêi gian. P chÝnh lµ c«ng suÊt truyÒn qua bÒ mÆt S (n¨ng l−îng truyÒn qua bÒ mÆt S trong
mét ®¬n vÞ thêi gian).
Th«ng l−îng cña vect¬ Π = pv qua bÒ mÆt S giíi h¹n thÓ tÝch V b»ng : ∫∫ (pv)(N,t) .dS vµ nh− vËy
S
b»ng c«ng suÊt P ®i qua bÒ mÆt S. Vect¬ Π = pv gäi lµ vect¬ mËt ®é n¨ng th«ng. Π chÝnh lµ
n¨ng l−îng truyÒn qua mét ®¬n vÞ diÖn tÝch vu«ng gãc víi ph−¬ng truyÒn sãng trong mét ®¬n vÞ
thêi gian vµ gäi lµ mËt ®é n¨ng th«ng cña sãng ©m [W. m-2].
3) C−êng ®é ©m :
§Ó ®Æc tr−ng cho ®é m¹nh cña ©m, ng−êi ta dïng hai ®¹i l−îng c−êng ®é ©m vµ ®é to cña ©m.
@ C−êng ®é ©m I cña sãng ©m lµ c«ng suÊt trung b×nh mµ sãng ©m truyÒn qua mét ®¬n vÞ diÖn
tÝch vu«ng gãc víi ph−¬ng truyÒn sãng : I = Π = pv
• Víi sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x t¨ng : p = ρ 0 cS v
I = pv = ρ 0 cS v 2
⇒
1
• Víi sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c : I = pv = p0 v 0
2
2
1 p0
1
ρ 0 cS v0 =
MÆt kh¸c: p0 = ρ0 cS v0 , suy ra : I = 2
2 ρ0 cS
2
C−êng ®é ©m ®Æc tr−ng cho ®é m¹nh cña ©m vÒ ph−¬ng diÖn vËt lý.
⎛I⎞
@ §é to L (møc ©m) cña ©m ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau : L = 10 log ⎜ ⎟ víi I0 lµ c−êng ®é ©m
⎝ I0 ⎠
-12 -2
øng víi tÇn sè kho¶ng 1500Hz (I0 = 10 W.m ) vµ gäi lµ ng−ìng nghe trung b×nh cña tai. L d−îc
tÝnh b»ng ®Ò-xi-ben (dB).
§é to cña ©m ®Æc tr−ng cho ®é m¹nh cña ©m vÒ ph−¬ng diÖn sinh lý.
Gi¸ trÞ L cña mét sè tiÕng ®éng nh− sau : Xµo x¹c cña l¸ c©y : 10 dB; §−êng phè kh«ng cã xe
cé : 30 dB; Nãi chuyÖn b×nh th−êng : 60 dB; Nhãm nh¹c rock : 110 dB; Ng−ìng ®au : 120 dB (ë
tÇn sè 1500 Hz); §éng c¬ ph¶n lùc c¸ch 50m : 130 dB.
63
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
§3. Ph¶n x¹ vµ truyÒn qua cña c¸c sãng ©m :
( 2 ) ( ρ 2 , c2 )
(1) ( ρ1 , c1 )
XÐt sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn trong c¸c èng
dÉn cã tiÕt diÖn b»ng h»ng sè.
Sãng ph¶n x¹
1) §iÒu kiÖn biªn (H×nh 5) :
Sãng truyÒn qua
XÐt sù ph¶n x¹ cña sãng ph¼ng ch¹y trªn mÆt
ph©n c¸ch cña hai m«i tr−êng chÊt l−u.
Gi¶ sö sãng tíi vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ph©n Sãng tíi
c¸ch m«i tr−êng (1) (khèi l−îng riªng ρ1, vËn
tèc truyÒn sãng c1) vµ m«i tr−êng (2) (khèi
l−îng riªng ρ2 , vËn tèc truyÒn sãng c2). x’ x
x0
H×nh 5:
x
Sãng tíi f1 (t − ) t¹o nªn mét sãng ph¶n x¹
c1
x x
g1 (t + ) vµ mét sãng truyÒn qua f 2 (t − ) .
c1 c2
BiÓu thøc m« t¶ sãng trong m«i tr−êng (1) vµ (2) :
⎛ x⎞ ⎛ x⎞
v1 ( x, t ) = f1 ( x, t ) + g1 ( x, t ) = f1 ⎜ t − ⎟ + g1 ⎜ t + ⎟
⎝ c1 ⎠ ⎝ c1 ⎠
⎡⎛ x ⎞⎤
x⎞ ⎛
p1 ( x, t ) = ρ1c1 [ f1 ( x, t ) − g1 ( x, t ) ] = ρ1c1 ⎢ f1 ⎜ t − ⎟ − g1 ⎜ t + ⎟ ⎥
vµ :
⎣ ⎝ c1 ⎠ ⎝ c1 ⎠ ⎦
⎛ x⎞
v 2 ( x , t ) = f 2 ( x, t ) = f 2 ⎜ t − ⎟
⎝ c2 ⎠
⎛ x⎞
p2 ( x, t ) = ρ 2c2 f 2 ( x, t ) = ρ 2c2 f 2 ⎜ t − ⎟
vµ :
⎝ c2 ⎠
2) TÝnh liªn tôc cña vËn tèc (H×nh 6) :
Trªn bÒ mÆt ph©n c¸ch, dÞch chuyÓn, vËn tèc cña chÊt l−u vu«ng gãc víi bÒ mÆt vµ lµ nh− nhau:
v1x ( x0 , t ) = v 2x ( x0 , t )
f1 ( x0 , t ) + g1 ( x0 , t ) = f 2 ( x0 , t )
⇒
Líp chÊt l−u khèi l−îng M
( 2 ) ( ρ 2 , c2 ) ( 2 ) ( ρ 2 , c2 )
(1) ( ρ1 , c1 ) (1) ( ρ1 , c1 )
VËn tèc mét phÇn tö
chÊt l−u cña
VËn tèc mét phÇn tö m«i tr−êng (2)
• p2 ( x0 , t ).S
p1 ( x0 , t ).S
chÊt l−u cña
•
m«i tr−êng (1)
x’ x x’ x
x0 x0
H×nh 6: H×nh 7:
3) TÝnh liªn tôc cña ¸p suÊt (H×nh 7):
XÐt mét líp chÊt l−u cã khèi l−îng M, tiÕt diÖn S vµ bÒ dµy kh«ng ®¸ng kÓ, n»m trªn mÆt ph©n
c¸ch. D−íi t¸c dông cña ¸p suÊt d− p1vµ p2, chuyÓn ®éng cña líp chÊt l−u ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng
tr×nh: Ma(t ) = S [ p1 ( x0 , t ) − p2 ( x0 , t )]
Do gia tèc chuyÓn ®éng a(t) cña líp chÊt l−u gÇn nh− h÷u h¹n ⇒ Khi M tiÕn ®Õn 0, ta cã :
64
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
p1 ( x0 , t ) = p2 ( x0 , t )
ρ1c1 [ f1 ( x0 , t ) − g1 ( x0 , t ) ] = ρ 2 c2 f 2 ( x0 , t )
⇒
BiÓu thøc p1 ( x0 , t ) = p2 ( x0 , t ) cho thÊy ¸p suÊt lµ liªn tôc trªn bÒ mÆt ph©n c¸ch.
4) HÖ sè ph¶n x¹ vµ hÖ sè truyÒn qua cña sãng ©m :
• HÖ sè ph¶n x¹ : TØ sè gi÷a biªn ®é (hoÆc n¨ng l−îng) cña sãng ph¶n x¹ vµ biªn ®é (hoÆc n¨ng
l−îng) cña sãng tíi xÐt trªn bÒ mÆt ph©n c¸ch.
HÖ sè truyÒn qua: TØ sè gi÷a biªn ®é (hoÆc n¨ng l−îng) cña sãng truyÒn qua vµ biªn ®é (hoÆc
n¨ng l−îng) cña sãng tíi xÐt trªn bÒ mÆt ph©n c¸ch.
• Tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn :
f1 ( x0 , t ) + g1 ( x0 , t ) = f 2 ( x0 , t ) vµ : ρ1c1 [ f1 ( x0 , t ) − g1 ( x0 , t ) ] = ρ 2 c2 f 2 ( x0 , t )
1 ⎡ ρ 2 c2 ⎤ 1 ⎡ ρ1c1 + ρ 2 c2 ⎤
⇒ f1 ( x0 , t ) =
⎢1 + ρ c ⎥ f 2 ( x0 , t ) = 2 ⎢ ⎥ f 2 ( x0 , t )
ρ1c1
2⎣ 11⎦ ⎣ ⎦
1 ⎡ ρ c − ρ 2 c2 ⎤
g1 ( x0 , t ) = ⎢ 1 1 ⎥ f 2 ( x0 , t )
ρ1c1
2⎣ ⎦
• Tõ ®ã suy ®−îc hÖ sè ph¶n x¹ (theo biªn ®é) cña vËn tèc vµ cña ¸p suÊt d− :
x0 x
− ρ1c1 g1 (t + 0 )
g1 (t + )
ρ c − ρ 2 c2
c1 c1
= = 11 =− = − r12 ( p )
r12 ( v )
ρ1c1 + ρ 2 c2
x0 x0
ρ1c1 f1 (t − )
f1 (t − )
c1 c1
Vµ hÖ sè truyÒn qua (theo biªn ®é) cña vËn tèc vµ cña ¸p suÊt d− :
x0 x
ρ 2 c2 f 2 (t − 0 )
f 2 (t −
)
2 ρ1c1 ρc ρc
c2 c2
τ 12 ( v ) = = 1 1 .τ 12 ( p )
= = 11
ρ1c1 + ρ 2 c2 ρ 2 c2 ρ 2 c2
x x
ρ1c1 f1 (t − 0 )
f1 (t − 0 )
c1 c1
ρ1c1 ρ 2 c2
C¸c ®¹i l−îng Z C1 = vµ Z C 2 = ®−îc gäi lµ trë kh¸ng ©m cña èng dÉn cã tiÕt diÖn S.
S S
• HÖ sè ph¶n x¹ R vµ hÖ sè truyÒn qua T tÝnh theo n¨ng l−îng :
Π phanxa ex S Π truyenqua ex S
R= vµ : T =
Π toi ex S Π toi ex S
Trong ®ã : Π lµ vect¬ mËt ®é n¨ng th«ng cña sãng t−¬ng øng.
Π toi = ρ1c1 v 2oi = ρ1c1 f12 ( x0 , t )
t
Π phanxa = ρ1c1 g12 ( x0 , t )
Π truyenqua = ρ 2 c2 f 22 ( x0 , t )
Tõ ®ã suy ra :
2
4 ρ1c1 ρ 2 c2
⎛ ρ c − ρ 2 c2 ⎞
T= = 1− R
R=⎜ 1 1 ⎟ vµ :
( ρ1c1 + ρ 2 c2 )
⎝ ρ1c1 + ρ 2 c2 ⎠
2
Ghi chó :
o §èi víi mÆt ph©n c¸ch chÊt láng - chÊt khÝ : R ≅ 1 vµ T
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
chiÕc xuång m¸y ®ang quay trong n−íc, trong khi ®ã mét ng−êi ®øng trªn bê khã nghe h¬n
nhiÒu.
o §èi víi mÆt ph©n c¸ch chÊt r¾n - chÊt khÝ : sù ph¶n x¹ gÇn nh− hoµn toµn. Sù ph¶n x¹ cã thÓ
gi¶m rÊt m¹nh nÕu nh− dïng mét chÊt r¾n rÊt mÒm vµ rÊt nhÑ nh− chÊt bÇn, chÊt mót.
Cã thÓ t¹o nªn mét bøc t−êng c¸ch ©m tèt b»ng c¸ch xÕp tiÕp nèi nhau mét vËt liÖu nÆng vµ cøng
nh− bª t«ng... víi mét vËt liÖu nhÑ vµ mÒm nh− bÇn, p«lime xèp... (kh«ng khÝ bÞ giam trong lßng
c¸c vËt liÖu nµy).
o §Ó thÊy râ hiÖu qu¶ cña sãng ©m khi truyÒn qua c¸c mÆt ph©n c¸ch, cã thÓ thùc hiÖn thÝ
nghiÖm sau ®©y :
+ CÇm mét ©m thoa trong kh«ng khÝ, ©m thoa ®−îc kÝch thÝch bëi mét va ch¹m ban ®Çu, ta rÊt
khã nghe ©m thanh do ©m thoa ph¸t ra. Nh− vËy, sù truyÒn qua cña sãng ©m gi÷a mét chÊt r¾n vµ
mét chÊt khÝ lµ rÊt kÐm hiÖu qu¶.
+ NÕu ©m thoa ®−îc nèi víi mét hép céng h−ëng, ©m nghe ®−îc hoµn toµn râ, c¸c dao ®éng cña
nã ®−îc truyÒn cho hép céng h−ëng vµ hép l¹i truyÒn cho kh«ng khÝ. Nh− vËy, sù truyÒn qua cña
sãng ©m gi÷a hai chÊt r¾n lµ cã hiÖu qu¶.
+ §Æt mét b×nh ®Çy n−íc lªn trªn hép céng h−ëng. Cho ©m thoa tiÕp xóc víi n−íc, ©m l¹i nghe
thÊy ®−îc. Nh− vËy, sù truyÒn qua cña sãng ©m gi÷a mét chÊt r¾n vµ mét chÊt láng lµ cã hiÖu qu¶.
Tµi liÖu tham kh¶o :
[1] Sãng, N¨m thø hai, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, Nxb. Gi¸o dôc Hµ Néi 2002
[2] Ondes, DeuxiÌme annÐe, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, 2000
[3] L−¬ng Duyªn B×nh, Ng« C«ng TrÝ, NguyÔn H÷u Hå, VËt lý ®¹i c−¬ng, TËp II : Dao ®éng vµ
sãng c¬, Nxb. Gi¸o dôc Hµ Néi 1998
66
nguon tai.lieu . vn
