Xem mẫu
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ch−¬ng II:
D¢Y RUNG - ph−¬ng tr×nh Dal¨mbE
§1. Dao ®éng ngang cña ®©y - Ph−¬ng tr×nh §al¨mbe:
1) Quan s¸t sù lan truyÒn biÕn d¹ng däc theo d©y:
Mét sîi d©y, mét ®Çu g¾n vµo t−êng, ®Çu kia ®−îc kÐo c¨ng bëi nguêi quan s¸t (H×nh 2). Khi
ng−êi quan s¸t t¹o mét biÕn d¹ng ë ®Çu d©y, biÕn d¹ng nµy sÏ ch¹y däc theo d©y tõ ®iÓm nµy sang
®iÓm kh¸c, t¹o nªn mét sãng lan truyÒn däc theo d©y, t−¬ng tù nh− sãng biÕn d¹ng lan truyÒn
trong chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt.
a) Sãng ngang vµ sãng däc:
XÐt mét sãng lan truyÒn trong mét chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt vµ mét sãng lan truyÒn
trªn d©y. Hai sãng nµy lan truyÒn theo ph−¬ng Ox (gäi lµ ph−¬ng truyÒn sãng). Tuy nhiªn, vËt
dao ®éng trong chuçi dao ®éng tö chuyÓn ®éng theo ph−¬ng song song víi Ox, cßn dÞch chuyÓn
cña mét ®iÓm trªn d©y theo ph−¬ng vu«ng gãc víi Ox.
Sãng ngang: lµ sãng mµ c¸c phÇn tö cña m«i tr−êng chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc
víi ph−¬ng truyÒn sãng. VÝ dô, sãng trªn d©y ®µn c¨ng th¼ng...
a) Sãng ngang b) Sãng däc
Ph−¬ng truyÒn sãng Ph−¬ng truyÒn sãng
H×nh 1
Sãng däc: lµ sãng mµ ph−¬ng dao ®éng cña c¸c phÇn tö cña m«i tr−êng trïng víi ph−¬ng
truyÒn sãng. VÝ dô, sãng ©m trong kh«ng khÝ, sãng biÕn d¹ng truyÒn trong chuçi c¸c dao ®éng tö
liªn kÕt...
b) ChiÒu truyÒn sãng - Sãng ch¹y :
Quan s¸t sù lan truyÒn cña sãng trªn d©y t¹i nh÷ng thêi ®iÓm kÕ tiÕp nhau t0, t1= t0 +∆t, t2 = t0
+2∆t, ..., tn= t0 + n∆t (H×nh 2). Ta thÊy r»ng, biÕn d¹ng cña d©y t¹i c¸c thêi ®iÓm kh¸c nhau lµ nh−
nhau, nh−ng trong kho¶ng thêi gian ∆t, biÕn d¹ng truyÒn ®i ®−îc mét kho¶ng ∆x tØ lÖ víi ∆t:
∆x
∆x = c. ∆t ⇒ Sãng biÕn d¹ng ®· lan truyÒn däc theo d©y víi vËn tèc c = kh«ng ®æi theo chiÒu
∆t
x t¨ng (c ®−îc gäi lµ vËn tèc truyÒn sãng)
DÞch chuyÓn ψ(x,t) cña d©y t¹i (x + c∆t, t + ∆t) vµ t¹i (x,t) lµ nh− nhau:
ψ ( x + c.∆t , t + ∆t ) = ψ ( x, t )
Khi sãng trªn d©y lan truyÒn theo ph−¬ng chiÒu Ox, dÞch chuyÓn cña mét ®iÓm M täa ®é x
x
trªn d©y t¹i thêi ®iÓm t sÏ gièng nh− dÞch chuyÓn cña ®iÓm O (x = 0) t¹i thêi ®iÓm u = t − ⇒
c
x x
ψ ( x, t ) = ψ (0, t − ) = f (t − ) ⇒ Hµm ψ(x,t) chØ phô thuéc vµo biÕn sè duy nhÊt :
c c
x
ψ ( x, t ) = f (u) (1) víi u = t −
.
c
§©y lµ sãng ch¹y theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x t¨ng.
46
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
⎛ ∂f ⎞
∂⎜ ⎟
∂ψ ∂ f ∂f ∂f ∂u ∂f ⎛ 1 ⎞
2 2
∂x
= 2 = ⎝ ⎠ . Mµ : = . = .⎜ − ⎟
• Ta cã :
∂x ∂u ∂x ∂u ⎝ c ⎠
∂x ∂x ∂x
2
⎛ 1 ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ 1 ∂f ⎞
∂⎜− . ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜− . ⎟
∂ψ ⎝ c ∂u ⎠ = − 1 ⎝ ∂x ⎠ = − 1 ⎝ c ∂u ⎠ = 1 ∂ f
2 2
⇒ = (a)
∂x 2 ∂x c ∂u ∂u c 2 ∂u 2
c
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞
∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟
∂ 2 f ∂ 2ψ
∂f ∂f
∂f ∂f ∂t ∂f
2 2
∂u ∂t ∂u ∂t
= ⎝ ⎠ víi ⇒ 2 = ⎝ ⎠= ⎝ ⎠= ⎝ ⎠= 2 = 2
=.=
MÆt kh¸c:
∂u 2 ∂u ∂u ∂t ∂u ∂t ∂u ∂u ∂t ∂t ∂t ∂t
(b)
∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ
= 2 2 ⇒ Hµm sãng ψ ( x, t ) = f (u ( x, t )) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng
Tõ (a) vµ (b), suy ra :
∂x 2 c ∂t
tr×nh truyÒn sãng §al¨mbe.
• TiÕp tôc quan s¸t (H×nh 3) ⇒ BiÕn d¹ng khi ®Õn t−êng, sÏ t¹o nªn mét sãng ph¶n x¹ lan truyÒn
x
víi vËn tèc c cña sãng tíi, nh−ng theo chiÒu x gi¶m vµ cã d¹ng: ψ ( x, t ) = g ( v) víi v = t + .
c
§©y lµ sãng ch¹y theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x gi¶m.
• T−¬ng tù, hµm sãng ψ ( x, t ) = g ( v( x, t )) lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng §al¨mbe.
H×nh 2 H×nh 3
47
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
2) Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña d©y:
a) M« t¶ c¸c chuyÓn ®éng ngang nhá :
y
• XÐt mét sîi d©y c¨ng th¼ng n»m theo ph−¬ng trôc
Ox. Khi gâ lªn d©y, d©y sÏ rung ®éng. §Ó ®¬n gi¶n
chØ xÐt chuyÓn ®éng cña sîi d©y trong mÆt ph¼ng
xOy.
α ( x, t )
Gäi : ψ(x,t) lµ dÞch chuyÓn theo ph−¬ng Oy cña d©y
M
t¹i hoµnh ®é x, t¹i thêi ®iÓm t (dÞch chuyÓn ngang);
ds
α(x,t) gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi d©y t¹i hoµnh ®é x, t¹i
thêi ®iÓm t so víi trôc Ox n»m ngang. dψ
dx
D©y rung víi biªn ®é bÐ ⇒ Cã thÓ xem nh− d©y vÉn
H×nh 4
th¼ng ⇒ Gãc nghiªng α(x,t) cña d©y rÊt bÐ:
ψ ( x, t )
⎡ ∂ψ ( x, t ) ⎤
α ( x, t ) ≈ tgα ( x, t ) = ⎢
⎣ ∂x ⎥ x
O x
⎦
x
Hoµnh ®é cong s ®o däc theo d©y cung nghiÖm ®óng
2
dψ ⎞
hÖ thøc: ds = dx 2 + dψ 2 = dx 1 + ⎛ ⎟ ≈ dx tøc lµ
⎜
⎝ dx ⎠
hoµnh ®é cong s cã thÓ coi nh− b»ng hoµnh ®é ngang x ⇒ ChuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trªn d©y
theo ph−¬ng Ox n»m ngang cã thÓ bá qua ⇒ Sãng lan truyÒn trªn d©y cã thÓ xem nh− lµ c¸c
sãng ngang.
b) Lùc c¨ng d©y :
XÐt c¸c lùc t¸c dông lªn ph©n tè d©y cã chiÒu dµi dx, n»m gi÷a x vµ x + dx (H×nh 5).
Gäi T(x,t) lµ gi¸ trÞ lùc c¨ng d©y t¹i mét ®iÓm cã hoµnh ®é x, t¹i thêi ®iÓm t.
Bá qua träng l−îng cña d©y. Gi¶ sö bá qua ®é cøng xo¾n cña d©y ⇒ D©y kh«ng chÞu t¸c dông cña
momen xo¾n; c¸c lùc t¸c dông lªn d©y h−íng theo tiÕp tuyÕn víi d©y.
Gäi F ( x, t ) : lùc c¨ng t¸c dông t¹i thêi ®iÓm t, tõ phÇn d©y cã täa ®é > x lªn phÇn d©y cã täa ®é
< x. PhÇn d©y cã täa ®é nhá h¬n x t¸c ®éng lªn ph©n tè d©y dx mét lùc:
F1 = − F ( x, t ) = T ( x, t )u1
PhÇn d©y cã täa ®é lín h¬n x+dx t¸c ®éng lªn ph©n tè dx mét lùc:
F2 = + F ( x + dx, t ) = T ( x + dx, t )u2
víi u1 vµ u2 lµ vect¬ ®¬n vÞ cña tiÕp tuyÕn víi d©y t¹i x vµ x + dx t¹i thêi ®iÓm t.
C¸c thµnh phÇn cña F1 vµ F2 trªn c¸c trôc Ox vµ Oy:
⎧ F1 y = − Fy ( x, t ) ≈ −T ( x, t ).α ( x, t )
⎧ F1x ≈ −T ( x, t ) ⎪
⎨ Trªn Oy : ⎨
Trªn Ox:
⎪ F2 y = Fy ( x + dx, t ) ≈ T ( x + dx, t ).α ( x + dx, t )
⎩ F2 x ≈ T ( x + dx, t ) ⎩
(L−u ý : cosα ≈ 1, sin ≈ α).
48
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
y
α ( x, t ) F2
u2
α ( x + dx, t )
M
u1
F1
ψ ( x, t ) ψ ( x + dx, t )
x
O
x x + dx
H×nh 5
¸p dông ®Þnh luËt Newton II cho ph©n tè d©y dx, vµ chiÕu lªn Ox :
T ( x + dx , t ) − T ( x , t ) = 0
⇒ T ( x + dx , t ) = T ( x , t )
⇒ T¹i thêi ®iÓm t, lùc c¨ng d©y T b»ng h»ng sè däc theo d©y.
MÆc kh¸c, chiÒu dµi cña d©y xem nh− kh«ng ®æi ⇒ lùc c¨ng nãi trªn lu«n b»ng lùc c¨ng T0 khi
d©y kh«ng chuyÓn ®éng: T ( x, t ) = T0
⎧ F1 y = − Fy ( x, t ) = −T0 .α ( x, t )
⎪
Tõ ®ã suy ra: ⎨ (2)
⎪ F2 y = Fy ( x + dx, t ) = T0 .α ( x + dx, t )
⎩
c) Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ngang :
Gäi µ lµ khèi l−îng mét ®¬n vÞ chiÒu dµi d©y. ¸p dông ®Þnh luËt Newton II cho ph©n tè d©y dx
(khèi l−îng µ .dx) vµ chiÕu lªn Oy:
∂ 2ψ
µ dx 2 = F2 y + F1 y = Fy ( x + dx, t ) − Fy ( x, t ) = T0 .[α ( x + dx, t ) − α ( x, t ) ]
∂t
∂ ψ ∂F ∂α ∂ 2ψ
2
µ 2 = y = T0 = T0 2
Suy ra: (3)
∂t ∂x ∂x ∂x
∂ψ
(L−u ý : α = ).
∂x
3) Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng:
Tõ ph−¬ng tr×nh (3), suy ®−îc ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng §al¨mbe:
∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ T
− 2 2 =0 víi: c = 0
(4)
µ
∂x c ∂t
2
T0
§¹i l−îng c = , cã thø nguyªn cña vËn tèc vµ ®Æc tr−ng cña sù truyÒn sãng trªn d©y.
µ
4) C¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt:
49
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (4) ®−îc suy tõ hai ph−¬ng tr×nh sau ®©y liªn kÕt Fy(x,t) vµ ψ(x,t):
⎧ ∂ 2ψ 1 ∂Fy
⎪ ∂t 2 = µ ∂x
⎪
⎨ (5)
⎪ F = T α = T ∂ψ
⎪y 0 0
∂x
⎩
∂ψ ( x, t )
Víi v( x, t ) = lµ vËn tèc dÞch chuyÓn ngang, ph−¬ng tr×nh (5) trë thµnh :
∂t
1 ∂ (− Fy ( x, t ))
⎧ ∂v(x,t)
⎪ ∂t = − µ ∂x
⎪
⎨ (6)
⎪ ∂ (- Fy ( x, t )) = −T ∂v( x, t )
⎪ 0
∂t ∂x
⎩
HÖ ph−¬ng tr×nh (6), liªn kÕt biÕn ®æi cña vËn tèc ngang v(x,t) vµ thµnh phÇn ngang Fy ( x, t ) cña
lùc c¨ng d©y F ( x, t ) , ®−îc gäi lµ c¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt.
Nh− vËy, mét biÕn d¹ng cña sîi d©y lµm xuÊt hiÖn mét lùc Fy ( x, t ) , b¶n th©n lùc ®ã cã thÓ kÐo
theo mét vËn tèc dÞch chuyÓn... ChÝnh mèi liªn kÕt nµy lµ c¬ së cña hiÖn t−îng lan truyÒn sãng
trªn sîi d©y.
§2. NghiÖm sãng ph¼ng ch¹y cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe :
x x
• Trªn ®©y, ta ®· biÕt r»ng c¸c sãng f (u ) = f (t − ) vµ g ( v) = g (t + ) lµ c¸c nghiÖm cña
c c
∂ψ 1 ∂ψ
2 2
− = 0 . Cã thÓ quan s¸t ®−îc sù lan truyÒn cña hai
ph−¬ng tr×nh §al¨mbe mét chiÒu
∂x 2 c 2 ∂t 2
sãng nµy trªn d©y.
• Ng−êi ta chøng minh r»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe ®−îc viÕt d−íi d¹ng
tæng cña hai nghiÖm f(u) vµ g(v):
x x
ψ ( x, t ) = ψ (u , v ) = f (u ) + g ( v) víi: u = u ( x, t ) = t − vµ v = v( x, t ) = t + (7)
c c
x
NghiÖm f (t − ) m« t¶ sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn víi vËn tèc c theo ph−¬ng Ox theo chiÒu x
c
x
t¨ng. NghiÖm g (t + ) m« t¶ sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn víi vËn tèc c theo ph−¬ng Ox theo chiÒu
c
x gi¶m.
§3. NghiÖm sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe:
1) NghiÖm h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe:
Cã thÓ t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Dalembert phô thuéc vµo thêi gian theo d¹ng h×nh sin.
Sö dông ký hiÖu phøc, nghiÖm h×nh sin cã d¹ng: ψ ( x, t ) = ϕ ( x)eiω t (2)
∂ 2ψ ∂ 2ψ 3 ∂ 2ϕ ( x ) ω 2
+ 2 ϕ ( x) = 0
TÝnh ; ( ) vµ thay vµo ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng, suy sa:
∂x 2 ∂ t 2 ∂x 2 c
(2 ) NghiÖm sãng ph¼ng ch¹y h×nh sin cã d¹ng : + D¹ng thùc : ψ ( x, t ) = ψ 0 cos(ωt − kx + ϕ )
i (ωt − kx ) iϕ
+ D¹ng phøc : ψ ( x, t ) = ψ 0 e víi ψ 0 = ψ 0 e , trong ®ã k cã thÓ d−¬ng hay ©m. Do ®ã, cã thÓ viÕt :
ψ ( x, t ) = ψ 0 e − ikx eiωt hay ψ ( x, t ) = ϕ ( x)eiωt víi ϕ ( x) = ψ 0 e − ikx )
50
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
NghiÖm tæng qu¸t cã d¹ng: ϕ ( x ) = ψ 10 e − ikx + ψ 20 eikx
Víi : ψ 10 = ψ 10 e 01 vµ ψ 20 = ψ 20 e 02 vµ k = ω .
− iφ − iφ
c
V× vËy, c¸c nghiÖm h×nh sin t×m ®−îc cã d¹ng:
ψ ( x, t ) = ψ 10 ei (ω t − kx ) + ψ 20 ei (ω t + kx )
D−íi d¹ng thùc, ta cã:
ψ ( x, t ) = ψ 10 cos(ωt − kx + φ01 ) +ψ 20 cos(ωt + kx + φ02 ) (8)
Mçi sè h¹ng cña nghiÖm ®Æc tr−ng cho mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c. Sè h¹ng
ψ 10 cos(ω t − kx + φ01 ) m« t¶ sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn víi vËn tèc c theo ph−¬ng Ox theo chiÒu
x t¨ng. Sè h¹ng ψ 20 cos(ω t + kx + φ02 ) m« t¶ sãng ph¼ng ch¹y lan truyÒn víi vËn tèc c theo
ph−¬ng Ox theo chiÒu x gi¶m.
2) C¸c ®Æc tr−ng cña sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c :
• Mét sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c lan truyÒn theo ph−¬ng cña trôc Ox theo chiÒu x t¨ng ®−îc m« t¶
d−íi d¹ng phøc:
ψ ( x, t ) = ψ 0 ei (ωt −kx ) víi: ψ 0 = ψ 0 eiφ0
HoÆc d−íi d¹ng thùc:
ψ ( x, t ) = ψ 0 cos(ω t − kx + φ0 )
Sãng nµy ®−îc ®Æc tr−ng bëi tÇn sè gãc ω vµ vect¬ sãng k = k .ex ( k cho ta biÕt ph−¬ng chiÒu
truyÒn sãng) vµ cã hai chu kú:
2π
Chu kú theo thêi gian: T =
ω
2π
Vµ chu kú theo kh«ng gian: λ =
k
• Ta thÊy: ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) = ψ ( x, t ) khi k ∆x = ω∆t . Nh− vËy, cã thÓ nãi r»ng sãng lan truyÒn
∆x ω
theo ph−¬ng chiÒu Ox víi vËn tèc: vϕ = =.
∆t k
ω
vϕ = gäi lµ vËn tèc truyÒn sãng hay vËn tèc pha (vËn tèc lan truyÒn cña pha).
k
3) HÖ thøc t¸n x¹:
Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng cho ta hÖ thøc liªn hÖ gi÷a k vµ ω vµ ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹.
Tr−êng hîp sãng ph¼ng ch¹y ®¬n s¾c d¹ng ψ ( x, t ) = ψ 0 ei (ω t − kx ) , nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh truyÒn
sãng §al¨mbe, ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng trë thµnh:
⎛ ∂2 1 ∂2 ⎞ ⎛ ⎞
1
− 2 2 ⎟ ei (ωt − kx ) = 0 ⇒ ⎜ (ik ) 2 − 2 (iω ) 2 ⎟ ei (ωt − kx ) = 0
⎜2
⎝ ∂x c ∂t ⎠ ⎝ ⎠
c
ω2
Suy ra hÖ thøc t¸n x¹: k 2 = (9)
c2
∂ϕ ∂ 2ψ ∂ 2ϕ ∂ 2ψ
∂ψ
= eiωt 2 ; 2 = −ω 2ϕ ( x )eiωt
= eiωt ;
(3 ) Ta cã :
∂x ∂x 2 ∂x ∂t
∂x
51
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
§4. NghiÖm sãng dõng cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe :
1) Sù h×nh thµnh cña sãng dõng - D©y Melde:
a) ThÝ nghiÖm sãng dõng trªn d©y Melde:
Mét sîi d©y ®−îc c¨ng th¼ng gi÷a hai ®Çu (H×nh 6).
§Çu thø nhÊt g¾n víi mét thanh rung, ®−îc kÝch thÝch bëi mét nam ch©m ®iÖn, ®Çu d©y sÏ thùc
hiÖn dao ®éng bÐ víi tÇn sè v ( v = 2v ' , víi v ' : tÇn sè cña dßng ®iÖn ch¹y qua nam ch©m).
§Çu thø hai cña d©y v¾t qua mét rßng räc. Sîi d©y ®−îc c¨ng nhê qu¶ c©n cã khèi l−îng M thay
®æi ®−îc ⇒ Søc c¨ng trªn d©y: T 0 = Mg
b) Quan s¸t sãng dõng:
• Sau giai ®o¹n qu¸ ®é (x¶y ra trong mét kho¶ng thêi gian ng¾n), d©y sÏ thùc hiÖn dao ®éng
c−ìng bøc víi tÇn sè v b»ng tÇn sè cña thanh rung vµ trªn d©y xuÊt hiÖn c¸c “ bã sãng”.
Quan s¸t thÊy c¸c dao ®éng x¶y ra t¹i chç vµ kh«ng dÞch chuyÓn ⇒ Trªn d©y xuÊt hiÖn c¸c sãng
dõng.
• Thay ®æi tÇn sè v cña thanh rung. Nãi chung, biªn ®é dao ®éng cña d©y lµ bÐ (vµ cã cïng cë ®é
lín víi biªn ®é dao ®éng a cña thanh rung). Tuy nhiªn, øng víi mét sè tÇn sè vn nhÊt ®Þnh, biªn
®é nµy cã thÓ trë nªn lín: Trªn d©y xuÊt hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng (H×nh 7).
• Ta thÊy r»ng øng víi mét tÇn sè cho tr−íc, t¹i mét sè ®iÓm cè ®Þnh, c¸ch ®Òu nhau trªn d©y xuÊt
hiÖn c¸c cùc ®¹i dao ®éng (gäi lµ bông dao ®éng) vµ c¸c cùc tiÓu dao ®éng (gäi lµ nót dao ®éng).
y
Nam ch©m ®iÖn
Rßng räc
Thanh rung x
O
H×nh 6 M
biªn ®é dao ®éng cña thanh rung
• Khi cã céng h−ëng, ®Çu d©y g¾n víi thanh rung gÇn
nh− trïng víi nót dao ®éng vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai
nót b»ng:
bông dao ®éng
+ ChiÒu dµi L cña d©y khi cã mét bã sãng.
L
khi cã hai bã sãng.
+
2
L
+ khi cã ba bã sãng H×nh 7 nót dao ®éng
3
c) §Þnh nghÜa sãng dõng:
Trong thÝ nghiÖm trªn ®©y, mét ®iÓm trªn d©y cã hoµnh
®é x thùc hiÖn mét dao ®éng ψ ( x, t ) víi biªn ®é F chØ
phô thuéc vµo x (vµ kh«ng phô thuéc vµo t) ⇒
ψ ( x, t ) cã d¹ng: a) TÇn sè bÊt kú b) TÇn sè céng h−ëng
ψ (x, t) = F (x).cos(ωt + ϕ) (10) nhÊt c) TÊn sè céng h−ëng thø hai
52
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
x
Trong biÓu thøc nµy, biÕn sè x vµ t ®−îc ph©n ly. Sù phô thuéc cña ψ ( x, t ) vµo t − hoÆc vµo
c
x
kh«ng cßn n÷a ⇒ Kh«ng cã sù lan truyÒn ⇒ Hµm ψ ( x, t ) m« t¶ mét sãng dõng.
t+
c
Tãm l¹i: Mét sãng dõng ph¼ng ®−îc m« t¶ d−íi d¹ng thùc bëi hµm cã d¹ng:
ψ ( x, t ) = F ( x ).G (t )
2) NghiÖm sãng dõng cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe:
• XÐt mét hµm sãng víi biÕn sè ph©n ly m« t¶ mét sãng dõng: ψ ( x, t ) = F ( x ).G (t ).
∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ
Khi ψ ( x, t ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng §al¨mbe − = 0 , ta cã:
∂x 2 c 2 ∂t 2
1
F ''( x).G (t ) − 2 F ( x).G ''(t ) = 0
c
F ''( x) G ''(t )
=. =A
c2.
V× vËy: (11)
F ( x) G (t )
Hai sè h¹ng ®Çu b»ng nhau vµ lÇn l−ît phô thuéc vµo c¸c biÕn ®éc lËp x vµ t ⇒ A = h»ng.
• Chóng ta chØ t×m mét nghiÖm chÊp nhËn ®−îc cho mäi gi¸ trÞ cña x vµ t ⇒ Kh«ng xÐt ®Õn c¸c
nghiÖm ph©n kú ⇒ ChØ xÐt tr−êng hîp A < 0. §Æt: A = −ω 2
Ph−¬ng tr×nh (11) trë thµnh:
ω2
G ''(t ) + ω 2 .G (t ) = 0
F ''( x ) + 2 .F ( x ) = 0
c
ω
G (t ) = G0 .cos(ω t + ϕ G ) F ( x ) = F0 .cos( kx + ϕ F ) víi: k =
Suy ra:
c
Tãm l¹i: Sãng dõng ®¬n s¾c, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh §al¨mbe cã d¹ng:
ψ ( x, t ) = ψ 0 .cos( kx + ϕ F ) cos(ω t + ϕ G ) (12)
3) Dao ®éng tù do nhá cña d©y rung hai ®Çu cè ®Þnh:
H·y t×m nghiÖm Ψ(x,t) cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ngang trªn d©y cã chiÒu dµi L vµ ®−îc cè
®Þnh ë hai ®Çu. NghiÖm Ψ(x,t) m« t¶ dao déng tù do cña mét ®iÓm trªn d©y cã täa ®é x.
a) NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng dao ®éng ngang trªn d©y:
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng trªn d©y cã d¹ng:
x x
ψ ( x, t ) = f (t − ) + g (t + )
c c
§iÒu kiÖn biªn:
ψ (0, t ) = 0 ⇒ f (t ) + g (t ) = 0 víi mäi t (a)
L L
ψ ( L, t ) = 0 ⇒ f (t − ) + g (t + ) = 0 víi mäi t (b)
c c
L L L
Tõ (a) vµ (b) suy ra: f (t − ) = − g (t + ) = f (t + )
c c c
2L
⇒ Hµm f cã chu kú theo thêi gian lµ T = .
c
Khai triÓn hµm f(t) cã chu kú T thµnh chuçi Fourrier:
53
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
πc
∞ ∞
f (t ) = a0 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sin( nω0t ) víi: ω 0 = (4) lµ tÇn sè gãc c¬ b¶n.
L
n =1 n =1
D¹ng tæng qu¸t cña sãng truyÒn trªn d©y hai ®Çu cè ®Þnh:
x x
ψ ( x, t ) = f (t − ) + g (t + )
c c
x x
⇒ ψ ( x, t ) = f (t − ) − f (t + )
c c
∞ ∞
x x
ψ ( x, t ) = a0 + ∑ an cos(nω 0 (t − )) + ∑ bn sin(nω 0 (t − ))
⇒
c c
n =1 n =1
∞ ∞
x x
− a0 − ∑ an cos( nω 0 (t + )) + ∑ bn sin( nω 0 (t + ))
c c
n =1 n =1
§Æt: An = −2bn ; Bn = 2an
∞
⎡ x⎤
ψ ( x, t ) = ∑ ⎢[ An cos(nω0t ) + Bn sin(nω0t )].sin(nω0 )⎥
Suy ra: (13)
⎣ c⎦
n=1
Hai biÕn x vµ t ph©n ly trong biÓu thøc trªn ⇒ ψ ( x, t ) theo (13) lµ nghiÖm m« t¶ sãng dõng cña
ph−¬ng tr×nh §al¨mbe.
b) C¸c d¹ng dao ®éng riªng cña d©y rung :
@ BiÓu thøc ψ ( x, t ) theo (13) cho thÊy sãng dõng trªn d©y lµ sù chång chÊt cña nhiÒu sãng dõng
x
Fn ( x)Gn (t ) = sin(nω 0 ) ( An cos(nω 0 t ) + Bn sin(nω 0 t ) )
®¬n s¾c cã d¹ng:
c
x
Fn ( x)Gn (t ) = F0 n sin( nω 0 ).G0 n sin(nω 0 t +ϕ n )
⇒
c
C¸c hµm Fn ( x ) vµ Gn (t ) cã d¹ng ®iÒu hßa:
n x nc
Fn (x) = F0n .sin(2π x ) = F0n .sin(2π ) Gn (t ) = G0n .sin(2π t + ϕn ) = G0n .sin(2πν n t + ϕn )
λn
2L 2L
πc
2L c
λn = ; νn = n ; ω0 =
víi:
2L
n L
Chu kú theo kh«ng gian cña Fn(x) t−¬ng øng víi:
2 L λ0
λn = víi: λ0 = 2 L
=
n n
Chu kú theo thêi gian cña Gn(t) t−¬ng øng víi:
c c
νn = n = n.ν 0 víi: ν 0 =
2L 2L
Trong ®ã n lµ sè nguyªn.
c = λ0ν 0 = λnν n
Ta cã:
πc
• Nh− vËy d©y rung cã n d¹ng dao ®éng riªng øng víi n tÇn sè gãc riªng ω0 n = nω0 = n
L
D¹ng dao ®éng thø nhÊt (n = 1):
2π πc
2L
(4) Ta cã : ω0 = ⇒ ω0 =
víi : T =
L
T c
54
nguon tai.lieu . vn
