Chuyên đề hàm số (Luyện thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học, Cao đẳng)

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki t 73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GS ĐỈNH CAO VÀ CHẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HUẾ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG * Tính đơn đệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đẳng thức *Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình * Cực trị hàm số Hueá, thaùng 7/2012 www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO BÀI 1. SỰĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Hàm số f đồng biến (tăng) trên K  ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến (giảm) trên K  ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, ∀x ∈ K b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0, ∀x ∈ K 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f (x)  0, ∀x ∈ K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K. b) Nếu f (x)  0, ∀x ∈ K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K. c) Nếu f(x) = 0, ∀x ∈ K thì f không đổi trên K. Chú ý:  Nếu khoảng K được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. Chuyên đề LTĐH 1 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên [a;b]  Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b] II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm xi(i =1,2,..,n)mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn của hàm sô) – Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên – Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số. Chuyên đề LTĐH 2 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: DẠNG TOÁN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Phương pháp: Dựa vào quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Xét ch ều biến thiên của hàm số sau: a)y = −x3 −3x2 +24x+26; b)y = x3 −3x2 +2; c)y = x3 +3x2 +3x+2 Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên (-4;2) và nghịch biến trên các khoảng (−;−4) vaø (2;+) b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng (−;0) vaø (2;+) c)y`=3(x +1)2 , y`=0  x=-1 vaø y`>0 vôùi moïi x  -1 Vì haøm soá ñoàng bieán treân moãi nöûa khoaûng (−;−1 vaø −1;+) neân haøm soá ñoàng bieán treân  Hoặc ta có thể trình bày: Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên  Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: a)y = − 1 x4 +2x2 −1; b)y = x4 +2x2 −3; c)y = x4 −6x2 +8x+1 Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên (−;−2) và (0;2), Hàm nghịch biến trên (-2;0) và (2;+) Chuyên đề LTĐH 3 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO b) Hàm đồng biến trên (0;+) và nghịch biến trên (−;0) c) Hàm đồng biến trên khoảng (−2;+) và ng ịch biến trên (+;2) Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R. Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: a)y = 2x −1; c)y = −x2 +2x−1; b)y = x +2 d)y = x2 + 4x+3 Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên (−;−1) vaø (−1;+) b) Hàm nghịch biến trên (−;1) vaø (1;+) c) Hàm đồng biến trên (−5;−2) vaø (−2;1), Hàm nghịch biến trên (−;−5) vaø (1;+) d) Hàm đồng biến trên (−;−2) vaø (−2;+), Nhận xét: Đối với hàm số y = ax+ b(a.c  0) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xácđịnh của chúng Đối với hàm số y = ax2 + bx+c luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu . Cả hai hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên  Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số sau: a)y = x2 −2x −3; b)y = 3x2 − x3 Hướng dẫn: a) Ta có: Chuyên đề LTĐH 4 Biên soạn: Trần Đình Cư ... - tailieumienphi.vn